資源簡(jiǎn)介

第32講 排列組合問(wèn)題
方法總結(jié)：
一、處理排列組合問(wèn)題的常用思路：
1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無(wú)要求的元素。
2、尋找對(duì)立事件
3、先取再排（先分組再排列）
二、排列組合的常見(jiàn)模型
1、捆綁法
2、插空法
3、錯(cuò)位排列
4、依次插空
5、不同元素分組
6、相同元素分組：隔板法
7、涂色問(wèn)題：
典型例題：
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某城市街區(qū)如下圖所示,其中實(shí)線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑的走法有___種．
【答案】7.
【解析】
【詳解】
分析：根據(jù)題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運(yùn)動(dòng)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列、組合問(wèn)題，注意圖中有空格，注意排除，計(jì)算可得答案．
詳解：根據(jù)題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運(yùn)動(dòng)；
從A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下3次向右，有種情況，但圖中有空格，故是方法數(shù)為中
故答案為7.
點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵將圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列、組合問(wèn)題，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算得到答案．
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的非負(fù)整數(shù)解共有___________組．
【答案】
【解析】
【分析】
將方程非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，看成相同元素分組問(wèn)題，采用隔板法.
【詳解】
將方程的解看成11個(gè)1放在3個(gè)小盒的方法，可以將11個(gè)1和3個(gè)小盒，共14個(gè)元素，分成3組，每組至少1個(gè)，采用隔板法，14個(gè)元素之間13個(gè)位置，隔2塊板，共有種方法，
所以方程的非負(fù)整數(shù)解共有組.
故答案為：78
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，用五種不同的顏色涂在圖中不同的區(qū)域內(nèi)，要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，且相鄰(有公共邊)區(qū)域涂的顏色不同，則不同的涂色方案一共有___________種.用數(shù)字作答
【答案】180
【解析】
【分析】
將圖形中四個(gè)板塊分別記為，按照、不同色和、同色，分兩類計(jì)數(shù)再相加，可得結(jié)果.
【詳解】
將圖形中四個(gè)板塊分別記為，如圖：
當(dāng)、不同色時(shí)，有種涂色方案；
當(dāng)、同色時(shí)，有種涂色方案，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有種涂色方案.
故答案為：.
例4．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）將4個(gè)相同的白球、5個(gè)相同的黑球放入4個(gè)不同盒子中的3個(gè)中，使得有1個(gè)空盒且其他3個(gè)盒子中球的顏色齊全的不同放法共有____種．用數(shù)字作答
【答案】72
【解析】
【分析】
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先選盒子、再取白球，最后取黑球，利用組合數(shù)將每一步對(duì)應(yīng)的方法數(shù)求出然后相乘即可得到不同的放法數(shù).
【詳解】
解：首先從4個(gè)盒子中選取3個(gè)，共有種取法；
假定選取了前三個(gè)盒子，則第四個(gè)為空，不予考慮．
由于前三個(gè)盒子中的球必須同時(shí)包含黑白兩色，所以每個(gè)盒子中至少有一個(gè)白球，一個(gè)黑球．
這樣白球還剩一個(gè)可以自由支配，它可以放在三個(gè)盒子中任意一個(gè)，共種放法，
黑球還剩兩個(gè)可以自由支配，這兩個(gè)球可以分別放入三個(gè)盒子中的任意一個(gè)，
這里有兩種情況：①兩個(gè)球放入同一個(gè)盒子，有3種放法．②兩個(gè)球放入不同的兩個(gè)盒子，有3種放法．
綜上，黑球共6種放法．
所以總共有種不同的放法．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是分析個(gè)黑球和個(gè)白球如何分配到三個(gè)盒子中（不均分的情況）且每個(gè)盒子中兩種球都有，采用分步的思想是最合理的，分別考慮兩種球的放法數(shù).
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有_________種不同分配方案.
【答案】85
【解析】
【分析】
由3班最多2個(gè)名額，3班有2、或1個(gè)，或0個(gè)名額三種情況，然后其余的情況先分給1班1個(gè)名額，2班、4班每班各2個(gè)名額，再將剩下的分給1,2,4班，每班至少一個(gè)名額，用隔板法可求解.
【詳解】
由3班最多2個(gè)名額，3班有2、或1個(gè)，或0個(gè)名額三種情況.
（1）、當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的8個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
相當(dāng)于將8個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
（2）、當(dāng)3班有1個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的9個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
相當(dāng)于將9個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
（3）、當(dāng)3班沒(méi)有分得名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的10個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
相當(dāng)于將10個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.
所以一共有種不同的分配方案.
故答案為：85.
【點(diǎn)睛】
本題考查隔板法的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題.
例6．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）將3個(gè)不同顏色的小球放入排成一排的6個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子最多可以放一個(gè)小球，則3個(gè)空盒中恰有2個(gè)空盒相鄰的放法共有_________種.（用數(shù)字作答）
【答案】72
【解析】
【分析】
先分類，再在不同情況下，求出放法個(gè)數(shù)，相加得到答案.
【詳解】
當(dāng)兩個(gè)相鄰空盒恰好在兩端時(shí)，放法有種；
當(dāng)兩個(gè)相鄰空盒不在兩端時(shí)，放法有種；
所以3個(gè)空盒中恰有2個(gè)空盒相鄰的放法共有36+36=72種.
故答案為：72
例7．（2022·浙江上虞·高三期末）某區(qū)突發(fā)新冠疫情，為抗擊疫情，某醫(yī)院急從甲、乙、丙等9名醫(yī)務(wù)工作者中選6人參加周一到周六的某社區(qū)核酸檢測(cè)任務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天．現(xiàn)要求甲、乙、丙至少選兩人參加．考慮到實(shí)際情況，當(dāng)甲、乙、丙三人都參加時(shí)，丙一定得排在甲乙之間，那么不同的安排數(shù)為_(kāi)_________．（請(qǐng)算出實(shí)際數(shù)值）
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件分兩類，再用分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列、組合分類計(jì)算作答.
【詳解】
計(jì)算不同的安排數(shù)有兩類辦法：
甲、乙、丙中只選兩人，有種選法，再?gòu)挠嘞?人中任選4人有選法，
將選取的6人安排到周一到周六有種，因此，共有不同安排種數(shù)為，
當(dāng)甲、乙、丙三人都參加時(shí)，從余下6人中任選3人有選法，
周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之間有種，另3天安排所選3人有種，
共有不同安排數(shù)為：，
由分類加法計(jì)數(shù)原理得：共有不同的安排數(shù)為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)，分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.
例8．（2022·河北保定·高三期末）某體育賽事組織者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，體育館共有三個(gè)入口，每個(gè)入口需要分配不少于2個(gè)且不多于3個(gè)志愿者，每名志愿者都要被分配，則3名女志愿者被分在同一個(gè)入口的概率為_(kāi)__________，每個(gè)入口都有女志愿者的分配方案共有___________種.
【答案】 540
【解析】
【分析】
先由排列組合知識(shí)得出分配方案的種數(shù)、每個(gè)入口都有女志愿者的分配方案種數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解即可.
【詳解】
由題意可知，有一個(gè)入口有2名志愿者，兩個(gè)入口有3名志愿者，分配方案共有種，3名女志愿者在同一個(gè)入口的分配方案共有種，故3名女志愿者被分在同一個(gè)入口的概率為，每個(gè)入口都有女志愿者的分配方案共有種.
故答案為：；
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．
【答案】420
【解析】
【分析】
從后排7人中任取2人，插入前排（按2人相鄰和不相鄰分類計(jì)數(shù)）
【詳解】
可從后排7人中任取2人，插入前排，調(diào)整方法數(shù)為．
故答案為：420．
例10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在即將來(lái)臨的五一長(zhǎng)假期間，某單位本來(lái)安排、、、、共5個(gè)人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日時(shí)接到通知、員工必需出差，故調(diào)整為每天1人，每人至少值班1天，現(xiàn)在只有、、共3個(gè)人在五一長(zhǎng)假期間共有______種不同的值班方案（用數(shù)字作答）．
【答案】150
【解析】
【分析】
由題知，3人值班5天可以分兩種情況：1人值三天，其余2人各值1天；1人值1天，其余2人各值2天.分別計(jì)算出結(jié)果相加即可.
【詳解】
由題知，3人值班5天可以分兩種情況：1人值三天，其余2人各值1天，共有種方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有.
因此共有種值班方案.
故答案為：150
例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南昌花博會(huì)期間，安排6位志愿者到4個(gè)展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人，剩下兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________種．
【答案】156
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，用間接法分析，先分4步進(jìn)行不受限制的排法數(shù)目，再排除計(jì)算其中小李和小王在一起的排法數(shù)目，從而可得答案
【詳解】
解：根據(jù)題意，設(shè)剩下的2個(gè)展區(qū)為丙展區(qū)和丁展區(qū)，用間接法分析：
先計(jì)算小李和小王不受限制的排法數(shù)學(xué)：先在6位志愿者中任選1個(gè)，安排在甲展區(qū)，有種情況，再在剩下的5個(gè)志愿者中任選1個(gè)，安排到乙展區(qū)，有種情況，最后將剩下的4個(gè)志愿者平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個(gè)展區(qū)，有種情況，
所以小李和小王不受限制的排法有種，
若小李和小王在一起，則兩人去丙展區(qū)或丁展區(qū)，有2種情況：
在剩下的4位志愿者中任選1個(gè)，安排到甲展區(qū)，有種情況，
再在剩下的3個(gè)志愿者中任選1個(gè)，安排到乙展區(qū)，有種情況，
最后安排2個(gè)安排到剩下的展區(qū)，有1種情況，
則小李和小王在一起的排法有種，
所以小李和小不在一起的排法有種，
故答案為：156
過(guò)關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，私家車成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過(guò)程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車位．現(xiàn)有3位私家車車主要使用這一備用車位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車隨機(jī)停車，任意兩輛車都不相鄰，則共有不同停車種數(shù)為（ ）
A．144 B．24 C．72 D．60
【答案】D
【解析】
【分析】
由題可知7個(gè)車位停三輛車，則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位，故可先擺4個(gè)空位留下5個(gè)空隙供3輛車選擇即可.
【詳解】
由題可知7個(gè)車位停三輛車，則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位，故可先擺好4個(gè)空車位，4個(gè)空車位之間共有5個(gè)空隙可供3輛車選擇停車．
因此，任何兩輛車都不相鄰的停車種數(shù)共有.
故選：D．
2．（2022·山東臨沂·一模）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.某教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為（ ）
A．720 B．1440 C．2280 D．4080
【答案】C
【解析】
【分析】
以間接法去求解這個(gè)排列問(wèn)題簡(jiǎn)單快捷.
【詳解】
一共有7個(gè)數(shù)字，且其中有兩個(gè)相同的數(shù)字1.
這7個(gè)數(shù)字按題意隨機(jī)排列，可以得到個(gè)不同的數(shù)字.
當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時(shí)，得到的數(shù)字不大于3.14
當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時(shí)，共可以得到個(gè)不同的數(shù)字，
則大于3.14的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為
故選：C
3．（2022·河南南陽(yáng)·高三期末（理））2021年8月17日，國(guó)家發(fā)改委印發(fā)的《2021年上半年各地區(qū)能耗雙控目標(biāo)完成情況晴雨表》顯示，青海 寧夏 廣西 廣東 福建 新疆 云南 陜西 江蘇 浙江 安徽 四川等12個(gè)地區(qū)能耗強(qiáng)度同比不降反升，全國(guó)節(jié)能形勢(shì)十分嚴(yán)峻.某地市為響應(yīng)節(jié)能降耗措施，決定對(duì)非繁華路段路燈在晚高峰期間實(shí)行部分關(guān)閉措施.如圖，某路段有十盞路燈（路兩邊各有五盞），現(xiàn)欲在晚高峰期關(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對(duì)的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，則不同的關(guān)閉方案有（ ）
A．15種 B．16種 C．17種 D．18種
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意利用列舉法進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)樵谕砀叻迤陉P(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對(duì)的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，所以不同的關(guān)閉方案如下：
，
，
共16種方案，
故選：B
4．（2022·安徽·淮南第一中學(xué)一模（理））為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方，則不同的分派方法有（ ）
A．18種 B．36種 C．68種 D．84種
【答案】B
【解析】
【分析】
按照兩位女教師分派到同一個(gè)地方時(shí)，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論即可
【詳解】
根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：
若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；
若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；
故一共有：種分派方法
故選：
5．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））把枚相同的硬幣分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)至少分到枚，且他們拿到的硬幣數(shù)量互不相同，則甲同學(xué)恰好拿到兩枚硬幣的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用插空法和古典概型可解決此題．
【詳解】
根據(jù)插空法得把12枚相同的硬幣分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)至少分到1枚的情況共種，
其中甲、乙、丙三位同學(xué)拿到硬幣有相同情況有，1，，，10，，，1，，，2，，，8，，，2，，，3，，，6，，，3，，，4，，，5，，，2，，，5，共計(jì)13種，故他們拿到的硬幣數(shù)量互不相同的情況共有（種，
甲同學(xué)恰好拿到兩枚硬幣的情況共有（種，
甲同學(xué)恰好拿到兩枚硬幣的概率為．
故選：B
6．（2022·廣東高州·二模）某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)共5個(gè)方向展開(kāi)研究，每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，每位研究生只參與一個(gè)方向的學(xué)習(xí)．其中小明同學(xué)因錄取分?jǐn)?shù)最高主動(dòng)選擇學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480種 B．360種 C．240種 D．120種
【答案】B
【解析】
【分析】
分人臉識(shí)別不安排或安排研究生兩種情況，應(yīng)用組合、排列數(shù)求總分配方式即可.
【詳解】
1、人臉識(shí)別方向不安排其它研究生，則種.
2、人臉識(shí)別方向安排1名其它研究生，則種.
綜上，共有360種分配.
故選：B
7．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為a，b，c，d，則使得a×b×c＋d為奇數(shù)的不同排列方法有（ ）
A．1224 B．1800 C．1560 D．840
【答案】B
【解析】
【分析】
首先為奇數(shù)，則為偶數(shù)，進(jìn)而根據(jù)的奇偶分布情況求排列方法數(shù)，再為偶數(shù)，則為三個(gè)奇數(shù)，求排列方法數(shù)，進(jìn)而加總.
【詳解】
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)：
1、一偶兩奇，此時(shí)不同排列方法為種；
2、兩偶一奇，此時(shí)不同排列方法為種；
3、三個(gè)偶數(shù)，此時(shí)不同排列方法為種；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，此時(shí)三個(gè)奇數(shù)，不同排列方法為種；
綜上，不同排列方法有1800種.
故選：B
8．（2022·黑龍江·哈師大附中高三期末（理））中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列. 中國(guó)的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國(guó).它通過(guò)訪問(wèn)月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施 個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（ ）
A． 種 B． 種 C． 種 D． 種
【答案】C
【解析】
【分析】
在排列時(shí)，相鄰元素用捆綁法，特殊元素特殊安排，利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】
首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個(gè)程序進(jìn)行全排列，最后將程序A排在第一步或最后一步，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得種.
故選：C
9．（2022·河南濮陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））某班開(kāi)展“學(xué)黨史，感黨恩”演講活動(dòng)，安排四個(gè)演講小組在班會(huì)上按次序演講，則A組不是第一個(gè)演講的方法數(shù)為（ ）
A．13 B．14 C．15 D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
利用排除法，先計(jì)算A組是第一個(gè)演講的方法數(shù)即得解
【詳解】
由題意，安排四個(gè)演講小組在班會(huì)上按次序演講共有種情況
其中A組是第一個(gè)演講的方法數(shù)為
故A組不是第一個(gè)演講的方法數(shù)為
故選：D
10．（2022·云南昭通·高三期末（理））某傳統(tǒng)體育學(xué)校計(jì)劃舉行夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，本次運(yùn)動(dòng)會(huì)徑賽項(xiàng)目有：50米、100米、、3000米共8個(gè)項(xiàng)目．為確保徑賽項(xiàng)目順利舉辦，需要招募一批志愿者，甲、乙兩名同學(xué)申請(qǐng)報(bào)名時(shí)，計(jì)劃在8個(gè)項(xiàng)目的服務(wù)崗位中各隨機(jī)選取3項(xiàng)，則兩人恰好選中相同2項(xiàng)的不同報(bào)名情況有（ ）
A．420種 B．441種 C．735種 D．840種
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分步計(jì)數(shù)原理即得.
【詳解】
根據(jù)題意可知，可分三步考慮：第一步，在8項(xiàng)中選取2項(xiàng)，共有種不同的方法；
第二步，甲在剩下6項(xiàng)中選取1項(xiàng)，共有種不同的方法；
第三步，乙在剩下5項(xiàng)中選取1項(xiàng)，共有種不同的方法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，兩人恰好選中相同2項(xiàng)的不同報(bào)名情況有（種）
故選：D．
11．（2022·福建三明·高三期末）北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，4名大學(xué)生將參加冬奧會(huì)志愿者服務(wù)，他們被隨機(jī)安排到3個(gè)場(chǎng)館工作，每人只能去一個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少一人，則不同的安排方案有（ ）
A．16種 B．36種 C．48種 D．60種
【答案】B
【解析】
【分析】
將4人分成3組，再分配到3個(gè)場(chǎng)館，進(jìn)而求得答案.
【詳解】
先將4人分成3組，然后再分配到3個(gè)場(chǎng)館，一共有種不同的方案.
故選：B.
12．（2022·江西九江·一模（理））第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（北京冬奧會(huì)）計(jì)劃于2022年2月4日開(kāi)幕，共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)．現(xiàn)將甲、乙、丙3名志愿者分配到7個(gè)大項(xiàng)中參加志愿活動(dòng)，每名志愿者只能參加1個(gè)大項(xiàng)的志愿活動(dòng)，則有且只有兩人被分到同一大項(xiàng)的情況有（ ）．
A．42種 B．63種 C．96種 D．126種
【答案】D
【解析】
【分析】
此題屬于分組分配問(wèn)題，現(xiàn)將3人分成兩組，然后再分配可得.
【詳解】
先將3人分成兩組，共種，再在7個(gè)大項(xiàng)種選擇2個(gè)項(xiàng)目安排這兩組，共種，所以有且只有兩人被分到同一大項(xiàng)的情況共有種.
故選：D．
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）菊花是開(kāi)封市花，1983年開(kāi)封市人大把菊花命名為開(kāi)封市“市花”，并且舉辦“菊花花會(huì)”，每年10月18日至11月18日為“菊花花會(huì)”的會(huì)期.如圖是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分步完成布置這個(gè)事件，第一步布置，第二步布置，第三步布置，第四步布置，此時(shí)需分類，到相同和不相同分類，第五步布置，由計(jì)數(shù)計(jì)算可得．
【詳解】
先布置中心區(qū)域共有種方法，從開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行布置四周的區(qū)域，則有種布置方法，有種布置方法.
如果與選用同一種菊花，則有種布置方法；如果與選用不同種類菊花，則有種布置方法，有種布置方法.按照分步乘法與分類加法計(jì)數(shù)原理，
則全部的布置方法有（種），
故選：.
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用乘法原理可求解.
【詳解】
分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設(shè)，四棱錐S - ABCD的頂點(diǎn)S, A, B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；
當(dāng)染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1, 2, 3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當(dāng)S, A, B染好時(shí)，C, D還有7種染法.
故不同的染色方法有種.
故選：C
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué) 數(shù)學(xué)著作，公元3世紀(jì)初中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”(如圖)，用以證明其中記載的勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給如圖中5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同涂色的方法種數(shù)為（ ）
A．36 B．48 C．72 D．96
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，分2步依次分析區(qū)域和區(qū)域的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①對(duì)于區(qū)域，三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法，
②對(duì)于區(qū)域，若區(qū)域與顏色相同，區(qū)域有2種選法，
若區(qū)域與顏色不同，則區(qū)域有1種選法，區(qū)域也只有1種選法，
則區(qū)域有種涂色的方法，
則有種涂色的方法，
故選：C.
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)字“”中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長(zhǎng)久四位數(shù)”，則用數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”有（ ）個(gè)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
確定數(shù)字和為9的四個(gè)數(shù)組有：、、共三組，分別排列成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)可得結(jié)論．
【詳解】
卡片上的四位數(shù)字之和等于，四個(gè)數(shù)字為組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”共有：，組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”共有個(gè)；組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”共有個(gè)，故共（個(gè)）.
故選：C．
17．（2022·廣東韶關(guān)·一模）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A C D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】A
【解析】
【分析】
利用間接法和縮倍法求解.
【詳解】
不考慮限制條件共有種，最先匯報(bào)共有種，
如果不能最先匯報(bào)，而 C D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰）有.
故選：A.
18．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）某市有、、、、五所學(xué)校參加中學(xué)生體質(zhì)抽測(cè)挑戰(zhàn)賽，決出第一名到第五名的名次．校領(lǐng)導(dǎo)和校領(lǐng)導(dǎo)去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)：“很遺憾，你和校都沒(méi)有得到第一名”，對(duì)校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“你也不是最后一名”．從這兩個(gè)回答分析，這五個(gè)學(xué)校的名次排列的不同情況共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可知，校為第二至第四某個(gè)名次，校在第二至第五名次中剩余三個(gè)名次種選一個(gè)名次，其余三個(gè)名次任意排列，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】
由題意可知，校為第二至第四某個(gè)名次，
校在第二至第五名次中剩余三個(gè)名次種選一個(gè)名次，其余三個(gè)名次任意排列，
故這五個(gè)學(xué)校的名次排列的不同情況共有種.
故選：C.
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了提高教學(xué)質(zhì)量，省教育局派五位教研員去地重點(diǎn)高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研.現(xiàn)知地有三所重點(diǎn)高中，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．不同的調(diào)研安排有243種
B．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排有150種
C．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排有300種
D．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則甲、乙兩位教研員不去同一所高中，則不同的調(diào)研安排有114種
【答案】C
【解析】
【分析】
用分步計(jì)數(shù)原理可判斷A；用部分平均分組可判斷B、C；先用部分平均分組以及排列可判斷D.
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，每位教研員有三所學(xué)校可以選擇，故不同的調(diào)研安排有種，故A正確；
對(duì)于B，C選項(xiàng)，若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則可先將五位教研員分組，
再分配，五位教研員的分組形式有兩種：3，1，1；2，2，1，分別有，種分組方法，
則不同的調(diào)研安排有種，故B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，將甲、乙兩位教研員看成一人，則每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，
且甲、乙兩位教研員去同一所高中的排法有種，
則甲、乙兩位教研員不去同一所高中的排法有種，D正確.
故選：C.
20．（2022·重慶·高三開(kāi)學(xué)考試）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排列數(shù)計(jì)算公式計(jì)算出正確答案.
【詳解】
依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為.
故選：C
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)頂點(diǎn)有種，去掉四點(diǎn)共面的情況即可求解.
【詳解】
從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)頂點(diǎn)有種，
正方體表面四點(diǎn)共面不能構(gòu)成四面體有種，
正方體的六個(gè)對(duì)角面四點(diǎn)共面不能構(gòu)成四面體有種，
所以可得到的四面體的個(gè)數(shù)為種，
故選：A
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要采用間接法，如果直接討論，需要討論的情況比較多，所以正難則反，這是解題的關(guān)鍵.
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的正整數(shù)解共有（ ）組
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A
【解析】
【分析】
本題可以將“方程的正整數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“在12個(gè)球中插入隔板”，然后通過(guò)排列組合即可求出結(jié)果.
【詳解】
如圖，將12個(gè)完全相同的球排成一列，
在它們之間形成的11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數(shù)目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，
反之，方程的每一組解都對(duì)應(yīng)著一種在12個(gè)球中插入隔板的方式，
故方程的正整數(shù)解的數(shù)目為：，
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查通過(guò)排列組合解決方程的解的數(shù)目，能否將“方程的正整數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“在12個(gè)球中插入隔板”是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題.
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種顏色填涂如圖所示的六個(gè)方格，要求有公共邊的兩個(gè)方格不同色，則不同的填涂方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】
【分析】
將涂色方法分為兩類，即用三種顏色涂和用兩種顏色涂，分別計(jì)算出兩種情況下涂色方案的種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.
【詳解】
將六個(gè)方格標(biāo)注為，如下圖所示，
①若用三種顏色涂，則同色或同色或同色，
當(dāng)同色時(shí)，六個(gè)方格的涂色方法有種；
當(dāng)同色時(shí)，六個(gè)方格的涂色方法有種；
當(dāng)同色時(shí)，六個(gè)方格的涂色方法有種；
②若用兩種顏色涂，則同色，此時(shí)六個(gè)方格的涂色方法有種；
綜上所述：不同的填涂方法有種.
故選：D.
24．（2022·廣東潮州·高三期末）當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢(shì)依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個(gè)地區(qū)開(kāi)展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個(gè)地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．30種 B．36種 C．42種 D．64種
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可得，分兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人和兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人兩種情況，對(duì)兩種情況的種數(shù)求和，即可求解．
【詳解】
解：①當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分2人，另一個(gè)地區(qū)分1人時(shí)，總數(shù)有種；
②當(dāng)兩個(gè)地區(qū)各分1人，另一個(gè)地區(qū)分3人時(shí)，總數(shù)有種．
故滿足條件的分法共有種．
故選：A
二、多選題
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球.則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．編號(hào)為1號(hào)的小球放入編號(hào)為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是360
B．編號(hào)為奇數(shù)的小球均放入編號(hào)為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是36
C．恰有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同的放法數(shù)是40
D．恰有三個(gè)小球的編號(hào)比放入的盒子的編號(hào)大1的放法數(shù)是30
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
對(duì)A，先考慮1號(hào)球，進(jìn)而對(duì)剩下的小球進(jìn)行全排列；
對(duì)B，先將編號(hào)為奇數(shù)的小球放入編號(hào)為偶數(shù)的盒子，進(jìn)而對(duì)剩下的小球進(jìn)行全排列；
對(duì)C，先選出3個(gè)小球放入對(duì)應(yīng)編號(hào)的盒子，進(jìn)而用枚舉法放剩下的小球；
對(duì)D，根據(jù)題意，在1~5的五個(gè)盒子中任選3個(gè)盒子，進(jìn)而用枚舉法放入小球.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，先放編號(hào)為1號(hào)的小球，有3種方法，再放另外5個(gè)小球，有種方法，所以共有種方法，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，先放編號(hào)為奇數(shù)的小球，有種方法，再放另外3個(gè)小球，有種方法，所以共有種方法，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，先在六個(gè)盒子中任選3個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有種放法，用枚舉法放剩下的3個(gè)小球，共有2種放法，所以不同的放法總數(shù)是20×2＝40種，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，先在編號(hào)為1~5的五個(gè)盒子中任選3個(gè)，有種，不妨設(shè)選了編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子，分別放入標(biāo)號(hào)為2，3，4的3個(gè)小球，則編號(hào)為4，5，6的盒子放入的小球編號(hào)依次可以是1，5，6、6，1，5和6，5，1，共3種，所以不同的放法總數(shù)是10×3＝30種，選項(xiàng)D正確.
故選：ABCD.
三、填空題
26．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））如果把個(gè)位數(shù)是，且恰有個(gè)數(shù)字相同其余數(shù)字均不相同的五位數(shù)叫做“優(yōu)數(shù)”，那在由，，，，五個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，“優(yōu)數(shù)”共有______個(gè).
【答案】
【解析】
【分析】
從3個(gè)位置數(shù)字相同入手，先安排上三個(gè)位置放上相同數(shù)字，再安排其它兩個(gè)位置的數(shù)字．
【詳解】
個(gè)位數(shù)字為0，若十位，百位，千位，萬(wàn)位有三個(gè)位置數(shù)字是1，則有種安排，
剩余那個(gè)位置從2，3，4中選一個(gè)，則有3種，
所以3個(gè)數(shù)字是1有種，
3個(gè)數(shù)字都是2，3，4一樣有種，
所以3個(gè)數(shù)字相同從1，2，3，4種選有種；
若3個(gè)相同數(shù)字為0，由于個(gè)位已經(jīng)為0，而萬(wàn)位不能為0，所以從十位，百位，千位3個(gè)中選2個(gè)位置放0，剩余兩個(gè)位置從1，2，3，4中選出兩個(gè)進(jìn)行安排，
所以有所以“優(yōu)數(shù)”有．
故答案為：84．
27．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）3個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師共6個(gè)人站成一排照相，有且僅有兩個(gè)老師相鄰，則不同站法的種數(shù)是_______（結(jié)果用數(shù)字表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①將3個(gè)老師分成2組，并考慮2人的一組的2人之間的順序;②將剩余的3個(gè)學(xué)生全排列，形成有4個(gè)空位；③在4個(gè)空位中任選2個(gè)安排3個(gè)老師分成的兩個(gè)組，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
①將3個(gè)老師分成2組，有種分組方法，將2人的一組看成一個(gè)元素，考慮2人之間的順序，有種情況；
②將剩余的3個(gè)學(xué)生全排列，有種排法，排好后，有4個(gè)空位；
③在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排3個(gè)老師分成的兩個(gè)組，有種方法，
則6人站成一排照相，3個(gè)老師中有且只有兩個(gè)老師相鄰的站法有種.
故答案為：.
28．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）“迎冬奧，跨新年，向未來(lái)”，水球中學(xué)將開(kāi)展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場(chǎng)選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，則共有___種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）
【答案】264
【解析】
【分析】
分類討論：雪上芭蕾展示一次和兩次；每一類又分兩步討論：第一步先排給項(xiàng)目排序，第二步再給項(xiàng)目安排上展示者.
【詳解】
設(shè)空中技巧、雪上技巧、雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目依次為A、B、C，
①雪上芭蕾只展示一次時(shí)，按展示先后順序有下列12情況：
BABC，ABAC，CBAB，CABA，ABCA，ABCB，BACB，BACA，ACBA，ACAB，BCBA，BCAB.
再給項(xiàng)目排上表演者：
從兩名女生中選1人去展示雪上芭蕾C有2種排法，剩下的三人去展示剩下的項(xiàng)目有3！＝6種排法，∴共2×6＝12種排法.
∴此時(shí)共12×12＝144種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.
②雪上芭蕾展示兩次時(shí)，按展示先后順序有下列6情況：
CABC，CBAC，BCAC，ACBC，CBCA，CACB.
再給項(xiàng)目排上表演者：
四個(gè)選手隨意選一個(gè)項(xiàng)目展示共4！＝24種排法，但需排除雪上芭蕾均為男生展示的情況共2！×2！＝4種，∴此時(shí)給項(xiàng)目排上選手共24－4＝20種排法.
∴此時(shí)共6×20＝120種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.
綜上所述，共有144＋120＝264種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.
故答案為：264.
29．（2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）將標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)球放入A，B，C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子放兩個(gè)球，其中1號(hào)球不放A盒子中，2號(hào)和3號(hào)球都不放B盒子中，則共有__________種不同的放法（用數(shù)字作答）.
【答案】27
【解析】
【分析】
按照1號(hào)球是否放在B盒子分類，結(jié)合.
【詳解】
若1號(hào)球放在B盒子中，共有種放法；
若1號(hào)球放在C盒子中，共有種放法；
所以共有放法總數(shù)為.
故答案為：27.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)（含O點(diǎn)）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以得到___________個(gè)三角形.
【答案】90
【解析】
【分析】
從10個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)有種情況，然后減去三點(diǎn)共線的情況即可得答案
【詳解】
先不考慮共線點(diǎn)的問(wèn)題，從10個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)有種情況.
其中從邊OM上的6個(gè)點(diǎn)（含O點(diǎn)）中任取3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，不能得到三角形，有種情況；
從邊ON上的5個(gè)點(diǎn)（含O點(diǎn)）中任取3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，也不能得到三角形，有種情況.
所以共可以得到個(gè)三角形.
故答案為：90第32講 排列組合問(wèn)題
方法總結(jié)：
一、處理排列組合問(wèn)題的常用思路：
1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無(wú)要求的元素。
2、尋找對(duì)立事件
3、先取再排（先分組再排列）
二、排列組合的常見(jiàn)模型
1、捆綁法
2、插空法
3、錯(cuò)位排列
4、依次插空
5、不同元素分組
6、相同元素分組：隔板法
7、涂色問(wèn)題：
典型例題：
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某城市街區(qū)如下圖所示,其中實(shí)線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑的走法有___種．
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的非負(fù)整數(shù)解共有___________組．
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，用五種不同的顏色涂在圖中不同的區(qū)域內(nèi)，要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，且相鄰(有公共邊)區(qū)域涂的顏色不同，則不同的涂色方案一共有___________種.用數(shù)字作答
例4．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）將4個(gè)相同的白球、5個(gè)相同的黑球放入4個(gè)不同盒子中的3個(gè)中，使得有1個(gè)空盒且其他3個(gè)盒子中球的顏色齊全的不同放法共有____種．用數(shù)字作答
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有_________種不同分配方案.
例6．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）將3個(gè)不同顏色的小球放入排成一排的6個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子最多可以放一個(gè)小球，則3個(gè)空盒中恰有2個(gè)空盒相鄰的放法共有_________種.（用數(shù)字作答）
例7．（2022·浙江上虞·高三期末）某區(qū)突發(fā)新冠疫情，為抗擊疫情，某醫(yī)院急從甲、乙、丙等9名醫(yī)務(wù)工作者中選6人參加周一到周六的某社區(qū)核酸檢測(cè)任務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天．現(xiàn)要求甲、乙、丙至少選兩人參加．考慮到實(shí)際情況，當(dāng)甲、乙、丙三人都參加時(shí)，丙一定得排在甲乙之間，那么不同的安排數(shù)為_(kāi)_________．（請(qǐng)算出實(shí)際數(shù)值）
例8．（2022·河北保定·高三期末）某體育賽事組織者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，體育館共有三個(gè)入口，每個(gè)入口需要分配不少于2個(gè)且不多于3個(gè)志愿者，每名志愿者都要被分配，則3名女志愿者被分在同一個(gè)入口的概率為_(kāi)__________，每個(gè)入口都有女志愿者的分配方案共有___________種.
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．
例10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在即將來(lái)臨的五一長(zhǎng)假期間，某單位本來(lái)安排、、、、共5個(gè)人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日時(shí)接到通知、員工必需出差，故調(diào)整為每天1人，每人至少值班1天，現(xiàn)在只有、、共3個(gè)人在五一長(zhǎng)假期間共有______種不同的值班方案（用數(shù)字作答）．
例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南昌花博會(huì)期間，安排6位志愿者到4個(gè)展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人，剩下兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________種．
過(guò)關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，私家車成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過(guò)程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車位．現(xiàn)有3位私家車車主要使用這一備用車位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車隨機(jī)停車，任意兩輛車都不相鄰，則共有不同停車種數(shù)為（ ）
A．144 B．24 C．72 D．60
2．（2022·山東臨沂·一模）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.某教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為（ ）
A．720 B．1440 C．2280 D．4080
3．（2022·河南南陽(yáng)·高三期末（理））2021年8月17日，國(guó)家發(fā)改委印發(fā)的《2021年上半年各地區(qū)能耗雙控目標(biāo)完成情況晴雨表》顯示，青海 寧夏 廣西 廣東 福建 新疆 云南 陜西 江蘇 浙江 安徽 四川等12個(gè)地區(qū)能耗強(qiáng)度同比不降反升，全國(guó)節(jié)能形勢(shì)十分嚴(yán)峻.某地市為響應(yīng)節(jié)能降耗措施，決定對(duì)非繁華路段路燈在晚高峰期間實(shí)行部分關(guān)閉措施.如圖，某路段有十盞路燈（路兩邊各有五盞），現(xiàn)欲在晚高峰期關(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對(duì)的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，則不同的關(guān)閉方案有（ ）
A．15種 B．16種 C．17種 D．18種
4．（2022·安徽·淮南第一中學(xué)一模（理））為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方，則不同的分派方法有（ ）
A．18種 B．36種 C．68種 D．84種
5．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））把枚相同的硬幣分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)至少分到枚，且他們拿到的硬幣數(shù)量互不相同，則甲同學(xué)恰好拿到兩枚硬幣的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·廣東高州·二模）某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)共5個(gè)方向展開(kāi)研究，每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，每位研究生只參與一個(gè)方向的學(xué)習(xí)．其中小明同學(xué)因錄取分?jǐn)?shù)最高主動(dòng)選擇學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480種 B．360種 C．240種 D．120種
7．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為a，b，c，d，則使得a×b×c＋d為奇數(shù)的不同排列方法有（ ）
A．1224 B．1800 C．1560 D．840
8．（2022·黑龍江·哈師大附中高三期末（理））中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列. 中國(guó)的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國(guó).它通過(guò)訪問(wèn)月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施 個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（ ）
A． 種 B． 種 C． 種 D． 種
9．（2022·河南濮陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））某班開(kāi)展“學(xué)黨史，感黨恩”演講活動(dòng)，安排四個(gè)演講小組在班會(huì)上按次序演講，則A組不是第一個(gè)演講的方法數(shù)為（ ）
A．13 B．14 C．15 D．18
10．（2022·云南昭通·高三期末（理））某傳統(tǒng)體育學(xué)校計(jì)劃舉行夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)，本次運(yùn)動(dòng)會(huì)徑賽項(xiàng)目有：50米、100米、、3000米共8個(gè)項(xiàng)目．為確保徑賽項(xiàng)目順利舉辦，需要招募一批志愿者，甲、乙兩名同學(xué)申請(qǐng)報(bào)名時(shí)，計(jì)劃在8個(gè)項(xiàng)目的服務(wù)崗位中各隨機(jī)選取3項(xiàng)，則兩人恰好選中相同2項(xiàng)的不同報(bào)名情況有（ ）
A．420種 B．441種 C．735種 D．840種
11．（2022·福建三明·高三期末）北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，4名大學(xué)生將參加冬奧會(huì)志愿者服務(wù)，他們被隨機(jī)安排到3個(gè)場(chǎng)館工作，每人只能去一個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少一人，則不同的安排方案有（ ）
A．16種 B．36種 C．48種 D．60種
12．（2022·江西九江·一模（理））第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（北京冬奧會(huì)）計(jì)劃于2022年2月4日開(kāi)幕，共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)．現(xiàn)將甲、乙、丙3名志愿者分配到7個(gè)大項(xiàng)中參加志愿活動(dòng)，每名志愿者只能參加1個(gè)大項(xiàng)的志愿活動(dòng)，則有且只有兩人被分到同一大項(xiàng)的情況有（ ）．
A．42種 B．63種 C．96種 D．126種
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）菊花是開(kāi)封市花，1983年開(kāi)封市人大把菊花命名為開(kāi)封市“市花”，并且舉辦“菊花花會(huì)”，每年10月18日至11月18日為“菊花花會(huì)”的會(huì)期.如圖是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué) 數(shù)學(xué)著作，公元3世紀(jì)初中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”(如圖)，用以證明其中記載的勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給如圖中5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同涂色的方法種數(shù)為（ ）
A．36 B．48 C．72 D．96
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)字“”中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長(zhǎng)久四位數(shù)”，則用數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”有（ ）個(gè)
A． B．
C． D．
17．（2022·廣東韶關(guān)·一模）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A C D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
18．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）某市有、、、、五所學(xué)校參加中學(xué)生體質(zhì)抽測(cè)挑戰(zhàn)賽，決出第一名到第五名的名次．校領(lǐng)導(dǎo)和校領(lǐng)導(dǎo)去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)：“很遺憾，你和校都沒(méi)有得到第一名”，對(duì)校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“你也不是最后一名”．從這兩個(gè)回答分析，這五個(gè)學(xué)校的名次排列的不同情況共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了提高教學(xué)質(zhì)量，省教育局派五位教研員去地重點(diǎn)高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研.現(xiàn)知地有三所重點(diǎn)高中，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．不同的調(diào)研安排有243種
B．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排有150種
C．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排有300種
D．若每所重點(diǎn)高中至少去一位教研員，則甲、乙兩位教研員不去同一所高中，則不同的調(diào)研安排有114種
20．（2022·重慶·高三開(kāi)學(xué)考試）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的正整數(shù)解共有（ ）組
A．165 B．120 C．38 D．35
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種顏色填涂如圖所示的六個(gè)方格，要求有公共邊的兩個(gè)方格不同色，則不同的填涂方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
24．（2022·廣東潮州·高三期末）當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢(shì)依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個(gè)地區(qū)開(kāi)展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個(gè)地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．30種 B．36種 C．42種 D．64種
二、多選題
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球.則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．編號(hào)為1號(hào)的小球放入編號(hào)為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是360
B．編號(hào)為奇數(shù)的小球均放入編號(hào)為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是36
C．恰有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同的放法數(shù)是40
D．恰有三個(gè)小球的編號(hào)比放入的盒子的編號(hào)大1的放法數(shù)是30
三、填空題
26．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））如果把個(gè)位數(shù)是，且恰有個(gè)數(shù)字相同其余數(shù)字均不相同的五位數(shù)叫做“優(yōu)數(shù)”，那在由，，，，五個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，“優(yōu)數(shù)”共有______個(gè).
27．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）3個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師共6個(gè)人站成一排照相，有且僅有兩個(gè)老師相鄰，則不同站法的種數(shù)是_______（結(jié)果用數(shù)字表示）．
28．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）“迎冬奧，跨新年，向未來(lái)”，水球中學(xué)將開(kāi)展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場(chǎng)選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，則共有___種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）
29．（2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）將標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)球放入A，B，C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子放兩個(gè)球，其中1號(hào)球不放A盒子中，2號(hào)和3號(hào)球都不放B盒子中，則共有__________種不同的放法（用數(shù)字作答）.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)（含O點(diǎn)）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以得到___________個(gè)三角形.第33講 統(tǒng)計(jì)
方法總結(jié)：
一、線性回歸
線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)的方法。
對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回歸方程的求法為
其中，，，(,)稱為樣本點(diǎn)的中心。
步驟：畫散點(diǎn)圖，如散點(diǎn)圖中的點(diǎn)基本分布在一條直線附近，則這條直線叫這兩個(gè)變量的回歸直線，直線斜率k>0，稱兩個(gè)變量正相關(guān)；k<0，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)。
二、獨(dú)立性
獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量是否存在相關(guān)關(guān)系的案例分析方法。
步驟為列出22列聯(lián)表(如表13-8所示)，求出，并判斷：
A1 A2 合計(jì)
B1 a c a+c
B2 b d b+d
合計(jì) a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有99.9%把握稱“A取A1或A2”對(duì)“B取B1，B2”有關(guān)系；
若10.828K2>6.635，有99%把握稱“A取A1或A2”對(duì)“B取B1，B2”有關(guān)系；
若6.635K2>3.841，有95%把握稱“A取A1或A2”對(duì)“B取B1，B2”有關(guān)系；
若K23.841，沒(méi)有把握稱A與B相關(guān)。
典型例題：
例1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，為全面推進(jìn)學(xué)校素質(zhì)教育，推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng).學(xué)校準(zhǔn)備調(diào)查高一新生每周日常運(yùn)動(dòng)情況，學(xué)校通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，收集了300名學(xué)生每周平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），并根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.
(1)求這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)與方差；
(2)在調(diào)查的300名學(xué)生中按每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間采用分層抽樣法抽取20人參加校園“我運(yùn)動(dòng)我快樂(lè)”活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)140人，分位數(shù)為，方差為6.16；
(2)分布列見(jiàn)解析，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖及分層抽樣，可求出樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)及樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)與方差；
（2）利用分層抽樣可計(jì)算出“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的有4人，“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)”的有16人，所以的可能的取值為0，1，2，利用超幾何分布可求得的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(1)
依題意，樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)為.
因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中在8小時(shí)以下的學(xué)生人數(shù)所占比例為，
則85%分位數(shù)為.
平均數(shù)為，
所以樣本數(shù)據(jù)的方差為
，
所以樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)為140，樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)為，方差為6.16.
(2)
用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的有4人，“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)”的有16人.
由題意知，的可能取值為0，1，2，
且；；，
所以的分布列為
0 1 2
所以.
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某統(tǒng)計(jì)部門依據(jù)《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒——2017》提供的數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)1997-2016年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，作出了兩張散點(diǎn)圖：圖1表示1997-2016年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），圖2表示2007-2016年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）．
(1)用表示第i張圖中的年份與GDP的線性相關(guān)系數(shù)，，依據(jù)散點(diǎn)圖的特征分別寫出的結(jié)果；
(2)分別用線性回歸模型和指數(shù)回歸模型對(duì)兩張散點(diǎn)圖進(jìn)行回歸擬合，分別計(jì)算出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)——相關(guān)指數(shù)的數(shù)值，部分結(jié)果如下表所示：
年份 1997-2016 2007-2016
線性回歸模型 0.9306
指數(shù)回歸模型 0.9899 0.978
①將上表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整（結(jié)果保留3位小數(shù)，直接寫在答題卡上）；
②若估計(jì)2017年的GDP，結(jié)合數(shù)據(jù)說(shuō)明采用哪張圖中的哪種回歸模型會(huì)更精準(zhǔn)一些？若按此回歸模型來(lái)估計(jì)，2020年的GDP能否突破100萬(wàn)億元？事實(shí)上，2020年的GDP剛好突破了100萬(wàn)億元，估計(jì)與事實(shí)是否吻合？結(jié)合散點(diǎn)圖解釋說(shuō)明.
【答案】(1)，
(2)①0.996，②不吻合，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）觀察兩圖，根據(jù)的范圍，我們只需要確定哪個(gè)圖像關(guān)聯(lián)系數(shù)更高，即選擇較大的那個(gè)相關(guān)系數(shù)；
（2）第一小問(wèn)可根據(jù)第（1）問(wèn)中確定的的值，通過(guò)來(lái)計(jì)算；第二小問(wèn)可通過(guò)計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)跟已有的數(shù)據(jù)對(duì)比，選出最適合模擬最近的年份的回歸模型，并且按照這個(gè)回歸模型來(lái)模擬，預(yù)測(cè)2020年是否能夠突破100萬(wàn)億，并且根據(jù)回歸模型的增長(zhǎng)趨勢(shì)來(lái)判斷.
(1)
由散點(diǎn)圖可知，圖2擬合效果更好、相關(guān)系數(shù)較大，所以，．
(2)
①0.996
②由圖2中的線性回歸模型得到的相關(guān)指數(shù)為0.996，是所有回歸模型的相關(guān)指數(shù)中數(shù)值最大的，而且2017年是最近的年份，因此選擇圖2中的線性回歸模型來(lái)估計(jì)2017年的GDP，是比較精準(zhǔn)的．
按照?qǐng)D2中的線性回歸模型來(lái)估計(jì)（延長(zhǎng)回歸直線可發(fā)現(xiàn)），2020年不能突破100萬(wàn)億元．
估計(jì)與事實(shí)不吻合．綜合兩張圖來(lái)考慮，我國(guó)的GDP隨年份的增長(zhǎng)整體上呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，而且2020年比2016年又多發(fā)展了4年，指數(shù)回歸趨于明顯，因此，按照線性回歸模型得到的估計(jì)值與實(shí)際數(shù)據(jù)有偏差、不吻合，屬于正常現(xiàn)象．
例3．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）5G的到來(lái)給人們的生活帶來(lái)顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在第1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬(wàn)元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如表：
時(shí)間（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百萬(wàn)元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入；
(3)從前6個(gè)月的收入中抽取3個(gè)，記月收入超過(guò)16百萬(wàn)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中設(shè)，
參考公式和數(shù)據(jù)：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，，.
【答案】(1)
(2)回歸方程為，8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入百萬(wàn)元.
(3)答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷可得答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，然后根據(jù)參考數(shù)據(jù)求出方程，進(jìn)而求得y關(guān)于x的回歸方程，再將代入方程可得答案；
（3）求出X的可能取值及概率，可得分布列和數(shù)學(xué)期望.
(1)
，散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布不是一條直線，相鄰兩點(diǎn)在y軸上差距是增大的趨勢(shì)，故用表示更合適.
(2)
由得，設(shè)，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，，
，
所以，即，
則回歸方程為，
預(yù)測(cè)該公司8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入百萬(wàn)元.
(3)
月收入超過(guò)16百萬(wàn)的個(gè)數(shù)為的可能取值為1，2，3，
則，
，
，
則的分布列為
1 2 3
所以.
例4．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）主播代言 優(yōu)惠促銷 限時(shí)“秒殺”……目前，各類直播帶貨激起人們的消費(fèi)熱情，但也存在不少問(wèn)題.日前，中國(guó)消費(fèi)者協(xié)會(huì)發(fā)布了網(wǎng)絡(luò)直播銷售侵害消費(fèi)者權(quán)益案例分析，歸納出虛假宣傳 退換貨難 誘導(dǎo)交易等七大類問(wèn)題.某相關(guān)部門為不斷凈化直播帶貨環(huán)境，保護(hù)消費(fèi)者合法權(quán)益，進(jìn)行了調(diào)查問(wèn)卷，隨機(jī)抽取了200人的樣本進(jìn)行分析，得到列聯(lián)表如下：
參加過(guò)直播帶貨 未參加過(guò)直播帶貨 總計(jì)
女性 90 30 120
男性 50 30 80
總計(jì) 140 60 200
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為是否參加直播帶貨與性別有關(guān)？
(2)將頻率視為概率，從樣本的女性中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次.記抽取的3人中“未參加過(guò)直播帶貨”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)有的把握認(rèn)為是否參加直播帶貨與性別有關(guān)
(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：
【解析】
【分析】
（1）直接根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算觀測(cè)值，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想判斷即可；
（2）由題意，可得，再根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式求解即可.
(1)
解：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得觀測(cè)值，
所以有的把握認(rèn)為是否參加直播帶貨與性別有關(guān).
(2)
解：由題意，女生未參加過(guò)直播帶貨的頻率為，
所以頻率視為概率，每個(gè)女生未參加過(guò)直播帶貨的概率為，
因?yàn)槊看纬槿〉慕Y(jié)果是相互獨(dú)立的，所以，
所以，，
所以，，，.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機(jī)變量的均值.
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為．
(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；
回歸模型 模型① 模型②
回歸方程
79.13 20.2
(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小．
附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好，
【答案】(1)模型②擬合精度更高、更可靠，億
(2)投入17億元比投入20億元時(shí)收益小
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)，再根據(jù)大小選擇合適的模型，根據(jù)所得模型可求直接受益.
（2）根據(jù)（1）中的公式結(jié)合利潤(rùn)計(jì)算方法可求公司收益，從而可得兩者的大小關(guān)系.
(1)
對(duì)于模型①，
對(duì)應(yīng)的，
故對(duì)應(yīng)的，
故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，
對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，
故模型②擬合精度更高、更可靠.
故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為.
(2)
當(dāng)時(shí)，
后五組的，，
由最小二乘法可得，
故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小為：
，
故投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.
例6．（2022·陜西·高新一中高三階段練習(xí)（文））2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝 劉伯明 湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，
模型②：；
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
x 2 3 4 6 8 10 13
y 15 22 27 40 48 54 60
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小；
(2)據(jù)（2）選擇擬合精度更高 更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.
附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好..
回歸模型 模型① 模型②
79.31 20.2
【答案】(1)
(2)收益為
【解析】
【分析】
（1）對(duì)于模型①模型②，計(jì)算出， ，對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，可得答案；
（2）故模型②擬合精度更高 更可靠，可計(jì)算出對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.
(1)
對(duì)于模型①，
對(duì)應(yīng)的，
故對(duì)應(yīng)的，
故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，
同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，.
(2)
故模型②擬合精度更高 更可靠.
故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為.
過(guò)關(guān)練習(xí)：
1．（2022·四川瀘州·二模（理））某縣種植的脆紅李在2021年獲得大豐收，依據(jù)扶貧政策，所有脆紅李由經(jīng)銷商統(tǒng)一收購(gòu).為了更好的實(shí)現(xiàn)效益，質(zhì)監(jiān)部門從今年收獲的脆紅李中隨機(jī)選取100千克，進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.下表是脆紅李的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，其中一級(jí)品 二級(jí)品統(tǒng)稱為優(yōu)質(zhì)品.
等級(jí) 四級(jí)品 三級(jí)品 二級(jí)品 一級(jí)品
脆紅李橫徑/mm
經(jīng)銷商與某農(nóng)戶簽訂了脆紅李收購(gòu)協(xié)議，規(guī)定如下：從一箱脆紅李中任取4個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，若4個(gè)均為優(yōu)質(zhì)品，則該箱脆紅李定為A類；若4個(gè)中僅有3個(gè)優(yōu)質(zhì)品，則再?gòu)脑撓渲腥我馊〕?個(gè)，若這一個(gè)為優(yōu)質(zhì)品，則該箱脆紅李也定為A類；若4個(gè)中至多有一個(gè)優(yōu)質(zhì)品，則該箱脆紅李定為C類；其他情況均定為B類.已知每箱脆紅李重量為10千克，A類 B類 C類的脆紅李價(jià)格分別為每千克10元 8元 6元.現(xiàn)有兩種裝箱方案：方案一：將脆紅李采用隨機(jī)混裝的方式裝箱；方案二：將脆紅李按一 二 三 四等級(jí)分別裝箱，每箱的分揀成本為1元.以頻率代替概率解決下面的問(wèn)題.
(1)如果該農(nóng)戶采用方案一裝箱，求一箱脆紅李被定為A類的概率；
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)判斷，該農(nóng)戶采用哪種方案裝箱收入更多，并說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)采用方案二時(shí)收入更多，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由頻率分布直方圖可得任取一只脆紅李，其為優(yōu)質(zhì)品的概率，利用二項(xiàng)分布可求概率.
（2）利用獨(dú)立事件和二項(xiàng)分布可求該農(nóng)戶采用方案一時(shí)每箱收入為的分布列和期望，再算出該農(nóng)戶采用方案二時(shí)每箱的平均收入后可得最優(yōu)方案.
(1)
由頻率分布直方圖可得任取一只脆紅李，其為優(yōu)質(zhì)品的概率為，
設(shè)事件為“該農(nóng)戶采用方案一裝箱，一箱脆紅李被定為A類”，
則.
(2)
設(shè)該農(nóng)戶采用方案一時(shí)每箱收入為，則可取，
而，，
，
故（元）
該農(nóng)戶采用方案二時(shí)，每箱的平均收入為，
因?yàn)椋什捎梅桨付r(shí)收入更多.
2．（2022·山西·臨縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））某商業(yè)銀行對(duì)存款利率與日存款總量的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到下表：
利率上升百分點(diǎn) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款總額y（億元） 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)（2）的線性回歸方程，預(yù)測(cè)日存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時(shí)，利率需上升多少個(gè)百分點(diǎn)？
參考公式及數(shù)據(jù)：①，，②，．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)
(3)利率需上升0.8個(gè)百分
【解析】
【分析】
（1）進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，作出散點(diǎn)圖；
（2）由表格數(shù)據(jù)可得，，套公式求出和，即可求出回歸方程；
（3）根據(jù)回歸方程列方程，即可求解.
(1)
如圖所示；
(2)
由表格數(shù)據(jù)可得，，
所以，
，
故．
(3)
利率需上升x個(gè)百分點(diǎn)，由（2）得：
，
解得，
所以利率需上升0.8個(gè)百分．
3．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)生產(chǎn)流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級(jí)品可賣1700元，每件二級(jí)品可賣1000元，三級(jí)品禁止出廠且銷毀.某日檢測(cè)抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示.
(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出2件，求至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率；
(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件中任意抽取3件，設(shè)取到二級(jí)品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)已知該生產(chǎn)線原先的年產(chǎn)量為80萬(wàn)件，為提高企業(yè)利潤(rùn)，計(jì)劃明年對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)，預(yù)計(jì)升級(jí)需一次性投入2000萬(wàn)元，升級(jí)后該生產(chǎn)線年產(chǎn)量降為70萬(wàn)件，但產(chǎn)品質(zhì)量顯著提升，不會(huì)再有三級(jí)品，且一級(jí)品與二級(jí)品的產(chǎn)量比會(huì)提高到，若以該生產(chǎn)線今年利潤(rùn)與明年預(yù)計(jì)利潤(rùn)為決策依據(jù)，請(qǐng)判斷該次升級(jí)是否合理.
【答案】(1)；
(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望是；
(3)升級(jí)方案合理.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件求出抽一件是一級(jí)品的概率，再利用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.
(2)求出10件產(chǎn)品中二級(jí)品的數(shù)目，再求出的可能值及各個(gè)取值的概率，列出分布列，計(jì)算期望.
(3)由給定數(shù)據(jù)求出今年的利潤(rùn)，明年預(yù)計(jì)的利潤(rùn)，再比較大小作答.
(1)
抽取的100件產(chǎn)品是一級(jí)品的頻率是，則從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取1件，是一級(jí)品的概率是，
設(shè)從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)選2件，至少有一件是一級(jí)品的事件為，則，
所以至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率是.
(2)
依題意，10件產(chǎn)品中一級(jí)品7件，二級(jí)品2件，三級(jí)品1件，的可能值是，
，，，
所以的分布列為：
0 1 2
.
(3)
今年利潤(rùn)為：(萬(wàn)元)，
明年預(yù)計(jì)利潤(rùn)為：(萬(wàn)元)，顯然有，
所以該次升級(jí)方案合理.
4．（2022·湖北武漢·高三階段練習(xí)）迎接冬季奧運(yùn)會(huì)期間，某市對(duì)全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季奧運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.統(tǒng)計(jì)人員從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)這200名學(xué)生的平均成績(jī)；
(2)用樣本頻率估計(jì)總體，從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，記，比較與的大小關(guān)系.
【答案】(1)69.5
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)即可；
（2）由題知，，進(jìn)而可能的取值為，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布與獨(dú)立事件的乘法原理求解即可.
(1)
解：平均成績(jī)?yōu)椋?
(2)
解：成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的概率為，故.
成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的概率為，故，
，
由題意，可能的取值為，
.
故有.
5．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，農(nóng)民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一農(nóng)商行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額）：
年份x 2017 2018 2019 2020 2021
儲(chǔ)蓄存款y（百億元） 6 7.5 8 9.5 11
為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，，得到下表：
時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5
z 0 1.5 2 3.5 5
(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；
(2)通過(guò)（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；
(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2024年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少
附：對(duì)于線性回歸方程，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)14.4百億元
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可得回歸方程；
（2）結(jié)合（1），根據(jù)已知關(guān)系代入整理即可得答案；
（3）將代入（2）中方程即可得答案.
(1)
解：依題意，，
，
所以；
(2)
解：由（1）可知：，
因?yàn)椋?br/>整理得
(3)
解：當(dāng)，有，
因此，預(yù)測(cè)到2024年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到14.4百億元．
6．（2022·山東臨沂·一模）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長(zhǎng)的營(yíng)銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對(duì)45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：
銷售額不少于30萬(wàn)元 銷售額不足30萬(wàn)元 合計(jì)
線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí) 17 20
線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)
合計(jì) 45
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)；
(2)①按銷售額進(jìn)行分層抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，求銷售額不少于30萬(wàn)元和銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)數(shù)；
②在①條件下，抽取銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)時(shí)，設(shè)抽到每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)數(shù)是X，求X的分布列及期望值.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
參考公式：，其中.
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，能認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)；
(2)①應(yīng)從銷售額不少于30萬(wàn)元的企業(yè)抽取3家；從銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)抽取2家；②解答見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）由題意分析數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)著參數(shù)判斷下結(jié)論；
（2）①利用分層抽樣即可求解；②判斷出X的可能取值為0，1，2.，分別求概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
(1)
由題意分析可得：簽約企業(yè)共45家，線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，那么線上銷售時(shí)間少于8小時(shí)的企業(yè)有25家，每天的銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)占，共有.
完成列聯(lián)表如下：
銷售額不少于30萬(wàn)元 銷售額不足30萬(wàn)元 合計(jì)
線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí) 17 3 20
線上銷售時(shí)間不足8小時(shí) 10 15 25
合計(jì) 27 18 45
所以.
對(duì)應(yīng)的參數(shù)為6.635.而，所以可判斷贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)；
(2)
①由題意可知銷售額不少于30萬(wàn)元有27家，銷售額不足30萬(wàn)元有18家.
按銷售額進(jìn)行分層抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，抽樣比為，
所以應(yīng)從銷售額不少于30萬(wàn)元的企業(yè)抽取（家）；
從銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)抽取（家）；
②由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可知：每天的銷售額不足30萬(wàn)元，每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有3家，線上銷售時(shí)間少于8小時(shí)的企業(yè)有15家.
由①可知，從銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)抽取2家.所以X的可能取值為0，1，2.
則;;
.
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以.
所以X的期望值為.
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2021年4月份以來(lái)新冠病毒變種“德?tīng)査痹谌蛩僚埃摬《咎卣魇莻魅拘愿鼜?qiáng)、更快、發(fā)病率高，某傳染病研究所為研究新冠疫苗對(duì)新冠病毒變種“德?tīng)査钡挠行裕谀骋邊^(qū)隨機(jī)抽取100名居民，對(duì)其新冠疫苗接種情況和新冠病毒“德?tīng)査备腥厩闆r進(jìn)行調(diào)查與檢測(cè)，對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析得到列聯(lián)表如下．
沒(méi)有感染德?tīng)査《?感染德?tīng)査《?合計(jì)
未完成疫苗接種 15 63
完成疫苗接種 2
合計(jì) 50 100
(1)根據(jù)題意補(bǔ)充上述列聯(lián)表，并判定是否有99%的把握認(rèn)為完成新冠疫苗接種對(duì)應(yīng)對(duì)新冠變種“德?tīng)査庇行В?br/>(2)從樣本中沒(méi)有感染新冠德?tīng)査《緲颖局邪词欠裢瓿梢呙缃臃N分層，用分層抽樣方法抽取10個(gè)樣本，再?gòu)倪@10個(gè)樣本中隨機(jī)抽取3人，這3人沒(méi)有完成疫苗接種的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有
(2)分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算的值，根據(jù)表中的數(shù)值，進(jìn)行判斷即可；
（2）求出隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，根據(jù)概率的計(jì)算公式求出每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．
(1)
由題知，列聯(lián)表為
沒(méi)有感染德?tīng)査《?感染德?tīng)査《?合計(jì)
未完成疫苗接種 15 48 63
完成疫苗接種 35 2 37
合計(jì) 50 50 100
∴．
∵，
∴有99%的把握認(rèn)為完成新冠疫苗接種對(duì)應(yīng)對(duì)新冠變種“德?tīng)査庇行В?br/>(2)
由題知，從樣本中沒(méi)有感染新冠德?tīng)査《緲颖局邪词欠裢瓿梢呙缃臃N分層抽取的10人中，完成新冠疫苗接種的為7人，沒(méi)有完成新冠疫苗接種的為3人，
∴的可能取值為0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列為
0 1 2 3
∴．
8．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））某中學(xué)對(duì)高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試（簡(jiǎn)稱體測(cè)），隨機(jī)抽取了120名學(xué)生的體測(cè)結(jié)果等級(jí)（“良好以下”或“良好及以上”）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并制成如圖所示的列聯(lián)表．
良好以下 良好及以上 合計(jì)
男 40
女 10
合計(jì) 90 120
(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；計(jì)算并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系；
(2)事先在本次體測(cè)等級(jí)為“良好及以上”的學(xué)生中按照性別采用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取了6人．若從這6人中隨機(jī)抽取2人對(duì)其體測(cè)指標(biāo)進(jìn)行進(jìn)一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中，．
【答案】(1)有
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照獨(dú)立檢驗(yàn)的公式填入相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可；
（2）古典概率問(wèn)題可以用計(jì)數(shù)原理，也可以用枚舉的方法求出基本事件即可.
(1)
由題中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充列聯(lián)表可得：
良好以下 良好及以上 合計(jì)
男 40 20 60
女 50 10 60
合計(jì) 90 30 120
，
故有95%的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系．
(2)
所抽取的6名學(xué)生中女生2人，記為，，男生4人，記為，，，．
從這6人中選取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)．
其中至少有一名女生的基本事件有9個(gè)．所以，抽到的2人中至少有1名女生的概率；
9．（2022·重慶·高三開(kāi)學(xué)考試）數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，它由指定運(yùn)營(yíng)機(jī)構(gòu)參與運(yùn)營(yíng)并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價(jià)．?dāng)?shù)字人民幣（試點(diǎn)版）App已上架各大安卓應(yīng)用商店和蘋果AppStore．在數(shù)字人民幣APP（試點(diǎn)版）上線后，消費(fèi)者體驗(yàn)的熱情高漲．?dāng)?shù)據(jù)顯示，數(shù)字人民幣個(gè)人錢包開(kāi)立速度明顯加快．交易規(guī)模正在迅速擴(kuò)大．為了進(jìn)一步了解普通大眾對(duì)數(shù)字人民幣的感知以及接受情況，某機(jī)構(gòu)對(duì)數(shù)字人民幣的體驗(yàn)者進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查（滿分為100分），最后該公司共收回400份評(píng)分表，然后從中隨機(jī)抽取40份（男女各20份）作為樣本，繪制了如下莖葉圖：
(1)求40個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，并說(shuō)明男性與女性誰(shuí)對(duì)數(shù)字人民幣體驗(yàn)的滿意度更高；
(2)如果評(píng)分不小于的為“滿意”，評(píng)分小于的為“不滿意”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“滿意度”與“性別”有關(guān)？
是否滿意 性別 滿意 不滿意 合計(jì)
女性
男性
合計(jì)
(3)若從樣本中的男性體驗(yàn)者中，按對(duì)數(shù)字人民幣滿意度用分層抽樣的方法抽取10人，然后從這10人中抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求被選中的3人中至少有2人對(duì)數(shù)字人民幣不滿意的概率．
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)中位數(shù)，女性滿意度更高
(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為“滿意度”與“性別”有關(guān)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)莖葉圖求得中位數(shù)，并分析男性和女性的滿意度.
（2）填寫列聯(lián)表，計(jì)算的值并作出判斷.
（3）利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.
(1)
根據(jù)莖葉圖可知，中位數(shù)為.
根據(jù)莖葉圖可知，女性評(píng)分大都在分，男性評(píng)分大都在分，所以女性滿意度更高.
(2)
列聯(lián)表如下：
是否滿意 性別 滿意 不滿意 合計(jì)
女性
男性
合計(jì)
所以，
所以有95%的把握認(rèn)為“滿意度”與“性別”有關(guān).
(3)
抽取的人中，有人滿意、人不滿意，
所以從這10人中抽取3人中至少有2人對(duì)數(shù)字人民幣不滿意的概率為.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.
(1)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；
(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí)，日平均派送量為單.若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：
①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ；
②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望. 請(qǐng)利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適？并說(shuō)明你的理由.
【答案】(1)，
(2)①，②答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出所求的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①根據(jù)頻率直方圖可求得派送量指標(biāo)的平均數(shù)；
②先由頻率直方圖求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列，根據(jù)期望公式求得其數(shù)學(xué)期望，比較可得結(jié)論.
(1)
解：甲：，乙：，
故為 ，；
(2)
解：①讀圖可知,20個(gè)0.1,30個(gè)0.3,20個(gè)0.5,20個(gè)0.7,10個(gè)0.9，
故平均數(shù)；
②甲方案：X的分布列為：
X（日薪） 152 154 156 158 160
P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
，
乙方案：X的分布列為：
X（日薪） 140 140 180 220 260
P（概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
，
乙的期望更高，故選擇乙方案.
11．（2022·北京八中高三開(kāi)學(xué)考試）某地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢娜M中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)诘臑榈燃?jí)，成績(jī)?cè)诘臑榈燃?jí)，其它為等級(jí).以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)作答：當(dāng)為何值時(shí)的值最大？（直接寫出答案，不用寫出解答過(guò)程.若選擇多個(gè)條件作答，以第一個(gè)為準(zhǔn).）
①?gòu)乃袇⒓涌荚嚨耐瑢W(xué)中隨機(jī)抽取人，其中獲得等級(jí)的人數(shù)恰為3人的概率為；
②從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取10人，其中獲得等級(jí)的人數(shù)恰為人的概率為.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，；
(3)選①；選②；
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）由題意可推得，所有可能取值為0，1，2，3，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求得分布列，再結(jié)合期望公式，即可求解．
（3）若選①則，當(dāng)時(shí)直接求出概率，當(dāng)時(shí)，由，解出不等式，即可求出的值；
若選②則，再根據(jù)得到不等式組，即可求出的值；
(1)
解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得；
(2)
解：，，的三組頻率之比為，
從，，中分別抽取7人，3人，1人，
所有可能取值為0，1，2，3，則，，
，，
故的分布列為：
0 1 2 3
故．
(3)
解：依題意等級(jí)的概率為，
若選①，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)則，即，解得，因?yàn)椋裕串?dāng)時(shí)，取得最大值；
若選②，依題意，所以，所以，即，即，解得，因?yàn)椋裕?br/>12．（2022·貴州貴陽(yáng)·高三期末（文））為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部開(kāi)展了招生改革工作一一強(qiáng)基計(jì)劃．現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對(duì)某高中學(xué)校學(xué)生對(duì)強(qiáng)基課程學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行調(diào)查，在參加數(shù)學(xué)和物理的強(qiáng)基計(jì)劃課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中，某機(jī)構(gòu)為研究考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系，從一次考試中隨機(jī)抽取11名考生的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下表：
數(shù)學(xué)成績(jī) 46 79 89 99 109 116 120 123 134 140
物理成績(jī) 50 54 60 63 66 68 70 0 73 76 80
(1)由表中數(shù)據(jù)可知，有一位考生因物理缺考導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除該組數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)這10組數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)缺考考生如果參加物理考試可能取得的成績(jī)；
(2)在這次物理強(qiáng)基課程的測(cè)試中，剔除缺考考生的物理成績(jī)后，剩余這10名學(xué)生物理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．若采用分層抽樣的方法從男生和女生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中抽取3人參加學(xué)校組織的關(guān)于強(qiáng)基計(jì)劃的訪談?wù){(diào)查，求抽出的學(xué)生中恰好有一名女生的概率．
附：參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：
參考數(shù)據(jù)：（剔除零分前）
1120 660 68586 122726
上表中的表示樣本中第名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，表示樣本中第名考生的物理成績(jī)．
【答案】(1)；；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出剔除異常數(shù)據(jù)后的及，利用最小二乘法計(jì)算并求出回歸直線方程，并估計(jì)物理成績(jī).
(2)利用分層抽樣求出被抽6人中男女生人數(shù)，再用列舉法求解概率作答.
(1)
令出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)的考生為第11名，
剔除異常數(shù)據(jù)后的數(shù)學(xué)平均分為，
剔除異常數(shù)據(jù)后的物理平均分為，
又因?yàn)椋?br/>設(shè)根據(jù)剔除后數(shù)據(jù)建立的關(guān)于的回歸直線方程為，
則有，
因此所求回歸直線方程為，又物理缺考考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?20，
所以估計(jì)其可能取得的物理成績(jī)?yōu)椋?br/>(2)
由莖葉圖可知，男生有6人，女生有4人，采用分層抽樣的方法抽取5人，
則男生應(yīng)抽取3人，記這3名男生為；女生應(yīng)抽取2人，記這2名女生為，
從這5人中隨機(jī)抽取3人一共有10種，它們?yōu)椋?br/>，，
其中抽出的學(xué)生中恰好有一名女生包括6種情況，
所以所求事件的概率為．
13．（2022·江西九江·一模（文））溫度傳感器（集成溫度傳感器）是一種采用大規(guī)模數(shù)字集成電路技術(shù)的溫度傳感器，集成了溫度傳感電路和信號(hào)處理電路，可檢測(cè)芯片溫度和環(huán)境溫度，具有低成本、低功耗、高精度和線性度強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于環(huán)境、醫(yī)療、制造業(yè)、化工、能源、氣象、倉(cāng)儲(chǔ)、冷藏、冰柜、恒溫恒濕生產(chǎn)車間、辦工場(chǎng)所等領(lǐng)域.下表是通過(guò)對(duì)某型號(hào)高精度溫度傳感器的芯片溫度與輸出電壓進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)得出的相關(guān)數(shù)據(jù)：
芯片溫度
輸出電壓測(cè)量值
(1)已知輸出電壓與芯片溫度之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出其線性回歸方程；（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
(2)已知輸出電壓實(shí)際觀察值為，估計(jì)值（擬合值）為，以上述數(shù)據(jù)和（1）中的線性回歸方程為依據(jù)，.若滿足，則可判斷該高精度溫度傳感器IC工作正常；若不滿足，則可判斷工作不正常.現(xiàn)某該型號(hào)溫度傳感器在芯片溫度為時(shí)，其輸出電壓為，判斷該溫度傳感器工作是否正常.
參考數(shù)據(jù)：，.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
【答案】(1)；
(2)工作不正常，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用最小二乘法公式結(jié)合參考數(shù)據(jù)求出、的值，可得出回歸直線方程；
（2）計(jì)算出的值，以及當(dāng)溫度為時(shí)，輸出電壓的估計(jì)值，結(jié)合題中條件進(jìn)行驗(yàn)證即可得結(jié)論.
(1)
解：由表得，，
，，
所以，輸出電壓與芯片溫度之間線性回歸方程為.
(2)
解：由（1）可得：時(shí)，，,
時(shí)，，，
時(shí)，，，
時(shí)，，，
時(shí)，，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，
，
因此，該溫度傳感器工作不正常.
14．（2022·安徽合肥·高三期末（理））某地積極響應(yīng)“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，規(guī)劃建設(shè)創(chuàng)新小鎮(zhèn)，吸引人才投資興業(yè).下
表是自創(chuàng)新小鎮(zhèn)建設(shè)以來(lái)，各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：
年份（年） 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼（） 1 2 3 4 5
新增企業(yè)數(shù)量（） 8 17 29 24 42
(1)為了解這些企業(yè)在2021年被認(rèn)定的企業(yè)類型，隨機(jī)調(diào)查了10家企業(yè)，其中被認(rèn)定為小微企業(yè)的有8家，試估計(jì)這些企業(yè)在2021年被認(rèn)定為小微企業(yè)的數(shù)量；
(2)利用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年這個(gè)創(chuàng)新小鎮(zhèn)新增企業(yè)的數(shù)量.
參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)家；
(2)，估計(jì)2022年這個(gè)創(chuàng)新小鎮(zhèn)新增企業(yè)的數(shù)量約為54家.
【解析】
【分析】
（1）由題可知估計(jì)總體中被認(rèn)定為小微企業(yè)的概率為0.8，即求；
（2）利用線性回歸直線公式即求.
(1)
在抽取的樣本中，被認(rèn)定為小微企業(yè)的頻率為0.8，以此估計(jì)總體中被認(rèn)定為小微企業(yè)的概率為0.8，
∵2016-2020年該創(chuàng)新小鎮(zhèn)新增企業(yè)數(shù)共有120家，
∴估計(jì)2021年被認(rèn)定為小微企業(yè)的共有家.
(2)
由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，，
，
，
，，
所以，
2022年，即當(dāng)時(shí)，由線性回歸方程可得，
所以，估計(jì)2022年這個(gè)創(chuàng)新小鎮(zhèn)新增企業(yè)的數(shù)量約為54家.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過(guò)去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第年與年銷量（單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系如表：
1 2 3 4
12 28 42 56
（Ⅰ）在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的散點(diǎn)圖擬合與的回歸模型，并用相關(guān)系數(shù)甲乙說(shuō)明；
（Ⅲ）建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為多少？．
附注：參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
，．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（3）第5年的銷售量約為71萬(wàn)件．
【解析】
【詳解】
【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件中的表格中的數(shù)據(jù)作為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中將點(diǎn)畫出即為散點(diǎn)圖；（2）先借助問(wèn)題（1）中的散點(diǎn)圖推斷這些點(diǎn)位于一條直線的周圍，再運(yùn)用平均數(shù)公式求縱橫坐標(biāo)的平均數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用公式求相關(guān)系數(shù)；（3）先借助（2）的結(jié)論求出線性回歸方程中的，得到回歸方程，再運(yùn)用回歸方程進(jìn)行分析求解：
解：（Ⅰ）作出散點(diǎn)圖如圖：
（Ⅱ）由（Ⅰ）散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，由題中所給表格及參考數(shù)據(jù)得：
，，，，，，，
．
∵與的相關(guān)系數(shù)近似為0.9996，說(shuō)明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，
∴可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，，，，
，，
故關(guān)于的回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，，
所以第5年的銷售量約為71萬(wàn)件．第33講 統(tǒng)計(jì)
方法總結(jié)：
一、線性回歸
線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)的方法。
對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回歸方程的求法為
其中，，，(,)稱為樣本點(diǎn)的中心。
步驟：畫散點(diǎn)圖，如散點(diǎn)圖中的點(diǎn)基本分布在一條直線附近，則這條直線叫這兩個(gè)變量的回歸直線，直線斜率k>0，稱兩個(gè)變量正相關(guān)；k<0，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)。
二、獨(dú)立性
獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量是否存在相關(guān)關(guān)系的案例分析方法。
步驟為列出22列聯(lián)表(如表13-8所示)，求出，并判斷：
A1 A2 合計(jì)
B1 a c a+c
B2 b d b+d
合計(jì) a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有99.9%把握稱“A取A1或A2”對(duì)“B取B1，B2”有關(guān)系；
若10.828K2>6.635，有99%把握稱“A取A1或A2”對(duì)“B取B1，B2”有關(guān)系；
若6.635K2>3.841，有95%把握稱“A取A1或A2”對(duì)“B取B1，B2”有關(guān)系；
若K23.841，沒(méi)有把握稱A與B相關(guān)。
典型例題：
例1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，為全面推進(jìn)學(xué)校素質(zhì)教育，推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng).學(xué)校準(zhǔn)備調(diào)查高一新生每周日常運(yùn)動(dòng)情況，學(xué)校通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，收集了300名學(xué)生每周平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），并根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.
(1)求這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)與方差；
(2)在調(diào)查的300名學(xué)生中按每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間采用分層抽樣法抽取20人參加校園“我運(yùn)動(dòng)我快樂(lè)”活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某統(tǒng)計(jì)部門依據(jù)《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒——2017》提供的數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)1997-2016年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，作出了兩張散點(diǎn)圖：圖1表示1997-2016年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），圖2表示2007-2016年我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）．
(1)用表示第i張圖中的年份與GDP的線性相關(guān)系數(shù)，，依據(jù)散點(diǎn)圖的特征分別寫出的結(jié)果；
(2)分別用線性回歸模型和指數(shù)回歸模型對(duì)兩張散點(diǎn)圖進(jìn)行回歸擬合，分別計(jì)算出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)——相關(guān)指數(shù)的數(shù)值，部分結(jié)果如下表所示：
年份 1997-2016 2007-2016
線性回歸模型 0.9306
指數(shù)回歸模型 0.9899 0.978
①將上表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整（結(jié)果保留3位小數(shù)，直接寫在答題卡上）；
②若估計(jì)2017年的GDP，結(jié)合數(shù)據(jù)說(shuō)明采用哪張圖中的哪種回歸模型會(huì)更精準(zhǔn)一些？若按此回歸模型來(lái)估計(jì)，2020年的GDP能否突破100萬(wàn)億元？事實(shí)上，2020年的GDP剛好突破了100萬(wàn)億元，估計(jì)與事實(shí)是否吻合？結(jié)合散點(diǎn)圖解釋說(shuō)明.
例3．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）5G的到來(lái)給人們的生活帶來(lái)顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在第1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬(wàn)元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如表：
時(shí)間（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百萬(wàn)元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入；
(3)從前6個(gè)月的收入中抽取3個(gè)，記月收入超過(guò)16百萬(wàn)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中設(shè)，
參考公式和數(shù)據(jù)：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，，.
例4．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）主播代言 優(yōu)惠促銷 限時(shí)“秒殺”……目前，各類直播帶貨激起人們的消費(fèi)熱情，但也存在不少問(wèn)題.日前，中國(guó)消費(fèi)者協(xié)會(huì)發(fā)布了網(wǎng)絡(luò)直播銷售侵害消費(fèi)者權(quán)益案例分析，歸納出虛假宣傳 退換貨難 誘導(dǎo)交易等七大類問(wèn)題.某相關(guān)部門為不斷凈化直播帶貨環(huán)境，保護(hù)消費(fèi)者合法權(quán)益，進(jìn)行了調(diào)查問(wèn)卷，隨機(jī)抽取了200人的樣本進(jìn)行分析，得到列聯(lián)表如下：
參加過(guò)直播帶貨 未參加過(guò)直播帶貨 總計(jì)
女性 90 30 120
男性 50 30 80
總計(jì) 140 60 200
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為是否參加直播帶貨與性別有關(guān)？
(2)將頻率視為概率，從樣本的女性中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次.記抽取的3人中“未參加過(guò)直播帶貨”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為．
(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；
回歸模型 模型① 模型②
回歸方程
79.13 20.2
(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小．
附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好，
例6．（2022·陜西·高新一中高三階段練習(xí)（文））2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝 劉伯明 湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：，
模型②：；
序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
x 2 3 4 6 8 10 13
y 15 22 27 40 48 54 60
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小；
(2)據(jù)（2）選擇擬合精度更高 更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.
附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好..
回歸模型 模型① 模型②
79.31 20.2
過(guò)關(guān)練習(xí)：
1．（2022·四川瀘州·二模（理））某縣種植的脆紅李在2021年獲得大豐收，依據(jù)扶貧政策，所有脆紅李由經(jīng)銷商統(tǒng)一收購(gòu).為了更好的實(shí)現(xiàn)效益，質(zhì)監(jiān)部門從今年收獲的脆紅李中隨機(jī)選取100千克，進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.下表是脆紅李的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，其中一級(jí)品 二級(jí)品統(tǒng)稱為優(yōu)質(zhì)品.
等級(jí) 四級(jí)品 三級(jí)品 二級(jí)品 一級(jí)品
脆紅李橫徑/mm
經(jīng)銷商與某農(nóng)戶簽訂了脆紅李收購(gòu)協(xié)議，規(guī)定如下：從一箱脆紅李中任取4個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，若4個(gè)均為優(yōu)質(zhì)品，則該箱脆紅李定為A類；若4個(gè)中僅有3個(gè)優(yōu)質(zhì)品，則再?gòu)脑撓渲腥我馊〕?個(gè)，若這一個(gè)為優(yōu)質(zhì)品，則該箱脆紅李也定為A類；若4個(gè)中至多有一個(gè)優(yōu)質(zhì)品，則該箱脆紅李定為C類；其他情況均定為B類.已知每箱脆紅李重量為10千克，A類 B類 C類的脆紅李價(jià)格分別為每千克10元 8元 6元.現(xiàn)有兩種裝箱方案：方案一：將脆紅李采用隨機(jī)混裝的方式裝箱；方案二：將脆紅李按一 二 三 四等級(jí)分別裝箱，每箱的分揀成本為1元.以頻率代替概率解決下面的問(wèn)題.
(1)如果該農(nóng)戶采用方案一裝箱，求一箱脆紅李被定為A類的概率；
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)判斷，該農(nóng)戶采用哪種方案裝箱收入更多，并說(shuō)明理由.
2．（2022·山西·臨縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））某商業(yè)銀行對(duì)存款利率與日存款總量的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到下表：
利率上升百分點(diǎn) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款總額y（億元） 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)（2）的線性回歸方程，預(yù)測(cè)日存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時(shí)，利率需上升多少個(gè)百分點(diǎn)？
參考公式及數(shù)據(jù)：①，，②，．
3．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)生產(chǎn)流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級(jí)品可賣1700元，每件二級(jí)品可賣1000元，三級(jí)品禁止出廠且銷毀.某日檢測(cè)抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示.
(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出2件，求至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率；
(2)現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件中任意抽取3件，設(shè)取到二級(jí)品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)已知該生產(chǎn)線原先的年產(chǎn)量為80萬(wàn)件，為提高企業(yè)利潤(rùn)，計(jì)劃明年對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)，預(yù)計(jì)升級(jí)需一次性投入2000萬(wàn)元，升級(jí)后該生產(chǎn)線年產(chǎn)量降為70萬(wàn)件，但產(chǎn)品質(zhì)量顯著提升，不會(huì)再有三級(jí)品，且一級(jí)品與二級(jí)品的產(chǎn)量比會(huì)提高到，若以該生產(chǎn)線今年利潤(rùn)與明年預(yù)計(jì)利潤(rùn)為決策依據(jù)，請(qǐng)判斷該次升級(jí)是否合理.
4．（2022·湖北武漢·高三階段練習(xí)）迎接冬季奧運(yùn)會(huì)期間，某市對(duì)全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季奧運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.統(tǒng)計(jì)人員從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)這200名學(xué)生的平均成績(jī)；
(2)用樣本頻率估計(jì)總體，從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，記，比較與的大小關(guān)系.
5．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，農(nóng)民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一農(nóng)商行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額）：
年份x 2017 2018 2019 2020 2021
儲(chǔ)蓄存款y（百億元） 6 7.5 8 9.5 11
為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，，得到下表：
時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5
z 0 1.5 2 3.5 5
(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；
(2)通過(guò)（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；
(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2024年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少
附：對(duì)于線性回歸方程，其中．
6．（2022·山東臨沂·一模）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長(zhǎng)的營(yíng)銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對(duì)45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：
銷售額不少于30萬(wàn)元 銷售額不足30萬(wàn)元 合計(jì)
線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí) 17 20
線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)
合計(jì) 45
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)；
(2)①按銷售額進(jìn)行分層抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，求銷售額不少于30萬(wàn)元和銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)數(shù)；
②在①條件下，抽取銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)時(shí)，設(shè)抽到每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)數(shù)是X，求X的分布列及期望值.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
參考公式：，其中.
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2021年4月份以來(lái)新冠病毒變種“德?tīng)査痹谌蛩僚埃摬《咎卣魇莻魅拘愿鼜?qiáng)、更快、發(fā)病率高，某傳染病研究所為研究新冠疫苗對(duì)新冠病毒變種“德?tīng)査钡挠行裕谀骋邊^(qū)隨機(jī)抽取100名居民，對(duì)其新冠疫苗接種情況和新冠病毒“德?tīng)査备腥厩闆r進(jìn)行調(diào)查與檢測(cè)，對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析得到列聯(lián)表如下．
沒(méi)有感染德?tīng)査《?感染德?tīng)査《?合計(jì)
未完成疫苗接種 15 63
完成疫苗接種 2
合計(jì) 50 100
(1)根據(jù)題意補(bǔ)充上述列聯(lián)表，并判定是否有99%的把握認(rèn)為完成新冠疫苗接種對(duì)應(yīng)對(duì)新冠變種“德?tīng)査庇行В?br/>(2)從樣本中沒(méi)有感染新冠德?tīng)査《緲颖局邪词欠裢瓿梢呙缃臃N分層，用分層抽樣方法抽取10個(gè)樣本，再?gòu)倪@10個(gè)樣本中隨機(jī)抽取3人，這3人沒(méi)有完成疫苗接種的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））某中學(xué)對(duì)高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試（簡(jiǎn)稱體測(cè)），隨機(jī)抽取了120名學(xué)生的體測(cè)結(jié)果等級(jí)（“良好以下”或“良好及以上”）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并制成如圖所示的列聯(lián)表．
良好以下 良好及以上 合計(jì)
男 40
女 10
合計(jì) 90 120
(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；計(jì)算并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系；
(2)事先在本次體測(cè)等級(jí)為“良好及以上”的學(xué)生中按照性別采用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取了6人．若從這6人中隨機(jī)抽取2人對(duì)其體測(cè)指標(biāo)進(jìn)行進(jìn)一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中，．
9．（2022·重慶·高三開(kāi)學(xué)考試）數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，它由指定運(yùn)營(yíng)機(jī)構(gòu)參與運(yùn)營(yíng)并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價(jià)．?dāng)?shù)字人民幣（試點(diǎn)版）App已上架各大安卓應(yīng)用商店和蘋果AppStore．在數(shù)字人民幣APP（試點(diǎn)版）上線后，消費(fèi)者體驗(yàn)的熱情高漲．?dāng)?shù)據(jù)顯示，數(shù)字人民幣個(gè)人錢包開(kāi)立速度明顯加快．交易規(guī)模正在迅速擴(kuò)大．為了進(jìn)一步了解普通大眾對(duì)數(shù)字人民幣的感知以及接受情況，某機(jī)構(gòu)對(duì)數(shù)字人民幣的體驗(yàn)者進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查（滿分為100分），最后該公司共收回400份評(píng)分表，然后從中隨機(jī)抽取40份（男女各20份）作為樣本，繪制了如下莖葉圖：
(1)求40個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，并說(shuō)明男性與女性誰(shuí)對(duì)數(shù)字人民幣體驗(yàn)的滿意度更高；
(2)如果評(píng)分不小于的為“滿意”，評(píng)分小于的為“不滿意”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“滿意度”與“性別”有關(guān)？
是否滿意 性別 滿意 不滿意 合計(jì)
女性
男性
合計(jì)
(3)若從樣本中的男性體驗(yàn)者中，按對(duì)數(shù)字人民幣滿意度用分層抽樣的方法抽取10人，然后從這10人中抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求被選中的3人中至少有2人對(duì)數(shù)字人民幣不滿意的概率．
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.
(1)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；
(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí)，日平均派送量為單.若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：
①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ；
②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望. 請(qǐng)利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適？并說(shuō)明你的理由.
11．（2022·北京八中高三開(kāi)學(xué)考試）某地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢娜M中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)诘臑榈燃?jí)，成績(jī)?cè)诘臑榈燃?jí)，其它為等級(jí).以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)作答：當(dāng)為何值時(shí)的值最大？（直接寫出答案，不用寫出解答過(guò)程.若選擇多個(gè)條件作答，以第一個(gè)為準(zhǔn).）
①?gòu)乃袇⒓涌荚嚨耐瑢W(xué)中隨機(jī)抽取人，其中獲得等級(jí)的人數(shù)恰為3人的概率為；
②從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取10人，其中獲得等級(jí)的人數(shù)恰為人的概率為.
12．（2022·貴州貴陽(yáng)·高三期末（文））為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部開(kāi)展了招生改革工作一一強(qiáng)基計(jì)劃．現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對(duì)某高中學(xué)校學(xué)生對(duì)強(qiáng)基課程學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行調(diào)查，在參加數(shù)學(xué)和物理的強(qiáng)基計(jì)劃課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中，某機(jī)構(gòu)為研究考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系，從一次考試中隨機(jī)抽取11名考生的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下表：
數(shù)學(xué)成績(jī) 46 79 89 99 109 116 120 123 134 140
物理成績(jī) 50 54 60 63 66 68 70 0 73 76 80
(1)由表中數(shù)據(jù)可知，有一位考生因物理缺考導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除該組數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)這10組數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)缺考考生如果參加物理考試可能取得的成績(jī)；
(2)在這次物理強(qiáng)基課程的測(cè)試中，剔除缺考考生的物理成績(jī)后，剩余這10名學(xué)生物理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．若采用分層抽樣的方法從男生和女生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中抽取3人參加學(xué)校組織的關(guān)于強(qiáng)基計(jì)劃的訪談?wù){(diào)查，求抽出的學(xué)生中恰好有一名女生的概率．
附：參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：
參考數(shù)據(jù)：（剔除零分前）
1120 660 68586 122726
上表中的表示樣本中第名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，表示樣本中第名考生的物理成績(jī)．
13．（2022·江西九江·一模（文））溫度傳感器（集成溫度傳感器）是一種采用大規(guī)模數(shù)字集成電路技術(shù)的溫度傳感器，集成了溫度傳感電路和信號(hào)處理電路，可檢測(cè)芯片溫度和環(huán)境溫度，具有低成本、低功耗、高精度和線性度強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于環(huán)境、醫(yī)療、制造業(yè)、化工、能源、氣象、倉(cāng)儲(chǔ)、冷藏、冰柜、恒溫恒濕生產(chǎn)車間、辦工場(chǎng)所等領(lǐng)域.下表是通過(guò)對(duì)某型號(hào)高精度溫度傳感器的芯片溫度與輸出電壓進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)得出的相關(guān)數(shù)據(jù)：
芯片溫度
輸出電壓測(cè)量值
(1)已知輸出電壓與芯片溫度之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出其線性回歸方程；（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
(2)已知輸出電壓實(shí)際觀察值為，估計(jì)值（擬合值）為，以上述數(shù)據(jù)和（1）中的線性回歸方程為依據(jù)，.若滿足，則可判斷該高精度溫度傳感器IC工作正常；若不滿足，則可判斷工作不正常.現(xiàn)某該型號(hào)溫度傳感器在芯片溫度為時(shí)，其輸出電壓為，判斷該溫度傳感器工作是否正常.
參考數(shù)據(jù)：，.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
14．（2022·安徽合肥·高三期末（理））某地積極響應(yīng)“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，規(guī)劃建設(shè)創(chuàng)新小鎮(zhèn)，吸引人才投資興業(yè).下
表是自創(chuàng)新小鎮(zhèn)建設(shè)以來(lái)，各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：
年份（年） 2016 2017 2018 2019 2020
年份代碼（） 1 2 3 4 5
新增企業(yè)數(shù)量（） 8 17 29 24 42
(1)為了解這些企業(yè)在2021年被認(rèn)定的企業(yè)類型，隨機(jī)調(diào)查了10家企業(yè)，其中被認(rèn)定為小微企業(yè)的有8家，試估計(jì)這些企業(yè)在2021年被認(rèn)定為小微企業(yè)的數(shù)量；
(2)利用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年這個(gè)創(chuàng)新小鎮(zhèn)新增企業(yè)的數(shù)量.
參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過(guò)去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第年與年銷量（單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系如表：
1 2 3 4
12 28 42 56
（Ⅰ）在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的散點(diǎn)圖擬合與的回歸模型，并用相關(guān)系數(shù)甲乙說(shuō)明；
（Ⅲ）建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為多少？．
附注：參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
，．第34講 離散型隨機(jī)變量分布列與期望
方法總結(jié)：
1、如何分辨隨機(jī)變量分布列是否符合特殊分布：
（1）隨機(jī)變量的取值：隨機(jī)變量的取值要與特殊分布中的取值完全一致.
（2）每個(gè)特殊的分布都有一個(gè)試驗(yàn)背景，在滿足（1）的前提下可通過(guò)該試驗(yàn)的特征判斷是否符合某分布
2、常見(jiàn)的分布
（1）兩點(diǎn)分布：一項(xiàng)試驗(yàn)有兩個(gè)結(jié)果，其中事件發(fā)生的概率為，令，則的分布列為：
則稱符合兩點(diǎn)分布（也稱伯努利分布），其中稱為成功概率
（2）超幾何分布：在含有個(gè)特殊元素的個(gè)元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的個(gè)數(shù)記為，則有，其中
即：
則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布
（3）二項(xiàng)分布：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，設(shè)在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量，則有 ，即：
則稱隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，記為
3、期望：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：
則稱的值為的期望，記為
（1）期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，換句話說(shuō)，是做了次這樣的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)變量會(huì)取一個(gè)值（即結(jié)果所對(duì)應(yīng)的數(shù)），將這些數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算平均數(shù)，當(dāng)足夠大時(shí)，平均數(shù)無(wú)限接近一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)即為該隨機(jī)變量的期望。
（2）期望的運(yùn)算法則：若兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：，則有
① 是指隨機(jī)變量取值存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，且具備對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組代表事件的概率相同：若的分布列為：
則的分布列為：
② 這個(gè)公式體現(xiàn)出通過(guò)隨機(jī)變量的線性關(guān)系，可得期望之間的聯(lián)系。
4、方差：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：
且記隨機(jī)變量的期望為，用表示的方差，則有：
（1）方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的分散程度，方差大說(shuō)明這些數(shù)分布的比較分散，方差小說(shuō)明這些數(shù)分布的較為集中（集中在期望值周圍）
（2）在計(jì)算方差時(shí)，除了可以用定義式之外，還可以用以下等式進(jìn)行計(jì)算：設(shè)隨機(jī)變量為 ，則
（3）方差的運(yùn)算法則：若兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：，則有：
5、常見(jiàn)分布的期望與方差：
（1）兩點(diǎn)分布：則
（2）二項(xiàng)分布：若，則
典型例題：
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國(guó)企業(yè)依靠自身強(qiáng)大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)機(jī)，“爭(zhēng)分奪秒 保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標(biāo)語(yǔ)
.
(1)在試產(chǎn)初期，某新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測(cè)工序.已知批次A的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.求批次A成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率為，設(shè)100個(gè)成品口罩中恰有1個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率.某醫(yī)院獲得批次，的口罩捐贈(zèng)并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，正常佩戴使用這兩個(gè)批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測(cè)情況如條形圖所示；求出，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)？
【答案】(1)
(2)，有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率的求法，可得批次成品口罩的次品率為，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
(2) 由題意可得，求出導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從得出的值.再列出列聯(lián)表，再由公式求出，再與臨界值比較，得出結(jié)論.
(1)
批次成品口罩的次品率為；
(2)
100個(gè)成品口罩中恰有1個(gè)不合格的概率為，
所以，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值點(diǎn)為，
由條形圖可建立列聯(lián)表如下：
核酸檢測(cè)結(jié)果 口罩批次 合計(jì)
呈陽(yáng)性 12 3 15
呈陰性 28 57 85
合計(jì) 40 60 100
則，
因此，有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān).
例2．（2022·山東·青島二中高三開(kāi)學(xué)考試）某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來(lái)的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后，擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．
(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大小；
(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬(wàn)元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)問(wèn)選擇哪一種方案比較好？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等
(2)應(yīng)選擇第二種方案；理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)超幾何分布求出員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率即可；
(2)根據(jù)題意可知有兩種方案、，分別求出對(duì)應(yīng)的分布列，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差，從而得出結(jié)論.
(1)
用X表示員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．
因?yàn)椋?br/>所以，
故員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等．
(2)
第一種方案為，
設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的分布列為
40 120 200
P
所以的數(shù)學(xué)期望為，
的方差為；
第二種方案為，
設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，則的分布列為
80 120 160
P
所以的數(shù)學(xué)期望為，
的方差為，
又因?yàn)椋ㄔ?br/>所以兩種方案獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，
故應(yīng)選擇第二種方案．
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）年五一節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握五一節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了日上午這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段記作，記作，記作，記作，例如：，記作時(shí)刻.
(1)估計(jì)這輛車在時(shí)間內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）
(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這輛車中抽取輛，再?gòu)倪@輛車中隨機(jī)抽取輛，設(shè)抽到的輛車中，在之間通過(guò)的車輛數(shù)為，求的分布列；
(3)根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用日數(shù)據(jù)中的輛車在之間通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（經(jīng)計(jì)算樣本方差為）.假如日上午這一時(shí)間段內(nèi)共有輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，估計(jì)在之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）
附：；若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】(1)64
(2)答案見(jiàn)解析
(3)819
【解析】
【分析】
（1）由頻率分布直方圖即能求出這600輛車在時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值．
（2）由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在前通過(guò)的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組，這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，求出其結(jié)果為4，從而的可能的取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列．
（3）求出，，估計(jì)在之間通過(guò)的車輛數(shù)也就是在，通過(guò)的車輛數(shù)，由，，即能估計(jì)在之間通過(guò)的車輛數(shù)．
(1)
這600輛車在時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為：
．
(2)
由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，
在前通過(guò)的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組，這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，
即，
所以的可能的取值為0，1，2，3，4．
所以，，，，．
所以的分布列為：
0 1 2 3 4
(3)
由（1）得，
由已知，所以，
估計(jì)在之間通過(guò)的車輛數(shù)也就是在，通過(guò)的車輛數(shù)，
由，得：
，
所以估計(jì)在在之間通過(guò)的車輛數(shù)為．
例4．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））2021年2月25日，全國(guó)脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)在北京召開(kāi)，充分肯定了脫貧攻堅(jiān)取得的重大歷史性成就，習(xí)近平總書(shū)記在大會(huì)上深刻闡述了偉大脫貧攻堅(jiān)精神，并對(duì)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果、全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興提出了明確的要求，為了更高效地推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某市直單位欲從部門A，B，C的10人中選派4人與其下轄的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲對(duì)接相關(guān)業(yè)務(wù)，其中部門A，B，C可選派的人數(shù)分別為3，3，4，且每個(gè)人被選派的可能性一樣.
(1)求選派的4人中至少有1人來(lái)自部門C的概率；
(2)選派的4人中來(lái)自部門A，B，C的人數(shù)分別為x，y，z，記x，y，z中最大的數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】
（1）記“選派的4人中至少有1人來(lái)自部門C”為事件D，求出，進(jìn)而由對(duì)立事件的性質(zhì)得出事件的概率；
（2）先得出X的所有可能取值，并求出其概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
(1)
記“選派的4人中至少有1人來(lái)自部門C”為事件D.
則，故.
(2)
由題意可知X的所有可能取值為2，3，4.
，
，
，
則X的分布列為
X 2 3 4
P
故.
例5．（2022·廣東高州·二模）某校組織“百年黨史”知識(shí)比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會(huì)相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒(méi)回答者得0分；搶到題目且回答錯(cuò)誤者得0分，沒(méi)搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對(duì)每道題目的概率為．乙答對(duì)每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．
(1)求乙同學(xué)得100分的概率；
(2)記X為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見(jiàn)解析，.
【解析】
【分析】
（1）應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同學(xué)得100分的概率；
（2）由題意知可能值為，分別求出對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列，進(jìn)而求期望.
(1)
由題意，乙同學(xué)得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯(cuò)誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯(cuò)誤}，
所以乙同學(xué)得100分的概率為.
(2)
由題意，甲同學(xué)的累計(jì)得分可能值為，
；；
；；；
分布列如下：
0 50 100 150 200
所以期望.
例6．（2022·福建三明·高三期末）為樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，三明市某公司將于2022年3月12日開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng)，為提高職工的積極性，活動(dòng)期間將設(shè)置抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，具體方案為：根據(jù)植樹(shù)的棵數(shù)可以選擇在甲箱或乙箱中摸獎(jiǎng)，每箱內(nèi)各有除顏色外完全相同的10個(gè)球，甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中a個(gè)紅球、b個(gè)黃球、5個(gè)黑球（），乙箱內(nèi)有6個(gè)紅球、4個(gè)黃球．若在甲箱內(nèi)摸球，則每次摸出一個(gè)球后放回原箱，摸得紅球獎(jiǎng)100元，摸得黃球獎(jiǎng)50元，摸得黑球則沒(méi)有獎(jiǎng)金；若在乙箱內(nèi)摸球，則每次摸出兩球后放回原箱，兩球均為紅球獎(jiǎng)150元，否則沒(méi)有獎(jiǎng)金．
(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)，每人的植樹(shù)棵數(shù)X服從正態(tài)分布N（15，25），現(xiàn)有1000位植樹(shù)者，請(qǐng)估計(jì)植樹(shù)的棵數(shù)X在區(qū)間（10，25）內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；
(2)根據(jù)植樹(shù)的棵數(shù)，某職工可選擇以下兩種方案摸獎(jiǎng)，方案一：三次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方案二：兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．請(qǐng)根據(jù)獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望分析該職工如何選擇摸獎(jiǎng)方案．
附參考數(shù)據(jù)：若，則，．
【答案】(1)819名；
(2)答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，先通過(guò)正態(tài)分布求出1000位植樹(shù)者中植樹(shù)的棵數(shù)在（15，25）內(nèi)的概率，進(jìn)而求出估計(jì)的人數(shù)；
（2）根據(jù)題意，先求出兩種方案摸獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)金的期望，進(jìn)而比較兩個(gè)方案獎(jiǎng)金期望的大小，然后選擇較大的期望即可.
(1)
由題知，，，所以
，所以1000位植樹(shù)者中植樹(shù)的棵數(shù)在（15，25）內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為人.
(2)
甲箱內(nèi)一次摸獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金的所有可能值為0，50，100，
且，，，，
則，
所以甲箱中三次摸獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)金的期望為，.
乙箱內(nèi)一次摸獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金的所有可能值為0，150，
且，
所以乙箱中兩次摸獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)金的期望為．
所以，當(dāng)時(shí)，，建議該職工選擇方案二；
當(dāng)時(shí)，，建議該職工選擇方案一；
當(dāng)時(shí)，，建議該職工選擇方案一；
當(dāng)時(shí)，，建議該職工選擇方案一.
例7．（2022·江西九江·一模（理））非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是一個(gè)國(guó)家和民族歷史文化成就的重要標(biāo)志，是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分．瑞昌剪紙于2008年列入第二批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．由于瑞昌地處南北交匯處，經(jīng)過(guò)千年的南北文化相互浸潤(rùn)與滲透，瑞昌剪紙融入了南方的陰柔之麗、精巧秀美和北方的陽(yáng)剛之美、古樸豪放．為了弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某校將舉辦一次剪紙比賽，共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，若有不少于3幅作品入選，將獲得“巧手獎(jiǎng)”．5輪比賽中，至少獲得4次“巧手獎(jiǎng)”的同學(xué)將進(jìn)入決賽．某同學(xué)經(jīng)歷多次模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練作品中隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各5幅，其中有4幅規(guī)定作品和3幅創(chuàng)意作品符合入選標(biāo)準(zhǔn)．
(1)從這10幅訓(xùn)練作品中，隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，試預(yù)測(cè)該同學(xué)在一輪比賽中獲“巧手獎(jiǎng)”的概率；
(2)以上述兩類作品各自入選的頻率作為該同學(xué)參賽時(shí)每幅作品入選的概率．經(jīng)指導(dǎo)老師對(duì)該同學(xué)進(jìn)行賽前強(qiáng)化訓(xùn)練，規(guī)定作品和創(chuàng)意作品入選的概率共提高了，以獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測(cè)該同學(xué)能否進(jìn)入決賽？
【答案】(1)；
(2)該同學(xué)沒(méi)有希望進(jìn)入決賽.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，分類討論所有可能的情況，再求其概率之和即可；
（2）由題可得，先計(jì)算強(qiáng)化訓(xùn)練后該同學(xué)某一輪可獲得“巧手獎(jiǎng)”的概率的最大值，再根據(jù)5輪比賽中獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，估算，結(jié)合題意即可判斷.
(1)
由題可知，所有可能的情況有：
①規(guī)定作品入選1幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率，
②規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選1幅的概率，
③規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率，
故所求的概率．
(2)
設(shè)強(qiáng)化訓(xùn)練后，規(guī)定作品入選的概率為，創(chuàng)意作品入選的概率為，
則，
由已知可得，強(qiáng)化訓(xùn)練后該同學(xué)某一輪可獲得“巧手獎(jiǎng)”的概率為：
∵，且，也即，即
故可得：，，
，
∴，
令，則在上單調(diào)遞減，
∴．
∵該同學(xué)在5輪比賽中獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)，
∴，故該同學(xué)沒(méi)有希望進(jìn)入決賽．
【點(diǎn)睛】
本題考察概率的求解以及二項(xiàng)分布、解決問(wèn)題的關(guān)鍵是求得某一輪獲得“巧手獎(jiǎng)”的概率的范圍，再估算5輪比賽中獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，涉及函數(shù)值域問(wèn)題，范圍問(wèn)題，屬綜合困難題.
例8．（2022·河南焦作·一模（理））某科技公司有甲 乙 丙三個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為，，.現(xiàn)安排甲組和乙組研發(fā)新產(chǎn)品A，丙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)每個(gè)小組研發(fā)成功與否相互獨(dú)立，且當(dāng)甲組和乙組至少有一組研發(fā)成功時(shí)，新產(chǎn)品A就研發(fā)成功.
(1)求新產(chǎn)品A，B均研發(fā)成功的概率.
(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)該公司可獲利潤(rùn)180萬(wàn)元，否則利潤(rùn)為0萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)該公司可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元，否則利潤(rùn)為0萬(wàn)元.求該公司研發(fā)A，B兩種新產(chǎn)品可獲總利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：
【解析】
【分析】
（1）設(shè)新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件，根據(jù)對(duì)立事件的概率求，再由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解；
（2）寫出離散型隨機(jī)變量的可能取值，求對(duì)應(yīng)概率得到分布列求期望即可.
(1)
設(shè)新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件，新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件.
則，，
所以.
(2)
設(shè)該公司研發(fā)，兩種新產(chǎn)品可獲總利潤(rùn)為隨機(jī)變量，
則的可能取值為0，120，180，300.
；；；
.
所以的分布列如下：
0 120 180 300
則數(shù)學(xué)期望.
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）國(guó)際比賽賽制常見(jiàn)的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場(chǎng)比賽的失敗者直接淘汰，常見(jiàn)的有等等．表示雙方進(jìn)行一局比賽，獲勝者晉級(jí)．表示雙方最多進(jìn)行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級(jí)；若前兩局兩人各勝一局，則需要進(jìn)行第三局決勝負(fù)．現(xiàn)在四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進(jìn)行，勝者晉級(jí)，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進(jìn)行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨(dú)立．
（1）在C進(jìn)入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；
（2）記A參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；
（2）參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)的取值有0，1，2，3，求出每種可能性的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.
【詳解】
解：（1）進(jìn)入第二輪的概率為，
與比賽，獲勝，與比賽，獲勝，且與比賽，獲勝，
其概率為，
故在進(jìn)入第二輪的前提下，最終獲得冠軍的概率．
（2）參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列為：
0 1 2 3
．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)條件概率的運(yùn)算公式、認(rèn)真閱讀題干理解題意是解題的關(guān)鍵
過(guò)關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））某校高三2班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中小學(xué)生對(duì)勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開(kāi)展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，學(xué)校提供了：除草 翻地 播種 澆水四個(gè)項(xiàng)目.規(guī)定女生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，男生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)或者3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，每參加1個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)獲得10分，求：
(1)在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率；
(2)記該小組得分為X，求X的期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)“至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件A，“恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件B.
根據(jù)超幾何分布原理分別求得，，直接利用條件概率的計(jì)算公式即可求得；
（2）設(shè)恰有Y人女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，則男生2-Y人參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，求出Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，由即可求出.
(1)
設(shè)“至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件A，“恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”為事件B.
根據(jù)超幾何分布原理得：，
有條件概率的計(jì)算公式得：
所以，在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率為；
(2)
根據(jù)題意女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)可獲得：（分）；
男生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)可獲得：（分）.
設(shè)恰有Y人女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，則男生2-Y人參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)，則
；；.
所以Y的分布列為：
Y 0 1 2
P
則有：.
又，
∴.
2．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場(chǎng)以來(lái)，受到多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲 乙兩家第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，邀請(qǐng)多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.
(1)若參加的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若有位車主，記總得分恰好為n分的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)在（2）的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；
(2)；
(3)這方案不合理，分析答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3，4，5，6.分別求得隨機(jī)變量取每一值時(shí)的概率得其分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案；
（2）依題意，總得分恰好為n分時(shí)，得不到n分的情況是先得（）分，再得，概率為，即有，由此可求得答案；
（3）由（2）求得，，比較可得結(jié)論.
(1)
解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
X 3 4 5 6
P
∴.
(2)
解：依題意，總得分恰好為n分時(shí)，得不到n分的情況是先得（）分，再得2分，概率為，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)
解：因?yàn)椋啵?br/>∴選擇乙機(jī)構(gòu)的概率大于甲機(jī)構(gòu)，這方案不合理.
3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了深入貫徹黨的十九大和十九屆五中全會(huì)精神，堅(jiān)持以新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為指導(dǎo)，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，著眼建設(shè)高質(zhì)量教育體系，強(qiáng)化學(xué)校教育主陣地作用，深化校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)治理，構(gòu)建教育良好生態(tài)，有效緩解家長(zhǎng)焦慮情緒，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、健康成長(zhǎng)．教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策，即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）．“雙減”政策的出臺(tái)對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響．某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2020年的前200名報(bào)名學(xué)員消費(fèi)等情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中消費(fèi)情況數(shù)據(jù)如表．
消費(fèi)金額（千元）
人數(shù) 30 50 60 20 30 10
(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛(ài)好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛(ài)好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再?gòu)倪@5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問(wèn)卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2020年所有學(xué)員的消費(fèi)可視為服從正態(tài)分布，，分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．
（ⅰ）試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2020年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
（ⅱ）若從該機(jī)構(gòu)2020年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的分布列及方差．
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)分層抽樣分別求出消費(fèi)金額為和抽取的人數(shù)，求出隨機(jī)變量的可能取值，分別求出相應(yīng)概率，進(jìn)而求得分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）（ⅰ）求出，的值，結(jié)合正態(tài)分布求出概率；
（ⅱ）由（ⅰ）求出二項(xiàng)分布的分布列及方差.
(1)
解：由題意得，抽中的5人中消費(fèi)金額為的人數(shù)為，
消費(fèi)金額為的人數(shù)為，
設(shè)消費(fèi)金額為的人數(shù)為，則，
所以，，，
的分布列為
1 2 3
則；
(2)
解：（ⅰ）由題意得
，
所以，
所以；
（ⅱ）由題意及（ⅰ）得，
所以，，
，，
，
的分布列為
0 1 2 3 4
．
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，為全面推進(jìn)學(xué)校素質(zhì)教育，推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng).學(xué)校準(zhǔn)備調(diào)查高一新生每周日常運(yùn)動(dòng)情況，學(xué)校通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，收集了300名學(xué)生每周平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），并根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.
(1)求這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)與方差；
(2)在調(diào)查的300名學(xué)生中按每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間采用分層抽樣法抽取20人參加校園“我運(yùn)動(dòng)我快樂(lè)”活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)140人，分位數(shù)為，方差為6.16；
(2)分布列見(jiàn)解析，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖及分層抽樣，可求出樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)及樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)與方差；
（2）利用分層抽樣可計(jì)算出“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的有4人，“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)”的有16人，所以的可能的取值為0，1，2，利用超幾何分布可求得的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(1)
依題意，樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)為.
因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中在8小時(shí)以下的學(xué)生人數(shù)所占比例為，
則85%分位數(shù)為.
平均數(shù)為，
所以樣本數(shù)據(jù)的方差為
，
所以樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)為140，樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)為，方差為6.16.
(2)
用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的有4人，“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)”的有16人.
由題意知，的可能取值為0，1，2，
且；；，
所以的分布列為
0 1 2
所以.
5．（2022·江蘇高郵·高三開(kāi)學(xué)考試）為進(jìn)一步完善公共出行方式，倡導(dǎo)“綠色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行，同時(shí)希望市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每次的租用時(shí)間進(jìn)行繳費(fèi)，具體繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；②超出一小時(shí)后每小時(shí)1元（不足一小時(shí)按一小時(shí)計(jì)算），一天24小時(shí)最高收費(fèi)10元.某日甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，且兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.5，0.4；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付費(fèi)多的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)0.32
(2)分布列見(jiàn)解析，1.6
【解析】
【分析】
（1）用合適的字母表達(dá)每個(gè)事件，并按照題意搞清楚事件之間的關(guān)系以及每個(gè)事件的概率即可;
(2)求分布列和數(shù)學(xué)期望就是要搞清楚隨機(jī)變量的可能取值范圍，以及每個(gè)值都是由那些事件構(gòu)成的.
(1)
根據(jù)題意，記“甲付費(fèi)為0元、1元、2元、”為事件，，
它們彼此互斥，且，，，
同理，記“乙付費(fèi)為0元、1元、2元”為事件，，
它們彼此互斥，且，，，
由題知，事件，，與事件，，
相互獨(dú)立記，甲比乙付費(fèi)多為事件M，則有：
可得：
故：甲比乙付費(fèi)多的概率為：0.32；
(2)
由題知，的可能取值為：0，1，2，3，4
則有：，
，
，
，
；
所以的分布列為：
0 1 2 3 4
P 0.2 0.28 0.3 0.16 0.06
的數(shù)學(xué)期望：，
故答案為：0.32，1.6.
,
6．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開(kāi)幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項(xiàng)目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項(xiàng)目．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)人決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．
【答案】(1)甲進(jìn)入決賽可能性最大
(2)
(3)分布列見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）分別求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪均獲勝的概率，然后比較即可；
（2）利用相互獨(dú)立事件的概率的求法分別求出甲和乙進(jìn)入決賽的概率、乙和丙進(jìn)入決賽的概率、甲和丙進(jìn)入決賽的概率，即可通過(guò)甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)人決賽的概率為，列方程求解；
（3）先確定進(jìn)入決賽的人數(shù)為的取值，依次求出每一個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率，列表即可.
(1)
甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：
乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：
丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：
∵，∴，
∴
∴甲進(jìn)入決賽可能性最大．
(2)
整理得，解得或，
又∵，∴；
(3)
由（2）得，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，
進(jìn)入決賽的人數(shù)為可能取值為， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列為
0 1 2 3
P
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）自年秋季學(xué)期開(kāi)始中小學(xué)全面落實(shí)“雙減”工作，為使廣大教育工作者充分認(rèn)識(shí)“雙減”工作的重大意義，某地區(qū)教育行政部門舉辦了一次線上答卷活動(dòng)，從中抽取了名教育工作者的答卷，得分情況統(tǒng)計(jì)如下（滿分：分）．
名教育工作者答卷得分頻數(shù)分布表
分組 頻數(shù)
合計(jì)
(1)若這名教育工作者答卷得分服從正態(tài)分布（其中用樣本數(shù)據(jù)的均值表示，用樣本數(shù)據(jù)的方差表示），求；
(2)若以這名教育工作者答卷得分估計(jì)全區(qū)教育工作者的答卷得分，則從全區(qū)所有教育工作者中任意選取人的答卷得分，記為這人的答卷得分不低于分且低于分的人數(shù)，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，，
【解析】
【分析】
（1）首先根據(jù)頻數(shù)分布表求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，然后利用正態(tài)分布的對(duì)稱性和原則求得概率；
（2）先求出在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，確定的所有可能取值，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式分別求出每個(gè)取值的概率，從而得到分布列，最后利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式求解．
(1)
解：由頻數(shù)分布表可知，，
，
所以，，所以．
因?yàn)椋瑒t，，
所以，
.
(2)
解：從這名教育工作者中任意選取一名，其答卷得分不低于分且低于分的概率為．
由題意知，，則，，
，，
所以的分布列為
Y
P
所以，.
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有專家指出，與新冠病毒感染者密切接觸過(guò)的人，被感染的概率是．王某被確診為新冠病毒感染者后，當(dāng)?shù)販?zhǔn)備對(duì)王某的密切接觸者共78人逐一進(jìn)行核酸檢測(cè)．
（1）設(shè)為這78名密切接觸者中被感染的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）核酸檢測(cè)并不是準(zhǔn)確，有可能出現(xiàn)假陰性（新冠病毒感染者的檢測(cè)結(jié)果為陰性，即漏診）或假陽(yáng)性（非新冠病毒感染者的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，即誤診）．假設(shè)當(dāng)?shù)睾怂釞z測(cè)的靈敏度為（即假陰性率為），特異度為（即假陽(yáng)性率為）．已知王某的一個(gè)密切接觸者趙某的核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，求他被感染的概率（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由服從二項(xiàng)分布可得答案；
（2）設(shè)事件為“核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性”，事件為“密切接觸者被感染”，
由題意，，，計(jì)算出可得答案.
【詳解】
（1）為這78名密切接觸者中被感染的人數(shù)，
可取0，1，2，，78，，
所以.
（2）設(shè)事件為“核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性”，事件為“密切接觸者被感染”，
由題意，，，所以
，
，
王某的一個(gè)密切接觸者趙某的核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，他被感染的概率為.
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校開(kāi)展了“學(xué)黨史”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，競(jìng)賽試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，每位選手共需要回答三個(gè)問(wèn)題.對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題，若回答錯(cuò)誤得0分；若回答正確，填空題得30分，選擇題得20分.現(xiàn)設(shè)置了兩種活動(dòng)方案供選手選擇.方案一：只回答填空題；方案二：先回答填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次選擇填空題；若上題回答錯(cuò)誤，則下一次選擇選擇題.已知甲、乙兩位同學(xué)能正確回答填空題的概率均為，能正確回答選擇題的概率均為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).
(1)若甲同學(xué)采用方案一答題，求甲得分不低于60分的概率；
(2)乙同學(xué)應(yīng)該選擇何種方案參加比賽更加有利？并說(shuō)明理由.
【答案】(1)；
(2)乙同學(xué)選擇方案二參加比賽更加有利，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
(1)采用方案一，得分不低于60分，則至少回答正確兩道填空題，根據(jù)每次回答問(wèn)題的獨(dú)立性即可求；
(2)分別計(jì)算出采用方案一時(shí)得分的數(shù)學(xué)期望和采用方案二時(shí)得分的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)數(shù)學(xué)期望即可判斷該選擇哪一種方案更加有利.
(1)
甲同學(xué)采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對(duì)兩道填空題，
∴其概率；
(2)
乙同學(xué)選擇方案二參加比賽更加有利，理由如下：
若采用方案一，則其得分X的可能取值為0，30，60，90，
∴；；
；，
∴X的分布列為
X 0 30 60 90
P
∴X的數(shù)學(xué)期望；
若采用方案二，則其得分Y的可能為取值為0，20，30，50，60，90，
∴；；
；；
；，
∴Y的分布列為
Y 0 20 30 50 60 90
P
∴Y的數(shù)學(xué)期望，
∵，
∴乙同學(xué)選擇方案二參加比賽更加有利.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．
(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；
(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；
(3)求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析
(3)最有可能是1人，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式求解即可；
（2）先寫出X的可能取值，再求出每個(gè)值的概率即可求解；
（3）設(shè)表示第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)可能的取值為、、，分別求出相應(yīng)的概率，比較、、的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.
(1)
5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，
則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；
(2)
X表示第一次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列為：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
(3)
設(shè)表示第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，可能的取值有0，1，2，則有：
，
，
，
因?yàn)椋?br/>故第二次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是1人．
11．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中國(guó)共產(chǎn)黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)順利實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)——全面建成小康社會(huì).某地為了鞏固扶貧成果，決定繼續(xù)對(duì)甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進(jìn)行指導(dǎo).指導(dǎo)方式有兩種，一種是精準(zhǔn)指導(dǎo)，一種是綜合指導(dǎo).已知對(duì)甲企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時(shí)，投資50萬(wàn)元，增加100萬(wàn)元收入的概率為0.2，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.8，采用綜合指導(dǎo)時(shí)，投資100萬(wàn)元，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.6，增加400萬(wàn)收入的概率為0.4；對(duì)乙企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時(shí)，投資50萬(wàn)元，增加100萬(wàn)元收入的概率為0.3，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.7，采用綜合指導(dǎo)時(shí)，投資100萬(wàn)元，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.7，增加400萬(wàn)元收入的概率為0.3.指導(dǎo)結(jié)果在兩家企業(yè)之間互不影響.
(1)若決策部門對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)，設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為萬(wàn)元，求的分布列；
(2)若有150萬(wàn)元無(wú)息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用，對(duì)兩家企業(yè)應(yīng)分別進(jìn)行哪種指導(dǎo)總收入最高？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；
(2)對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)總收入最高，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意確定隨機(jī)變量的所有可能取值，再求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)事件的概率并列出分布列即可；
(2)由條件知指導(dǎo)方案共有三種：對(duì)兩家企業(yè)均進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)；對(duì)甲企業(yè)精準(zhǔn)指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)綜合指導(dǎo)；對(duì)甲企業(yè)綜合指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)精準(zhǔn)指導(dǎo)，然后求出每種方案增加的總收入的數(shù)學(xué)期望，比較它們大小即可.
(1)
由題意知可能取值為300，400，500，600，
則，，
，，
∴當(dāng)決策部門對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)時(shí)，兩家企業(yè)增加的總收入的分布列為
300 400 500 600
0.14 0.56 0.06 0.24
(2)
指導(dǎo)方案1：對(duì)甲、乙兩家企業(yè)均進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo).設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為萬(wàn)元，則可能取值為200，300，400，
且，，
，(萬(wàn)元)；
指導(dǎo)方案2：對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo).
由(1)得(萬(wàn)元)；
指導(dǎo)方案3：對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo).
設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為，則的可能取值為300，400，500，600，
且，，
，，
(萬(wàn)元).
∵，
∴指導(dǎo)方案3：對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)總收入最高.
12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了開(kāi)展中學(xué)生陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)，某校組織學(xué)生全員參與，并印制了“運(yùn)動(dòng)增智”校園紀(jì)念卡鼓勵(lì)學(xué)生，該系列紀(jì)念卡背面分別標(biāo)注不同數(shù)字1，2，3.每名同學(xué)每天自主選擇“球操”和“啦啦操”中項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)結(jié)束后將隨機(jī)等可能地獲得一張校園紀(jì)念卡.
(1)學(xué)生小明運(yùn)動(dòng)前三天獲得的校園紀(jì)念卡背面數(shù)字之和記為X，求；
(2)通過(guò)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)開(kāi)展首日有的學(xué)生選擇“球操”，其余學(xué)生選擇“啦啦操”；在前一天選擇“球操”的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇“球操”，其余選擇“啦啦操”；在前一天選擇“啦啦操”的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇“啦啦操”，其余學(xué)生選擇“球操”，用頻率近似估計(jì)概率，記某學(xué)生運(yùn)動(dòng)第n天選擇“球操”的概率為，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先確定X的所有可能取值，利用古典概型求出每個(gè)X取值對(duì)應(yīng)的概率，再求出；
（2）利用遞推關(guān)系求出與之間的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，再求出.
(1)
由題知，學(xué)生小明運(yùn)動(dòng)前三天獲得的校園紀(jì)念卡背面數(shù)字共有種等可能結(jié)果，X的所有可能取值為3，4，5，6，7，8，9，
數(shù)學(xué)之和為3的僅有種，；
數(shù)字之和為4的有，，3種，；
數(shù)字之和為5的有，，，，，6種，；
數(shù)字之和為6的有，，，，，，7種，；
數(shù)字之和為7的有，，，，，6種，；
數(shù)字之和為8的有，，3種，；
數(shù)字之和為9的有1種，，
∴.
答：學(xué)生小明前三天獲得的校園紀(jì)念卡背面數(shù)字之和X的數(shù)學(xué)期望為6.
(2)
由題知，，
，
∴，又，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，即.
13．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））“女排精神”是中國(guó)女子排球隊(duì)頑強(qiáng)戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神的總概括．為弘揚(yáng)“女排精神”，甲、乙兩班組織了一次排球比賽，采用“五局三勝”制，無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽均分出勝負(fù)且每局比賽相互獨(dú)立，每局比賽乙班獲勝的概率為．
(1)若前兩局已戰(zhàn)成平局，求還需比賽3局比賽才結(jié)束且乙班獲勝的概率；
(2)如果比賽的賽制有“五局三勝”制和“三局兩勝”制，對(duì)于乙班來(lái)說(shuō)，如何選擇比賽賽制對(duì)自己獲勝更有利，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)乙班選擇“三局兩勝”制對(duì)自己獲勝更有利；理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式直接計(jì)算即可；
(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接計(jì)算即可
(1)
記為事件“第i局乙勝”，為事件“第i局乙輸”，，
為事件“還需比賽3局比賽才結(jié)束且乙班獲勝”，則，
故．
(2)
記為事件““三局兩勝”制下乙班獲勝”，為事件““五局三勝”制下乙班獲勝”，
則（2局獲勝）（3局獲勝），
（3局獲勝）（4局獲勝）（5局獲勝），
由于，
故乙班選擇“三局兩勝”制對(duì)自己獲勝更有利．
14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某科研小組開(kāi)發(fā)了A，B兩系列的水稻種子，其中A系列水稻種子包含5個(gè)品種，B系列水稻種子包含7個(gè)品種，現(xiàn)從12個(gè)品種中任選4個(gè)品種進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)隨機(jī)變量X表示其中A系列中被選中的品種數(shù)量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)現(xiàn)從A，B兩個(gè)系列中各選定一個(gè)品種進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得，在相同條件下，A系列品種的種子產(chǎn)量高于B系列品種的種子產(chǎn)量的概率為，記5次試驗(yàn)中A系列品種的種子產(chǎn)量高于B系列品種的種子產(chǎn)量的次數(shù)為Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）記表示A系列種子每穗的水稻重量，由經(jīng)驗(yàn)可得，求．
（若X服從正態(tài)分布，則，，）
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）0.8185
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)分布列的定義求X的分布列，再求期望；（2）（ⅰ）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解；（ⅱ）利用正態(tài)密度曲線求概率．
(1)
由已知X的取值有0，1，2，3，4，
，，
，，
，
∴X的分布列如下
X 0 1 2 3 4
P
∴．
(2)
（ⅰ）由已知可得，
∴．
（ⅱ）．
15．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送位同行專家進(jìn)行評(píng)審，位專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.位專家中有位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進(jìn)行復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，位復(fù)評(píng)專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.
(1)若，求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；
(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)元.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)二項(xiàng)分布和獨(dú)立事件概率公式可表示出所求概率，代入即可得到結(jié)果；
（2）分別求得評(píng)審費(fèi)用所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，由此可確定結(jié)果.
(1)
設(shè)每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”為事件，
則，
，；
(2)
設(shè)每篇文章的評(píng)審費(fèi)用為元，則的可能取值為，，
則，；
.
令，，則.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
的最大值為，每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是元.
16．（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)（理））某省在新高考改革中，擬采取“3+1+2”的考試模式，其中“2”是指考生從政治、化學(xué)、生物、地理中選兩科，按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績(jī)，等級(jí)賦分規(guī)則如下：考生原始成績(jī)（滿分100分）從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%，30%，35%，15%，5%，等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到，，，，五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)分，等級(jí)分滿分為100分.具體如下表：
等級(jí)
比例 15% 30% 35% 15% 5%
賦分區(qū)間
轉(zhuǎn)換公式：，其中，分別表示某個(gè)等級(jí)所對(duì)應(yīng)原始分區(qū)間的下限和上限，，分別表示相應(yīng)等級(jí)的等級(jí)分區(qū)間的下限和上限，表示某等級(jí)內(nèi)某生的原始分，表示相應(yīng)等級(jí)內(nèi)該考生的等級(jí)分（需四舍五入取整）.例如某學(xué)生的政治考試原始成績(jī)?yōu)?0分，成績(jī)等級(jí)為C級(jí)，原始分區(qū)間為，等級(jí)分區(qū)間為，設(shè)該學(xué)生的等級(jí)分為，根據(jù)公式得：，所以.已知某學(xué)校高二年級(jí)學(xué)生有200人選了政治，以政治期末考試成績(jī)?yōu)樵挤謪⒄丈鲜龅燃?jí)賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換本年級(jí)的政治等級(jí)分，其中所有獲得等級(jí)的學(xué)生原始分區(qū)間，其成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：
原始分 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82
人數(shù) 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 3 4 5
(1)已知某同學(xué)政治原始成績(jī)?yōu)?1分，求其轉(zhuǎn)換后的等級(jí)分；
(2)從政治的等級(jí)分不小于95分的學(xué)生中任取3名，設(shè)這3名學(xué)生中等級(jí)分不小于97分人數(shù)為，求的分布列和期望.
【答案】(1)97分
(2)分布列見(jiàn)解析，
【解析】
(1)
該同學(xué)政治原始成績(jī)?yōu)?1分，在區(qū)間上，賦分區(qū)間為，
故轉(zhuǎn)換后的等級(jí)分為,解得分，
(2)
設(shè)等級(jí)分為95分對(duì)應(yīng)的原始分為，
由題意得，解得分，
設(shè)等級(jí)分為97分對(duì)應(yīng)的原始分為，
由題意得，解得分，
即政治的等級(jí)分不小于95分的學(xué)生有8人，政治等級(jí)分不小于97分人數(shù)為3人，
則的取值可以為0,1,2,3，
,
,
,
,
則的分布列為
0 1 2 3
其期望為.
17．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試（理））為了調(diào)查某地區(qū)高中女生的日均消費(fèi)情況，研究人員隨機(jī)抽取了該地區(qū)5000名高中女生作出調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示．
(1)求a的值以及這5000名高中女生的日均消費(fèi)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替）；
(2)在樣本中，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從該地區(qū)消費(fèi)在與的高中女生中隨機(jī)抽取9人，若再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中消費(fèi)在的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)，（元）．
(2)分布列見(jiàn)解析，1
【解析】
【分析】
(1)直方圖的面積為1，故可以求解a；
（2）根據(jù)計(jì)數(shù)原理，可以求出X每一個(gè)可能值的概率.
(1)
由題意得，，解得，
故所求平均數(shù)為（元）；
(2)
由題意得，消費(fèi)在，的高中女生分別有3人和6人，故X的可能取值為0，1，2，3，
∴，，，，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
∴；
故答案為：1.
18．（2022·廣東深圳·一模）2021年10月16日，神舟十三號(hào)載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會(huì)對(duì)接，航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國(guó)空間站開(kāi)啟了有人長(zhǎng)期駐留的時(shí)代．為普及航天知識(shí)，某航天科技體驗(yàn)館開(kāi)展了一項(xiàng)“摸球過(guò)關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．參與者每一輪從口袋中一次性取出3個(gè)球，將其中的紅球個(gè)數(shù)記為該輪得分X，記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中．當(dāng)參與完成第n輪游戲，且其前n輪的累計(jì)得分恰好為2n時(shí)，游戲過(guò)關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同時(shí)游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲．若第3輪后仍未過(guò)關(guān)，則游戲也結(jié)束．每位參與者只能參加一次游戲．
(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若甲參加該項(xiàng)游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出隨機(jī)變量X可取的，并求出相應(yīng)概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（2）分別求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可領(lǐng)取紀(jì)念的概率，再相加得出甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．
(1)
由題意得，隨機(jī)變量X可取的值為1，2，3，
易知，，所以，
則隨機(jī)變量X的分布列如下：
X 1 2 3
P 0.3 0.6 0.1
所以
(2)
由（1）可知，參與者每輪得1分，2分，3分的概率依次為0.3，0.6，0.1，
記參與者第i輪的得分為，則其前n輪的累計(jì)得分為，
若參與者取球1次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即參與者得2分，則；
若參與者取球2次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即參與者獲得的分?jǐn)?shù)之和為4分，有“”、“”的情形，
則；
若參與者取球3次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即參與者獲得的分?jǐn)?shù)之和為6分，
有“”、“”的情形，則；
記“參與者能夠領(lǐng)取紀(jì)念品”為事件A，則
．
19．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））某校高三年級(jí)舉行元宵喜樂(lè)會(huì)，兩人一組猜燈謎，每輪游戲中，每小組兩人各猜燈謎兩次，猜對(duì)燈謎的次數(shù)之和不少于3次就可以獲得“最佳拍檔”稱號(hào).甲乙兩人同一小組，甲和乙猜對(duì)燈謎的概率分別為，.
(1)若，，求在第一輪游戲中他倆就獲得“最佳拍檔”稱號(hào)的概率；
(2)若，且在前n輪游戲中甲乙兩人的小組獲得“最佳拍檔”稱號(hào)的次數(shù)的期望為16次，則n的最小值是多少？并求此時(shí)的，的值.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得輪游戲中他倆就獲得最佳拍檔稱號(hào)的概率；
（2）求得第一輪游戲中獲得“最佳拍檔”稱號(hào)的概率為，根據(jù)題意得到，令，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的性質(zhì)，即可求解.
(1)
解：由題意，在“第一輪游戲中他倆就獲得最佳拍檔稱號(hào)”為事件A，
則.
(2)
解：他們?cè)诘谝惠営螒蛑蝎@得“最佳拍檔”稱號(hào)的概率為
，
由于，，因此，故，
令，則，
當(dāng)時(shí)，可得，
甲乙兩人小組前n輪游戲中獲得“最佳拍檔”稱號(hào)的次數(shù)，
由，知.
所以n的最小值是，此時(shí).
20．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）黨的十九屆五中全會(huì)強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新”在我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)中的重要戰(zhàn)略地位，確保發(fā)展經(jīng)濟(jì)著力點(diǎn)放在實(shí)體經(jīng)濟(jì)上，為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活力，拉動(dòng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，必須大力推進(jìn)大眾創(chuàng)業(yè)、萬(wàn)眾創(chuàng)新．某幾位大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一家服務(wù)公司，該公司提供、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購(gòu)買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買產(chǎn)品的人購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，而前一次購(gòu)買產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，前一次購(gòu)買產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù)．記某人第次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為．
(1)求；
(2)記第二次來(lái)公司購(gòu)買產(chǎn)品的個(gè)人中有個(gè)人購(gòu)買產(chǎn)品，人是否購(gòu)買產(chǎn)品相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)概率公式求出；
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求得的各種取值所對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算出期望即可.
(1)
某人第次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為,即；
(2)
由題意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列為
的數(shù)學(xué)期望為
．第34講 離散型隨機(jī)變量分布列與期望
方法總結(jié)：
1、如何分辨隨機(jī)變量分布列是否符合特殊分布：
（1）隨機(jī)變量的取值：隨機(jī)變量的取值要與特殊分布中的取值完全一致.
（2）每個(gè)特殊的分布都有一個(gè)試驗(yàn)背景，在滿足（1）的前提下可通過(guò)該試驗(yàn)的特征判斷是否符合某分布
2、常見(jiàn)的分布
（1）兩點(diǎn)分布：一項(xiàng)試驗(yàn)有兩個(gè)結(jié)果，其中事件發(fā)生的概率為，令，則的分布列為：
則稱符合兩點(diǎn)分布（也稱伯努利分布），其中稱為成功概率
（2）超幾何分布：在含有個(gè)特殊元素的個(gè)元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的個(gè)數(shù)記為，則有，其中
即：
則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布
（3）二項(xiàng)分布：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，設(shè)在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量，則有 ，即：
則稱隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，記為
3、期望：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：
則稱的值為的期望，記為
（1）期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，換句話說(shuō)，是做了次這樣的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)變量會(huì)取一個(gè)值（即結(jié)果所對(duì)應(yīng)的數(shù)），將這些數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算平均數(shù)，當(dāng)足夠大時(shí)，平均數(shù)無(wú)限接近一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)即為該隨機(jī)變量的期望。
（2）期望的運(yùn)算法則：若兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：，則有
① 是指隨機(jī)變量取值存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，且具備對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組代表事件的概率相同：若的分布列為：
則的分布列為：
② 這個(gè)公式體現(xiàn)出通過(guò)隨機(jī)變量的線性關(guān)系，可得期望之間的聯(lián)系。
4、方差：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：
且記隨機(jī)變量的期望為，用表示的方差，則有：
（1）方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的分散程度，方差大說(shuō)明這些數(shù)分布的比較分散，方差小說(shuō)明這些數(shù)分布的較為集中（集中在期望值周圍）
（2）在計(jì)算方差時(shí)，除了可以用定義式之外，還可以用以下等式進(jìn)行計(jì)算：設(shè)隨機(jī)變量為 ，則
（3）方差的運(yùn)算法則：若兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：，則有：
5、常見(jiàn)分布的期望與方差：
（1）兩點(diǎn)分布：則
（2）二項(xiàng)分布：若，則
典型例題：
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國(guó)企業(yè)依靠自身強(qiáng)大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)機(jī)，“爭(zhēng)分奪秒 保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標(biāo)語(yǔ)
.
(1)在試產(chǎn)初期，某新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測(cè)工序.已知批次A的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.求批次A成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率為，設(shè)100個(gè)成品口罩中恰有1個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率.某醫(yī)院獲得批次，的口罩捐贈(zèng)并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，正常佩戴使用這兩個(gè)批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測(cè)情況如條形圖所示；求出，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)？
例2．（2022·山東·青島二中高三開(kāi)學(xué)考試）某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來(lái)的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后，擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．
(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大小；
(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬(wàn)元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)問(wèn)選擇哪一種方案比較好？并說(shuō)明理由．
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）年五一節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握五一節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了日上午這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段記作，記作，記作，記作，例如：，記作時(shí)刻.
(1)估計(jì)這輛車在時(shí)間內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）
(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這輛車中抽取輛，再?gòu)倪@輛車中隨機(jī)抽取輛，設(shè)抽到的輛車中，在之間通過(guò)的車輛數(shù)為，求的分布列；
(3)根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用日數(shù)據(jù)中的輛車在之間通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（經(jīng)計(jì)算樣本方差為）.假如日上午這一時(shí)間段內(nèi)共有輛車通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，估計(jì)在之間通過(guò)的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）
附：；若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.
例4．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））2021年2月25日，全國(guó)脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)在北京召開(kāi)，充分肯定了脫貧攻堅(jiān)取得的重大歷史性成就，習(xí)近平總書(shū)記在大會(huì)上深刻闡述了偉大脫貧攻堅(jiān)精神，并對(duì)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果、全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興提出了明確的要求，為了更高效地推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某市直單位欲從部門A，B，C的10人中選派4人與其下轄的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲對(duì)接相關(guān)業(yè)務(wù)，其中部門A，B，C可選派的人數(shù)分別為3，3，4，且每個(gè)人被選派的可能性一樣.
(1)求選派的4人中至少有1人來(lái)自部門C的概率；
(2)選派的4人中來(lái)自部門A，B，C的人數(shù)分別為x，y，z，記x，y，z中最大的數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
例5．（2022·廣東高州·二模）某校組織“百年黨史”知識(shí)比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會(huì)相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒(méi)回答者得0分；搶到題目且回答錯(cuò)誤者得0分，沒(méi)搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對(duì)每道題目的概率為．乙答對(duì)每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．
(1)求乙同學(xué)得100分的概率；
(2)記X為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
例6．（2022·福建三明·高三期末）為樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，三明市某公司將于2022年3月12日開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng)，為提高職工的積極性，活動(dòng)期間將設(shè)置抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，具體方案為：根據(jù)植樹(shù)的棵數(shù)可以選擇在甲箱或乙箱中摸獎(jiǎng)，每箱內(nèi)各有除顏色外完全相同的10個(gè)球，甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中a個(gè)紅球、b個(gè)黃球、5個(gè)黑球（），乙箱內(nèi)有6個(gè)紅球、4個(gè)黃球．若在甲箱內(nèi)摸球，則每次摸出一個(gè)球后放回原箱，摸得紅球獎(jiǎng)100元，摸得黃球獎(jiǎng)50元，摸得黑球則沒(méi)有獎(jiǎng)金；若在乙箱內(nèi)摸球，則每次摸出兩球后放回原箱，兩球均為紅球獎(jiǎng)150元，否則沒(méi)有獎(jiǎng)金．
(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)，每人的植樹(shù)棵數(shù)X服從正態(tài)分布N（15，25），現(xiàn)有1000位植樹(shù)者，請(qǐng)估計(jì)植樹(shù)的棵數(shù)X在區(qū)間（10，25）內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；
(2)根據(jù)植樹(shù)的棵數(shù)，某職工可選擇以下兩種方案摸獎(jiǎng)，方案一：三次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方案二：兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．請(qǐng)根據(jù)獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望分析該職工如何選擇摸獎(jiǎng)方案．
附參考數(shù)據(jù)：若，則，．
例7．（2022·江西九江·一模（理））非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是一個(gè)國(guó)家和民族歷史文化成就的重要標(biāo)志，是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分．瑞昌剪紙于2008年列入第二批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．由于瑞昌地處南北交匯處，經(jīng)過(guò)千年的南北文化相互浸潤(rùn)與滲透，瑞昌剪紙融入了南方的陰柔之麗、精巧秀美和北方的陽(yáng)剛之美、古樸豪放．為了弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某校將舉辦一次剪紙比賽，共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，若有不少于3幅作品入選，將獲得“巧手獎(jiǎng)”．5輪比賽中，至少獲得4次“巧手獎(jiǎng)”的同學(xué)將進(jìn)入決賽．某同學(xué)經(jīng)歷多次模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練作品中隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各5幅，其中有4幅規(guī)定作品和3幅創(chuàng)意作品符合入選標(biāo)準(zhǔn)．
(1)從這10幅訓(xùn)練作品中，隨機(jī)抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，試預(yù)測(cè)該同學(xué)在一輪比賽中獲“巧手獎(jiǎng)”的概率；
(2)以上述兩類作品各自入選的頻率作為該同學(xué)參賽時(shí)每幅作品入選的概率．經(jīng)指導(dǎo)老師對(duì)該同學(xué)進(jìn)行賽前強(qiáng)化訓(xùn)練，規(guī)定作品和創(chuàng)意作品入選的概率共提高了，以獲得“巧手獎(jiǎng)”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測(cè)該同學(xué)能否進(jìn)入決賽？
例8．（2022·河南焦作·一模（理））某科技公司有甲 乙 丙三個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為，，.現(xiàn)安排甲組和乙組研發(fā)新產(chǎn)品A，丙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)每個(gè)小組研發(fā)成功與否相互獨(dú)立，且當(dāng)甲組和乙組至少有一組研發(fā)成功時(shí)，新產(chǎn)品A就研發(fā)成功.
(1)求新產(chǎn)品A，B均研發(fā)成功的概率.
(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)該公司可獲利潤(rùn)180萬(wàn)元，否則利潤(rùn)為0萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)該公司可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元，否則利潤(rùn)為0萬(wàn)元.求該公司研發(fā)A，B兩種新產(chǎn)品可獲總利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的分布列和數(shù)學(xué)期望.
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）國(guó)際比賽賽制常見(jiàn)的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場(chǎng)比賽的失敗者直接淘汰，常見(jiàn)的有等等．表示雙方進(jìn)行一局比賽，獲勝者晉級(jí)．表示雙方最多進(jìn)行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級(jí)；若前兩局兩人各勝一局，則需要進(jìn)行第三局決勝負(fù)．現(xiàn)在四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進(jìn)行，勝者晉級(jí)，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進(jìn)行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨(dú)立．
（1）在C進(jìn)入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；
（2）記A參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
過(guò)關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））某校高三2班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中小學(xué)生對(duì)勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開(kāi)展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，學(xué)校提供了：除草 翻地 播種 澆水四個(gè)項(xiàng)目.規(guī)定女生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，男生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)或者3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，每參加1個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)獲得10分，求：
(1)在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率；
(2)記該小組得分為X，求X的期望.
2．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場(chǎng)以來(lái)，受到多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲 乙兩家第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，邀請(qǐng)多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.
(1)若參加的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若有位車主，記總得分恰好為n分的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)在（2）的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.
3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了深入貫徹黨的十九大和十九屆五中全會(huì)精神，堅(jiān)持以新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為指導(dǎo)，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，著眼建設(shè)高質(zhì)量教育體系，強(qiáng)化學(xué)校教育主陣地作用，深化校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)治理，構(gòu)建教育良好生態(tài)，有效緩解家長(zhǎng)焦慮情緒，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、健康成長(zhǎng)．教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策，即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）．“雙減”政策的出臺(tái)對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響．某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2020年的前200名報(bào)名學(xué)員消費(fèi)等情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中消費(fèi)情況數(shù)據(jù)如表．
消費(fèi)金額（千元）
人數(shù) 30 50 60 20 30 10
(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛(ài)好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛(ài)好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再?gòu)倪@5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問(wèn)卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2020年所有學(xué)員的消費(fèi)可視為服從正態(tài)分布，，分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．
（ⅰ）試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2020年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
（ⅱ）若從該機(jī)構(gòu)2020年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的分布列及方差．
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，為全面推進(jìn)學(xué)校素質(zhì)教育，推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng).學(xué)校準(zhǔn)備調(diào)查高一新生每周日常運(yùn)動(dòng)情況，學(xué)校通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，收集了300名學(xué)生每周平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），并根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.
(1)求這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)中女生人數(shù)，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)與方差；
(2)在調(diào)查的300名學(xué)生中按每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間采用分層抽樣法抽取20人參加校園“我運(yùn)動(dòng)我快樂(lè)”活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)8小時(shí)”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
5．（2022·江蘇高郵·高三開(kāi)學(xué)考試）為進(jìn)一步完善公共出行方式，倡導(dǎo)“綠色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行，同時(shí)希望市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每次的租用時(shí)間進(jìn)行繳費(fèi)，具體繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；②超出一小時(shí)后每小時(shí)1元（不足一小時(shí)按一小時(shí)計(jì)算），一天24小時(shí)最高收費(fèi)10元.某日甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，且兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.5，0.4；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付費(fèi)多的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
6．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開(kāi)幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項(xiàng)目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項(xiàng)目．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)人決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）自年秋季學(xué)期開(kāi)始中小學(xué)全面落實(shí)“雙減”工作，為使廣大教育工作者充分認(rèn)識(shí)“雙減”工作的重大意義，某地區(qū)教育行政部門舉辦了一次線上答卷活動(dòng)，從中抽取了名教育工作者的答卷，得分情況統(tǒng)計(jì)如下（滿分：分）．
名教育工作者答卷得分頻數(shù)分布表
分組 頻數(shù)
合計(jì)
(1)若這名教育工作者答卷得分服從正態(tài)分布（其中用樣本數(shù)據(jù)的均值表示，用樣本數(shù)據(jù)的方差表示），求；
(2)若以這名教育工作者答卷得分估計(jì)全區(qū)教育工作者的答卷得分，則從全區(qū)所有教育工作者中任意選取人的答卷得分，記為這人的答卷得分不低于分且低于分的人數(shù)，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有專家指出，與新冠病毒感染者密切接觸過(guò)的人，被感染的概率是．王某被確診為新冠病毒感染者后，當(dāng)?shù)販?zhǔn)備對(duì)王某的密切接觸者共78人逐一進(jìn)行核酸檢測(cè)．
（1）設(shè)為這78名密切接觸者中被感染的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）核酸檢測(cè)并不是準(zhǔn)確，有可能出現(xiàn)假陰性（新冠病毒感染者的檢測(cè)結(jié)果為陰性，即漏診）或假陽(yáng)性（非新冠病毒感染者的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，即誤診）．假設(shè)當(dāng)?shù)睾怂釞z測(cè)的靈敏度為（即假陰性率為），特異度為（即假陽(yáng)性率為）．已知王某的一個(gè)密切接觸者趙某的核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，求他被感染的概率（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）．
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校開(kāi)展了“學(xué)黨史”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，競(jìng)賽試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，每位選手共需要回答三個(gè)問(wèn)題.對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題，若回答錯(cuò)誤得0分；若回答正確，填空題得30分，選擇題得20分.現(xiàn)設(shè)置了兩種活動(dòng)方案供選手選擇.方案一：只回答填空題；方案二：先回答填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次選擇填空題；若上題回答錯(cuò)誤，則下一次選擇選擇題.已知甲、乙兩位同學(xué)能正確回答填空題的概率均為，能正確回答選擇題的概率均為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).
(1)若甲同學(xué)采用方案一答題，求甲得分不低于60分的概率；
(2)乙同學(xué)應(yīng)該選擇何種方案參加比賽更加有利？并說(shuō)明理由.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．
(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；
(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；
(3)求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中國(guó)共產(chǎn)黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)順利實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)——全面建成小康社會(huì).某地為了鞏固扶貧成果，決定繼續(xù)對(duì)甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進(jìn)行指導(dǎo).指導(dǎo)方式有兩種，一種是精準(zhǔn)指導(dǎo)，一種是綜合指導(dǎo).已知對(duì)甲企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時(shí)，投資50萬(wàn)元，增加100萬(wàn)元收入的概率為0.2，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.8，采用綜合指導(dǎo)時(shí)，投資100萬(wàn)元，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.6，增加400萬(wàn)收入的概率為0.4；對(duì)乙企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時(shí)，投資50萬(wàn)元，增加100萬(wàn)元收入的概率為0.3，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.7，采用綜合指導(dǎo)時(shí)，投資100萬(wàn)元，增加200萬(wàn)元收入的概率為0.7，增加400萬(wàn)元收入的概率為0.3.指導(dǎo)結(jié)果在兩家企業(yè)之間互不影響.
(1)若決策部門對(duì)甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對(duì)乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)，設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為萬(wàn)元，求的分布列；
(2)若有150萬(wàn)元無(wú)息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用，對(duì)兩家企業(yè)應(yīng)分別進(jìn)行哪種指導(dǎo)總收入最高？請(qǐng)說(shuō)明理由.
12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了開(kāi)展中學(xué)生陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)，某校組織學(xué)生全員參與，并印制了“運(yùn)動(dòng)增智”校園紀(jì)念卡鼓勵(lì)學(xué)生，該系列紀(jì)念卡背面分別標(biāo)注不同數(shù)字1，2，3.每名同學(xué)每天自主選擇“球操”和“啦啦操”中項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)結(jié)束后將隨機(jī)等可能地獲得一張校園紀(jì)念卡.
(1)學(xué)生小明運(yùn)動(dòng)前三天獲得的校園紀(jì)念卡背面數(shù)字之和記為X，求；
(2)通過(guò)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)開(kāi)展首日有的學(xué)生選擇“球操”，其余學(xué)生選擇“啦啦操”；在前一天選擇“球操”的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇“球操”，其余選擇“啦啦操”；在前一天選擇“啦啦操”的學(xué)生中，次日會(huì)有的學(xué)生繼續(xù)選擇“啦啦操”，其余學(xué)生選擇“球操”，用頻率近似估計(jì)概率，記某學(xué)生運(yùn)動(dòng)第n天選擇“球操”的概率為，求.
13．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））“女排精神”是中國(guó)女子排球隊(duì)頑強(qiáng)戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神的總概括．為弘揚(yáng)“女排精神”，甲、乙兩班組織了一次排球比賽，采用“五局三勝”制，無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽均分出勝負(fù)且每局比賽相互獨(dú)立，每局比賽乙班獲勝的概率為．
(1)若前兩局已戰(zhàn)成平局，求還需比賽3局比賽才結(jié)束且乙班獲勝的概率；
(2)如果比賽的賽制有“五局三勝”制和“三局兩勝”制，對(duì)于乙班來(lái)說(shuō)，如何選擇比賽賽制對(duì)自己獲勝更有利，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某科研小組開(kāi)發(fā)了A，B兩系列的水稻種子，其中A系列水稻種子包含5個(gè)品種，B系列水稻種子包含7個(gè)品種，現(xiàn)從12個(gè)品種中任選4個(gè)品種進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)隨機(jī)變量X表示其中A系列中被選中的品種數(shù)量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)現(xiàn)從A，B兩個(gè)系列中各選定一個(gè)品種進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得，在相同條件下，A系列品種的種子產(chǎn)量高于B系列品種的種子產(chǎn)量的概率為，記5次試驗(yàn)中A系列品種的種子產(chǎn)量高于B系列品種的種子產(chǎn)量的次數(shù)為Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）記表示A系列種子每穗的水稻重量，由經(jīng)驗(yàn)可得，求．
（若X服從正態(tài)分布，則，，）
15．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送位同行專家進(jìn)行評(píng)審，位專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.位專家中有位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進(jìn)行復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，位復(fù)評(píng)專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.
(1)若，求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；
(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？
16．（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)（理））某省在新高考改革中，擬采取“3+1+2”的考試模式，其中“2”是指考生從政治、化學(xué)、生物、地理中選兩科，按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績(jī)，等級(jí)賦分規(guī)則如下：考生原始成績(jī)（滿分100分）從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%，30%，35%，15%，5%，等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到，，，，五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)分，等級(jí)分滿分為100分.具體如下表：
等級(jí)
比例 15% 30% 35% 15% 5%
賦分區(qū)間
轉(zhuǎn)換公式：，其中，分別表示某個(gè)等級(jí)所對(duì)應(yīng)原始分區(qū)間的下限和上限，，分別表示相應(yīng)等級(jí)的等級(jí)分區(qū)間的下限和上限，表示某等級(jí)內(nèi)某生的原始分，表示相應(yīng)等級(jí)內(nèi)該考生的等級(jí)分（需四舍五入取整）.例如某學(xué)生的政治考試原始成績(jī)?yōu)?0分，成績(jī)等級(jí)為C級(jí)，原始分區(qū)間為，等級(jí)分區(qū)間為，設(shè)該學(xué)生的等級(jí)分為，根據(jù)公式得：，所以.已知某學(xué)校高二年級(jí)學(xué)生有200人選了政治，以政治期末考試成績(jī)?yōu)樵挤謪⒄丈鲜龅燃?jí)賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換本年級(jí)的政治等級(jí)分，其中所有獲得等級(jí)的學(xué)生原始分區(qū)間，其成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：
原始分 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82
人數(shù) 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 3 4 5
(1)已知某同學(xué)政治原始成績(jī)?yōu)?1分，求其轉(zhuǎn)換后的等級(jí)分；
(2)從政治的等級(jí)分不小于95分的學(xué)生中任取3名，設(shè)這3名學(xué)生中等級(jí)分不小于97分人數(shù)為，求的分布列和期望.
17．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試（理））為了調(diào)查某地區(qū)高中女生的日均消費(fèi)情況，研究人員隨機(jī)抽取了該地區(qū)5000名高中女生作出調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示．
(1)求a的值以及這5000名高中女生的日均消費(fèi)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替）；
(2)在樣本中，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從該地區(qū)消費(fèi)在與的高中女生中隨機(jī)抽取9人，若再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中消費(fèi)在的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
18．（2022·廣東深圳·一模）2021年10月16日，神舟十三號(hào)載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會(huì)對(duì)接，航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國(guó)空間站開(kāi)啟了有人長(zhǎng)期駐留的時(shí)代．為普及航天知識(shí)，某航天科技體驗(yàn)館開(kāi)展了一項(xiàng)“摸球過(guò)關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．參與者每一輪從口袋中一次性取出3個(gè)球，將其中的紅球個(gè)數(shù)記為該輪得分X，記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中．當(dāng)參與完成第n輪游戲，且其前n輪的累計(jì)得分恰好為2n時(shí)，游戲過(guò)關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同時(shí)游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲．若第3輪后仍未過(guò)關(guān)，則游戲也結(jié)束．每位參與者只能參加一次游戲．
(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若甲參加該項(xiàng)游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．
19．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））某校高三年級(jí)舉行元宵喜樂(lè)會(huì)，兩人一組猜燈謎，每輪游戲中，每小組兩人各猜燈謎兩次，猜對(duì)燈謎的次數(shù)之和不少于3次就可以獲得“最佳拍檔”稱號(hào).甲乙兩人同一小組，甲和乙猜對(duì)燈謎的概率分別為，.
(1)若，，求在第一輪游戲中他倆就獲得“最佳拍檔”稱號(hào)的概率；
(2)若，且在前n輪游戲中甲乙兩人的小組獲得“最佳拍檔”稱號(hào)的次數(shù)的期望為16次，則n的最小值是多少？并求此時(shí)的，的值.
20．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）黨的十九屆五中全會(huì)強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新”在我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)中的重要戰(zhàn)略地位，確保發(fā)展經(jīng)濟(jì)著力點(diǎn)放在實(shí)體經(jīng)濟(jì)上，為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活力，拉動(dòng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，必須大力推進(jìn)大眾創(chuàng)業(yè)、萬(wàn)眾創(chuàng)新．某幾位大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一家服務(wù)公司，該公司提供、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購(gòu)買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買產(chǎn)品的人購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，而前一次購(gòu)買產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，前一次購(gòu)買產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為，購(gòu)買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù)．記某人第次來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品的概率為．
(1)求；
(2)記第二次來(lái)公司購(gòu)買產(chǎn)品的個(gè)人中有個(gè)人購(gòu)買產(chǎn)品，人是否購(gòu)買產(chǎn)品相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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