資源簡介

高中數學常用公式定理
1. 元素與集合的關系
x A x CUA , x CU A x A .
2.包含關系
A B A A B B A B CUB CUA
3．集合 A 中有 n (n N ) 個元素，則集合 A 的所有不同子集個數共有 2n 個；真子集有 2n –
1 個；非空子集有 2n –1 個；非空的真子集有 2n –2 個.
4. 二 次 函 數 y ax 2 bx c b的 圖 象 的 對 稱 軸 方 程 是 x ， 頂 點 坐 標 是
2a

b 4ac b
2
， 二次函數的解析式的三種形式:
2a 4a
2
(1)一般式 f (x) ax bx c(a 0) ;
2
(2)頂點式 f (x) a(x h) k(a 0) ;
(3)零點式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
5.解連續不等式 N f (x) M 常有以下轉化形式：
N f (x) M [ f (x) M ][ f (x) N ] 0
6. 方程 f (x) 0 有實數根 函數 y f (x) 的圖象與 x 軸有交點 函數 y f (x) 有零點.
零點存在性定理:
函數在區間 [a,b] 上的圖像是連續的，且 f (a) f (b) 0 ，那么函數 f (x) 在區間 [a,b] 上至
少有一個零點. 即存在 c (a,b) ，使得 f (c) 0 ，這個 c 也就是方程 f (x) 0 的根.
7.閉區間上的二次函數的最值
b
二次函數 f (x) ax2 bx c(a 0) 在閉區間 p,q 上的最值只能在 x 處
2a
及區間的兩端點處取得.
8. 邏輯連接詞有“或”、“且”和“非”：
真值表 ：
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
9. 命題中常見結論的否定形式：
原結論 反設詞 原結論 反設詞
是 不是 至少有一個 一個也沒有
都是 不都是 至多有一個 至少有兩個
大于 不大于 至少有 n個 至多有（ n 1）個
小于 不小于 至多有 n個 至少有（ n 1）個
對所有 x， 存在某 x，
成立 不成立 p或 q p且 q
對任何 x， 存在某 x，
不成立 成立 p且 q p或 q
10.四種命題的相互關系
原命題 互逆 逆命題
若ｐ則ｑ 若ｑ則ｐ
互 互
互 為 為 互
否 否
逆 逆
否 否
否命題 逆否命題
若非ｐ則非ｑ 互逆 若非ｑ則非ｐ
注意：全稱命題與存在命題的否定關系。
11.充要條件：
（1）充分條件：若 p q，則 p是 q充分條件.
（2）必要條件：若 q p，則 p是 q必要條件.
（3）充要條件：若 p q，且 q p，則 p 是 q充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
12.函數的單調性
(1)設 x1 x2 a,b , x1 x2 那么
(x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函數；
x1 x2
(x x ) f (x ) f (x ) 0 f (x1) f (x2 )1 2 1 2 0 f (x)在 a,b 上是減函數.x1 x2
(2)設函數 y f (x) 在某個區間內可導，如果 f (x) 0 ，則 f (x) 為增函數；如果
f (x) 0 ，則 f (x) 為減函數.
13.如果函數 f (x) 和 g(x) 都是減函數,則在公共定義域內,和函數 f (x) g(x) 也是減函數;
如果函數 y f (u) 和u g(x) 在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數 y f [g(x)]
是增函數. 復合函數的單調性口訣:同增異減.
14．奇偶函數的圖象特征
奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于 y 軸對稱;反過來，如果一個函數的圖
象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于 y 軸對稱，那么這個函
數是偶函數．
15.若函數 y f (x) 是偶函數，則 f (x a) f ( x a) ；若函數 y f (x a) 是偶函數，
則 f (x a) f ( x a) .
16.對于函數 y f (x)( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立,則函數 f (x) 的對稱軸是函數
x a b ;兩個函數 y f (x a) 與 y f (b x) x a b 的圖象關于直線 對稱.
2 2
17. 函 數 y f (x) 的 圖 象 的 對 稱 性 : ① 函 數 y f (x) 的 圖 象 關 于 直 線 x a 對 稱
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .②函數 y f (x) 與函數 y f ( x) 的圖象
關于直線 x 0 (即 y 軸)對稱.
18．多項式函數 P(x) a xn a xn 1n n 1 a0 的奇偶性
多項式函數 P(x) 是奇函數 P(x) 的偶次項(即奇數項)的系數全為零.
多項式函數 P(x) 是偶函數 P(x) 的奇次項(即偶數項)的系數全為零.
19.函數 y f (x) 的圖象的對稱性
函 數 y f (x) 的 圖 象 關 于 直 線 x a 對 稱
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .
20.若將函數 y f (x) 的圖象右移 a、上移b個單位，得到函數 y f (x a) b的圖象；
若將曲線 f (x, y) 0 的圖象右移 a、上移b個單位，得到曲線 f (x a, y b) 0 的圖象.
21.幾個函數方程的周期(約定 a>0)
（1） f (x) f (x a) ，則 f (x) 的周期 T=a；
（2） f (x) f (x a) 0 ，
或 f (x 1 a) ( f (x) 0) ，
f (x)
1
或 f (x a) ( f (x) 0),
f (x)
則 f (x) 的周期 T=2a；
22.分數指數冪 ：
m
a n 1(1) （ a 0,m,n N ，且 n 1）.
n am
m

(2)a n 1 m （ a 0,m,n N
，且 n 1）.
a n
23．根式的性質：
（1） ( n a )n a .
（ ）當 n為奇數時， n an2 a；
a,a 0
當 n為偶數時， n an | a | .
a,a 0
24．有理指數冪的運算性質：
r
(1) a as ar s (a 0,r ,s Q) .
r
(2) (a )s ars (a 0, r, s Q) .
(3) (ab)r a rbr (a 0,b 0, r Q) .
注： 若 a＞0，p 是一個無理數，則 ap表示一個確定的實數．上述有理指數冪的運算性
質，對于無理數指數冪都適用.公眾號：一枚試卷君
25.指數式與對數式的互化式：
log ba N b a N (a 0,a 1,N 0) .
26.對數的換底公式
loga N
log
m
N
( a 0 ,且 a 1,m 0,且m 1, N 0).
logm a
推論 log bn nm loga b ( a 0 ,且a 1,m,n 0 ,且m 1, n 1, N 0).a m
若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1) loga (MN ) loga M loga N ;
(2) log Ma log M log N ;N a a
(3) log na M n loga M (n R) .
27.設函數 f (x) log 2m (ax bx c)(a 0) ,記 b
2 4ac .若 f (x) 的定義域為 R ,則
a 0 ，且 0 ;若 f (x) 的值域為 R ,則 a 0 ，且 0 .對于a 0 的情形,需要單獨檢
驗.
28. 平均增長率的問題
如果原來產值的基礎數為 N，平均增長率為 p ，則對于時間 x 的總產值 y ，有
y N (1 p)x .
29.數列的同項公式與前 n 項的和的關系
s1, n 1an ( 數列{a }的前 n 項的和為 s a a a ).
sn s
n n 1 2 n
n 1,n 2
30.等差數列的通項公式
an a1 (n 1)d dn a1 d (n N
*) ；
其前 n 項和公式為
s n(a1 an ) na n(n 1) d 1n 1 d n
2 (a1 d )n .2 2 2 2
31.等比數列的通項公式
a a a qn 1 1 qn (n N *n 1 ) ；q
其前 n 項的和公式為
a1(1 q
n ) a,q 1 1
anq ,q 1
s n 1 q 或 s

n 1 q .

na1,q 1 na1,q 1
32.若 m、n、p、q∈N， 且 m n p q ， 那 么 ： 當 數 列 an 是 等 差 數 列 時 ， 有
am an a p aq ；當數列 an 是等比數列時，有 am an a p aq 。
33. 弧長公式： l r（ 是圓心角的弧度數， >0）；
1
扇形面積公式： S l r；
2
34．三角函數的定義:以角 的頂點為坐標原點，始邊為 x 軸正半軸建立直角坐標系，在角
y x
的終邊上任取一個異于原點的點 P(x, y) ，點 P 到原點的距離記為 r ，則 sin = ，cos = ，
r r
y
tan = ，符號法則:全 STC.
x
35.同角三角函數的基本關系式 :
sin
平方關系： sin2 cos2 1，”1”的代換.商數關系: tan = ，弦化切互化.
cos
36.正弦、余弦的誘導公式: 概括為：奇變偶不變，符號看象限。
n
n ( 1) 2 sin ,sin( ) (n 為偶數)
2 n 1
( 1) 2 cos , (n 為奇數)
n
co s(n
( 1) 2 co s , (n 為偶數)
)
2 n 1
( 1) 2 sin , (n 為奇數)
３７.和角與差角公式：
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
tan( ) tan tan .
1 tan tan
sin( )sin( ) sin 2 sin 2 (平方正弦公式);
cos( ) cos( ) cos 2 sin 2 .
注意：二化一(輔助角)公式 asin bcos 2= a b2 sin( ) (輔助角 所在象限
由點 (a,b) b的象限決定, tan ).
a
3８.二倍角公式 ：
sin 2 sin cos .
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
tan 2 2 tan .
1 tan2
1 cos 1 cos
注意:半角公式是：sin = cos =
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
tan = = = 。
2 1 cos sin 1 cos
升冪公式是：1 cos 2cos 2 1 cos 2sin 2 。
2 2
1 cos 2 1 cos 2
降冪公式是： sin 2 cos 2 。
2 2
39. 三角函數的單調區間：
y sin x 的 遞 增 區 間 是 2k ，2k (k Z ) ， 遞 減 區 間 是 2 2
2k 2k 3 ， (k Z ) ； y cos x的遞增區間是 2k ，2k (k Z ) ，遞 2 2
減區間是 2k ，2k (k Z ) ，y tgx 的遞增區間是 k ，k (k Z )
2 2
40.三角函數的周期公式 :
函數 y sin( x ) ，x∈R 及函數 y cos( x ) ，x∈R(A,ω, 為常數，且 A≠0，
2
ω＞0)的周期T ；函數 y tan( x ) ， x k ,k Z (A,ω, 為常數，
2

且 A≠0，ω＞0)的周期T .

函數 y Asin( x ) B（其中A 0， 0）的最大值是 A B ，最小值是
B A 2 ，周期是T ，頻率是 f ，相位是 x ，初相是 ；其圖象的對
2
稱軸是直線 x k (k Z ) ，凡是該圖象與直線 y B的交點都是該圖象的
2
對稱中心。
a b c
41.正弦定理: 2R .
sin A sin B sinC
42.余弦定理:
a2 b2 c2 2bc cos A;
2 2 2
第一形式，b2 c2 a2 2ca cosB a c b ;第二形式，cosB=
2ac
c2 a2 b2 2abcosC .
43.面積定理：
S 1 ah 1 bh 1（1） a b chc （ ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 邊上的高）.2 2 2
1
（2） S absinC 1 bc sin A 1 ca sin B .
2 2 2
S abc③ 2R 2 sin Asin B sinC；④ S ；
4R
⑤ S p(p a)(p b)(p c) ；⑥ S pr
44.三角形內角和定理 :
在△ABC 中，有 A B C C (A B)
C A B
2C 2 2(A B) .
2 2 2
△ABC 中： sin(A + B) = sinC , cos(A + B) -cosC , tg(A + B) -tgC
sin A B cos C cos A B， sin C ，
2 2 2 2
45.平面向量運算性質： a b b a, a b c a b c ,a 0 0 a a：

坐標運算：設 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，則 a b x1 x2 , y1 y2

設 A、B 兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則 AB x2 x1 , y2 y1 .
46.實數與向量的積的運算律:設λ、μ為實數，那么公眾號：一枚試卷君
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

坐標表示：設 a x, y ，則λ a x, y x, y ，
47. 平面向量的數量積:
定義： a b a b cos a 0,b 0,00 1800 ， 0 a 0 .

運算律:(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
2
(4) a a a , a b a b 0

坐標運算:設 a x1 , y1 ,b x2 , y2 ,則 a b x1x2 y1 y2
（５） a·b 的幾何意義:
數量積 a·b 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
48.平面向量基本定理：
如果 e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且
只有一對實數λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2．
其中不共線的向量 e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．

49．兩個向量平行的充要條件 a// b a b ( R)

坐標表示: a x1 , y1 ,b x2 , y2 ，則 a// b x1y2 x2 y1 0

P、A、B三點共線 AP || AB AP t AB OP (1 t)OA tOB .

50.兩個非零向量垂直的充要條件 a b a b 0

坐標表示: a x1 , y1 , b x2 , y2 ，則 a b x1x2 y1 y2 0
(x , y ) (x , y ) cos x1x2 y1y51.兩向量的夾角公式: a= 1 1 ,b= 22 2 則 .
x21 y
2
1 x
2 y22 2
52.平面兩點間的距離公式:
A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) 則 (x
2 2
AB 2 x1) (y2 y1) .
53.線段的定比分公式 ：

設 P1(x1, y1) ，P2 (x2 , y2 ) ，P(x, y) 是線段 P1P2 的分點, 且 P1P PP2 , 是實數，則
x x1 x2 x x1 x2
則 1

。 中點坐標公式
2
y y y 1 2 y y y
1 2
1 2
54.三角形的重心坐標公式 ：
△ABC 三個頂點的坐標分別為 A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC 的重心的坐標
G( x1 x2 x3 , y1 y y是 2 3 ).
3 3
55.常用不等式：
（ 21） a,b R a b2 2ab (當且僅當 a＝b 時取“=”號)．
a b
（2）兩個正數的平均值不等式是： a,b R ab (當且僅當 a＝b 時取“=”
2
號)．
（3）雙向絕對值不等式： a b a b a b
左邊： ab 0( 0) 時取得等號。右邊：ab 0( 0) 時取得等號。
56.平均值定理用來求最值：
已知 x, y都是正數，則有
（1）若積 xy是定值 p ，則當 x y 時和 x y有最小值 2 p ；
（2）若和 x y是定值 s 1，則當 x y 時積 xy有最大值 s 2 .
4
推廣： 已知 x, y R，則有 (x y)2 (x y)2 2xy
（1）若積 xy是定值,則當 | x y | 最大時, | x y | 最大；
當 | x y | 最小時, | x y | 最小.
（2）若和 | x y | 是定值,則當 | x y | 最大時, | xy | 最小；
當 | x y | 最小時, | xy | 最大.
57. 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, b2 4ac 0) ， 如 果 a 與
ax2 bx c 同號，則其解集在兩根之外；如果 a與 ax2 bx c 異號，則其解集在兩根之
間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
x1 x x2 (x x1 )(x x2 ) 0(x1 x2 ) ；
x x1,或x x2 (x x1)(x x2 ) 0(x1 x2 ) .
58.含有絕對值的不等式 ：
當 a> 0 時，有
x a x2 a 2 a x a .
x a x2 a2 x a或 x a .
59.指數不等式與對數不等式
當 a 1時： a f (x)(1) ag (x) f (x) g (x) ;
f (x) 0
loga f (x) loga g(x)

g(x) 0 .

f (x) g(x)
當 0 a 1時： a f (x) ag (x)(2) f (x) g (x) ;
f (x) 0
loga f (x) loga g(x)

g(x) 0

f (x) g(x)
60.斜率公式 : 直線斜率的定義為:k= tan ,
兩點 P1(x1, y
y2 y1
1) 、 P2 (x2 , y2 ) 則 k .x2 x1
61. 同一坐標軸上兩點距離公式： AB xB xA
62.直線的五種方程
（1）點斜式 : y y1 k (x x1) (直線 l過點 P1(x1, y1) ，且斜率為 k )．
（2）斜截式 y kx b (b 為直線 l在 y 軸上的截距).
y y x x
（3）兩點式 1 1 ( y y )( P (x , y ) 、P (x , y ) ( x x )).
y2 y1 x2 x
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
1
x y
(4)截距式 1( a、b分別為直線的橫、縱截距， a、b 0 )
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同時為 0).
63.兩條直線的平行和垂直
(1)若 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2
① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;
② l1 l2 k1k2 1 .
(2)若 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 ,且 A1、A2、B1、B2都不為零,
A B
① l || l 1 1 C1 2 1 ；A2 B2 C2
② l1 l2 A1A2 B1B2 0；
64．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點 P0 (x0 , y0 ) 的直線系方程為 y y0 k (x x0 ) (除直線
x x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 數 ; 經 過 定 點 P0 (x0 , y0 ) 的 直 線 系 方 程 為
A(x x0 ) B(y y0 ) 0 ,其中 A,B是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 的交點
的直線系方程為 (A1x B1y C1) (A2x B2 y C2 ) 0 ，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線 y kx b中當斜率 k 一定而 b 變動時，表示平行直線
系方程．與直線 Ax By C 0 平行的直線系方程是 Ax By 0 ( 0 )，λ是
參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 Ax By C 0 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是
Bx Ay 0,λ是參變量．
65.點到直線的距離
d | Ax0 By0 C | (點P(x , y ) ,直線 l： Ax By C 0 ).
A2 B2
0 0
C C
兩平行直線 l1：Ax By C1 0，l2：Ax By C 0距離 d
1 2
2
A2 B2
66. Ax By C 0 或 0 所表示的平面區域
設直線 l : Ax By C 0，則 Ax By C 0 或 0 所表示的平面區域是：
若 B 0 ，當 B與 Ax By C 同號時，表示直線 l的上方的區域；當 B與 Ax By C
異號時，表示直線 l的下方的區域.簡言之,同號在上,異號在下.
若 B 0 ，當 A與 Ax By C 同號時，表示直線 l的右方的區域；當 A與 Ax By C
異號時，表示直線 l的左方的區域. 簡言之,同號在右,異號在左.
67. 圓的四種方程
（ ）圓的標準方程 (x a)21 (y b)2 r 2 .
（ ）圓的一般方程 x22 y2 Dx Ey F 0 D2( E 2 4F ＞0).
68. 圓系方程
(1)過點 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) 的圓系方程是
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) [(x x1)(y1 y2) (y y1)(x1 x2)] 0
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) (ax by c) 0 , 其 中 ax by c 0 是 直 線
AB 的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線 l : Ax By C 0 與圓 C 2: x y2 Dx Ey F 0 的交點的圓系方程是
x2 y2 Dx Ey F (Ax By C ) 0 ,λ是待定的系數．
(3) 過圓C 2 21 : x y D1x E1y F 0 與圓C x
2 y21 2 : D2x E2 y F2 0 的交點的
圓系方程是 x2 y2 D1x E1y F1 (x
2 y2 D2x E2 y F2 ) 0 ,λ是待定的系數．
69.點與圓的位置關系
點 P(x0 , y ) 與圓 (x a)
2
0 (y b)
2 r 2 的位置關系有三種
若 d (a x )20 (b y0 )
2 ，則
d r 點 P在圓外; d r 點P在圓上; d r 點 P在圓內.
70.直線與圓的位置關系
直線 Ax By C 0 與圓 (x a)2 (y b)2 r 2 的位置關系有三種:
d r 相離 0;
Aa Bb C
d r 相切 0 ; 其中 d .
A2 B 2
d r 相交 0 .
注意:研究圓與直線的位置關系最常用的方法有兩種：
①代數法（判別式法）：Δ>0，=0，<0，等價于直線與圓相交、相切、相離；
②幾何法（圓心到直線的距離與半徑的大小關系）：距離大于半徑、等于半徑、小
于半徑，等價于直線與圓相離、相切、相交。
71.兩圓位置關系的判定方法:
設兩圓圓心分別為 O1，O2，半徑分別為 r1，r2， O1O2 d
d r1 r2 外離 4條公切線;
d r1 r2 外切 3條公切線;
r1 r2 d r1 r2 相交 2條公切線;
d r1 r2 內切 1條公切線;
0 d r1 r2 內含 無公切線.
x 2 y 2 2
72. 橢圓 2 2 1 (a b 0) 的焦點坐標是 ( c，0)
a
，準線方程是 x ，離心率是
a b c
e c 2b
2
，通徑的長是 。其中 c 2 a 2 b 2 。
a a
x2 y2
73.橢圓 2 2 1(a b 0) 焦半徑公式 PF1 a ex0 和 PF2 a ex0 .a b
74．橢圓的的內外部
x2 y2 x2 y2
（1）點 P(x , y 0 00 0 ) 在橢圓 2 2 1(a b 0) 的內部 a b a2
2 1.b
2 2 2 2
（2）點 P(x , y x y x y0 0 ) 在橢圓 2 2 1(a b 0) 的外部
0 0 1.
a b a2 b2
75.雙曲線標準方程的兩種形式是：
x 2 y 2 y 2 2
2 2 1
x
和 2 1 (a 0，b 0) 。a b a b 2
x 2 y 2 a 2
雙曲線 2 2 1的焦點坐標是 ( c，0)
c
，準線方程是 x ，離心率是 e ，
a b c a
2b 2 x 2 y 2
通徑的長是 ，漸近線方程是 2 2 0 。其中 c
2 a 2 b 2 。
a a b
x2 y2
76.雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的焦半徑公式a b
a2 2PF1 | e(x ) | ， PF
a
c 2
| e( x) | .
c
77.雙曲線的內外部
2 2 2 2
(1)點 P(x , y x y x0 y00 0 ) 在雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的內部 2 2 1.a b a b
2 2 2 2
(2)點 P(x0 , y0 )
x y x y
在雙曲線 2 2 1(a 0,b 0) 的外部
0 02 2 1.a b a b
78.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
x 2 y 2 x2 y2 b
(1）若雙曲線方程為 2 2 1 漸近線方程： 2 a b a b2
0 y x .
a
x y x 2 y 2
(2)若漸近線方程為 y b x 0 雙曲線可設為 2 2 .a a b a b
x 2 y 2 x 2 y 2
(3)若雙曲線與 2 2 1有公共漸近線，可設為a b a 2
2 （ 0 ，焦點在 xb
2 2
軸上， 0 x y，焦點在 y 軸上）. 與雙曲線 2 1 共焦點的雙曲線系方程是a b 2
x 2 y 2
2 2 1。a k b k
79.拋物線標準方程的四種形式是： y 2 2px，y 2 2px，x 2 2py，x 2 2py。
p p
拋物線 y 2 2px的焦點坐標是： ，0 ，準線方程是： x 。，過該拋物線的焦
2 2
點且垂直于拋物線對稱軸的弦（通徑）的長： 2p。
2 2
80. 拋物線 y 2px的焦半徑公式: 點 P(x0 , y0 ) 是拋物線 y 2px上一點，則點 P 到拋
p
物線的焦點的距離（稱為焦半徑）：PF= x0 2
p p
過焦點弦長 CD x1 x2 x1 x2 p .2 2
y 2
81.拋物線 y 2 2px 上的動點可設為 P ( , y ) 或 P(2pt 2 ,2pt)或 P (x , y ) ，其中
2p
y2 2px .
y ax2 bx c a(x b )2 4ac b
2
82.二次函數 (a 0) 的圖象是拋物線：（1）頂點坐
2a 4a
b 4ac b2( , ) b 4ac b
2 1
標 為 ；（ 2） 焦 點 的 坐 標 為 ( , ) ；（ 3） 準 線 方 程 是
2a 4a 2a 4a
y 4ac b
2 1
.
4a
83.直線與圓錐曲線相交的弦長公式
若 直 線 y kx b 與 圓 錐 曲 線 交 于 兩 點 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 則 弦 長 為
AB (1 k 2 )(x x )21 2 ；
若 直 線 x my t 與 圓 錐 曲 線 交 于 兩 點 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 則 弦 長 為
AB (1 m2 )(y 21 y2 ) 。
84.圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線 F (x, y) 0關于點 P(x0 , y0 ) 成中心對稱的曲線是 F (2x0-x, 2y0 y) 0 .
（2）曲線 F (x, y) 0關于直線 Ax By C 0 成軸對稱的曲線是
F (x 2A(Ax By C) 2B(Ax By C)
A2 2
, y 2 2 ) 0 . B A B
一、有關平行的證明
⑴公理 4 ⑵ ⑶ ⑷
l1∥l2 l1∥α α∥β l1 1、
l1∥l3 l1 l1∥l2 l1 l1∥l2 l1∥l2線∥線
l2∥l3 α∩β=l2 l2 l2
線∥線 線∥線 線∥面 線∥線 面∥面 線∥線 同垂直于一個平面 線∥線
⑴ ⑵
2、
a α∥β
線∥面
b a∥α a∥β
a∥b a
線∥線 線∥面 面∥面 線∥面
⑴ ⑵
a
b a
3、 a b A α∥β α∥β
面∥面 a∥α a
b∥β
線∥面 面∥面 同垂直于一直線 面∥面
二、有關垂直的證明
⑴
1、 a
a b
線⊥線 b
（線⊥面 線⊥線）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
a
b a∥b α∥β a
2、
a b A l b l a
線⊥面
l a a l l
l b a l
(線⊥線 線⊥面)
a
3、
面⊥面 a
（線⊥面 面⊥面）
85．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉化為判定共面二直線無交點；
（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉化為線面平行；
（4）轉化為線面垂直；
（5）轉化為面面平行.
86．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉化為直線與平面無公共點；
（2）轉化為線線平行；
（3）轉化為面面平行.
87．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉化為判定二平面無公共點；
（2）轉化為線面平行；
（3）轉化為線面垂直.
88．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉化為相交垂直；
（2）轉化為線面垂直；
89．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；
（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；
（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；
（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
90．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉化為線面垂直.
91.球的半徑是 R，則
4
其體積V R3 ,
3
其表面積 S 4 R2 ．
92.球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線
長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3) 球與正四面體的組合體:
6 6
棱長為 a的正四面體的內切球的半徑為 a ,外接球的半徑為 a .
12 4
93．體積公式：
V S h V 1 4直棱柱： ， 錐體： S h， 球體：V r 3 。
3 3
94. 側面積：直棱柱側面積： S c h 1，；正棱錐側面積： S c h ，，
2
球的表面積： S 4 r 2 。
95. 比例的幾個性質
a c ad bc a c b d比例基本性質： ；反比定理：
b d b d a c
a c a b a c a b c d
更比定理： ；合比定理；
b d c d b d b d
a c a b c d a c a b c d
分比定理： ；合分比定理：
b d b d b d a b c d
a c a b c d
合比定理：
b d a b c d
a a a a
等 比 定 理 ： 若 1 2 3 n ， b b b b 0 ， 則
b1 b2 b3 b
1 2 3 n
n
a1 a2 a3 an a 1 。
b1 b2 b3 bn b1
m
96.等可能性事件的概率: P(A) .
n
97.互斥事件 A，B 分別發生的概率的和:
若事件 A、B 為互斥事件,則 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
98. 若事件 A、B 為對立事件,則 P（A）+P（B）=1。一般地, p A 1 P A
99.標準差: = D .
100.回歸直線方程 :
n n
xi x yi y xi yi nx y
b i 1 i 1 y a bx，其中 n n
xi x
2 x 2i nx 2 .
i 1 i 1
a y bx
101.相關系數: 公眾號：一枚試卷君
n n
xi x yi y xi x yi y
r i 1 i 1 .
n n n n
(x x )2i (y 2 2i y) ( xi nx 2)( y 2i ny 2)
i 1 i 1 i 1 i 1
|r|≤1，且|r|越接近于 1，相關程度越大；|r|越接近于 0，相關程度越小.
本定理對于單側極限和 x 的情況仍然成立.
102. f (x) 在 x0 處的導數（或變化率或微商）
f (x0 ) y lim
y lim f (x0 x) f (x0 )x x .0 x 0 x x 0 x
103.瞬時速度
s (t) lim s lim s(t t) s(t) .
t 0 t t 0 t
104.瞬時加速度
a v (t) lim v lim v(t t) v(t) .
t 0 t t 0 t
105. 函數 y f (x) 在點 x0 處的導數的幾何意義
函數 y f (x) 在點 x0 處的導數是曲線 y f (x) 在 P(x0 , f (x0 )) 處的切線的斜率
f (x0 ) ，相應的切線方程是 y y0 f (x0 )(x x0 ) .
106.幾種常見函數的導數
①C ' 0
'
（, C 為常數）；② x n nx n 1 n Q ③ sin x ' cos x ；④ cos x ' sin x
⑤ Inx ' 1 ；⑥ Iog x ' 1a Iog ae；⑦ e x ' e x ；⑧ (a x ) a x lna .x x
107.導數的運算法則
（1） (u v) ' u ' v ' .
（ ' '2） (uv) u v uv ' .
u ' '
（ ） ( ) ' u v uv3 (v 0) .
v v2
108. 導數的應用:
1 可．導．函．數．求單調區間或判斷單調性的方法:使 f
' x >0 的區間為增區間,使 f ' x <0
的區間為減區間.
2 可．導．函
'
．數． f x 求極值的步驟:ⅰ.求導數 f x ⅱ.求方程 f ' x =0的根 x1 , x2 , , xn
ⅲ.檢驗 f ' x 在方程的根的附近左右值的符號,若左正右負,則在這個根處取極大值,若
左負右正,則在這個根處取極小值.
3 連續函數在閉區間上一定有最大值和最小值,
4 f x 在閉區間[a,b]上連續,在（a,b）內可導,則求 f x 最大值、最小值的步驟與格
式為：ⅰ. 求導數 f ' x ⅱ.求方程 f ' x =0 的根 x1 , x2 , , xn
ⅲ . 結 合 在 [a,b] 上 的 根 及 閉 區 間 [a,b] 的 端 點 數 值 , 列 出 表 格 若
( a x1 x2 xn b )
x a a, x1 x1 x1, x2 x2 … xn xn ,b
b
0 0 0
y ' 正負號 正負號 正負號
y
值 單調性 值 單調性 值 值 單調性 值
ⅳ.根據上述表格的單調性及的大小,確定最大值與最小值.
109.判別 f (x0 ) 是極大（小）值的方法:
當函數 f (x) 在點 x0 處連續時，
（1）如果在 x0 附近的左側 f (x) 0 ，右側 f (x) 0 ，則 f (x0 ) 是極大值；
（2）如果在 x0 附近的左側 f (x) 0 ，右側 f (x) 0 ，則 f (x0 ) 是極小值.
110.復數的相等
a bi c di a c,b d .（ a,b,c,d R）
111.復數 z a bi的模（或絕對值）
| z |= | a bi | = a
2 b2 .
112.復數的四則運算法則
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i ;
(a bi) (c di) ac bd bc ad(4) 2 2 2 i(c di 0) .c d c d 2
113.復數的乘法的運算律:對于任何 z1, z2 , z3 C，有
交換律: z1 z2 z2 z1 .結合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3) .
分配律: z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .

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