資源簡介

萬有引力與宇宙航行
天體質量和密度的求解
重難點 題型 分值
重點 萬有引力提供向心力 選擇 計算 8-12分
難點 中心環繞模型與黃金代換公式的準確使用
一、萬有引力提供向心力的中心環繞模型
理解天體做圓周運動所需的向心力由萬有引力提供，掌握由此得出的一些表達式：
G=m a=m=mω2R= mR，從而推導出對于天體在不同的軌道R上做圓周運動時的a、v、ω、T與軌道半徑（R）的關系。
1. 得，所以R越大，a越小；
2. 由得，所以R越大，υ越小；
3. 由得，所以R越大，ω越小；
4. 由R得，所以R越大，T越大；
5. 模型總結：當行星穩定運行時，軌道半徑R越大，υ越小；ω越小；T越大；萬有引力越小；向心加速度越小。總結為：高軌低速長周期。
二、黃金代換公式
設天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，因為物體在天體表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
即黃金代換式。
同樣可以推得在天體表面h處，重力加速度
重力加速度受緯度、高度、地球質量分布情況等多種因素影響，緯度越高，高度越小，重力加速度越大。
三、天體質量和密度的計算
1. 天體質量的計算
（1）測“g”法：根據天體表面的重力加速度來求天體質量
mg＝，則M＝
（2）環繞法：萬有引力提供向心力（利用天體的衛星來求天體的質量）
G＝mr＝m＝mω2r來求得質量M＝＝＝
注：此種方法只能求出中心天體的質量。
2. 天體密度的計算
（1）利用天體表面的重力加速度，來求天體的自身密度。
由mg＝和M＝ρ·πR3，
得ρ＝
其中g為天體表面重力加速度，R為天體半徑。
（2）利用天體的衛星來求天體的密度
設衛星繞天體運動的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑為R，則可列出方程：
G＝mr，M＝ρ·πR3，
得ρ＝＝＝
當天體的衛星環繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度為：
ρ＝
注：天體近似可看作正球體，其體積可表示為，故計算天體密度時，求出天體質量并且知道天體的半徑，即可求得密度。
四、解決天體問題的基本方法
1. 一個模型：天體的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型。
2. 兩組公式：
G=m a=m=m rω2=mr
，即
3. 四個重要物理量
（1）線速度：由得，所以R越大，υ越小；
（2）角速度：由得，所以R越大，ω越小；
（3）周期：由得，所以R越大，T越大；
（4）向心加速度：由得，所以R越大，a越小；
4. 兩條基本思路：
（1）萬有引力提供天體運動的向心力
質量為m的行星或衛星繞質量為M的星體在半徑為r的軌道上做圓周運動時，由牛頓第二定律及圓周運動知識得G=m a=m=m rω2=mr。
（2）不考慮地球自轉的影響時，在地球表面附近有，化簡得。通常叫做黃金代換式，適用于任何天體。
1. 從地球上發射的兩顆人造地球衛星A和B，繞地球做勻速圓周運動的半徑之比為RA∶RB=4∶1，求它們的線速度之比和運動周期之比。
答案：
解析：衛星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律有：
A： ①
B： ②
①/②得：，∴
根據，可知：
2. 宇航員站在一星球表面上某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L，若拋出時的初速度增大為原來的2倍，則拋出點與落地點之間的距離為。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G，求該星球的質量M。
答案：
解析：設拋出點的高度為h，第一次水平位移為x，則
x2＋h2＝L2 ①
同理，對于第二次平拋過程有（2x）2＋h2＝（L）2 ②
由①②解得h＝。
設該行星上重力加速度為g，由平拋運動規律得h＝gt2 ③
由萬有引力定律與牛頓第二定律，得G＝mg ④
由以上各式可解得M＝
繼神秘的火星之后，土星也成了全世界關注的焦點！經過近7年35.2億公里在太空中風塵仆仆的穿行后，美航空航天局和歐航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間2004年6月30日（北京時間7月1日）抵達預定軌道，開始“拜訪”土星及其衛星家族。這是人類首次針對土星及其31顆已知衛星最詳盡的探測！若“卡西尼”號探測器進入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高的圓形軌道上繞土星飛行，環繞周飛行時間為。試計算土星的質量和平均密度。
答案：
解析：設“卡西尼”號的質量為m，土星的質量為M. “卡西尼”號圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供。
由題意
所以：。
又
得：
1. 萬有引力提供向心力的中心環繞模型
得，所以R越大，υ越小；
得，所以R越大，ω越小；
得，所以R越大，T越大；
特性：高軌低速長周期
2. 黃金代換公式
在不計地球自轉的時候嚴格成立，由于地球自轉所需的向心力與重力相比很小，因此黃金代換式在所有的問題中都可以使用，在使用時需要注意公式中的為研究對象距星球球心的距離。
3. 求解天體質量和密度的方法
（1）黃金代換：
（2）萬有引力提供向心力：G＝mr＝m＝mω2r
（答題時間：30分鐘）
1. 衛星在軌道上繞地球做圓周運動，它所受的向心力F跟半徑r的關系是（　 ）
A. 由公式F＝m可知，F和r成反比 　
B. 由公式F＝mrω2可知，F和r成正比
C. 由公式F＝mvω可知，F和r無關　　　　
D. 由公式F＝可知，F和r2成反比
2. 設地球半徑為R0，質量為m的衛星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，則（　　）
A. 衛星的線速度為　　　 B. 衛星的角速度為
C. 衛星的加速度為　　　　　 D. 衛星的周期為2π
3. 一個物體在地球表面所受的重力為G，則在距離地面高度為地球半徑的2倍時，所受引力為（　　）
A. G/2 　　 B. G/3　　 C. G/4 　　　 D. G/9
4. 人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為R，線速度為v，周期為T，要使衛星周期變為2T，可能的辦法有（　　）
A. R不變，線速度變為v/2 　　　 B. v不變，使其軌道半徑變為2R
C. 軌道半徑變為R　　　　　　 D. 速度、軌道半徑都加倍
5. 某星球質量為地球的9倍，半徑約為地球的一半，在地球表面從某一高度平拋一物體，其水平射程為60m。則在該星球上，從同樣高度，以同樣的水平速度拋出同一物體，其水平射程為（　　）
A. 360m 　　　 B. 90m 　　　 C. 15m 　　　 D. l0m
6. 天文觀察到某行星有一顆衛星以半徑為R、周期為T環繞該行星做圓周運動，已知衛星質量為m，求：
（1）該行星的質量M；
（2）如果該行星的半徑是衛星運行軌道半徑的1/10，那么行星表面的重力加速度有多大？
7. 登月飛行器關閉發動機后在離月球表面112km的空中沿圓形軌道繞月球飛行，周期是120.5min。已知月球半徑是1740km，根據這些數據計算月球的平均密度。（G=6.67×10-11Nm2／kg2）
1.【答案】D
【解析】解：A. 人造衛星做圓周運動萬有引力提供向心力，=，v=，r變化，v變化，所以由公式F=可知F和r成反比是錯誤的，故A錯誤；
B. =mω2r，ω=，
F變化，r變化，所以由公式F=mω2r可知F和ω2成正比是錯誤的，故B錯誤；
C. 由公式F=可知F和r2成反比，故C錯誤，D正確；
故選：D。
2. 【答案】C
【解析】根據萬有引力提供向心力，黃金代換式，求出衛星的線速度、角速度、周期和加速度。
A. 萬有引力等于重力=mg，得，根據萬有引力提供向心力====ma，得。
B. 。
C. 。
D. 。
故選C。
3.【答案】D
【解析】根據可得，當物體在距離地面高度為地球半徑的2倍時，所受到的引力變為原來的，選D。
4.【答案】C
【解析】A. 若半徑R不變，使衛星的線速度減小，衛星將做近心運動，周期減小。故A錯誤。
B. 若v不變，衛星只能在原軌道上運動，半徑不變，周期也不變。故B錯誤。
C. 設地球的質量為M，衛星的質量為m。由牛頓第二定律得：，得到。根據數學知識可知，使軌道半徑R變為時，衛星的周期變2T。
D. 根據前面的分析，速度、軌道半徑都加倍，無法實現，故D錯誤。
故選C。
5.【答案】D
【解析】設星球質量為M′，半徑為R′，地球質量為M，半徑為R，已知星球的質量約為地球的9倍，半徑約為地球的一半，
由萬有引力等于重力得在地球上：=mg，
解得：g=
在某星球上則有：
所以有： ①
所以該星球表面重力加速度與地球表面重力加速度的比值是36：1。
由題意從同樣高度拋出，h=gt2=g′t′2 ②
①、②聯立，解得：t′=t，
在地球上的水平位移：s=v0t=60m，
在星球上的：s′=v0t′=v0t=10m。
6. 【答案】；
【解析】（1）根據萬有引力定律和向心力公式：（1）
解得
（2）在行星表面，萬有引力等于重力：（2）
聯立（1）（2）得：
答：（1）該行星的質量；（2）行星表面處的重力加速度。
7. 【答案】3.26×103kg/m3
【解析】根據牛頓第二定律有
從上式中消去飛行器質量m后可解得
=7.2×1022kg
根據密度公式有
雙星模型
重難點 題型 分值
重點 雙星模型的特征 選擇 計算 4-6分
難點 雙星模型參數的計算
1. 在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動的行星稱為雙星。
2. 雙星模型特征
（1）兩顆星彼此相距較近。
（2）兩顆星靠相互之間的萬有引力做勻速圓周運動。
（3）兩顆星繞同一圓心做圓周運動。
3. 雙星模型隱含條件
（1）“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分別作用在兩顆行星上，是一對作用力和反作用力。
（2）“周期、角速度相等”——兩顆行星做勻速圓周運動的周期、角速度相等。
（3）“半徑反比”——圓心在兩顆行星的連線上，且r1＋r2＝L，兩顆行星做勻速圓周運動的半徑與行星的質量成反比，即。
注意：雙星模型中應注意：雙星做勻速圓周運動的向心力大小相等、周期、角速度相同；做勻速圓周運動的半徑和線速度一般不相等，半徑與質量成反比，與線速度大小成正比。
4. 分析雙星問題的兩個關鍵點
（1）向心力來源：雙星問題中，向心力來源于另一星體的萬有引力。
（2）圓心或軌道半徑的確定及求解：雙星問題中，軌道的圓心位于兩星連線上某處，只有兩星質量相等時才位于連線的中點，此處極易發生的錯誤是列式時將兩星之間的距離當作軌道半徑。
銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。 由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G。由此可求出S2的質量為（ ）；S1和S2的總質量為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D C
【解析】設兩顆恒星的質量分別為、，做圓周運動的半徑分別為、。
根據題意有
根據萬有引力定律和牛頓定律，有
聯立以上各式解得 ，，
雙星A和B的質量分別為M和m，A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，已知M>m，不考慮其他星球對雙星的影響，A和B兩者中心之間距離為L，A、B的中心和O點三點始終共線，A和B分別在O點的兩側。如果把星球B的一部分逐漸搬到星球A上，但保持二者間的距離不變，以下說法正確的是（　　）
A. 雙星間的引力減小
B. 雙星轉動的圓心位置不變
C. 雙星轉動的圓心向星球B移動
D. 雙星轉動的周期不變
【答案】AD
【解析】A、B間的萬有引力F＝，M與m的和一定，二者差越大，乘積越小，A正確；A、B的中心與O點三點始終共線，則A、B的角速度相等，則有Mω2r1＝mω2r2，即雙星的質量和半徑滿足Mr1＝mr2，M增大，r1減小，B、C錯誤；雙星的周期為2π，雙星的質量和不變，周期不變，D正確。
1. 雙星問題的“兩等”
（1）它們的角速度相等。
（2）雙星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等的。
2. 雙星問題的半徑
雙星做勻速圓周運動的圓心是它們連線上的一點，所以雙星做勻速圓周運動的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。兩個星體的軌道半徑r1與r2一般也不相等，它們等于質量的反比。
（答題時間：30分鐘）
1. 兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。兩星中心距離為，其運動周期為，求兩星的總質量。
2. 雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化。若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變為原來的k倍，兩星之間的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為（　　）
3. 宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質量均為m。
（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。
（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？
1.【答案】
【解析】兩星間的萬有引力提供它們各自做圓周運動的向心力，兩圓周運動的半徑之和為兩星中心間的距離。設兩星質量分別為M1和M2，都繞連線上點O做周期為T的圓周運動，星球1和星球2到點O的距離分別為l1和l2，由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得：， 聯立解得：。
2.【答案】B
【解析】設兩恒星的質量分別為M1和M2，軌道半徑分別為r1和r2。根據萬有引力定律及牛頓第二定律可得＝M1（）2r1＝M2（）2r2，解得＝（）2（r1＋r2），即＝（）2①，當兩星的總質量變為原來的k倍，它們之間的距離變為原來的n倍時，有＝（）2②，聯立①②兩式可得T′＝，故B項正確
3.【解析】（1）對于在半徑R上運動的任一星體，由牛頓第二定律：
G＋G＝m
得：v＝　　T＝＝4π。
（2）設第二種形式下星體之間的距離為r，它們之間的萬有引力：F0＝G
每個星體受到其他兩個星體的合力為F＝2F0cos30°＝G
由牛頓第二定律：F＝m（）2r′
其中r′＝　得：r＝。

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