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《實數》典型例題
例1 下列各數哪些是有理數，哪些是無理數？
，－5，，0，
解 有理數有：－5，0，．
無理數有：
說明：有理數包括整數與分數，只要是分數就是有理數，而無理數是無限不循環小數，被開方數開不盡方的數都是無理數，在本題中是無理數，不是分數．
例2 比較下列各組數的大?。?br/>（1）和， （2）和， （3）和， （4）0和．
解 （1），而，∴
（2），而，∴
（3），而，∴．
（4）
例3 計算：
（1），（2），（3），（4）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
說明：有關無理數的計算問題要按運算法則及運算律進行計算．
例4 計算（精確到0.1）：
（1），（2），（3），（4）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
例5 下面命題中，正確的是（ ）
A．不帶根號的數一定是有理數
B．有絕對值最大的數，也有絕對值最小的數
C．任何實數的絕對值都是正數
D．無理數一定是無限小數
分析 圓周率是不帶根號的數，但它是無限不循環小數，所以它是無理數，可見命題A不正確. 實際上，可以寫出很多不帶根號的無理數，如0.101001000100001……就是一個無理數；不存在最大的正數（對任何正數a，都不如大），導致不存在絕對值最大的數，所以B是假命題；實數0的絕對值不是正數，可見命題C也不正確.
解答 D
說明 考查實數的意義.
例6 下列說法中正確的是（ ）
A．無理數是開方開不盡的數
B．無限小數不能化成分數
C．無限不循環小數是無理數
D．一個負數的立方根是無理數
分析 實數可分為無理數和有理數. 有限小數和無限循環小數統稱為有理數，無限不循環小數稱為無理數. 開方開不盡的數一定是無理數，但無理數還包含了其他數，如，任何有理數都能化成分數形成. 所以A、B、D都是錯的. C正確.
解答 C
說明 考查實數的分類及定義
無理數主要有3種表現形式：①開方開不盡的數；②一些常數，如、e等；③無限不循環小數，如0.1010010001…
例7 實數，，，3.1416，，，0.2020020002……（每兩個2之間多一個零）中，無理數的個數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
分析 其中無理數有：，，0.202002…
解答 B
說明 考查無理數的定義
及有關的數都是無理數.
實數
一、本章知識結構
二、基礎知識
1．算術平方根。
（1）定義：如果一個正數x的平方等于a，即，那么這個正數x叫做a的算術平方根.
記為，讀作“根號a”,a叫做被開方數。
（2）規定：0的算術平方根是0
（3）性質：算術平方根具有雙重非負性：
①被開方數a是非負數，即a≥0.
②算術平方根本身是非負數，即≥0。
也就是說， 任何正數的算術平方根是一個正數，
0的算術平方根是（ 0 ），
負數沒有算術平方根。
2．平方根
（1）定義：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根或二次方根或二次方根
（2）非負數a的平方根的表示方法:
（3）性質：一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數。
0 只有一個平方根，它是0 。
負數沒有平方根。
說明：平方根有三種表示形式：± ， ，－，它們的意義分別是：非負數a的平方根，非負數a的算術平方根，非負數a的負平方根。要特別注意： ≠±。
3.平方根與算術平方根的區別與聯系：
區別：①定義不同算術平方根要求是正數
②個數不同平方根有2個，算術平方根1個
③表示方法不同：算術平方根為，平方根為±
聯系：①具有包含關系：
②存在條件相同：
③0的平方根和算術平方根都是0。
4．a2的算術平方根的性質
a (a≥0)
=│a│=
-a (a<0)
從算術平方根的定義可得：=a (a≥0)
5．立方根
定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根
數a的立方根的表示方法:
互為相反數的兩個數的立方根之間的關系：互為相反數
兩個重要的公式
6．開方運算：
（1）定義：
①開平方運算：求一個數a的平方根的運算叫做開平方。
②開立方運算：求一個數立方根的運算叫做開立方
（2）平方與開平方是互逆關系，故在運算結果中可以相互檢驗。
7．無理數的定義
無限不循環小數叫做無理數
8．有理數與無理數的區別
有理數總可以用有限小數或無限循環小數表示；反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數。而無理數是無限不循環小數小數，有理數和無理數區別之根本是有限及無限循環和無限不循環。有理數可以化成分數，無理數不能化成分數。
9.常見的無理數類型
（1）一般的無限不循環小數，如：1.41421356¨···
（2）看似循環而實際不循環的小數，如0.1010010001···(相鄰兩個1之間0的個數逐次加1)。
（3）有特定意義的數，如：π=3.14159265···
(4)開方開不盡的數。如：。
10．實數
（1）概念：有理數和無理數統稱為實數。
（2）分類 按定義
正整數
整數 0
負整數
有理數 有限小數或無限循環小數
正分數
實數 分數
負分數
正無理數
無理數 無限不循環小數
負無理數
按大小 正實數
實數 零
負實數
(3)實數的有關性質
①a與b互為相反數〈=〉a+b=0
②a與b互為倒數〈=〉ab=1
③任何實數的絕對值都是非負數，即≥0
④互為相反數的兩個數的絕對值相等, 即=
⑤正數的倒數是正數;負數的倒數是負數;零沒有倒數.
⑥一個正實數的絕對值是它本身，負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0
（4）實數和數軸上的點的對應關系：
實數和數軸上的點是一一對應的關系
實數的大小比較
在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
正數大于零；零大于負數；正數大于一切負數；兩個負數比較，絕對值大的反而小。
（5）實數中的非負數及其性質
在實數范圍內，正數和零統稱為非負數
我們已經學過的非負數有如下三種形式
①任何一個實數a的絕對值是非負數，即≥0
②任何一個實數的平方是非負數，即≥0；
③任何一個非負數a的算術平方根是非負數，即≥0
非負數有以下性質
①非負數有最小值零
②有限個非負數之和仍然是非負數
③幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0。

實數中的數學思想方法
一、分類思想
1.實數分類
(1)根據定義分類
實數
(2)按數的性質分類
實數
值得注意的是，實數的分類還有其他方法，而各種分類方法各有所長、所用，尤其是上述兩種分類方法，在今后的數學學習中常用.
二、類比思想
可類比有理數的有關概念，學習實數的有關概念，如相反數、倒數、絕對值等，也可類比有理數的大小比較方法，比較實數的大小.
三、數形結合思想
如何在數軸上作出表示、的點？類似問題的解決，都與數形結合思想有關.
如上圖所示，以數軸的單位長線段為邊作一個正方形，則根據勾股定理，以數軸的原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與數軸正半軸的交點就表示數，表示的點的作法類似.
數擴充到實數以后，實數與數軸上的一個點來表示，反之，數軸上的每一個點都可用一個實數來表示.
實數比較大小的方法
一、平方法
當a＞0，b＞0時，a＞b.
例1：比較與的大小.
分析：從表面上看，好象無從下手，但仔細觀察發現，它們的被開方數之間存在關系15+5=13+7，因此可用“平方法”.
解: ,.
∵∴＜
說明:此種方法一般適用于四個無理數兩兩之和(或差)之間比較大小,且其中兩個被開方數的和等于另兩個被開方數的和.
二、移動因式法
利用,將根號外的因數移到根號內,再比較被開方數的大小.
例2：比較和的大小.
分析:負無理數之間比較大小,先比較它們絕對值的大小,因此可將根號外的因數移到根號內,也可以用“平方法”.
解: ||=,||=.
∵∴＞.
三、求差法
例3：比較與的大小.
分析：此題可以用“平方法”或“移動因式法”，也可以用“求差法”.
∵-= ∴＜.
四、求商法
例4：比較與的大小.
分析: 此題可以用“平方法”或“移動因式法”，也可以用“求商法”
解:∵÷= ∴＜.
五、分母有理化法
例5：比較與的大小.
分析: 此題可以用“平方法”或“移動因式法”或“求商法”，還可以用分母有理化法.
解:.
∵, ∴ ＞.
六、倒數法
例6：比較與的大小.
分析：觀察發現，a,b都是兩個無理數的差，被開方數的差相同，因此可取這兩個數的倒數，再進行分母有理化.
,.
∵, ∴ ∴a ＜ b.
七、不等式的傳遞性
.
例7：比較和大小.
解：∵ ∴＞.
八、根指數不同的無理數大小的比較，可先化為同次根式，再比較被開方數的大小
例8:比較與的大小.
解: ∵， ∴＜.

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