資源簡介

學案2 勻變速直線運動的規律
一、概念規律題組
1．在公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2中涉及的五個物理量，除t是標量外，其他四個量v、v0、a、x都是矢量，在直線運動中四個矢量的方向都在一條直線中，當取其中一個量的方向為正方向時，其他三個量的方向與此相同的取正值，與此相反的取負值，若取速度v0方向為正方向，以下說法正確的是(　　)
A．勻加速直線運動中a取負值
B．勻加速直線運動中a取正值
C．勻減速直線運動中a取正值
D．無論勻加速直線運動還是勻減速直線運動a都取正值
2．某運動物體做勻變速直線運動，加速度大小為0.6 m/s2，那么在任意1 s內(　　)
A．此物體的末速度一定等于初速度的0.6倍
B．此物體任意1 s的初速度一定比前1 s末的速度大0.6 m/s
C．此物體在每1 s內的速度變化為0.6 m/s
D．此物體在任意1 s內的末速度一定比初速度大0.6 m/s
3．我國自行研制的“梟龍”戰機已在四川某地試飛成功．假設該戰機起飛前從靜止開始做勻加速直線運動，達到起飛速度v所需時間為t，則起飛前的運動距離為(　　)
A．vt B. C．2vt D．不能確定
4．一個做勻加速直線運動的物體，通過A點的瞬時速度是v1，通過B點的瞬時速度是v2，那么它通過AB中點的瞬時速度是(　　)
A. B. C. D.
二、思想方法題組
5．如圖1所示，請回答：
圖1
(1)圖線①②分別表示物體做什么運動？
(2)①物體3 s內速度的改變量是多少，方向與速度方向有什么關系？
(3)②物體5 s內速度的改變量是多少？方向與其速度方向有何關系？
(4)①②物體的運動加速度分別為多少？方向如何？
(5)兩圖象的交點A的意義．
6．汽車以40 km/h的速度勻速行駛．
(1)若汽車以0.6 m/s2的加速度加速，則10 s后速度能達到多少？
(2)若汽車剎車以0.6 m/s2的加速度減速，則10 s后速度減為多少？
(3)若汽車剎車以3 m/s2的加速度減速，則10 s后速度為多少？
思維提升
1．勻變速直線運動的公式都是矢量式，應注意各物理量的正負以及物理量的符號與公式中加減號的區別．
2．一個勻變速運動，其時間中點的速度v1與位移中點的速度v2不同，且不論勻加速還是勻減速總有v13．分析圖象應從軸、點、線、面積、斜率等幾個方面著手．軸是指看坐標軸代表的物理量，是x－t圖象還是v－t圖象．點是指看圖線與坐標軸的交點或者是圖線的折點．線是看圖的形狀，是直線還是曲線，通過圖線的形狀判斷兩物理量的關系，還要通過面積和斜率看圖象所表達的含義．
4．①物體做勻減速運動時，必須考慮減速為零后能否返回，若此后物體停止不動，則此后任一時刻速度均為零，不能用公式v＝v0＋at來求速度．
②處理“剎車問題”要先判斷剎車所用的時間t0.若題目所給時間tt0，則t秒末的速度為零．
一、勻變速直線運動及其推論公式的應用
1．兩個基本公式
(1)速度公式：v＝v0＋at
(2)位移公式：x＝v0t＋at2
兩個公式中共有五個物理量，只要其中三個物理量確定之后，另外兩個就確定了．原則上應用兩個基本公式中的一個或兩個聯立列方程組，就可以解決任意的勻變速直線運動問題．
2．常用的推論公式及特點
(1)速度—位移公式v2－v＝2ax，此式中不含時間t；
(2)平均速度公式＝v＝，此式只適用于勻變速直線運動，式中不含有時間t和加速度a；＝，可用于任何運動．
(3)位移差公式Δx＝aT2，利用紙帶法求解加速度即利用了此式．
(4)初速度為零的勻加速直線運動的比例式的適用條件：初速度為零的勻加速直線運動．
3．無論是基本公式還是推論公式均為矢量式，公式中的v0、v、a、x都是矢量，解題時應注意各量的正負．一般先選v0方向為正方向，其他量與正方向相同取正值，相反取負值．
【例1】短跑名將博爾特在北京奧運會上創造了100 m和200 m短跑項目的新世界紀錄，他的成績分別是9.69 s和19.30 s．假定他在100 m比賽時從發令到起跑的反應時間是0.15 s，起跑后做勻加速運動，達到最大速率后做勻速運動.200 m比賽時，反應時間及起跑后加速階段的加速度和加速時間與100 m比賽時相同，但由于彎道和體力等因素的影響，以后的平均速率只有跑100 m時最大速率的96%.求：
(1)加速所用時間和達到的最大速率；
(2)起跑后做勻加速運動的加速度．(結果保留兩位小數)
[規范思維]　(1)對于物體的直線運動，畫出物體的運動示意圖(如下圖)，分析運動情況，找出相應的規律，是解題的關鍵．
(2)本題表示加速階段的位移，利用了平均速度公式＝，平均速度 還等于v.公式特點是不含有加速度，且能避開繁瑣的計算，可使解題過程變得非常簡捷．
[針對訓練1]如圖2所示，以8 m/s勻速行駛的汽車即將通過路口，綠燈還有2 s將熄滅，此時汽車距離停車線18 m．該車加速時最大加速度大小為2 m/s2，減速時最大加速度為5 m/s2.此路段允許行駛的最大速度為12.5 m/s.下列說法中正確的有(　　)
圖2
A．如果立即做勻加速運動，在綠燈熄滅前汽車可能通過停車線
B．如果立即做勻加速運動，在綠燈熄滅前通過停車線汽車一定超速
C．如果立即做勻減速運動，在綠燈熄滅前汽車一定不能通過停車線
D．如果距停車線5 m處減速，汽車能停在停車線處
【例2】已知O、A、B、C為同一直線上的四點，AB間的距離為l1，BC間的距離為l2，一物體自O點由靜止出發，沿此直線做勻加速運動，依次經過A、B、C三點，已知物體通過AB段與BC段所用的時間相等．求O與A的距離．
[規范思維]　(1)合理選用公式可簡化解題過程．本題中解法二中利用位移差求加速度，利用平均速度求瞬時速度，使解析過程簡化了．
(2)對于多過程問題，要注意x、v0、t等量的對應關系，不能“張冠李戴”．
[針對訓練2]　一個質點正在做勻加速直線運動，用固定在地面上的照相機對該質點進行閃光照相，由閃光照片得到的數據，發現質點在第一次、第二次閃光的時間間隔內移動了2 m；在第三次、第四次閃光的時間間隔內移動了8 m．由此可求得(　　)
A．第一次閃光時質點的速度 B．質點運動的加速度
C．從第二次閃光到第三次閃光這段時間內質點的位移
D．質點運動的初速度
二、用勻變速運動規律分析兩類勻減速運動
1．剎車類問題：即勻減速直線運動到速度為零后即停止運動，加速度a突然消失，求解時要注意先確定其實際運動時間．
2．雙向可逆類：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高點后仍能以原加速度勻加速下滑，全過程加速度大小、方向均不變，故求解時可對全過程列式，但必須注意x、v、a等矢量的正、負號．
3．逆向思維法：對于末速度為零的勻減速運動，可把該階段看成反向的初速度為零、加速度不變的勻加速運動．
【例3】 一輛汽車以72 km/h的速度行駛，現因故緊急剎車并最終停止運動．已知汽車剎車過程中加速度的大小為5 m/s2，則從開始剎車經過5 s，后汽車通過的距離是多少？
[規范思維]　此題最容易犯的錯誤是將t＝5 s直接代入位移公式得x＝v0t＋at2＝[20×5＋×(－5)×52] m＝37.5 m，這樣得出的位移實際上是汽車停止后又反向加速運動1 s的總位移，這顯然與實際情況不相符．
[針對訓練3]　物體沿光滑斜面上滑，v0＝20 m/s，加速度大小為5 m/s2，求：
(1)物體多長時間后回到出發點；
(2)由開始運動算起，求6 s末物體的速度．
【基礎演練】
1．某人欲估算飛機著陸時的速度，他假設飛機停止運動前在平直跑道上做勻減速運動，飛機在跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時間為t，則飛機著陸時的速度為(　　)
A. B. C. D.到之間的某個值
2．在交通事故的分析中，剎車線的長度是很重要的依據，剎車線是汽車剎車后，停止轉動的輪胎在地面上發生滑動時留下的滑動痕跡．在某次交通事故中，汽車的剎車線長度是14 m，假設汽車輪胎與地面間的動摩擦因數恒為0.7，g取10 m/s2，則汽車剎車前的速度大小為(　　)
A．7 m/s B．10 m/s C．14 m/s D．20 m/s
3．物體沿一直線運動，在t時間內通過的位移為x，它在中間位置x處的速度為v1，在中間時刻t時的速度為v2，則v1和v2的關系為(　　)
A．當物體做勻加速直線運動時，v1>v2
B．當物體做勻減速直線運動時，v1>v2
C．當物體做勻速直線運動時，v1＝v2
D．當物體做勻減速直線運動時，v14．中國女子冰壺隊曾首次奪得世界冠軍，如圖3所示，一冰壺以速度v垂直進入三個矩形區域做勻減速運動，且剛要離開第三個矩形區域時速度恰好為零，則冰壺依次進入每個矩形區域時的速度之比和穿過每個矩形區域所用的時間分別是(　　)
圖3
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
5．一輛公共汽車進站后開始剎車，做勻減速直線運動．開始剎車后的第1 s內和第2 s內位移大小依次為9 m和7 m．則剎車后6 s內的位移是(　　)
A．20 m B．24 m C．25 m D．75 m
6. 如圖4所示，在光滑的斜面上放置3個相同的小球(可視為質點)，小球1、2、3距斜面底端A點的距離分別為x1、x2、x3，現將它們分別從靜止釋放，到達A點的時間分別為t1、t2、t3，斜面的傾角為θ.則下列說法正確的是(　　)
圖4
A.＝＝ B.>>
C.＝＝ D．若θ增大，則的值減小
7.如圖5所示，小球沿足夠長的斜面向上做勻變速運動，依次經a、b、c、d到達最高點e.已知ab＝bd＝6 m，bc＝ 1 m，小球從a到c和從c到d所用的時間都是2 s，設小球經b、c時的速度分別為vb、vc，則(　　)
圖5
A．vb＝ m/s B．vc＝3 m/s
C．de＝3 m D．從d到e所用時間為4 s
【能力提升】
8．某動車組列車以平均速度v行駛，從甲地到乙地的時間為t.該列車以速度v0從甲地出發勻速前進，途中接到緊急停車命令后緊急剎車，列車停車后又立即勻加速到v0，繼續勻速前進．從開始剎車至加速到v0的時間是t0，(列車剎車過程與加速過程中的加速度大小相等)，若列車仍要在t時間內到達乙地．則動車組列車勻速運動的速度v0應為(　　)
A. B. C. D.
9．航空母艦(Aircraft Carrier)簡稱“航母”、“空母”，是一種可以供軍用飛機起飛和降落的軍艦．蒸汽彈射起飛，就是使用一個長平的甲板作為飛機跑道，起飛時一個蒸汽驅動的彈射裝置帶動飛機在兩秒鐘內達到起飛速度，目前只有美國具備生產蒸汽彈射器的成熟技術．某航空母艦上的戰斗機，起飛過程中最大加速度a＝4.5 m/s2，飛機要達到速度v0＝60 m/s才能起飛，航空母艦甲板長L＝289 m，為使飛機安全起飛，航空母艦應以一定速度航行以保證起飛安全，求航空母艦的最小速度v的大小．(設飛機起飛對航空母艦的狀態沒有影響，飛機的運動可以看做勻加速直線運動)
10．如圖6所示，某直升飛機在地面上空某高度A位置處于靜止狀態待命，要求該機10時56分40秒由靜止狀態沿水平方向做勻加速直線運動，經過AB段加速后，進入BC段的勻速受閱區，11時準時通過C位置，如圖7所示．已知xAB＝5 km，xBC＝10 km.問：
圖6
圖7
(1)直升飛機在BC段的速度大小是多少？
(2)在AB段飛機做勻加速直線運動時的加速度大小是多少？
答案解析
一、概念規律題組
1．
答案　B
解析　據v＝v0＋at可知，當v0與a同向時，v增大；當v0與a反向時，v減小．x＝v0t＋at2也是如此，故當v0取正值時，勻加速直線運動中，a取正；勻減速直線運動中，a取負，故選項B正確．
2．
答案　C
解析　因已知物體做勻變速直線運動，又知加速度為0.6 m/s2，主要涉及對速度公式的理解：①物體可能做勻加速直線運動，也可能做勻減速直線運動；②v＝v0＋at是矢量式．勻加速直線運動a＝0.6 m/s2；勻減速直線運動a＝－0.6 m/s2.
3．
答案　B
解析　因為戰機在起飛前做勻加速直線運動，則x＝t＝t＝t.B選項正確．
4．
答案　C
二、思想方法題組
5．
解析　(1)①做勻加速直線運動；②做勻減速直線運動
(2)①物體3 s內速度的改變量
Δv＝9 m/s－0＝9 m/s，方向與速度方向相同
(3)②物體5 s內的速度改變量Δv′＝(0－9) m/s＝－9 m/s，負號表示速度改變量與速度方向相反．
(4)①物體的加速度
a1＝＝＝3 m/s2，方向與速度方向相同．
②物體的加速度
a2＝＝＝－1.8 m/s2，方向與速度方向相反．
(5)圖象的交點A表示兩物體在2 s時的速度相同．
6．
答案　(1)17 m/s　(2)5 m/s　(3)0
解析　(1)初速度v0＝40 km/h≈11 m/s，
加速度a＝0.6 m/s2，時間t＝10 s.
10 s后的速度為
v＝v0＋at＝11 m/s＋0.6×10 m/s＝17 m/s.
(2)汽車剎車所用時間t1＝＝ s>10 s，
則v1＝v0－at＝11 m/s－0.6×10 m/s＝5 m/s.
(3)汽車剎車所用時間t2＝＝ s<10 s，所以10 s后汽車已經剎車完畢，則10 s后汽車速度為零．
【例1】
答案　(1)1.29 s　11.24 m/s　(2)8.71 m/s2
解析　(1)設加速所用時間為t(以s為單位)，勻速運動時的速度為v(以m/s為單位)，則有
vt＋(9.69－0.15－t)v＝100①
vt＋(19.30－0.15－t)×0.96v＝200②
由①②式得
t＝1.29 s
v＝11.24 m/s
(2)設加速度大小為a，則
a＝＝8.71 m/s2
[針對訓練1]　
答案　AC
解析　如果立即做勻加速直線運動，t1＝2 s內汽車的位移x1＝v0t1＋a1t＝20 m>18 m，此時汽車的速度v1＝v0＋a1t1＝12 m/s<12.5 m/s，汽車沒有超速，A項正確，B項錯誤；如果立即做勻減速運動，速度減為零需要時間t2＝＝1.6 s，此過程通過的位移為x2＝a2t＝6.4 m，C項正確，D項錯誤．
【例2】
答案　
解析　首先畫出運動情況示意圖：
解法一　基本公式法
設物體的加速度為a，到達A點時的速度為v0，通過AB段和BC段所用的時間都為t，則有l1＝v0t＋at2
l1＋l2＝2v0t＋a(2t)2
聯立以上二式得l2－l1＝at2
3l1－l2＝2v0t
設O與A的距離為l，則有l＝
聯立以上幾式得l＝.
解法二　利用推論法
由連續相等時間內的位移之差公式得：
l2－l1＝at2①
又由平均速度公式：vB＝②
l＋l1＝③
由①②③得：l＝.
[針對訓練2]　
答案　C
解析　質點運動情況如圖所示．照相機照相時，閃光時間間隔都相同，第一次、第二次閃光的時間間隔內質點通過的位移為x1，第二次、第三次閃光時間內質點位移為x2，第三、四次閃光時間內質點位移為x3，則有x3－x2＝x2－x1，所以x2＝5 m.
由于不知道閃光的周期，無法求初速度、第1次閃光時的速度和加速度．C項正確．
【例3】
答案　40 m
解析　設汽車由剎車開始至停止運動所用的時間為t0，選v0的方向為正方向．
v0＝72 km/h＝20 m/s，由v＝v0＋at0得
t0＝＝ s＝4 s
可見，該汽車剎車后經過4 s就已經停止，最后1 s是靜止的．
由x＝v0t＋at2知剎車后5 s內通過的距離
x＝v0t0＋at02＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
[針對訓練3]　
答案　(1)8 s　(2)10 m/s，方向與初速度方向相反
解析　由于物體連續做勻減速直線運動，加速度不變，故可以直接應用勻變速運動公式，以v0的方向為正方向．
(1)設經t1秒回到出發點，此過程中位移x＝0，代入公式x＝v0t＋at2，并將a＝－5 m/s2代入，得
t＝－＝－ s＝8 s.
(2)由公式v＝v0＋at知6 s末物體的速度
vt＝v0＋at＝[20＋(－5)×6] m/s＝－10 m/s.
負號表示此時物體的速度方向與初速度方向相反.
【基礎演練】
1．
答案　B
解析　根據公式＝＝解得v＝
2．
答案　C
解析　設汽車剎車后滑動時的加速度大小為a，由牛頓第二定律可得μmg＝ma，a＝μg
由勻變速直線運動速度—位移關系式v＝2ax，可得汽車剎車前的速度為
v0＝＝
＝ m/s＝14 m/s
3．
答案　ABC
解析　設物體的初速度為v0、末速度為vt，由
v－v＝v－v＝2a·.
所以路程中間位置的速度為
v1＝.①
物體做勻變速直線運動時中間時刻的速度等于這段時間內的平均速度，即v2＝②
第①式的平方減去第②式的平方得
v－v＝.
在勻變速或勻速直線運動的過程中，v－v一定為大于或等于零的數值，所以v1≥v2.
4．
答案　BD
解析　因為冰壺做勻減速運動，且末速度為零，故可以看做反向勻加速直線運動來研究．初速度為零的勻加速直線運動中通過連續三段相等位移的時間之比為1∶(－1)∶(－)，故所求時間之比為(－)∶(－1)∶1，所以選項C錯，D正確；由v2－v＝2ax可得初速度為零的勻加速直線運動中的速度之比為1∶∶，則所求的速度之比為∶∶1，故選項A錯，B正確，所以正確選項為B、D.
5．
答案　C
6.
答案　BC
7.
答案　BD
【能力提升】
8．
答案　C
解析　該動車組從開始剎車到加速到v0所發生的位移大小為·t0，依題意，動車組兩次運動所用的時間相等，即＋t0＝t，解得v0＝，故正確答案為C.
9．
答案　9 m/s
解析　解法一　若航空母艦勻速運動，以地面為參考系，設在時間t內航空母艦和飛機的位移分別為x1和x2，航母的最小速度為v，由運動學知識得
x1＝vt，x2＝vt＋at2，x2－x1＝L，
v0＝v＋at
聯立解得v＝9 m/s.
解法二　若航空母艦勻速運動，以航空母艦為參考系，則飛機的加速度即為飛機相對航空母艦的加速度，當飛機起飛時甲板的長度L即為兩者的相對位移，飛機相對航空母艦的初速度為零，設航空母艦的最小速度為v，則飛機起飛時相對航空母艦的速度為(v0－v)
由運動學公式可得(v0－v)2－0＝2aL，解得v＝9 m/s.
10．
答案　(1)100 m/s　(2)1 m/s2
解析　(1)設BC段飛機做勻速直線運動的速度大小為v，運動的時間為t2.在AB段飛機做勻加速直線運動的時間為t1，加速度的大小為a.
對AB段，由平均速度公式得到：
(v＋0)/2＝xAB/t1①
對BC段，由勻速直線運動的速度公式可得：
v＝xBC/t2②
根據飛機10時56分40秒由A出發，11時準時通過C位置，則：
t1＋t2＝200 s③
聯立①②③，代入已知數據解得
v＝100 m/s，
(2)在AB段，由運動學公式v－v＝2ax得：
a＝v2/2xAB＝1 m/s2.
易錯點評
1．在用比例法解題時，要注意初速度為0這一條件．若是勻減速運動末速度為0，應注意比例的倒置．
2．勻變速直線運動公式中各物理量是相對于同一慣性參考系的，解題中應注意參考系的選取．
3．解勻減速類問題，要注意區分“返回式”和“停止式”兩種情形，特別是“停止式”要先判明停止時間，再根據情況計算．

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