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第1節　曲線運動
1．知道什么是曲線運動，會確定曲線運動速度的方向．
2．知道曲線運動是變速運動．
3．知道物體做曲線運動的條件．
4．會確定物體在平面內運動的位置、速度與軌跡．
一、隨處可見的曲線運動
1．觀察教材圖112所示的各種運動，這些運動的軌跡有何特點？
提示：軌跡是曲線．
2．曲線運動：物體的軌跡是曲線的運動．
二、曲線運動的速度方向
1．觀察教材圖113和114描述的現象，如何確定曲線運動的速度方向？
(1)在砂輪切割鋼材時，火花沿砂輪的切線飛出．
(2)小球離開護欄時，其速度方向沿護欄末端的切線方向．
2．曲線運動的速度
(1)速度方向：沿曲線在這一點的切線方向．
(2)運動性質：速度方向時刻在改變，曲線運動一定是變速運動．
3．思考：在沙漠中，甲殼蟲在爬行過程中留下一段清晰的痕跡．如圖所示，請標明甲殼蟲在依次經過A、B、C各點時的速度方向．
提示：分別過A、B、C三點作曲線的切線，切線方向即為該點的速度方向．
三、曲線運動的條件
1．觀察教材圖117，鋼球在磁鐵的吸引下做曲線運動．試著在軌跡上標出一些位置的速度方向與磁鐵的吸引力的方向，你發現了什么問題？
提示：速度的方向與吸引力的方向不在一條直線上．
2．物體做曲線運動的條件
(1)動力學角度：當物體所受合力的方向與其速度的方向不在同一條直線上時，物體做曲線運動．
(2)運動學角度：當物體的加速度方向與其速度的方向不在同一條直線上時，物體做曲線運動．
3．思考：拿出一枚硬幣水平拋出后在空中(不計空氣阻力)將做曲線運動，硬幣做曲線運動的速度方向、合力方向及運動軌跡之間的空間關系怎樣？大致畫出軌跡，標出一些位置的速度方向與合力方向．
提示：如圖，速度方向與合力方向不在一條直線上，軌跡處于速度與合力所夾角的范圍里且向合力指向的一側彎曲．
重要結論：在曲線運動中，物體的運動軌跡向合力F指向的一側彎曲，軌跡夾在v與F之間．
探究一　曲線運動的速度
1．如圖所示，過山車沿圓形軌道勻速轉動，即轉動過程中速度大小保持不變．
(1)上圖中，過山車勻速轉動，其速度發生變化嗎？
提示：速度大小不變，方向時刻變化，即速度是變化的．
(2)過山車做的是曲線運動，其速度方向不斷變化，那么如何確定物體在某一點的速度方向？
提示：過軌跡上的點作切線即為速度方向．
(3)物體做曲線運動時，加速度可以為零嗎？為什么？
提示：不可以．因速度是變化的，一定有加速度．
2．曲線運動一定是變速運動，而變速運動一定是曲線運動嗎？
提示：不一定．
(多選)關于曲線運動，下列說法正確的是(　　)
A．曲線運動一定是變速運動
B．曲線運動速度的方向不斷地變化，但速度的大小可以不變
C．在曲線運動中，質點在任一位置的速度方向總是與這點的切線方向相同
D．在曲線運動中，質點的速度方向有時也不一定是沿著軌跡的切線方向
解析：做曲線運動的物體，速度方向時刻變化，但速度的大小不一定變化，故曲線運動一定是變速運動，選項A、B正確；曲線運動中速度的方向沿軌跡的切線方向，選項C正確，選項D錯誤．
答案：ABC
【題后總結】　曲線運動的特點是速度的方向時刻變化，是變速運動．
1．(多選)關于質點做曲線運動的說法，正確的是(　　)
A．速度大小一定在時刻變化
B．速度的方向一定在時刻變化
C．它一定在做變速運動
D．它可能是速率不變的運動
答案：BCD
探究二　物體做曲線運動的條件
1．物體做曲線運動的條件是速度與合力的方向不在一直線上．
2．物體做曲線運動時受到的合外力一定不為零，合外力一定是恒力嗎？
提示：不一定．當物體受到的合力的方向與其運動方向不共線時，物體將做曲線運動，與其受到的合力大小是否變化無關．
如圖所示，物體在恒力F作用下沿曲線從A運動到B，這時突然使它所受的力反向而大小不變(即由F變為－F)，在此力作用下，物體以后的運動情況，下列說法正確的是(　　)
A．物體可能沿曲線Ba運動
B．物體可能沿直線Bb運動
C．物體可能沿曲線Bc運動
D．物體可能沿原曲線由B返回A
解析：物體在A點時的速度vA沿A點的切線方向，物體在恒力F作用下沿曲線AB運動，此力F必有垂直于vA的分量，即力F可能為圖中A處所示的各種方向之一；當物體到達B點時，瞬時速度vB沿B點的切線方向，這時受力F′＝－F，即F′只可能為圖中B處所示的方向之一；可知物體以后只可能沿曲線Bc運動，所以選項C正確．
答案：C
【題后總結】　做曲線運動的物體其軌跡向力指向的一側彎曲．
2．在2018年6月1日，在云南省西雙版納自治區景洪市墜落一顆隕石，圖示是一目擊者看到隕石在大氣層中下落的一段運動軌跡，由此可判斷隕石在圖示的運動過程中(　　)
A．隕石所受合力可能為零
B．運動軌跡一每一點的切線方向，就是隕石的運動方向
C．隕石受到的合力方向可能與速度方向相同
D．隕石的運動速度可能不變
解析：隕石做曲線運動，則所受合力不可能為零，選項A錯誤；曲線運動軌跡上每一點的切線方向，就是隕石的運動方向，選項B正確；隕石做曲線運動，則受到的合力方向不可能與速度方向相同，選項C錯誤；隕石的運動速度方向不斷變化，則速度不斷變化，選項D錯誤；故選B．
答案：B
一、曲線運動的速度
1．曲線運動的速度
(1)曲線運動中質點在某一時刻(或某一位置)的速度方向，就是質點從該時刻(或該點)脫離曲線后自由運動的方向，也就是曲線上這一點的切線方向．
(2)速度是一個矢量，既有大小，又有方向．假如在運動過程中只有速度大小的變化，而物體的速度方向不變，則物體只能做直線運動．因此，若物體做曲線運動，表明物體的速度方向發生了變化．
2．曲線運動的性質
(1)速度是矢量，它既有大小，又有方向．不論速度的大小是否改變，只要速度的方向發生改變，就表示速度矢量發生了變化，即加速度不為0.曲線運動中速度的方向在變，所以曲線運動一定是變速運動．
(2)曲線運動是否是勻變速運動取決于物體的合外力情況．合外力為恒力，物體做勻變速曲線運動；合外力為變力，物體做非勻變速曲線運動．
二、對物體做曲線運動條件的理解
1．物體做曲線運動的條件
(1)動力學條件：合力與速度方向不共線是物體做曲線運動的充要條件，這包含三個層次的內容．
①初速度不為零；
②合力不為零；
③合力與速度方向不共線．
(2)運動學條件：加速度與速度方向不共線．
2．物體的運動與合力的關系
(1)合外力方向與物體的速度方向在同一條直線上時，物體做加速直線運動或減速直線運動．
(2)合外力方向與物體的速度方向不在同一條直線上時，物體做曲線運動．
3．兩個重要推論
(1)合外力方向與速度方向夾角為銳角時，物體做曲線運動，速率越來越大；合外力方向與速度方向夾角為直角時，物體做曲線運動，速率不變；合外力方向與速度方向夾角為鈍角時，物體做曲線運動，速率越來越小．
(2)物體的運動軌跡與合外力有關，物體運動時其軌跡總偏向合外力所指的一側，或者說合外力總指向運動軌跡的凹側．
三、曲線運動中力、軌跡與速度的關系
物體做曲線運動時軌跡的特點如圖所示，F1、F2分別是F沿v和垂直于v方向的分力，正是由于F2的作用，物體的速度方向才不斷發生變化而做曲線運動，所以物體的軌跡應彎向F的一側，軌跡夾在v和F之間．
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．曲線運動的速度大小可以不變，但速度方向一定改變
B．曲線運動的速度方向可以不變，但速度大小一定改變
C．做曲線運動的物體的速度方向可以改變也可以不變
D．做曲線運動的物體在某點的速度方向即為該點的切線方向
解析：物體做曲線運動的軌跡為曲線，其速度方向沿該點切線方向，故速度方向一定變化，所以選項A、D正確．
答案：AD
2．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．物體在恒力作用下可能做曲線運動
B．物體在變力作用下不可能做曲線運動
C．做曲線運動的物體，其速度方向與加速度的方向不在同一直線上
D．物體在變力作用下有可能做曲線運動
解析：物體做曲線運動的條件是：物體所受合外力的方向與它的速度方向不在同一條直線上，這里合外力并未限定是變力還是恒力．物體可以受一個力，也可以受多個力，受力可以是恒力，也可以是變力，所以選項A、D正確，選項B錯誤．據牛頓第二定律可知，加速度方向與合外力方向一致，故可判斷選項C正確．
答案：ACD
3．一質點在某段時間內做曲線運動，則在這段時間內(　　)
A．速度一定不斷變化，加速度也一定變化
B．速度一定不斷變化，加速度可能不變
C．速度可能不變，加速度一定不斷變化
D．速度可能不變，加速度也可能不變
解析：曲線運動的速度不斷改變，加速度不一定改變，故B正確，ACD錯誤．
答案：B
4．做曲線運動的物體，在運動過程中，一定變化的物理量是(　　)
A．合外力　　　　　　 B．速率
C．速度 D．加速度
解析：曲線運動是變速運動，其速度一定變化，選項C正確；做曲線運動的物體，合外力既可以恒定不變，也可以是變化的，加速度也是這樣，選項A、D錯誤；做曲線運動的物體，例如勻速圓周運動，其速率保持不變，選項B錯誤．
答案：C
5．(多選)一質點以水平向右的恒定速度v通過P點時受到一個恒力F的作用，則此后該質點的運動軌跡可能是圖中的(　　)
A．a　　 B．b　　
C．c　　 D．d
解析：物體做曲線運動過程中，受到的合力總指向軌跡的內側．當恒力沿水平方向作用于P點時，質點的運動軌跡可以是b；當恒力向上作用于P點時，質點的運動軌跡可以是a；質點的速度不能突變，所以c、d不可能，AB正確．
答案：AB
活頁作業(一)　曲線運動
(15分鐘　50分)
一、選擇題(每小題5分，共35分)
1．關于曲線運動，下列說法正確的是(　　)
A．曲線運動是一種勻變速運動
B．變速運動不一定是曲線運動
C．物體做曲線運動時，所受外力的合力可能與速度方向在同一條直線上
D．物體做曲線運動時，所受合力一定是變力
解析：做曲線運動的物體，其速度的方向時刻變化，所以曲線運動一定是變速運動，但不一定是勻變速運動，選項A錯誤；變速運動不一定是曲線運動，如勻變速直線運動，選項B正確；物體做曲線運動的條件是物體所受合力的方向與速度方向不在同一直線上，選項C錯誤；物體做曲線運動，所受合力也可能是恒力，選項D錯誤．
答案：B
2．關于曲線運動，下列說法正確的是 (　　)
A．曲線運動一定是變速運動，速度的大小一定變化
B．曲線運動中加速度一定不為零，但可以恒定不變
C．曲線運動中的物體不可能受到恒力作用
D．在平衡力作用下的物體可以做曲線運動
解析：由于物體做曲線運動時，其軌跡上各點的切線方向不同，故其速度方向一定變化，但速度大小可能不變，故選項A錯誤；若做曲線運動的物體所受的合力為恒力，則加速度不變，否則加速度變化，故選項B正確，選項C錯誤；物體在平衡力作用下保持靜止狀態或做勻速直線運動，故選項D錯誤．
答案：B
3．關于曲線運動，下列說法中正確的是(　　)
A．物體所受合外力的方向與速度方向在同一條直線上
B．物體的速度方向必定變化
C．物體的加速度可以為零
D．恒力作用下物體不可能做曲線運動
解析：A、物體做曲線運動的條件是物體所受合外力的方向與速度方向不在同一條直線上，故A錯；B、曲線上每一點的切線方向表示速度的方向，所以物體的速度方向必定變化，故B正確；C、物體做曲線運動的條件是物體所受合外力的方向與速度方向不在同一條直線上，也就是物體所受合外力不為零，所以加速度也不為零，故C錯；D、恒力作用下物體可以做曲線運動，故D錯．
答案：B
4．(多選)關于做曲線運動物體的速度和加速度，下列說法正確的是(　　)
A．速度方向不斷改變，加速度方向不斷改變
B．速度方向不斷改變，加速度一定不為零
C．加速度越大，速度的大小改變得越快
D．加速度越大，速度改變得越快
解析：物體做曲線運動時，速度方向時刻改變，受到外力作用，由牛頓第二定律知，加速度一定不為零，而加速度方向不一定是變化的；由加速度物理意義知，加速度越大，速度改變越快，而速度的改變可能是大小或方向的改變，故選項A、C錯誤，選項B、D正確．
答案：BD
5．(多選)關于曲線運動，下列說法正確的是(　　)
A．物體運動狀態改變，它一定做曲線運動
B．物體做曲線運動，它的運動狀態一定在改變
C．物體做曲線運動時，它的加速度的方向始終和速度的方向一致
D．物體做曲線運動時，它的加速度方向始終和所受到的合外力方向一致
解析：物體運動狀態的改變是指物體運動速度的變化，包括速度大小或方向的變化．若物體只改變速度的大小而保持方向不變，則物體做直線運動，故選項A錯誤．而曲線運動是變速運動，它的運動狀態一定改變，故選項B正確．物體做曲線運動的條件是合外力方向與速度方向不共線，而加速度方向就是合外力的方向，故選項C錯誤，選項D正確．
答案：BD
6．關于物體做曲線運動的條件，下列說法正確的是(　　)
A．物體所受的合力是變力
B．物體所受合力的方向與速度方向不在同一條直線上
C．物體所受合力的方向與加速度的方向不在同一條直線上
D．物體所受合力的方向一定是變化的
解析：物體做曲線運動是由于所受合力的方向與速度方向不在一條直線上，而與合力是恒力還是變力、合力方向是否變化均無關，故選項A、D錯誤，選項B正確；由牛頓第二定律可知，選項C錯誤．
答案：B
7．小球在水平桌面上做勻速直線運動，當它受到如圖所示的力F的作用時，小球可能運動的方向是(　　)
A．Oa　　　　　　 B．Ob
C．Oc D．Od
解析：做曲線運動的小球其軌跡應向著受力方向彎曲，故選項D正確．
答案：D
二、非選擇題(15分)
8．一物體沿著曲線由P到Q運動，試在圖中畫出物體經過A點時的速度和加速度的方向．
答案：
(25分鐘　50分)
選擇題(每小題5分，共50分)
1．(多選)對于做曲線運動的物體，下列說法正確的是(　　)
A．其運動的位移大小等于其路程
B．其位移的大小有可能等于其路程
C．其位移的大小一定小于其路程
D．其位移的方向仍是由初位置指向末位置
解析：做曲線運動的物體的路程一定大于位移的大小，故選項A、B錯誤，選項C正確；位移的方向始終是由初位置指向末位置，選項D正確．
答案：CD
2．(多選)關于曲線運動的下列說法正確的是(　　)
A．任何曲線運動都是變速運動
B．任何變速運動都是曲線運動
C．做曲線運動物體的速度有可能不變
D．物體的速度如果不變是不可能做曲線運動的
解析：曲線運動速度方向沿曲線上某點的切線方向，時刻發生變化，曲線運動是變速運動，選項A、D正確，選項C錯誤；速度不變的是勻速直線運動，變速運動也可能是速度大小改變而方向不變的變速直線運動，選項B錯誤．
答案：AD
3．(多選)某質點做曲線運動時，則(　　)
A．在某一點的速度方向是該曲線的切線方向
B．在任意時間內位移的大小總是大于路程
C．在任意時刻質點受到的合外力不可能為零
D．速度的方向與合外力的方向必不在同一條直線上
解析：曲線運動過程中質點的速度方向沿曲線的切線方向，選項A正確；曲線運動過程中路程總是大于位移大小，選項B錯誤；曲線運動過程中，速度在變化，加速度不為零，所以合力不為零，選項C正確；根據做曲線運動的條件，即合力與運動方向不共線，選項D正確．
答案：ACD
4．在曲線運動中，如果速率保持不變，那么運動物體的(　　)
A．加速度方向就是曲線上該點的切線方向
B．加速度大小不變，方向與物體運動方向一致
C．加速度大小不變，某點的加速度方向與曲線上該點的切線方向一致
D．加速度大小和方向由物體在該點所受合外力決定，加速度方向與曲線上該點的切線方向垂直
解析：根據牛頓第二定律可得曲線運動的加速度大小和方向是由物體受到的合力決定的，對于速率保持不變的曲線運動，加速度方向與曲線上這一點的切線方向垂直，選項D正確．
答案：D
5．我國“嫦娥三號”探月衛星經過無數人的協作和努力，在2013年12月24日晚6點多發射升空．“嫦娥三號”探月衛星在由地球飛向月球時，沿曲線從M點向N點飛行的過程中，速度逐漸減小．在此過程中探月衛星(探月衛星視為質點)，所受合力方向可能是下列圖中的(　　)
解析：做曲線運動物體的運動軌跡向合力方向彎曲，選項A、D錯誤；衛星速度減小，表明它的合力沿切線方向的分力與速度方向相反，如圖所示，故選項B錯誤，選項C正確．
答案：C
6．做曲線運動的物體，在其軌跡曲線上某一點的加速度方向(　　)
A．為通過該點的曲線的切線方向
B．與物體在這一點時所受合力方向垂直
C．與物體在這一點的速度方向一致
D．與物體在這一點的速度方向的夾角一定不為零
解析：由牛頓第二定律可知，物體的加速度一定與其所受的合力同向，而物體做曲線運動時，它所受的合力與速度方向不在同一直線上，即成一定夾角，故選項D正確．
答案：D
7．(多選)一質點在光滑水平面上做勻速直線運動，現給它施加一水平恒力，則下列說法錯誤的是(　　)
A．施加水平恒力后，質點立即有加速度，速度也立即變化
B．施加水平恒力以后，質點一定做勻變速曲線運動
C．施加水平恒力以后，質點一定做勻減速直線運動
D．施加水平恒力以后，質點可能做勻加速直線運動
解析：根據牛頓第二定律的瞬時性即加速度與合外力具有瞬時對應關系可知，施加水平恒力后，質點立即有加速度，根據Δv＝aΔt可知，速度的改變與加速度和作用時間有關， 施加水平恒力后的瞬間，速度不會發生突變，選項A錯誤；若施加的水平恒力與速度方向共線，質點一定做直線運動，可能勻加速也可能勻減速，若不共線，質點一定做曲線運動，選項B、C錯誤，選項D正確．
答案：ABC
8．如圖所示，若已知物體運動初速度v0的方向及該物體受到的恒定合外力F的方向，圖中虛線表示物體的運動軌跡，下列正確的是(　　)
解析：曲線運動的速度的方向是沿著運動軌跡的切線的方向，由此可以判斷BC錯誤；曲線運動的物體受到的合力應該指向運動軌跡彎曲的內側，由此可以判斷D錯誤，故A正確．
答案：A
9．一小球在水平面上移動，每隔0.02秒小球的位置如圖所示．每一段運動過程分別以甲、乙、丙、丁和戊標示．試問在哪一段，小球所受的合力為零(　　)
A．甲　　 B．乙　　
C．丙　　 D．戊
解析：小球所受的合力為零時，物體處于靜止或勻速直線運動狀態，根據圖象可知，甲階段做減速直線運動，乙階段做曲線運動，丙階段做勻速直線運動，丁階段做曲線運動，戊階段做加速直線運動，故丙階段小球所受的合力為零，故C正確，ABD錯誤．
答案：C
10．對于曲線運動，下列說法中正確的是(　　)
A．速度方向可能不變
B．加速度一定是變化
C．速度方向和加速度方向不可能一致
D．合外力一定與速度方向垂直
解析：做曲線運動的物體速度方向一定變化，選項A錯誤；加速度不一定是變化的，例如平拋運動，選項B錯誤；速度方向和加速度方向不可能一致，選項C正確；合外力一定不一定與速度方向垂直，選項D錯誤；故選C．
答案：C
第2節　運動的合成與分解
1．知道什么是運動的合成與分解．
2．會運用運動的合成與分解解決相關問題．
一、位移和速度的合成與分解
1．觀察教材圖121所示的小船過河的運動：小船渡河時，如果河水不流動，小船將沿與河岸垂直的方向運動；如果河水流動，關閉小船的發動機，小船將沿河岸順流而下．請思考：當小船開動發動機，河水是流動的，小船將到達對岸的何處？為什么？
提示：到達對岸的下游某位置，因小船參與了上述的兩個運動．
2．合運動與分運動
(1)概念：如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就是合運動，參與的幾個運動就是分運動．
(2)運動的合成與分解的運算法則：合成與分解的內容是位移、速度、加速度的合成與分解，這些量都是矢量，遵循的是平行四邊形定則．
(3)合運動與分運動的關系：
等效性 各分運動的共同效果與合運動的效果相同
等時性 各分運動與合運動同時發生，同時結束，經歷的時間相同
獨立性 各分運動之間互不相干，彼此獨立，互不影響
同體性 各分運動與合運動是同一物體的運動
二、運動的合成與分解的應用
1．運動的合成：已知分運動求合運動．
2．運動的分解：已知合運動求分運動．
探究一　互成角度的兩個直線運動的合運動的性質
1．怎樣判斷互成角度的兩個直線運動的合運動的性質？試根據平行四邊形作出以下幾種情況的速度或加速度的示意圖，并由此說明其合運動的性質．
(1)兩個勻速直線運動的合運動．
(2)一個勻速直線運動與一個勻變速直線運動的合運動．
(3)兩個初速度為零的勻加速直線運動的合運動．
(4)兩個初速度不為零的勻加速直線運動的合運動．
提示：(1)　仍是勻速直線運動．
(2)　一定是勻變速曲線運動．
(3)　一 定是初速度為零的勻加速直線運動．
(4)
若a與v共線，合運動是勻變速直線運動．
若a與v不共線，合運動是勻變速曲線運動．
2．結論：(1)互成角度的兩個勻速直線運動的合運動是勻速直線運動．
(2)互成角度的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動是勻變速曲線運動．
(3)互成角度的兩個勻變速直線運動的合運動可能是直線運動，也可能是曲線運動．
如圖所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內有一個紅蠟塊能在水中以速度v勻速上浮．現當紅蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，使玻璃管水平勻加速向右運動，則蠟塊運動的軌跡可能是(　　)
A．直線P　　　　　　 B．曲線Q
C．曲線R D．無法確定
解析：對蠟塊的運動分析如下：
答案：B
【題后總結】　解答曲線運動類問題的關鍵是要明確以下三點：
(1)分運動與合運動的關系；
(2)物體做曲線運動的條件：合外力(或加速度)方向與速度方向不共線；
(3)曲線運動中曲線向合外力(或加速度)方向一側彎曲．
1．(多選)一物體在xOy平面內從坐標原點開始運動，沿x軸和y軸方向運動的速度隨時間t變化的圖像分別如圖甲、乙所示，則物體在0～t0時間內(　　)
A．做勻變速運動 B．做非勻變速運動
C．運動的軌跡可能如圖丙所示 D．運動的軌跡可能如圖丁所示
解析：0～t0時間內物體在x軸方向做勻速直線運動，在y軸方向上做勻減速直線運動，所受合力沿y軸負方向且大小保持不變，物體做向y軸負方向彎曲的勻變速曲線運動，故選項A、C正確．
答案：AC
探究二　小般渡河實例分析
　小船(小船視為質點)在有一定流速的水中渡河時，參與兩個方向的分運動，即隨水流的運動(水流的速度v水)和小船相對水的運動(即船在靜水中的速度v船)，小船的實際運動是合運動(v合)．
(1)若使小船垂直于河岸過河(過河位移最短)，應將船頭偏向上游，如圖所示，此時過河時間
t＝＝．
(2)若使小船過河的時間最短，應使船頭正對河岸行駛，如圖所示，此時過河時間t＝，小船一定在對岸下游處靠岸．
(多選)小明同學遙控小船做過河實驗，并繪制了四幅小船過河的航線圖，如圖所示．圖中實線為河岸，河水的流動速度不變，方向水平向右，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線，小船相對于靜水的速度不變，并且大于河水的流動速度．則(　　)
A．航線圖甲是正確的，船頭保持圖中的方向，小船過河時間最短
B．航線圖乙是正確的，船頭保持圖中的方向，小船過河位移最短
C．航線圖丙是正確的，船頭保持圖中的方向，小船過河位移最短
D．航線圖丁不正確，如果船頭保持圖中的方向，船的軌跡應該是曲線
解析：題圖甲中小船的船頭垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且過河時間最短，故選項A正確；題圖乙中根據平行四邊形定則知，合速度的方向正好垂直河岸，過河的位移最小，故選項B正確；題圖丙中由于有水流速度，因此不可能出現此現象，故選項C錯誤；題圖丁中合速度的方向不可能是圖示的虛線方向，航線圖丁不正確，但合速度恒定，船的軌跡為直線，故選項D錯誤．
答案：AB
【題后總結】　小船渡河時其航行的方向為合速度的方向．找出小船的航向，確定合速度的方向是解決此類問題的關鍵．
2．如圖所示，河水的流速保持不變，為使小船由O點沿虛線勻速航行，船頭的指向應為圖中的(　　)
A．①方向　 B．②方向　
C．③方向　 D．④方向
解析：因為水流速度小于靜水速度，則合速度與河岸垂直時，渡河航程最短，最短航程等于河的寬度，要使航程最短，則船在靜水中速度與河岸有一定的夾角，且偏向上游，由圖可以知道B正確，ACD錯誤．故選B．
答案：B
探究三　“關聯”速度的分解
1．“關聯”速度
在運動過程中，繩、桿等有長度的物體，其兩端點的速度通常是不一樣的，但兩端點的速度是有聯系的，我們稱之為“關聯”速度．如圖1和圖2所示．
2．規律
(1)物體的實際運動是合運動，分速度的方向要按實際運動效果確定．
(2)沿繩(或桿)方向的分速度大小相等．
3．速度分解的方法(求解方法)
為了解題方便，通常將物體的實際速度分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)的兩個分量，根據沿繩(或桿)方向的分速度大小相等列方程求解．
用跨過定滑輪的繩把湖中小船向右拉到岸邊的過程中，如圖所示，如果保持繩子的速度v不變，則小船的速度(　　)
A．不變　　　　　 B．逐漸增大
C．逐漸減小 D．先增大后減小
解析：小船的運動為實際運動，故把小船的運動分解為沿繩子方向和垂直于繩子斜向下方向的兩個分運動，如圖所示．小船運動過程中保持繩子速度大小不變，兩個分運動方向始終垂直，合運動方向不變，繩子與水平方向的夾角θ逐漸增大．v船＝，由于θ不斷增大，則cos θ不斷減小，故v船逐漸增大．選項A、C、D錯誤，選項B正確．
答案：B
【誤區警示】(1)誤認為小船的速度大小與繩子的速度大小相同，錯選A項，實際上兩個速度滿足合運動與分運動的關系．錯誤地將繩子的運動速度v沿小船前進的方向和豎直向上方向分解，設繩子與水平方向的夾角為θ，得到小船的速度大小v′＝vcos θ，錯選C項．
(2)物體的實際運動為合運動，分解運動時應分解物體的實際運動，同時應按實際運動效果分解．繩子牽引物體運動時，應將物體的運動分解為沿繩方向和垂直于繩方向的兩個分運動．
3．(多選)如圖所示，人在岸上拉船，已知船的質量為m，水的阻力恒為f，當輕繩與水面的夾角為θ時，船的速度為v，人的拉力大小為F，則此時(　　)
A．人拉繩行走的速度為vcos θ
B．人拉繩行走的速度為
C．船的加速度為
D．船的加速度為
解析：船的運動產生了兩個效果：一是使滑輪與船間的繩縮短，二是使繩繞滑輪順時針轉動，因此將船的速度按如圖所示進行分解，人拉繩行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，選項A正確，選項B錯誤；繩對船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為F，與水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，選項C正確，選項D錯誤．
答案：AC
1．關于運動的合成，下列說法正確的是(　　)
A．合速度的大小一定比每個分速度的大小都大
B．合運動的時間等于兩個分運動經歷的時間之和
C．兩個速率不相等的勻速直線運動的合運動一定也是勻速直線運動
D．只要兩個分運動是直線運動，合運動一定也是直線運動
解析：合速度可能比分速度大，可能比分速度小，還可能與分速度等大，選項A錯誤；合運動與各分運動經歷的是同一個時間，選項B錯誤；兩個分運動是勻速直線運動，說明合運動的合力為零，合運動一定是勻速直線運動，選項C正確；不共線的勻速直線運動和勻變速直線運動的合運動為勻變速曲線運動，選項D錯誤．
答案：C
2．某人游珠江如圖所示，他以一定速度保持頭部始終垂直河岸向對岸游去．江中各處水流速度相等，他游過的路程、過河所用的時間與水流速度的關系是(　　)
A．水流速度大時，路程長，時間長
B．水流速度大時，路程長，時間短
C．水流速度大時，路程長，時間不變
D．路程、時間與水流速度無關
解析：設此人在靜水中游速為v游，河寬為d，水流速為v水．此人渡河時保持頭部始終與河岸垂直，渡河時間t＝，與v水無關，即過河時間不變，渡河路程l＝，所以v水越大，路程越長，故選項C正確．
答案：C
3．(多選)如圖甲所示，細玻璃管兩頭封閉，里面灌滿了水，一個直徑小于管內徑的蠟塊浮在玻璃管頂端A處，現將玻璃管迅速調轉讓A端朝下，并讓其水平向右運動，如圖乙和丙所示．不計阻力和摩擦力，可以觀察到蠟塊的運動軌跡為圖乙和圖丙中虛線所示的情況．則關于玻璃管水平方向的運動的判斷，下列說法中正確的是(　　)
A．圖乙中玻璃管水平方向一定是勻加速直線運動
B．圖丙中玻璃管水平方向一定是勻速直線運動
C．圖丙中玻璃管水平方向可能是勻速直線運動
D．圖乙中玻璃管水平方向可能是勻速直線運動
解析：A、圖乙中，運動軌跡是直線，則可判定，若有加速度，則合初速度與合加速度共線，若沒有加速度，則水平方向做勻速直線運動，因此玻璃管水平方向可能加速直線運動，也可能勻速直線運動，故A錯誤，D正確；B、圖丙中，運動軌跡是曲線，則可判定，有加速度，則合初速度與合加速度不共線，因此玻璃管水平方向可能勻速直線運動，故C正確，B錯誤．
答案：CD
4．關于相互垂直的一個勻速直線運動和一個勻加速直線運動的合運動，下列說法正確的是(　　)
A．一定是曲線運動 B．可能是直線運動
C．運動的方向不變 D．速度一直在變，是變加速運動
解析：決定物體運動性質的條件是初速度和加速度，當加速度方向與速度方向不在一條直線上時，物體做曲線運動，當加速度方向與速度方向在一條直線上時，物體做直線運動，若加速度恒定，則物體做勻變速運動．相互垂直的一個勻速直線運動和一個勻加速直線運動的合成，兩個分運動不在一條直線上，且加速度是不變的，故其合運動一定是勻變速曲線運動，所以選項A正確．
答案：A
5．已知某船在靜水中的速度為v1＝4 m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100 m，水流速度為v2＝3 m/s，方向與河岸平行．
(1)欲使船以最短時間渡河，航向怎樣？最短時間是多少？船發生的位移有多大？
(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎樣？渡河所用時間是多少？
解析：(1)當渡河時間最短時，其速度關系如圖甲，此時船頭垂直河岸．
甲
渡河最短時間t＝＝25 s
船沿河岸方向位移x＝v2t＝75 m
船的位移l＝＝125 m．
(2)當船渡河位移最小時，其速度關系如圖乙，因船在靜水中的速度為v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的實際速度方向垂直于河岸．如圖所示，設船頭斜指向上游河對岸，且與河岸所成夾角為θ，cos θ＝＝，則有v＝＝ m/s，所用的時間為t＝＝ s．
乙
答案：見解析
活頁作業(二)　運動的合成與分解
(15分鐘　50分)
一、選擇題(每小題6分，共30分)
1．關于運動的合成，下列說法正確的是(　　)
A．合運動的時間等于分運動的時間之和
B．合運動的時間大于任意一個分運動的時間
C．合運動的時間小于任意一個分運動的時間
D．合運動和分運動是同時進行的
解析：分運動就是由合運動根據實際效果分解來的，分運動的時間與合運動的時間相等，即合運動與分運動同時發生同時結束，所以選項D正確．
答案：D
2．一物體由靜止開始自由下落，一小段時間后突然受一恒定水平向右的風力的影響，但著地前一段時間內風力突然停止，則其運動的軌跡可能是(　　)
解析：當有水平向右的風力時，合力指向右下方，軌跡向右彎曲；風力停止時，合力向下，軌跡向下彎曲，且軌跡不能急折，故選項C正確．
答案：C
3．(多選)如圖所示，某人由A點劃船渡河，船頭指向始終與河岸垂直，小船在靜水中的速度恒定，則下列說法正確的是(　　)
A．小船能到達正對岸的B點
B．小船能到達正對岸B點的左側
C．小船到達對岸的位置與水流速度有關
D．小船到達對岸的時間與水流速度無關
解析：船頭指向始終與河岸垂直，由運動合成的知識可知，小船只能到達正對岸的右側，故選項A、B錯誤；小船到達對岸的位置與水流速度有關，水流速度越大，位置就越偏右，選項C正確；小船到達對岸的時間與河岸的寬度和小船在靜水中的速度有關，根據運動的獨立性可知，過河時間與水流速度無關，選項D正確．
答案：CD
4．(多選)一只小船渡河，小船在渡河過程中船頭方向始終垂直于河岸，水流速度各處相同且恒定不變．現小船相對于靜水以初速度v0分別做勻加速、勻減速、勻速直線運動，運動軌跡如圖所示，由此可以判斷(　　)
A．小船沿AD軌跡運動時，小船相對于靜水做勻減速直線運動
B．小船沿三條不同路徑渡河的時間相同
C．小船沿AB軌跡渡河所用的時間最短
D．小船沿AC軌跡到達對岸的速度最大
解析：由題意知，小船在平行于河岸方向做勻速直線運動，小船沿AD軌跡運動時，合力方向指向曲線的凹側，即合力與v0反向，則小船在垂直于河岸方向上做勻減速直線運動，所以選項A正確；同理可得小船沿AC軌跡運動時，合力與v0同向，則小船在垂直于河岸方向上做勻加速直線運動；由于加速度a必須與v0共線，故沿AC軌跡運動時a＝0，即小船在垂直于河岸的方向上以v0做勻速直線運動；沿垂直河岸方向初速度均為v0，所以小船沿AC軌跡到達對岸的速度最大，用時最短，故選項B、C錯誤，選項D正確．
答案：AD
5．如圖所示，河水由西向東流，河寬為800 m，河中各點的水流速度大小為v水，各點到較近河岸的距離為x，v水與x的關系為v水＝x(m/s)(x的單位為m)，讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為v船＝4 m/s，則下列說法中正確的是(　　)
A．小船渡河的軌跡為直線
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m處的速度小于在距北岸200 m處的速度
D．小船渡河的時間是160 s
解析：小船的速度為沿船頭指向和沿水流方向的兩個分運動的分速度的矢量和，而兩個分速度垂直，故當沿水流方向的分速度最大時，合速度最大，合速度的方向隨水流方向的分速度的變化而變化，故小船到達河中心時速度最大，且運動軌跡為曲線，A錯誤，當船到河中央時，水流速度達到最大，根據矢量的合成，船在河水中的最大速度v＝＝5 m/s，B正確；小船距南岸200 m處，則水流速度為v＝×200＝1.5 m/s，而小船距北岸200 m處時，水流速度也為1.5 m/s；根據速度的合成可知，它們的速度大小相等，方向不同，C錯誤；將小船的運動分解為沿船頭指向和順水流方向的兩個分運動，兩個分運動同時發生，互不干擾，故渡河時間與順水流方向的分運動無關，當船頭與河岸垂直時，沿船頭方向的分運動的分位移最小，故渡河時間最短，最短時間為t＝＝ s＝200 s．D錯誤．
答案：B
二、非選擇題(每小題10分，共20分)
6．一條小船正在以5 m/s的速度相對水且船頭指向正對岸渡河，水流速度為3 m/s，若河寬為200 m．試分析計算：
(1)船能否到達出發點的正對岸？
(2)船員登陸的地點離船出發點正對岸的距離是多少？
解析：(1)如圖所示，其合速度指向對岸的下游，所以不能到達正對岸．
(2)由垂直河岸方向的位移和速度可求得渡河時間為t＝＝ s＝40 s
沿水流方向的位移x＝v1t＝3×40 m＝120 m．
答案：(1)不能　(2)120 m
7．如圖甲所示，在一端封閉、長約1 m的玻璃管內注滿清水，水中放一個蠟塊(蠟塊視為質點)，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊，然后將這個玻璃管倒置，在蠟塊沿玻璃管上升的同時，將玻璃管水平向右移動．假設從某時刻開始計時，蠟塊在玻璃管內每1 s上升的距離都是10 cm，玻璃管向右勻加速平移，每1 s通過的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm.圖乙中，y表示蠟塊豎直方向的位移，x表示蠟塊隨玻璃管通過的水平位移，t＝0時蠟塊位于坐標原點．
(1)請在圖乙畫出蠟塊4 s內的軌跡．
(2)求玻璃管向右平移的加速度a．
(3)求t＝2 s時蠟塊的速度v．
解析：(1)軌跡如圖所示
(2)根據Δx＝a(Δt)2，則a＝＝ m/s2＝0.05 m/s2
(3)t＝2 s時蠟塊的水平速度vx＝ m/s＝0.1 m/s，豎直速度vy＝0.1 m/s，則合速度v＝ m/s
答案：(1)見解析圖　(2)a＝0.05 m/s2　(3)v＝ m/s，與水平方向成45°向上
(25分鐘　50分)
一、選擇題(每小題6分，共30分)
1．(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線．則其中可能正確的是(　　)
解析：靜水速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游．且過河時間最短，故選項A正確．根據平行四邊形定則知，合速度的方向正好垂直河岸，過河的位移最小．故選項B正確．由于流水速度，因此不可能出現此現象，故選項C錯誤；船頭的指向為靜水速的方向，靜水速的方向與流水速度的合速度的方向不可能是圖示方向．選項D錯誤．
答案：AB
2．關于運動合成與分解，下列敘述正確的是(　　)
A．合運動的速度大小等于分運動的速度大小之和
B．兩個分運動若是直線運動，則它的合運動一定是直線運動
C．合運動和分運動具有等時性
D．若合運動是曲線運動，則其分運動中至少有一個是曲線運動
解析：運動的合成與分解遵循平行四邊形定則，選項A錯誤；兩個分運動是直線運動，其合運動可能是直線運動，也可能是曲線運動，選項B、D錯誤；合運動與分運動具有等時性，選項C正確．
答案：C
3．(多選)河水的流速與河岸的距離的變化關系如圖甲所示，船在靜水中的速度與時間的關系如圖乙所示，若要使船以最短時間渡河，則(　　)
A．船渡河的最短時間是60 s
B．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直
C．船在河水中航行的軌跡是一條直線
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析：由甲圖可知河寬300 m，船頭始終與河岸垂直時，船渡河的時間最短，則t＝＝ s＝100 s，選項A錯誤，選項B正確．由于船沿河向下游漂流的速度大小始終在變，故船的實際速度的大小、方向也在時刻發生變化，船在河水中航行的軌跡是曲線，選項C錯誤．船沿河向下游漂流的過程中水流的最大速度為4 m/s，所以船在河水中的最大速度vmax＝ m/s＝5 m/s，選項D正確．
答案：BD
4．如圖所示，河水以相同的速度向右流動，落水者甲隨水漂流，至b點時，救生員乙從O點出發對甲實施救助，則救生員乙相對水的運動方向應為圖中的(　　)
A．Oa方向　　　　　　 B．Ob方向
C．Oc方向 D．Od方向
解析：人在水中相對于水游動的同時還要隨著水一起相對地面向下游漂流，以水為參考系，落水者甲靜止不動，則救援者直接沿著Ob方向即可對甲實施救助，故選B．
答案：B
5．(多選)質量為m＝2 kg的物體在光滑的水平面上運動，在水平面上建立xOy坐標系，t＝0時物體位于坐標系的原點O.物體在x軸和y軸方向的分速度vx、vy隨時間t變化的圖線如圖甲、乙所示．則(　　)
A．t＝0時，物體速度的大小為3 m/s
B．t＝8 s時，物體速度的大小為4 m/s
C．t＝8 s時，物體速度的方向與x軸正向夾角為37°
D．t＝8 s時，物體的位置坐標為(24 m,16 m)
解析：由題圖可知，t＝0時刻，vx＝3 m/s，vy＝0，所以t＝0時刻，物體的速度大小v0＝3 m/s，選項A正確；t＝8 s時，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物體的速度大小v＝＝5 m/s，選項B錯誤；速度方向與x軸正向夾角設為α，則tan α＝＝，α＝53°，選項C錯誤；t＝8 s時，物體的位置坐標x＝vxt＝24 m，y＝ayt2＝16 m，所以t＝8 s時，物體的位置坐標為(24 m,16 m)，選項D正確．
答案：AD
二、非選擇題(每小題10分，共20分)
6．質量m＝2 kg的物體在光滑的水平面上運動，其分速度vx和vy隨時間變化的圖線如圖所示，求：
(1)物體的初速度大小．
(2)物體所受的合力．
(3)t＝4 s時物體的位移．
(4)物體的軌跡方程．
解析：(1)由題圖可知，物體在x方向做勻速直線運動，vx＝3 m/s，物體在y方向也做勻速直線運動，vy＝4 m/s，則物體的合初速度v＝＝ m/s＝5 m/s．
(2)物體的合運動是勻速直線運動，故所受的合力為零．
(3)t＝4 s時，x＝vxt＝3×4 m＝12 m，y＝vyt＝4×4 m＝16 m，物體的位移s＝＝ m＝20 m，tan θ＝＝＝，則θ＝53°，即位移方向與x軸方向的夾角為53°．
(4)由x＝vxt，y＝vyt，消去時間t得y＝x．
答案：(1)5 m/s　(2)零　(3)20 m，方向與x軸方向的夾角為53°　(4)y＝x
7．如圖所示，起重機將重物吊運到高處的過程中經過A、B兩點，重物的質量m＝500 kg，A、B間的水平距離d＝10 m．重物自A點起，沿水平方向做vx＝1.0 m/s 的勻速運動，同時沿豎直方向做初速度為零、加速度a＝0.2 m/s2的勻加速運動，忽略吊繩的質量及空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)重物由A運動到B的時間．
(2)重物經過B點時速度的大小．
(3)由A到B的位移大小．
解析：(1)重物在水平方向做勻速運動，從A到B的時間
t＝＝ s＝10 s．
(2)重物在豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，所以豎直方向分速度vy＝at＝0.2×10 m/s＝2 m/s
B點合速度
v＝＝ m/s＝ m/s．
(3)重物的水平位移
x＝vxt＝1×10 m＝10 m
豎直位移
y＝at2＝×0.2×102 m＝10 m
A到B的位移
xAB＝＝ m＝10 m．
答案：(1)10 s　(2) m/s　(3)10 m
第3節　平拋運動
1．知道拋體運動的概念及特點、類型．
2．掌握平拋運動的規律，知道其性質．
3．會應用運動的合成與分解的方法分析平拋運動和類平拋運動．
4．了解斜拋運動的性質及處理思路．
一、什么叫平拋運動
1．平拋運動：將物體以一定的初速度水平拋出，不考慮空氣阻力，物體只在重力作用下的運動．
2．思考：如圖所示，用小錘打擊彈性金屬片，A球沿水平方向拋出，B球自由下落，觀察兩球哪個先落地．改變小球距地面的高度和打擊力度，重復實驗，觀察兩球哪個先落地．
(1)A、B兩球分別做什么運動？
提示：A球做平拋運動，B球做自由落體運動．
(2)如何判斷兩球是否同時落地？
提示：聽小球與地面的撞擊聲是一次還是兩次．
(3)通過實驗我們發現兩球同時落地，這說明什么？
提示：說明A球在豎直方向做自由落體運動．
3.
二、平拋運動的規律
閱讀教材“平拋運動的規律”部分，回答下列問題．
1．如圖，物體被水平拋出后做平拋運動，經過時間t，運
動到P點，P點的坐標為(x，y)．
(1)物體在運動過程中，相對拋出點O的位移l有何特點？
提示：大小、方向都在變化．
(2)物體在x和y方向上的分位移的變化規律如何？
提示：x方向，x＝v0t；y方向，y＝gt2
(3)怎樣計算t時刻物體相對于拋出點O的位移？
提示：l＝．
(4)以拋出時為計時起點，請探究分析t時刻小球的速度大小和方向．
提示：如圖，初速度為v0的平拋運動，經過時間t后，其水平分速度vx＝v0，豎直分速度vy＝gt.根據運動的合成規律可知，小球在t時刻的速度(即合速度)大小為v＝＝，設t時刻小球的速度與水平方向的夾角為θ，則有tan θ＝＝．
2．歸納：平拋運動的速度
由①②式可得出t時刻的速度為v＝.v與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝．
探究一　平拋運動
1．對平拋運動的理解
(1)條件：①具有水平初速度，②只受重力．
(2)性質：加速度為g的勻變速曲線運動．
(3)處理思路：將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動．
2．如圖所示，一人正練習投擲飛鏢，請思考：
(1)飛鏢投出后，其加速度的大小和方向是怎樣的？
提示：a＝g，方向豎直向下．
(2)飛鏢的運動是勻變速運動，還是變加速運動？
提示：是勻變速運動．
(3)如果飛鏢下落的時間足夠長，其速度的方向可以變為豎直方向嗎？
提示：不能．任一時刻的水平分速度均為v0．
(多選)關于平拋運動，下列說法正確的是(　　)
A．平拋運動是一種在恒力作用下的曲線運動
B．平拋運動的速度方向與恒力方向的夾角保持不變
C．平拋運動的速度大小是時刻變化的
D．平拋運動的速度方向與加速度方向的夾角一定越來越小
解析：平拋運動的物體只受重力作用，故選項A正確；平拋運動是曲線運動，速度時刻變化，由v＝知，合速度v在增大，選項C正確；對平拋物體的速度方向與加速度方向的夾角θ有tan θ＝＝，因t一直增大，所以tan θ變小，θ變小，故選項D正確，選項B錯誤．
答案：ACD
【題后總結】　關于平拋運動的四點關鍵：
(1)受力：只受重力，合力恒定不變．空氣阻力不能忽略的運動不是平拋運動．
(2)加速度：平拋運動的加速度為自由落體加速度，加速度恒定不變，與物體的初速度大小和質量無關．
(3)速度：平拋運動的水平分速度恒定不變，豎直分速度的大小越來越大，合速度的大小、方向都不斷變化，合速度的方向與豎直方向的夾角逐漸減小，但不會是零．
(4)位移：平拋運動位移的大小、方向都不斷變化，其方向與速度方向不一致．
1．(多選)關于平拋物體的運動，下列說法正確的是(　　)
A．做平拋運動的物體，速度和加速度都隨時間的增加而增大
B．做平拋運動的物體僅受到重力的作用，所以加速度保持不變
C．平拋物體的運動是勻變速運動
D．平拋物體的運動是變加速運動
解析：做平拋運動的物體，速度隨時間不斷增大，但由于只受恒定不變的重力作用，所以加速度是恒定不變的，選項A錯誤，選項B正確．平拋運動是加速度恒定不變的曲線運動，所以它是勻變速曲線運動，選項C正確，選項D錯誤．
答案：BC
探究二　平拋運動的規律
1．物體做平拋運動的軌跡如圖所示，請思考以下問題：
(1)分析曲線運動的基本思路和方法是什么？如何對平拋運動進行研究？
(1)提示：把曲線運動分解為相互垂直的兩個分運動來研究．把平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動來研究．
(2)平拋運動的時間、水平位移和落地速度由哪些因素決定？
提示：平拋運動的時間：由y＝gt2得t＝，可知做平拋運動的物體在空中運動的時間只與下落的高度有關，與初速度的大小無關．
平拋運動的水平位移：由x＝v0t＝v0知，做平拋運動的物體的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同決定．
落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同決定．
(3)如圖所示，從O點拋出的物體經時間t到達P點，速度的反向延長線交OB于A點，試證明A是OB的中點．
提示：OB＝v0t
AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t．
可見AB＝OB，所以A為OB的中點．
(4)若平拋運動的速度偏向角為θ，位移的偏向角為α，如圖所示，試證明tan θ＝2tan α．
提示：tan θ＝＝
平拋運動的位移偏向角為α，則
tan α＝＝＝
可見位移偏向角與速度偏向角不等，tan θ＝2tan α．
2．由于運動的等時性，那么大家能否根據前面的結論求出平拋運動的物體在空中運動的時間，這個時間取決于什么因素？如圖所示，求以下三種情況下平拋運動的時間．
提示：t＝，取決于豎直高度．
① 　②tan α＝，t＝　③
小球以初速度v0水平拋出，落地時速度為v，空氣阻力不計．求：
(1)小球在空中飛行的時間．
(2)拋出點距地面的高度．
(3)水平射程．
解析：(1)如圖所示，經時間t小球落地，此時小球豎直分速度vy＝
且vy＝gt
可得t＝．
(2)法一：在豎直方向上小球做自由落體運動，則
h＝y＝gt2＝g·＝．
法二：h＝vyt＝．
法三：v＝2gh，h＝．
(3)在水平方向上做勻速直線運動，則x＝v0t＝．
答案：(1)　(2)　(3)
【題后總結】　本題具有一定的代表性，在已知平拋運動初、末速度的條件下可以計算飛行時間、水平距離和拋出高度．
2．從高為80 m的塔頂以15 m/s的速度水平拋出一個小鐵球，求小球落地時的速度和整個過程的位移．(不考慮空氣阻力，g取10 m/s2，計算結果保留整數)
解析：小球的運動過程如圖所示．
t＝＝4 s，vy＝gt＝40 m/s
落地時的速度v＝≈43 m/s，速度方向與水平方向的夾角為θ
tan θ＝＝
水平位移x＝v0t＝15×4 m＝60 m
整個過程的位移s＝＝100 m．
答案：43 m/s　100 m
一、平拋運動的規律
1．研究方法：采用運動分解的方法，將平拋運動分解為豎直方向上的自由落體運動和水平方向上的勻速直線運動．
2．平拋運動的規律
速度 位移
水平分運動 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
豎直分運動 豎直速度vy＝gt 豎直位移y＝gt2
合運動 大小：v＝方向：與水平方向的夾角為θ，tan θ＝＝ 大小：s＝方向：與水平方向的夾角為α，tan α＝＝
圖示
二、平拋運動的幾個重要結論
運動時間 由y＝gt2得t＝，平拋運動的物體在空中運動的時間只與下落的高度y有關，與初速度的大小無關
水平位移 由x＝v0t＝v0知，平拋運動物體的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同決定
落地速度 落地速度：v＝＝即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同決定
推論Ⅰ 任意時刻速度偏向角正切值是位移偏向角正切值的兩倍 平拋運動的速度偏向角為θ，如圖所示，則tan θ＝＝＝＝＝2平拋運動的位移偏向角為α，則tan α＝，故tan θ＝2tan α
推論Ⅱ 任意時刻速度的反向延長線必通過此時水平位移的中點 如圖所示，從O點拋出的物體經時間t到達P點則OB＝v0tPB＝gt2AB＝PB＝gt2·＝gt2·＝v0t可見AB＝OB，所以A為OB的中點
1．一個物體以初速度v0水平拋出，經過一段時間落地，落地時速度方向與豎直方向所成的夾角為45°，取重力加速度為g，則該物體水平射程x和下落的高度h分別為(　　)
A．x＝，h＝　　　　　 B．x＝，h＝
C．x＝，h＝ D．x＝，h＝
解析：當夾角為45°時，根據幾何關系可知tan 45°＝＝1，則豎直分速度vy＝v0，所以運動時間t＝＝，物體的水平位移x＝v0t＝，下落的高度為h＝＝，故A正確．
答案：A
2．如圖所示，在光滑的水平面上有一小球a以初速度v0運動，同時刻在它的正上方有一小球b也以v0的初速度水平拋出，并落于c點，則(　　)
A．小球a先到達c點 B．小球b先到達c點
C．兩球同時到達c點 D．不能確定
解析：平拋運動在水平方向上的分運動是勻速直線運動，故兩小球同時到達c點．
答案：C
3．(多選)如圖，x軸在水平地面內，y軸沿豎直方向．圖中畫出了從y軸上沿x軸正向拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡，其中b和c是從同一點拋出的．不計空氣阻力，則(　　)
A．a的飛行時間比b的長 B．b和c的飛行時間相同
C．a的水平速度比b的小 D．b的初速度比c的大
解析：三個小球a、b和c水平拋出以后都做平拋運動，根據平拋運動規律可得：x＝v0t，y＝gt2，所以t＝，由yb＝yc>ya得tb＝tc>ta，選項A錯誤，選項B正確；又根據v0＝x，因為yb>ya，xbxc，故va>vb，vb>vc，選項C錯誤，選項D正確．
答案：BD
4．(多選)如圖所示，在網球的網前截擊練習中，若練習者在球網正上方距地面H處，將球以速度v沿垂直球網的方向擊出，球剛好落在底線上．已知底線到網的距離為L，重力加速度為g，將球的運動視作平拋運動，下列敘述正確的是(　　)
A．球的速度v等于L
B．球從擊出至落地所用時間為
C．球從擊球點至落地點的位移等于L
D．球從擊球點至落地點的位移與球的質量有關
解析：.由題意可知t＝，由L＝vt得v＝L，選項A、B正確；球從擊球點到落地點的位移為，選項C錯誤；此位移與球的質量無關，選項D錯誤．
答案：AB
5．自1.8 m高處平拋一小球，球落地時的速度與水平地面的夾角α為45°，如圖所示．求拋出時的初速度和拋出后的水平位移x.(g取10 m/s2)
解析：落地時，豎直方向速度為v＝2gH
vy＝＝ m/s＝6 m/s
因為tan α＝
所以v0＝ ＝＝6 m/s
由vy＝gt
可得t＝＝ s＝0.6 s
由此得小球水平位移為
x＝v0t＝6×0.6 m＝3.6 m．
答案：6 m/s　3.6 m
活頁作業(三)　平拋運動
(15分鐘　50分)
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．關于平拋運動，下列說法正確的是(　　)
A．平拋運動是非勻變速運動
B．平拋運動是勻速運動
C．平拋運動是勻變速曲線運動
D．平拋運動的物體落地時的速度一定是豎直向下的
解析：平拋運動的物體只受重力作用，加速度恒定，是勻變速運動，其初速度與重力垂直，故平拋運動是勻變速曲線運動，選項A、B錯誤，選項C正確；平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，故落地時的速度是水平方向的分速度和豎直方向的分速度的合速度，其方向一定與豎直方向(或水平方向)有一定的夾角，選項D錯誤．
答案：C
2．在平坦的壘球運動場上，擊球手揮動球棒將壘球水平擊出，壘球飛行一段時間后落地．若不計空氣阻力，則(　　)
A．壘球落地時瞬時速度的大小僅由初速度決定
B．壘球落地時瞬時速度的方向僅由擊球點離地面的高度決定
C．壘球在空中運動的水平位移僅由初速度決定
D．壘球在空中運動的時間僅由擊球點離地面的高度決定
解析：v＝，t＝ ，x＝v0，由以上三式分析知選項A、B、C錯誤，選項D正確．
答案：D
3．一個物體以初速度v0水平拋出，經時間t后豎直方向速度大小也為v0，重力加速度為g，則t為(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：由vy＝v0＝gt得t＝．
答案：A
4．如圖所示，滑板運動員以速度v0從離地高度為h的平臺末端水平飛出，落在水平地面上．忽略空氣阻力，運動員和滑板可視為質點，下列表述正確的是(　　)
A．v0越大，運動員在空中運動時間越長
B．v0越大，運動員落地瞬間速度越大
C．運動員落地瞬間速度方向與高度h無關
D．運動員落地位置與v0大小無關
解析：在平拋運動中，飛行時間僅由高度決定，所以選項A錯誤；水平位移、落地速度(末速度)由高度和初速度共同決定，所以選項B正確，選項C、D錯誤．
答案：B
5．(多選)研究平拋運動在豎直方向的運動規律實驗裝置如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．A球的初速度越大，走過的水平距離也越大
B．無論A球的水平初速度大小如何，它總是和B球同時落地
C．用力大小不一樣，A球在空中運動時間就不一樣
D．兩球落地速度大小一樣大
解析：由平拋運動規律可知t＝，只要h相同，時間就相同，選項B正確，選項C錯誤．又x＝v0t，所以選項A正確．A球和B球落地時豎直方向的速度相同，但落地速度大小不同，選項D錯誤．
答案：AB
6．滑雪運動員以20 m/s的速度從一平臺水平飛出，落地點與飛出點的高度差為3.2 m．不計空氣阻力，g取10 m/s2.運動員飛過的水平距離為x，所用時間為t，則下列結果正確的是(　　)
A．x＝16 m，t＝0.50 s　　 B．x＝16 m，t＝0.80 s
C．x＝20 m，t＝0.50 s D．x＝20 m，t＝0.80 s
解析：h＝gt2，t＝＝ s＝0.8 s，x＝v0t＝20×0.8 m＝16 m．
答案：B
二、非選擇題(每小題10分，共20分)
7．在490 m的高空，以240 m/s的速度水平飛行的轟炸機追擊一魚雷艇，該艇正以25 m/s的速度與飛機同方向行駛．飛機應在魚雷艇后面水平距離為多遠處投下炸彈，才能擊中該艇？(g取9.8 m/s2)
解析：從水平飛機上擲出去的炸彈，在離開飛機時具有與飛機相同的水平速度v0＝240 m/s，因此炸彈做平拋運動．因為從h＝490 m的高空落至水面所需的時間t由豎直方向的分運動——自由落體運動決定，所以由公式y＝gt2＝h，可求出炸彈的飛行時間
t＝＝ s＝10 s
在這段時間內，炸彈在水平方向上做勻速運動，飛行的水平距離為x＝v0t＝240×10 m＝2 400 m
在這段時間內，魚雷艇行駛的距離為
x′＝v′t＝25×10 m＝250 m
因為飛機與魚雷艇運動的方向相同，所以投下的炸彈要擊中魚雷艇，飛機投彈處應在魚雷艇后面的水平距離為
Δx＝x－x′＝2 400 m－250 m＝2 150 m．
答案：2 150 m
8．一物體從20 m高處水平拋出，1 s末速度方向與水平方向的夾角為30°，求：(g取10 m/s2，不計空氣阻力)
(1)落地時的速度大小為多少？
(2)落地點離拋出點的距離．
解析：(1)物體拋出后1 s末的豎直速度vy1＝gt＝10 m/s，而此時tan 30°＝，所以初速度v0＝10 m/s．
物體落地時的豎直速度vy2＝＝20 m/s，故落地時物體的速度大小v＝ ＝10 m/s．
(2)由h＝gt2得物體做平拋運動時間t＝＝2 s，故平拋運動的水平位移x＝v0t＝20 m，落地點離拋出點的距離s＝＝40 m．
答案：(1)10 m/s　(2)40 m
(25分鐘　50分)
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．下列說法正確的是(　　)
A．平拋物體的加速度逐漸變小
B．平拋物體的運動速度逐漸變大
C．平拋運動的初速度越大，運動時間越長
D．平拋運動的初速度越大，則其水平位移越大
解析：平拋物體的加速度是重力加速度，該加速度恒定，選項A錯誤．平拋運動的運動時間由下落高度決定，與初速度大小無關，選項C錯誤．平拋運動的水平位移由初速度和下落高度共同決定，下落高度大，水平位移不一定大，選項D錯誤．平拋運動下落h時的速度大小v＝＝，故平拋運動的速度逐漸變大，選項B正確．
答案：B
2．如圖所示，從某高度水平拋出一小球，經過時間t到達地面時，速度與水平方向的夾角為θ，不計空氣阻力，重力加速度為g.下列說法正確的是(　　)
A．小球水平拋出時的初速度大小為gttan θ
B．小球在t時間內的位移方向與水平方向的夾角為θ/2
C．若小球初速度增大，則平拋運動的時間變長
D．若小球初速度增大，則θ減小
解析：小球落地時沿豎直方向和水平方向上的分速度大小分別為vy＝gt，vx＝vy/tan θ＝gt/tan θ，所以水平拋出時的初速度v0＝vx＝gt/tan θ，選項A錯誤；設小球在t時間內的位移方向與水平方向的夾角為α，則tan α＝＝＝＝＝tan θ，顯然α≠，選項B錯誤；小球做平拋運動的時間由高度決定，與初速度大小無關，所以選項C錯誤；若小球初速度增大，則tan θ＝減小，θ減小，選項D正確．
答案：D
3．物體做平拋運動時，它的速度方向和水平方向間的夾角α的正切tan α隨時間t變化的圖像是圖中的(　　)
解析：平拋運動的合速度v與兩個分速度v0、vy的關系如圖所示．
則tan α＝＝·t，故正切tan α與時間t成正比，選項B正確．
答案：B
4．(多選)對于平拋運動(不計空氣阻力，g為已知)，下列條件可確定物體初速度的是(　　)
A．已知水平位移
B．已知下落高度
C．已知落地速度的大小和方向
D．已知位移的大小和方向
解析：由落地時的速度大小和方向，可確定水平初速度v0，如圖所示，知v0＝vcos α，選項C正確；由落地時的位移大小和方向可確定水平位移x和豎直位移y，由y＝gt2可確定t，進而確定初速度v0＝，選項D正確．
答案：CD
5．(多選)將物體以初速度v0水平拋出，某時刻物體的水平分位移與豎直分位移大小相等，下列說法正確的是(　　)
A．該時刻物體的水平分速度與豎直分速度相等
B．該時刻物體的速率等于v0
C．物體運動的時間為
D．該時刻物體位移大小等于
解析：設物體的運動時間為t，根據題意可列方程v0t＝gt2，解得t＝2v0/g，可知選項C正確．當t＝2v0/g時，豎直分速度vy＝gt＝2v0≠v0，由于vx＝v0，該時刻物體瞬時速度為v＝＝v0，可見選項A錯誤，選項B正確．當t＝2v0/g時，物體的水平分位移與豎直分位移相等，x＝v0t＝2v/g＝y.則該時刻物體位移大小為s＝＝2v/g，選項D正確．
答案：BCD
6．(多選)有一物體在離水平地面高h處以初速度v0水平拋出，落地時速度為v，豎直分速度為vy，水平射程為l，不計空氣阻力，則物體在空中飛行的時間為(　　)
A． B．
C． D．
解析：由l＝v0t得t＝，選項A正確．由h＝gt2得t＝，選項B錯誤．由h＝vy·t得t＝，選項D正確．由vy＝＝gt，得t＝，選項C正確．
答案：ACD
二、非選擇題(每小題10分，共20分)
7．一個人在20 m高的樓頂水平拋出一個小球，小球在空中沿水平方向運動20 m后，落到水平地面上．不計空氣阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小球在空中運動的時間．
(2)小球被拋出時的速度大小．
(3)小球落地時的速度大小．
解析：(1)設小球做平拋運動的時間為t，沿豎直方向有h＝gt2，解得t＝2.0 s．
(2)設小球做平拋運動的初速度為v0，沿水平方向有x＝v0t
解得v0＝10 m/s．
(3)小球落地時豎直方向的速度大小為vy＝gt＝20 m/s
小球落地時的速度大小為v＝＝10 m/s．
答案：(1)2.0 s　(2)10 m/s　(3)10 m/s
8．用30 m/s的初速度水平拋出一個物體，經過一段時間后，物體的速度方向與水平方向成30°角，求：(g取10 m/s2)
(1)此時物體相對于拋出點的水平位移和豎直位移．
(2)再經多長時間，物體的速度與水平方向的夾角為60°？
解析：根據題意可知物體的運動在水平方向是勻速直線運動，在豎直方向為自由落體運動，運動示意圖如圖所示．
(1)由圖示可得tan 30°＝＝
tA＝＝ s
所以在此過程中水平方向的位移
xA＝v0tA＝30 m
豎直方向的位移y＝gt＝15 m．
(2)設物體在B點時的速度方向與水平方向成60°角，總飛行時間為tB，則
tB＝＝3 s
所以物體從A點運動到B點所經歷的時間
Δt＝tB－tA＝2 s．
答案：(1)30 m　15 m　(2)2 s
學生實驗：研究平拋運動
[實驗目的]
1．用實驗的方法描出做平拋運動的物體的運動軌跡．
2．由實驗軌跡求平拋物體的初速度．
[實驗原理]
平拋物體的運動可以看作是由兩個分運動合成的，這兩分運動是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動．
使小球做平拋運動，利用描跡法描出小球的運動軌跡，建立坐標系，測出軌跡曲線上某一點的坐標x和y，根據公式x＝v0t和y＝gt2，就可求得v0＝x，v0即為小球做平拋運動的初速度．
[實驗器材]
　斜槽(帶小球)、木板及豎直固定支架、白紙、圖釘、重垂線、三角板、鉛筆、刻度尺．
[實驗步驟]
1．按圖甲所示安裝實驗裝置，使小球在斜槽末端點恰好靜止．
甲
2．以水平槽末端端口上小球球心位置為坐標原點O，過O點畫出豎直的y軸和水平的x軸．
3．使小球從斜槽上
乙
同一位置由靜止滾下，把筆尖放在小球可能經過的位置上，如果小球運動中碰到筆尖，就用鉛筆在該位置畫上一點．用同樣方法，在小球運動路線上描下若干點．
4．將白紙從木板上取下，從O點開始通過畫出的若干點描出一條平滑的曲線，如圖乙所示．
[數據處理]
1．在軌跡上任取一點，測出該點離原點的水平位移x及豎直位移y，就可求出初速度v0．
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x．
2．如圖丙所示，在軌跡上任取三點A、B、C，使A、B間及B、C間的水平距離相等，由平拋運動的規律可知，A、B間與B、C間所用時間相等，設為t，則Δh＝hBC－hAB＝gt2所以t＝ ，所以初速度v0＝＝x．
丙
[注意事項]
1．實驗中必須調整斜槽末端的切線水平(檢驗是否水平的方法是：將小球放在斜槽末端水平部分，看小球能否靜止，若小球靜止，則斜槽末端水平)．
2．方木板必須處于豎直平面內，固定時要用重垂線檢查坐標紙豎線是否豎直．
3．小球每次必須從斜槽上同一位置滾下．
4．坐標原點不是槽口的端點，應是小球出槽口時球心在木板上的投影點．
5．小球開始滾下的位置高度要適中，以使小球做平拋運動的軌跡由坐標紙的左上角一直到達右下角為宜．
6．在軌跡上選取離坐標原點O點較遠的一些點來計算初速度．
[誤差分析]
1．斜槽末端沒有水平．
2．描點不準確．
3．在軌跡上量取某點坐標(x，y)時出現誤差．
一、實驗器材的選取及注意事項的考查
在做“研究平拋運動”的實驗時：
(1)除了木板、小球、斜槽、鉛筆、圖釘之外，下列器材中還需要的是________．
A．游標卡尺　 B．秒表　
C．坐標紙　 D．天平
E．彈簧測力計　F．重垂線
(2)實驗中，下列說法正確的是________．
A．應使小球每次從斜槽上相同的位置自由滾下
B．斜槽軌道必須光滑
C．斜槽軌道末端可以不水平
D．要使描出的軌跡更好地反映真實運動，記錄的點應適當多一些
E．為了比較準確地描出小球運動的軌跡，應該用一條曲線把所有的點連接起來
解析：(1)實驗還需要的器材是坐標紙和重垂線，描出的軌跡在坐標紙上，方便數據處理，重垂線是用來確定豎直木板是否豎直并確定縱坐標，故選C、F項．(2)做研究平拋運動的實驗時，斜槽末端必須水平，以保證小球做平拋運動；使小球每次從斜槽上相同的位置自由滾下，以使小球在斜槽末端速度相同；在描畫小球運動軌跡時，應用平滑的曲線擬合，偏離軌跡較遠的點可舍去．故選A、D項．
答案：(1)CF　(2)AD
二、實驗數據處理
在研究平拋物體運動的實驗中，用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長L＝1.6 cm，若小球在平拋運動途中的幾個位置如圖中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計算式為v0＝______________(用L、g表示)，其值是__________(g取10 m/s2)．小球在b點的速率為________.(取兩位有效數字)
解析：圖中a、b、c、d位置之間對應水平距離相等．說明a→b、b→c、c→d所用時間相同，根據勻變速直線運動的特點Δx＝aT2，則有
L＝gT2①
而水平方向上：2L＝v0T②
聯立①②式得v0＝2＝2× m/s＝0.80 m/s
小球在b點的豎直分速度vy＝＝③
聯立①③式得vy＝1.5＝0.60 m/s
小球在b點的合速度v＝＝1.0 m/s．
答案：2　0.80 m/s　1.0 m/s
1．安裝實驗裝置的過程中，斜槽末端的切線必須是水平的，這樣做的目的是(　　)
A．保證小球飛出時，速度既不太大，也不太小
B．保證小球飛出時，初速度水平
C．保證小球在空中運動的時間每次都相等
D．保證小球運動的軌跡是一條拋物線
解析：平拋運動就是要求小球離開斜槽時，初速度一定是水平的．
答案：B
2．(多選)下列哪些因素會使“探究平拋運動的規律”實驗誤差增大(　　)
A．小球與斜槽之間有摩擦
B．安裝斜槽時其末端不水平
C．建立坐標系時，以斜槽末端端口位置為坐標原點
D．根據曲線計算平拋運動的初速度時，在曲線上取作計算的點離原點O較近
解析：小球與斜槽之間的摩擦并不影響平拋運動，選項A錯誤．斜槽末端不水平，以斜槽末端端口為坐標原點，計算初速度時在曲線上取離原點O較近的點，都對測量數據影響較大．
答案：BCD
3．(教材習題改編)某同學設計了一個探究平拋運動特點的實驗裝置，在水平桌面上放置一個斜面，每次都讓鋼球從斜面上的同一位置滾下，滾過桌邊后鋼球便做平拋運動．在鋼球拋出后經過的地方水平放置一塊木板(還有一個用來調節木板高度的支架，圖中未畫出)，木板上放一張白紙，白紙上有復寫紙，這樣便能記錄鋼球在白紙上的落點．桌子邊緣鋼球經過的地方掛一條鉛垂線．完成下列主要探究步驟：(　　)
a．木板分別置于桌面下方距離桌面h、4h、9h…處，讓鋼球每次從斜面上的同一位置無初速滾下，鋼球撞擊木板，在白紙上留下痕跡；
b．依次測量球痕中心到鉛垂線的水平距離x1、x2、x3…，若滿足x1：x2：x3…＝________，則表明鋼球做平拋運動的水平分運動是勻速直線運動．
c．如圖所示，在“研究平拋物體運動”的實驗中忘記記下斜槽末端的位置O，A為物體運動一段時間后的位置，根據如圖所示圖象，則物體平拋初速度大小為________ m/s，小球在D點的速度大小為________ m/s.(g取10m/s2)
解析：小球在豎直方向上做自由落體運動，則有：h＝gt，解得t1＝，4h＝gt，解得t2＝2，9h＝gt，解得t3＝3，若水平方向做勻速直線運動，則有：＝＝，解得：x1∶x2∶x3…＝1∶2∶3…
相鄰兩點間的時間間隔為T，豎直方向：Δh＝gT2，得到：T＝ ＝0.1 s水平方向勻速運動，因此物體平拋初速度大小為：v0＝＝2.0 m/s
根據勻變速直線運動的時間中點的瞬時速度等于該過程中的平均速度，可得D點在豎直方向的速度為：vDy＝＝ m/s＝2 m/s
D點速度的大小為：v＝＝2 m/s
答案：1∶2∶3…　2　2
4．(教材習題改編)如圖所示，為一個探究平拋運動特點的實驗，將一個斜槽固定在課桌桌面邊緣，使斜槽末端切線水平，右邊緣A距豎直墻面x1＝10 cm.把白紙和復寫紙貼在墻上，記錄鋼球的落點．
①使鋼球從斜槽上某點由靜止滾下打在墻上，記錄落點為P；
②將課桌向遠離墻面方向移動使斜槽右邊緣A距豎直墻面x2＝20 cm，使鋼球從斜槽上同一位置由靜止滾下打在墻上，記錄落點為N；
③再次移動課桌，使斜槽右邊緣A距豎直墻面x3＝30 cm，鋼球仍從斜槽上由靜止滾下打在墻上，記錄落點為M；
④測得OM＝31 cm，ON＝56 cm，OP＝71 cm．
(1)實驗中為了減小誤差而采取的措施中正確的是________(填寫選項前的字母)．
A．斜槽軌道必須光滑
B．小球每次都應從同一高度由靜止釋放
C．每次都要平衡摩擦力
D．小球應選用體積較小的實心鋼球
E．每次實驗中均應重復幾次后，再記錄平均落點
(2)由測得的數據可求出小球平拋的初速度為________
m/s(不計空氣阻力，g取10 m/s2，結果保留2位有效數字)．
解析：(1)斜槽軌道不一定要光滑，只要每次從斜槽的同一位置由靜止釋放小球即可，故A錯誤，B正確；實驗中不需要平衡摩擦力，故C錯誤；小球應選用體積較小的實心鋼球，減小誤差，故D正確；為了減小誤差，每次實驗中均應重復幾次后，再記錄平均落點，故E正確．所以BDE正確，AC錯誤．(2)根據Δy＝NM－PN＝gT2，代入數據解得：T＝0.1 s，在水平方向：Δx＝x3－x2＝v0t，解得：v0＝1 m/s．
答案：BDE　1.0 m/s
5．在做“研究平拋物體的運動”的實驗時：
(1)為使小球水平拋出，必須調整斜槽，使其末端的切線________．
(2)小球拋出點的位置必須及時記錄在白紙上，然后從這一點畫水平線和豎直線作為x軸和y軸，豎直線是用________來確定的．
(3)某同學通過實驗得到的軌跡如圖所示，判斷O點是否是拋出點：________(填“是”或“否”)．
(4)該同學在軌跡上選取間距較大的幾個點，測出其坐標，并在直角坐標系內繪出了y x2圖象，則此平拋物體的初速度v0＝________m/s.(取g＝10 m/s2)
答案：(1)水平　(2)重錘線　(3)是　(4)0.5 m/s
培優課(一)　平拋運動的規律及應用
1．理解物體做平拋運動的條件．
2．會根據運動的合成與分解分析平拋運動的規律．
1．物體做平拋運動的條件是什么？
提示：初速度水平且只受重力作用．
2．平拋運動的研究方法是什么？
提示：把平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動．
3．試總結平拋運動問題中求解時間的方法．
提示：①位移法：利用水平位移或豎直位移求解時間，由平拋運動的時間等于各分運動的時間，根據水平方向t＝或豎直方向h＝gt2，得t＝．
②速度法：利用速度求解時間，先求出豎直分速度，由于豎直方向為自由落體運動，則有vy＝gt，故t＝．
③推論法：利用勻變速直線運動的推論Δh＝gT2求解時間．
4．平拋運動與斜面的結合問題．
跳臺滑雪是勇敢者的運動．在利用山勢特別建造的跳臺上，運動員穿著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑路上獲得高速后水平飛出，在空中飛行一段距離后著陸，這項運動極為壯觀，如圖所示．請思考：
(1)運動員從斜坡上的A點水平飛出，到再次落到斜坡上的B點，根據斜面傾角可以確定運動員位移的方向還是運動員速度的方向？
提示：位移的方向．
(2)運動員從斜面上的A點水平飛出，到運動員再次落到斜面上，他的豎直分位移與水平分位移之間有什么關系？
提示：tan θ＝．
探究一　平拋運動中的臨界問題
如圖所示，小球從離地h＝5 m高，離豎直墻水平距離s＝4 m處水平拋出，不計空氣阻力，則：(g取10 m/s2)
(1)若要使小球碰不到墻，則它的初速度應滿足什么條件？
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墻水平拋出小球，碰撞點離地面的高度是多少？
解析：(1)若小球恰好落到墻角，根據平拋運動的規律，有
s＝vt
h＝gt2
解得t＝＝ s＝1 s
v＝＝ m/s＝4 m/s，故v0≤4 m/s
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墻水平拋出小球，則
運動時間t1＝＝ s＝0.5 s
下落的高度h1＝gt＝×10×0.25 m＝1.25 m
離地高度h2＝h－h1＝5 m－1.25 m＝3.75 m
答案：(1)v0≤4 m/s　(2)3.75 m
【題后總結】　解決此類問題的關鍵有三點：(1)確定運動性質；(2)確定臨界狀態；(3)確定臨界軌跡，并畫出軌跡示意圖．
1．如圖所示，水平房頂高H＝5 m，墻高h＝3.2 m，墻到房子的距離l＝3 m，墻外馬路寬d＝10 m．欲使小球從房頂水平飛出后落在墻外的馬路上，求小球離開房頂時的速度v0應滿足什么條件？(墻厚不計，g取10 m/s2)
解析：如答圖1所示，設小球離開房頂的速度為v1時剛好觸墻而過，小球自房頂飛出后做平拋運動，到達墻頭時，水平位移為l，豎直位移為y＝H－h＝5 m－3.2 m＝1.8 m
由y＝gt得小球從飛出到運動至墻頭所用的時間為t1＝＝ s＝0.6 s
由l＝v1t1可得小球離開房頂時的速度為v1＝＝ m/s＝5 m/s
圖1　　　　　　　　　圖2
設小球離開房頂的速度為v2時恰好落在墻外的馬路邊緣，如答圖2所示，此過程中小球的水平位移為l＋d，豎直位移為H，則小球在空中的飛行時間t2滿足H＝gt
解得t2＝＝ s＝1 s
由l＋d＝v2t2得v2＝＝ m/s＝13 m/s
欲使小球離開房頂后能落在馬路上，則小球離開房頂時的速度v0應滿足v1≤v0≤v2，即5 m/s≤v0≤13 m/s．
答案：5 m/s≤v0≤13 m/s
探究二　平拋運動與斜面
如圖所示，位于同一高度的小球A、B分別以v1和v2的速度水平拋出，都落在了傾角為30°的斜面上的C點，小球B恰好垂直打到斜面上，則v1、v2之比為(　　)
A．1∶1　　　　　　 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
解析：兩球均做平拋運動，且下落高度相同，故兩球下落時間也相同，設為t．
對A球有
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan 30°＝③
聯立①②③式得v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，則有tan 30°＝＝⑤
則得v2＝gt⑥
由④⑥式得v1∶v2＝3∶2．
故選項C正確．
答案：C
【題后總結】　平拋運動與斜面的綜合
(1)常見的有兩類情況：
①做平拋運動的物體垂直打在斜面上，此時物體的合速度與豎直方向的夾角等于斜面的傾角．
②物體從斜面上某一點水平拋出以后又重新落在斜面上，此時平拋運動物體的合位移與水平方向的夾角等于斜面的傾角．
(2)求解方法：
①對于垂直打在斜面上的平拋運動，畫出速度分解圖；對于重新落在斜面上的平拋運動，畫出位移分解圖．
②確定合速度(或合位移)與水平方向的夾角，利用夾角確定分速度(或分位移)的關系tan θ＝．
③再結合平拋運動在水平方向和豎直方向的位移公式或速度公式列式求解．
2．(2018·全國卷Ⅲ)在一斜面頂端，將甲、乙兩個小球分別以v和的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上．甲球落至斜面時的速率是乙球落至斜面時速率的(　　)
A．2倍　 B．4倍　
C．6倍　 D．8倍
解析：如圖所示，可知：
x＝vt，x·tan θ＝gt2則x＝·v2，即x∝v2
甲、乙兩球拋出速度為v和，則相應水平位移之比為4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也為4∶1，由自由落體運動規律得，落在斜面上豎直方向速度之比為2∶1，則可得落至斜面時速率之比為2∶1．
答案：A
1．如圖所示，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓，O為圓心，AB為沿水平方向的直徑．若在A點以初速度v1沿AB方向平拋一小球，小球將擊中坑壁上的最低點D點；而在C點以初速度v2沿BA方向平拋的小球也能擊中D點．已知∠COD＝60°，則兩小球初速度大小之比v1∶v2(小球視為質點)(　　)
A．1∶2　 B．1∶3　
C．∶3　 D．∶2
解析：小球從A點平拋，可得：R＝v1t1，R＝gt
小球從C點平拋，可得：Rsin 60°＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt
聯立解得：＝，故選項C正確．
答案：C
2．(2016·海南卷)在地面上方某點將一小球以一定的初速度沿水平方向拋出，不計空氣阻力，則小球在隨后的運動中(　　)
A．速度和加速度的方向都在不斷變化
B．速度與加速度方向之間的夾角一直減小
C．在相等的時間間隔內，速率的改變量相等
D．在相等的時間間隔內，動能的改變量相等
解析：由于物體只受重力作用，做平拋運動，故加速度不變，速度大小和方向時刻在變化，選項A錯誤；設某時刻速度與豎直方向夾角為θ，則tan θ＝＝，隨著時間t變大，tan θ變小，θ變小，故選項B正確；根據加速度定義式a＝＝g，則Δv＝gΔt，即在相等的時間間隔內，速度的改變量相等，故選項C錯誤；根據動能定理，在相等的時間間隔內，動能的改變量等于重力做的功，即WG＝mgh，對于平拋運動，由于在豎直方向上，在相等時間間隔內的位移不相等，故選項D錯誤．
答案：B
3．(2017·全國卷Ⅰ)發球機從同一高度向正前方依次水平射出兩個速度不同的乒乓球(忽略空氣的影響)．速度較大的球越過球網，速度較小的球沒有越過球網．其原因是(　　)
A．速度較小的球下降相同距離所用的時間較多
B．速度較小的球在下降相同距離時在豎直方向上的速度較大
C．速度較大的球通過同一水平距離所用的時間較少
D．速度較大的球在相同時間間隔內下降的距離較大
解析：在豎直方向，球做自由落體運動，由h＝gt2知，選項A、D錯誤．由v＝2gh知，選項B錯誤．在水平方向，球做勻速直線運動，通過相同水平距離，速度大的球用時少，選項C正確．
答案：C
4．圖為“快樂大沖關”節目中某個環節的示意圖．參與游戲的選手會遇到一個人造山谷OAB，
OA是高h＝3 m的豎直峭壁，AB是以O點為圓心的弧形坡，∠AOB＝60°，B點右側是一段水平跑道。選手可以自O點借助繩索降到A點后再爬上跑道，但身體素質好的選手會選擇自O點直接躍上跑道．選手可視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2.(　　)
(1)若選手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若選手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求該選手在空中的運動時間．
解析：(1)若選手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，則：hsin 60°≤v0t，hcos 60°＝gt2
解得：v0≥ m/s
(2)若選手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1＜v0，人將落在弧形坡上
下降高度：y＝gt2，水平前進距離：x＝v1t，且：x2＋y2＝h2
聯立解得：t＝0.6 s
答案：(1) m/s　(2)0.6 s
5．如圖所示，民俗運動會中有一種擲飛鏢游戲比賽項目，比賽中某選手站在靶的正前方手持飛鏢將其水平擲出，飛鏢出手瞬間的位置高出靶心O點h＝0.2 m，離靶面水平距離L＝2 m，若將飛鏢在空中的運動看作平拋運動，并且剛好擊中靶心，飛鏢可視為質點，求：
(1)飛鏢的初速度大小；
(2)飛鏢擊中靶心前瞬間的速度大小和方向(用與水平方向所成的夾角θ的正切值來表示)；
(3)若飛鏢擊中以靶心O為圓心、半徑R＝10 cm的圓形范圍內為有效成績并得分，設飛鏢每次水平擲點位置不變，且飛鏢只在與靶面垂直的豎直面內運動，則飛鏢水平擲出的初速度大小在什么范圍內時才可以得分？
解析：飛鏢在空中的運動看作平拋運動，由平拋運動規律求出飛鏢的初速度大小和飛鏢擊中靶心前瞬間的速度大小和方向，飛鏢落在最上端，擲出的初速度最大，飛鏢落在最下端，擲出的初速度最小．
(1)由平拋運動豎直方向：h＝gt2，得到t＝0.2s
水平方向：L＝v0t，得到：v0＝10 m/s；
(2)豎直速度：vy＝gt＝2 m/s
合速度：v＝＝ m/s，方向：tan θ＝＝0.2
(3)水平方向：L＝v0t
落在最上端，豎直方向：y1＝h－0.1 m＝0.1 m，又因為y1＝gt2得到：t1＝s
初速度v1＝10 m/s≈14.1 m/s
落在最下端，豎直方向：y2＝h＋0.1＝0.3 m，得到：t1＝s
初速度v2＝ m/s
故速度范圍為： m/s＜v＜14.1 m/s
答案：(1)10 m/s　 (2)0.2 　(3) m/s＜v＜14.1 m/s
培優作業(一)
A組　(15分鐘　50分)
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．關于做平拋運動的物體，下列說法正確的是(　　)
A．速度始終不變 B．加速度始終不變
C．受力始終與運動方向垂直 D．受力始終與運動方向平行
解析：做平拋運動的物體，速度時刻改變，選項A錯誤；加速度g不變，選項B正確；重力與運動方向之間的夾角為θ，0<θ<90°，故選項C、D錯誤．
答案：B
2．(多選)物體做平拋運動，下列說法正確的是(　　)
A．由于物體受力的大小和方向不變，因此平拋運動是勻變速運動
B．由于物體速度的方向不斷變化，因此平拋運動不是勻變速運動
C．平拋運動是任何恒力作用下的曲線運動
D．平拋運動的速度大小是時刻變化的
解析：做平拋運動的物體只受重力作用，加速度a＝g，方向豎直向下，為一恒量，因此平拋運動是勻變速運動，故選項A正確，選項B錯誤；由于平拋運動是只在重力作用下水平拋出的運動，故選項C錯誤；由于豎直方向速度逐漸變大，因此，平拋運動的速度大小時刻變化，故選項D正確．
答案：AD
3． (多選)從同一點沿水平方向拋出的A、B兩個小球能落在同一個斜面上，運動軌跡如圖所示，不計空氣阻力，則小球初速度vA、vB的關系和運動時間tA、tB的關系分別是(　　)
A．vA＞vB　　　　　 B．vA＜vB
C．tA＞tB D．tA＜tB
解析：A小球下落的高度小于B小球下落的高度，所以根據h＝gt2知t＝，故tA＜tB，選項C錯誤，選項D正確；根據x＝vt知，B的水平位移較小，時間較長，則水平初速度較小，故vA＞vB，選項A正確，選項B錯誤．
答案：AD
4．如圖所示，在距離豎直墻壁為L＝1.2 m處，將一小球水平拋出，小球撞到墻上時，速度方向與墻面成θ＝37°，不計空氣阻力．墻足夠長，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
A．球的初速度大小為3 m/s
B．球撞到墻上時的速度大小為4 m/s
C．將初速度變為原來的2倍，其他條件不變，小球撞到墻上的點上移了m
D．若將初速度變為原來的一半，其他條件不變，小球可能不會撞到墻
解析：A、設小球水平拋出時的速度為v0，則從開始到撞到墻上所用的時間為：t＝
撞到墻上時的豎直速度：vy＝gt
根據速度方向與墻面成θ＝37°，則tan θ＝＝
代入數據得：v0＝3 m/s，A正確；B、撞到墻上時的速度：v＝＝ m/s＝5 m/s，B錯誤；C、打到墻上的點距拋出點的豎直高度為：h1＝gt2＝＝0.8 m；若將球的初速度變為原來的2倍，則打到墻上的點距拋出點的豎直高度為：h2＝gt＝＝0.2 m．小球撞到墻上的點上移了Δh＝h1－h2＝0.8 m－0.2 m＝0.6 m，C錯誤；D、因為墻足夠長，只要初速度不為零，就一定能打到墻上，D錯誤．
答案：A
5．(2017·江蘇卷)如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經過時間t在空中相遇．若兩球的拋出速度都變為原來的2倍，則兩球從拋出到相遇經過的時間為(　　)
A．t B．t
C． D．
解析：設A、B兩小球分別以速度vA、vB水平拋出時，經過時間t相遇，則根據平拋運動在水平方向做勻速直線運動有
vAt＋vBt＝d ①
(d為初始時刻兩小球間的水平距離)
設當A、B兩小球拋出速度都變為原來的2倍時，經過時間t′相遇，
則2vAt′＋2vBt′＝d ②
聯立①②解得
t′＝
選項C正確．
答案：C
二、非選擇題(每小題10分，共20分)
6．如圖，一個斜面固定在水平面上，從斜面頂端以不同初速度v0水平拋出小物體，得到物體在空中運動時間t與初速度v0的關系如下表，g＝10 m/s 2.試求：
v0/m·s－1 … 2 … 9 10 …
t/s … 0.400 … 1.000 1.000 …
(1)v0＝2 m/s時平拋水平位移x
(2)斜面的高度h
(3)斜面的傾角θ
解析：(1)水平方向上做勻速直線運動：x＝v0t＝0.80 m
故平拋水平位移x＝0.80 m．
(2)因為初速度達到9 m/s以后運動時間保持1 s不變，故小物體落地點在水平面h＝gt2＝5 m
(3)小物體初速度2 m/s，運動時間0.400 s時落在斜面，
tan θ＝＝＝1
θ＝45°
故斜面的傾角θ＝45°．
答案：(1)0.80 m　(2)5 m　(3)45°
7．滑雪運動越來越被大眾喜歡，中國申辦2022年冬奧會，國際奧委會評估團已結束對北京和張家口的考察，我們期待申奧成功．如圖，某滑雪愛好者經過一段加速滑行后從O點水平飛出，經過3.0 s落到斜坡上的A點．已知O點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角θ＝37°，運動員的質量m＝50 kg.不計空氣阻力．求：(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)
(1)A點與O點的距離L．
(2)運動員離開O點時的速度大小．
(3)運動員落到A點時的速度大小．
解析：(1)豎直方向h＝gt2＝45 m，A點與O點的距離L＝＝75 m．
(2)水平方向x＝＝v0t得v0＝20 m/s．
(3)豎直方向速度vy＝gt＝30 m/s，v＝＝10 m/s．
答案：(1)75 m　(2)20 m/s　(3)10 m/s
B組　(25分鐘　50分)
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．一架飛機水平勻速飛行，從飛機上每隔2 s釋放一個鐵球，先后共釋放4個，如果不計空氣阻力，則在某一時刻4個球在空中的排列情況大致為(　　)
解析：因為平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，所以釋放的小球都在飛機的正下方，即在飛機的正下方排成豎直的直線．小球在豎直方向上的距離隨著時間的增大逐漸增加．故選項A正確，選項B、C、D錯誤．
答案：A
2．“套圈圈”是老少皆宜的游戲，如圖所示，大人和小孩在同一豎直線上的不同高度處分別以水平速度v1、v2拋出鐵絲圈，都能套中地面上的同一目標．設大人和小孩的拋出點離地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，則v1∶v2等于(　　)
A．2∶1　　　　　　　 B．1∶2
C．∶1 D．1∶
解析：鐵絲圈做平拋運動，所以運動時間t＝，故水平位移為x＝v，因為兩者的水平位移相同，所以有v1＝v2，因為H1∶H2＝2∶1，所以v1∶v2＝1∶，選項D正確，選項A、B、C錯誤．
答案：D
3．物體以一定的初速度水平拋出，不計空氣阻力．經過t1時間，其速度方向與水平方向夾角為37°，再經過t2時間，其速度方向與水平方向夾角為53°，則t1∶t2為(　　)
A．9∶7 B．7∶9
C．16∶9 D．9∶16
解析：設初速度為v0，則tan 37°＝＝，解得vy＝v0，t1＝；tan 53°＝，解得vy′＝v0，則t2＝＝＝，則t1∶t2＝9∶7

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