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利用同構式解決問題
在有機化學中，我們經常去研究一些有機物的同分異構體。而在解決數學問題中我們
常常會看見一些數學的式子或一些變式，他們框架相同，只是字母和數字不同。譬如：比較
0.90.8 ,和0.80.9 的大小。一般比較大小當形式不同利用單調性不能解決，我們會借助于中間
0.9 0.8 0.9 0.8
的變量 0，或者 1 等去考慮，然而這題我們需要利用0.9 和0.8 ，0.9 與0.9 我們可
以構成 y 0.9x 利用單調遞減推出 0.90.9 < 0.90.8 ,同時 0.90.9 和 0.80.9 y x0.9構成 單調遞增
0.90.9推出 >0.80.9 ，從而得到0.90.8 >0.80.9 ；在這里我們就利用了同構式（相同的作為常量，
不同的作為變量），利用同構式去解決一些數學問題，我們會收到意想不到的效果。
二、典型例題：
x 1
5 2x sin x 1 3
例 1：設 x, y R，滿足 ，則 x y （ ） A. 0 B. 2
y 1
5 2y sin y 1 1
C. 4 D. 6
思 路 ： 本 題 研 究 對 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y 1 ， 進 而 可 變 形 為
x 1
5 2 x 1 sin x 1 1
，觀察上下式子左邊結構相同，進而可將相同的結構5
y 1 2 y 1 sin y 1 1
視為一個函數，而等式右邊兩個結果互為相反數，可聯想到函數的奇偶性，從而利用函數性
質求解
x 1
5 2x sin x 1 3 x 1
5 2 x 1 sin x 1 1
解 ： 5 設5
y 1 2y sin y 1 1 y 1 2 y 1 sin y 1 1
f x 1 1
f t t5 2t sin t ， 可 得 f t 為 奇 函 數 ， 由 題 意 可 得 ：
f y 1 1
f x 1 f y 1
x 1 y 1 x y 2
例 2：若函數 f x x 1 m在區間 a,b a b上的值域為 , b a 1 ，則實數m的取 2 2
值范圍是______
a
思路：注意到 f x 是增函數，從而得到 f a a , f b b
a 1 m
，即 2，發現兩個式
2 2
b 1 b m
2
子為 a,b的同構式，進而將同構式視為一個方程，而 a,b為該方程的兩個根，m的取值只需
要保證方程有兩根即可
a 1 m a
解 ： f x a b為 增 函 數 f a , f b 2 a,b 為 方 程
2 2
b 1 m b
2
x 1 x m 在 1, x 上 的 兩 個 根 ， 即 m x 1 有 兩 個 不 同 的 根 令
2 2
t x 1 t 1 0 x t 2 1 2所以方程變形為：m t 1 t 1 t 2 2t 1 ，結合圖
2 2
m 0, 1 m 0, 1像可得： 答案：

2 2
例 3：設 a,b R，則|“ a > b”是“ a a > b b ”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充要又
不必要條件
思路：觀察 a a > b b 可發現其同構的特點，所以將這種結構設為函數 f x x x ，分析
x2 , x 0
其單調性。 f x x x 可得 f x 為增函數。所以 a > b f (a)> f (b)，
x
2 , x 0
即 a > b a a > b b ，所以是充要條件 答案：C
例 4：若0 x1 x2 1，則（ ）
A. ex2 ex1 ln x2 ln x1 B. e
x1 ex2 ln x2 ln x1 C. x
x1
2e x1e
x2 D.
x x1 x22e x1e
思路：本題從選項出發可發現，每個選項通過不等式變形將 x1, x2分居在不等式兩側后都具
備同構的特點， 所以考慮將相同的形式構造為函數，從而只需判斷函數在 0,1 的單調性
即可
解 ： A 選 項 ： ex2 ex1 ln x x22 ln x1 e ln x
x1 x
2 e ln x1 ， 設 f x e ln x
' x 1 xex 1 g x xe x ' x f x e ，設 1，則有 g x x 1 e 0恒成立，所以 g x
x x
在 0,1 單調遞增，所以 g 0 1 0,g 1 e 1 0 ，從而存在 x0 0,1 ，使得
g x0 0，由單調性可判斷出：
x 0,x ,g'0 x 0 f ' x 0,x x0,1 ,g' x 0 f ' x 0 ，所以 f x 在 0,1 不單調，不
等式不會恒成立
B x x x x x選項：e 1 e 2 ln x2 ln x1 e 1 ln x 21 e ln x2 ，設 f x e ln x可知 f x
ex1 ex2x x
單調遞增。所以應該 f x f x ，B 錯誤 C 選項： x e 11 2 2 x 21e ，構造函x1 x2
f x e
x
' x 1 e
x
數 ， f x '，則 f x 0在 x 0,1 恒成立。所以 f x 在 0,1 單
x x2
x1 x2
調遞減，所以 f x1 f x x x
e e
2 成立 D 選項： x e 12 x 21e ，同樣構造x1 x2
x
f x e ，由 C 選項分析可知 D 錯誤答案：C
x
例 5：已知函數 f x 是定義在實數集 R 上的不恒為零的偶函數，且對任意實數 x都有
xf x 1 x 1 f x f 2015 1 5，則 2
的值是（ ）A. 0 B. C. 1 D.
2 2
f x 1 f x f t
思路：觀察條件可變形為： ，從而得到等式左右的結構均為 的形式，
x 1 x t
f 2015 f 2013 f 1 f 1
且括號內的數間隔為 1。所以 2
2015
2
2013
2 2 。因為 f x 為偶1 1

2 2 2 2
1 1 f 1 f f f
1
函 數 ， 所 以 ， 由 2

2 可 得 f
1 1
f

0 ， 進 而
2 2 1 1 2 2

2 2
f 2015
2 0 f 20152015
答案：A
2
0

2
例 6：如果 cos5 sin5 7 sin3 cos3 , 0,2 ，那么 的取值范圍是________
思路：本題很難直接去解不等式，觀察式子特點可發現若將關于 sin ,cos 的項分居在不
等號兩側： cos5 7cos3 sin5 7sin3 ，則左右呈現同構的特點，將相同的結構設
5 3
為 函 數 f x x 7x ， 能 夠 判 斷 f x 是 奇 函 數 且 單 調 遞 增 。 所 以 不 等 式
f cos f sin 等價于 cos sin ，即 sin cos 0 2 sin 0，所
4

以 2k 2k k Z 5 5 ，結合 0,2 ，可得 ， 答案： ，4 4 4 4 4
例 7：如圖，設點 P x0 , y0 在直線 x m y m,0 m 1,且m為常數 上，過點 P作雙
x2 y2曲線 1的兩條切線 PA,PB，切點為 A,B，求證：直線 AB過某一個定點
解：設 A x1, y1 ,B x2 , y2 ， PA的斜率為 k
y y k x x
則 PA : y y1 k x x
1 1
1 ，聯立方程 消去 y可
x2 y
2 1
得：
2 2x kx kx1 y1 1，整理可得：
1 k 2 x2 2k y1 kx1 x y1 kx1 2 1 0 ，因為 PA與雙曲線相切所以
4k 2 y1 kx1
2 4 1 k 2 y1 kx 2 4 1 k 21 0
4 y 21 kx1 4 1 k 2 0
k 2x21 2kx1y
2 2
1 y1 1 k 0 x21 1 k 2 2kx1y1 y21 1 0
x21 y
2
1 1 x
2
1 1 y
2 2
1 , y1 1 x
2 2 2 2
1 代入可得： y1 k 2x1y1k x1 0即
y1k x1
2 0
即 k x 1 PA : y y x1
y 1
x x y
y 1 1
y x1x 1同理，切線PB的方程為
1 1
y2 y x1x 1
y y mx 1
P m, y0 在切線PA,PB 0 1 1上，所以有 A,B滿足直線方程
y0 y2 mx2 1
x 1
y0 y mx 1

，而兩點唯一確定一條直線 AB : y0y mx 1 所以當 m 時，無論
y 0
y0為何值，等式均成立
1 ,0 1 點 恒在直線 AB上，故無論 P在何處， AB恒過定點 ,0m m
2
例 8：已知橢圓C中心在原點，焦點在 x軸上，它的一個頂點為 0,1 ，離心率為 5
5
（1）求橢圓C的方程

（2）過右焦點 F 作直線 l交橢圓于 A,B，交 y軸于 R，若 RA AF ,RB BF ，求
c 2 2
解：（1）e b 1 a2 c2 b2 1 解得 a x 5,c 2 C : y 2 1
a 5 5

（2）思路：本題肯定從 RA AF ,RB BF 入手，將向量關系翻譯成坐標的方程，但
觀察發現兩個等式除了 A,B不同，系數 , 不同，其余字母均相同。且 A x1, y1 ,B x2 , y2

也僅是角標不同。所以可推斷由 RA AF ,RB BF 列出的方程是同構的，而 A,B在同
一橢圓上，所以如果用 , 表示 x1, x2 , y1, y2 ，代入橢圓方程中也可能是同構的。通過計算
2 10 5 20k2 0
可得： ，所以 , 2為方程 x 10x 5 20k 2 0的兩個不同根，
2 10 5 20k
2 0
進而利用韋達定理即可得到 10
解：由（1）得 F 2,0 ，設直線 l : y k x 2 ，可得 R 0, 2k ，設 A x1, y1 ,B x2 , y2

可得： RA x1, y1 2k ,AF 2 x1, y1 ，由RA AF 可得：
2
x1 2 x
x
1

1 1 2 2 ①因為 A在橢圓上， x 5y 5，將①代入可得：
y1 2k y1 y 2k
1 1
1 1
2
2
+5 2k
2
2
=5 4 20k
2 5 1 2 2 10 5 20k2 0
1 1

對于 ， RB x2 , y2 2k ,BF 2 x2 , y2 ，RB BF 同理可得：
2 10 5 20k2 0
, x2為方程 10x 5 20k 2 0的兩個不同根 10
a
例 9：已知函數 x ， a 為正常數，若 g x ln x x ，且對任意
x 1
g x g x
x1, x2 0,2 , x1 x
2 1
2 ，都有 1，求 a的取值范圍．x2 x1
思路：觀察到已知不等式為輪換對稱式，所以考慮定序以便于化簡，令 x2 x1，則不等式
變形為 g x2 g x1 x1 x2 ，將相同變量放置一側，可發現左右具備同構特點，所以將
相同結構視為函數 h x g x x ，從而由 x2 x1且 h x2 h x1 可知只需 h x 為增
'
函數即可。從而只需不等式 h x 0恒成立即可，從而求出 a的范圍
解： g x ln x a ，不妨設 x1 x2，則恒成立不等式轉化為x 1
g x2 g x1 x1 x2 g x2 x2 g x1 x1
設 h x g x x a lnx x ，則由 h x2 h xx 1 1
恒成立和 x1 x2可得：只需
h x 在 0,2 1 a單調遞增即可 h ' x 0 '恒成立 h x 1
x x 1 2
1 a
1 0
x x 1 2
2
2 x 1 2 x 1
2
即 a x 1 恒成立 所以只需 a x 1 令
x x min
x 1
2
p x x 2 1
x
p ' 2xx x x 1 x 1
2 x 1 2 2x 1 1
2 1 2 2 p x

在 0,
x x 2
單調遞

1 1 27 27
減，在 ,2 單調遞增 p x p min 0 a 2 2 2 2
例 10：已知數列 an 滿足 a1 2t 3 t R,t 1 ，且
2tn 1 3 a n
a n
2 t 1 t 1
n 1 an 2t
n 1
求數列 an 的通項公式
思路：本題遞推公式較為復雜，所以考慮先化簡分式，觀察到分子中含有分母的項，所以想
2 tn 1 1 an 1
到分離常數簡化分式，即 an 1 1 n ，尋求相鄰同構的特點，轉化為an 2t 1
2 an 1a 1 tnn 1 1 b an 1 2bn 1 a 1 ，即可設 n n ，遞推公式變為b
n
t 1 t 1 n 1
，則能夠求出b
b n
通
n 2 n 2
tn 1
項公式，進而求出 an
2tn 1 3 an 2 t 1 tn 1
解： an 1 a 2t nn 1
2tn 1 2 an 2tn 1 2 an 2tn 1 2 tn 1 1 an 1 n 1an 2t 1 an 2tn 1
an 1
2 tn 1 1 a 1 2 n
a 1 a n n 1 1
2 an 1 an 1 1
n 1 n
t 1
an 2t 1 tn 1 1 a 2tn 1 tn 1n 1 an 2tn 1
tn 1
b an 1 2b 1 b 2 1 1 1設 n n ，則遞推公式變為b
n n
n 1 ，且t 1 bn 2 bn 1 2bn bn 1 bn 2
1 t 1 t 1 1

b1 a1 1 2t 3 1 2
1 1 1 1 n 1 1 1 t
n 1 n
為公差是 的等差數列 n ，解得
bn 2 bn b1 2 2 an 1 2
2 tn 1
an 1n
說明：同構式在處理數列問題時，通常應用在構造輔助數列求通項公式。當遞推公式比較復
雜時，構造出an 和 an 1的同構式，其中關于 n的表達式構造出 f n , f n 1 分別與an 和
an 1相對應，進而尋找到輔助數列。

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