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學案4 運動圖象　追及相遇問題
1、 概念規律題組
1．如圖1所示為甲、乙兩物體的x－t圖象，則(　　)
圖1
A．甲、乙兩物體都做勻速直線運動
B．若甲、乙兩物體在同一直線上運動，則一定會相遇
C．t1時刻甲、乙相遇
D．t2時刻甲、乙相遇
2．某物體沿一直線運動，其v－t圖象如圖2所示，則下列說法中正確的是(　　)
圖2
A．第2 s內和第3 s內速度方向相反
B．第2 s內和第3 s內速度方向相同
C．第2 s末速度方向發生變化
D．第5 s內速度方向與第1 s內方向相同
3．如圖3所示為某質點運動的速度—時間圖象，下列有關該質點運動情況的判斷正確的是(　　)
圖3
A．0～t1時間內加速度為正，質點做加速運動
B．t1～t2時間內加速度為負，質點做減速運動
C．t2～t3時間內加速度為負，質點做減速運動
D．t3～t4時間內加速度為正，質點做加速運動
4．如圖4所示為一物體做勻變速直線運動的圖象．由圖象作出的下列判斷中正確的是(　　)
圖4
A．物體始終沿正方向運動
B．物體先沿負方向運動，在t＝2 s后沿正方向運動
C．在t＝2 s前物體位于出發點負方向上，t＝2 s后位于出發點正方向上
D．在t＝2 s時，物體距出發點最遠
二、思想方法題組
5．甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經過公路旁的同一個路標．在描述兩車運動的v－t圖象中(如圖5所示)，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20 s的運動情況．關于兩車之間的位置關系，下列說法中正確的是(　　)
圖5
A．在0～10 s內兩車逐漸靠近
B．在10～20 s內兩車逐漸遠離
C．在5～15 s內兩車的位移相等
D．在t＝10 s時兩車在公路上相遇
6．一輛警車在平直的公路上以40 m/s的速度巡邏，突然接到報警，在前方不遠處有歹徒搶劫，該警車要盡快趕到出事地點且到達出事地點時的速度也為40 m/s，有三種行進方式：a為一直勻速直線運動；b為先減速再加速；c為先加速再減速，則(　　)
A．a種方式先到達 B．b種方式先到達
C．c種方式先到達 D．條件不足，無法確定
思維提升
1．x－t圖象和v－t圖象都只能反映直線運動的規律，而不能反映曲線運動的規律．
2．x－t圖象和v－t圖象是用圖線直觀地反映位移或速度隨時間變化的工具．圖線上每一點表示某一時刻的位移或速度隨時間的推移，也可反映其變化情況，而正負表示了位移或速度的方向．
3．利用圖象解決問題要做到“六看”，即看軸、看線、看斜率、看面積、看截距、看拐點．
4．解決追及相遇問題要注意“一個條件”和“兩個關系”，即兩者速度相等；時間關系和位移關系.
一、運動圖象的分析與運用
運動學圖象主要有x－t圖象和v－t圖象，運用運動學圖象解題可總結為六看：一看“軸”，二看“線”，三看“斜率”，四看“面積”，五看“截距”，六看“特殊點”．
1．一看“軸”：先要看清兩軸所代表的物理量，即圖象是描述哪兩個物理量之間的關系．
2．二看“線”：圖象表示研究對象的變化過程和規律．在v－t圖象和x－t圖象中傾斜的直線分別表示物體的速度和位移隨時間變化的運動情況．
3．三看“斜率”：斜率表示縱、橫坐標軸上兩個物理量的比值，常用一個重要的物理量與之對應，用于定量計算對應物理量的大小和定性分析變化的快慢．x－t圖象中斜率表示運動物體的速度的大小和方向．v－t圖象中斜率表示運動物體的加速度的大小和方向．
4．四看“面積”：即圖象和坐標軸所圍的面積，也往往代表一個物理量，這要看兩物理量的乘積有無意義．如v和t的乘積vt＝x，有意義，所以v－t圖與橫軸所圍“面積”表示位移，x－t圖象與橫軸所圍面積無意義．
5．五看“截距”：截距一般表示物理過程的初始情況，如t＝0時的位移或速度．
6．六看“特殊點”：如交點、拐點(轉折點)等．如x－t圖象的交點表示兩質點相遇，但v－t圖象的交點只表示速度相等．
【例1】圖6是某質點運動的速度－時間圖象，由圖象得到的正確結果是(　　)
圖6
A．0～1 s內的平均速度是2 m/s
B．0～2 s內的位移大小是3 m
C．0～1 s內的加速度大于2～4 s內的加速度
D．0～1 s內的運動方向與2～4 s內的運動方向相反
[規范思維]　運動的v－t圖象是高考的熱點．
(1)v－t圖象中，圖線向上傾斜表示物體做加速運動，向下傾斜表示物體做減速運動．
(2)v－t圖象中，圖線與橫軸所圍成的“面積”在數值上等于物體的位移，在t軸下方的“面積”表示位移為負．
[針對訓練1]　質點做直線運動的v－t圖象如圖7所示，規定向右為正方向，則該質點在前8 s內平均速度的大小和方向分別為(　　)
圖7
A．0.25 m/s　向右 B．0.25 m/s　向左
C．1 m/s　向右 D．1 m/s　向左
【例2】汽車由靜止開始在平直的公路上行駛，0～60 s內汽車的加速度隨時間變化的圖線如圖8所示．
圖8
(1)畫出汽車在0～60 s內的v－t圖線；
(2)求在這60 s內汽車行駛的路程．
[規范思維]　要掌握v－t圖象的斜率表示a，這也是a－t圖象與v－t圖象的聯系點．本題由a－t圖象畫v－t圖象，由v－t圖象求路程，設計新穎、環環相扣．
【例3】 某質點在東西方向上做直線運動，其位移－時間圖象如圖9所示(規定向東為正方向)．試根據圖象：
圖9
(1)描述質點運動情況；
(2)求出質點在0～4 s、0～8 s、2～4 s三段時間內的位移和路程．
(3)求出質點在0～4 s、4～8 s內的速度．
[規范思維]　x－t圖象不同于v－t圖象，x－t圖象中，圖線向上傾斜表示物體沿正方向運動，向下傾斜表示物體沿負方向運動，圖線的斜率表示物體的速度．
[針對訓練2]　一遙控玩具小車在平直路上運動的位移－時間圖象如圖10所示，則(　　)
圖10
A．15 s末汽車的位移為300 m
B．20 s末汽車的速度為－1 m/s
C．前10 s內汽車的速度為3 m/s
D．前25 s內汽車做單方向直線運動
二、追及相遇問題
討論追及、相遇問題的實質，就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置．
1．分析追及問題的方法技巧可概括為“一個臨界條件”、“兩個等量關系”．
(1)一個臨界條件——速度相等．它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷問題的切入點
(2)兩個等量關系：時間關系和位移關系，通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口．
2．能否追上的判斷方法
物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0.若vA＝vB時，xA＋x0xB，則不能追上．
3．若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷追上前該物體是否已經停止運動．
【例4】 汽車以25 m/s的速度勻速直線行駛，在它后面有一輛摩托車，當兩車相距1 000 m時，摩托車從靜止起動做勻加速運動追趕汽車，摩托車的最大速度可達30 m/s，若使摩托車在4 min時剛好追上汽車．求：
(1)摩托車做勻加速運動的加速度a.
(2)摩托車追上汽車前兩車相距最大距離x.
[規范思維]　(1)要抓住追上的等量關系x2＝x1＋x0；(2)要抓住追上前的臨界條件：速度相等．(3)解追及相遇問題除題中所述解析法外，還有圖象法、數學極值法等．本題同學們可試著用圖象法求解．
[針對訓練3]　甲乙兩車在一平直道路上同向運動，其v－t圖像如圖11所示，圖中△OPQ和△OQT面積分別是x1和x2(x1圖11
A．若x0＝x1＋x2，兩車不會相遇
B．若x0C．若x0＝x1，兩車相遇1次
D．若x0＝x2，兩車相遇1次
【基礎演練】
1．如圖12所示為一質點做直線運動的速度－時間圖象，下列說法正確的是(　　)
圖12
A．整個過程中，CE段的加速度最大
B．整個過程中，BC段的加速度最大
C．整個過程中，D點所表示的狀態離出發點最遠
D．BC段所通過的路程是34 m
2. 某人騎自行車在平直道路上行進，圖13中的實線記錄了自行車開始一段時間內的v－t圖象．某同學為了簡化計算，用虛線作近似處理，下列說法正確的是(　　)
圖13
A．在t1時刻，虛線反映的加速度比實際的大
B．在0～t1時間內，由虛線計算出的平均速度比實際的大
C．在t1～t2時間內，由虛線計算出的位移比實際的大
D．在t3～t4時間內，虛線反映的是勻速直線運動
3．如圖14所示為在同一直線上運動的A、B兩質點的x－t圖象，由圖可知(　　)
圖14
A．t＝0時，A在B的前面
B．B在t2時刻追上A，并在此后跑在A的前面
C．B開始運動的速度比A小，t2時刻后才大于A的速度
D．A運動的速度始終比B大
4．如圖15所示，汽車以10 m/s的速度勻速駛向路口，當行駛至距路口停車線20 m處時，綠燈還有3 s熄滅．而該汽車在綠燈熄滅時剛好停在停車線處，則汽車運動的速度(v)－時間(t)圖象可能是(　　)
圖15
5．t＝0時，甲乙兩汽車從相距70 km的兩地開始相向行駛，它們的v－t圖象如圖16所示．忽略汽車掉頭所需時間．下列對汽車運動狀況的描述正確的是(　　)
圖16
A．在第1小時末，乙車改變運動方向
B．在第2小時末，甲乙兩車相距10 km
C．在前4小時內，乙車運動加速度的大小總比甲車的大
D．在第4小時末，甲乙兩車相遇
6．一物體由靜止開始沿直線運動，其加速度隨時間的變化規律如圖17所示，取開始運動的方向為正方向，則物體運動的v－t圖象正確的是(　　)
圖17
7.某跳傘運動訓練研究所，讓一名跳傘運動員從懸停在高空的直升機中跳下，研究人員利用運動員隨身攜帶的儀器記錄下了他的運動情況，通過分析數據，定性畫出了運動員從跳離飛機到落地的過程中在空中沿豎直方向運動的v－t圖象如圖18所示，規定向下的方向為正方向，則對運動員的運動，下列說法正確的是(　　)
圖18
A．0～15 s末都做加速度逐漸減小的加速運動
B．0～10 s末做自由落體運動，15 s末開始做勻速直線運動
C．10 s末打開降落傘，以后做勻減速運動至15 s末
D．10 s末～15 s末加速度方向豎直向上，加速度的大小在逐漸減小
【能力提升】
8．甲、乙兩運動員在訓練交接棒的過程中發現：甲經短距離加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙從起跑后到接棒前的運動是勻加速的．為了確定乙起跑的時機，需在接力區前適當的位置標記．在某次練習中，甲在接力區前x0＝13.5 m處作了標記，并以v＝9 m/s的速度跑到此標記時向乙發出起跑口令．乙在接力區的前端聽到口令時起跑，并恰好在速度達到與甲相同時被甲追上，完成交接棒．已知接力區的長度為L＝20 m.
求：(1)此次練習中乙在接棒前的加速度a.
(2)在完成交接棒時乙離接力區末端的距離．
9．一輛值勤的警車停在公路邊，當警員發現從他旁邊以v＝10 m/s的速度勻速行駛的貨車嚴重超載時，決定前去追趕，經過5.5 s后警車發動起來，并以2.5 m/s2的加速度做勻加速運動，但警車的行駛速度必須控制在90 km/h以內．問：
(1)警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少？
(2)判定警車在加速階段能否追上貨車．(要求通過計算說明)
(3)警車發動后要多長時間才能追上貨車？
答案解析
1．
答案　ABC
2．
答案　B
3．
答案　AB
解析　由圖象可知，在0～t1時間內加速度為正，速度也為正，加速度方向與速度方向相同，故質點做加速運動；在t1～t2時間內加速度為負，速度為正，加速度方向與速度方向相反，故質點做減速運動；在t2～t3時間內加速度為負，速度也為負，加速度方向與速度方向相同，故質點做加速運動；在t3～t4時間內加速度為正，速度為負，加速度方向與速度方向相反，質點做減速運動．
4．
答案　BD
解析　物體的運動方向即為速度方向．由圖象知，在t＝2 s前，速度為負，物體沿負方向運動，2 s后速度為正，物體沿正方向運動，A是錯的，B是正確的．
物體的位置由起點及運動的位移決定．取起點為原點則位置由位移決定．在v－t圖象中，位移數值是圖象與坐標軸所圍的面積．由圖象可知t<2 s時物體的位移為負，t＝2 s時絕對值最大．t＝2 s后，位移為負位移與正位移的代數和，絕對值減小，所以t＝2 s時位移絕對值最大即物體離出發點最遠，所以D正確，C錯，所以選B、D.
5．
答案　C
解析　由題圖知乙做勻減速直線運動，初速度v乙＝10 m/s，加速度大小a乙＝0.5 m/s2；甲做勻速直線運動，速度v甲＝5 m/s.當t＝10 s時v甲＝v乙，甲、乙兩車距離最大，所以0～10 s內兩車之間的距離越來越大；10～20 s內兩車之間的距離越來越小，t＝20 s時，兩車距離為零，再次相遇，故A、B、D錯誤；在5～15 s時間內，兩圖線與時間軸圍成的面積相等，因而兩車位移相等，故C正確．
6．
答案　C
解析　作出v－t圖象如右圖所示，從出發點到出事地點位移一定，根據v－t圖象的意義，圖線與坐標軸所圍的面積相等，則只能tc思維提升
1．x－t圖象和v－t圖象都只能反映直線運動的規律，而不能反映曲線運動的規律．
2．x－t圖象和v－t圖象是用圖線直觀地反映位移或速度隨時間變化的工具．圖線上每一點表示某一時刻的位移或速度隨時間的推移，也可反映其變化情況，而正負表示了位移或速度的方向．
3．利用圖象解決問題要做到“六看”，即看軸、看線、看斜率、看面積、看截距、看拐點．
4．解決追及相遇問題要注意“一個條件”和“兩個關系”，即兩者速度相等；時間關系和位移關系.
【例1】
答案　BC
解析　由題圖可以看出：0～1 s內質點做初速度為零、末速度為2 m/s的勻加速直線運動；1～2 s內質點以2 m/s的速度做勻速直線運動；2～4 s內質點做初速度為2 m/s，末速度為0的勻減速直線運動，故0～1 s內質點的平均速度為v＝ m/s＝1 m/s，選項A錯誤；0～2 s內圖象與時間軸所圍的面積在數值上等于位移的大小，x2＝ m＝3 m，選項B正確；0～1 s內質點的加速度a1＝ m/s2＝2 m/s2,2～4 s內質點的加速度a2＝ m/s＝－1 m/s2，選項C正確；因0～4 s內圖線都在時間軸的上方，故速度一直沿正方向，選項D錯誤．
[針對訓練1]　
答案　B
解析　在v－t圖象 ，圖線與橫軸所圍面積代表位移，0～3 s內，x1＝3 m，向右；3～8 s內，x2＝－5 m，負號表示向左，則0～8 s內質點運動的位移x＝x1＋x2＝－2 m，向左，＝＝－0.25 m/s，向左，選項B正確．
【例2】
答案　(1)見解析圖　(2)900 m
解析　(1)0～10 s內，汽車做初速度為0的勻加速直線運動，10 s末速度v1＝a1t1＝2×10 m/s＝20 m/s
10～40 s內，汽車做勻速直線運動，40～60 s內，汽車做勻減速直線運動．
60 s末的速度v2＝v1＋a2t2＝20 m/s－1×20 m/s＝0.
v－t圖線如右圖所示．
(2)x＝v1t1＋v1t＋(v1＋v2)t2＝×20×10 m＋20×30 m＋×(20＋0)×20 m＝900 m.
【例3】
答案　(1)見解析　(2)見解析　(3)2 m/s，方向向東；4 m/s，方向向西
解析　(1)從圖象知：質點從t＝0開始由原點出發向東做勻速直線運動，持續運動4 s，4 s末開始向西做勻速直線運動，又經過2 s，即6 s末回到原出發點，然后又繼續向西做勻速直線運動直到8 s末．
(2)在0～4 s內位移大小是8 m，方向向東，路程是8 m.
在0～8 s內的位移為－8 m，負號表示位移的方向向西，說明質點在8 s末時刻處于原出發點西8 m的位置上，此段時間內路程為24 m.
在2～4 s內，質點發生的位移是4 m，方向向東，路程也是4 m.
(3)在0～4 s內質點的速度為
v1＝＝ m/s＝2 m/s，方向向東；
在4～8 s內質點的速度為
v2＝＝ m/s＝－4 m/s，方向向西．
[針對訓練2]　
答案　BC
解析　由位移－時間圖象可知：前10 s內汽車做勻速直線運動，速度為3 m/s，加速度為0，所以C正確；10 s～15 s汽車處于靜止狀態，汽車相對于出發點的位移為30 m，所以A錯誤；15 s～25 s汽車向反方向做勻速直線運動，速度為－1 m/s，所以D錯誤，B正確．
【例4】
答案　(1)2.25 m/s2　(2)1 138 m
解析　(1)設汽車位移為x1，摩托車位移為x2
摩托車的加速度為a，摩托車達到最大速度所用時間為t，則
30 m/s＝at
x1＝25×240 m＝6 000 m
x2＝＋30(240－)
恰好追上的條件為x2＝x1＋1 000 m
解得a＝ m/s2＝2.25 m/s2
(2)摩托車與汽車速度相等時兩車相距最遠
設此時刻為T，最大距離為xmax
由運動學公式得25 m/s＝aT
解得T＝ s
所以xmax＝1 000＋25T－＝ m
＝1 138 m
[針對訓練3]　
答案　ABC
解析　若乙車追上甲車時，甲、乙兩車速度相同，即此時t＝T，則x0＝x1，此后甲車速度大于乙車速度，全程甲、乙僅相遇一次；若甲、乙兩車速度相同時，x0x1，則此時甲車仍在乙車的前面，以后乙車不可能追上甲車了，全程中甲、乙都不會相遇，綜上所述，選項A、B、C對，D錯．
【基礎演練】
1．
答案　ACD
解析　在速度－時間圖象中，斜率代表加速度，CE段的斜率最大，故該段的加速度最大，故選項A正確；在D點，運動方向發生改變，故D點所表示的狀態離出發點最遠，選項C正確；在速度－時間圖象中，圖象與橫軸所圍的面積表示位移大小，故xBC＝ m＝34 m，BC段為單向直線運動，路程與位移相等，選項D正確．
2.
答案　BD
解析　如右圖所示，t1時刻，實線上A點的切線為AB，實際加速度的大小即為AB的斜率，由圖可知虛線反映的加速度小于實際加速度，故選項A錯誤；在v－t圖象中，位移等于所對應圖線與坐標軸所包圍的面積，0～t1時間內，虛線所對應的位移大于實線所對應的位移，由＝知，由虛線計算出的平均速度比實際的大，故選項B正確；在t1～t2時間內，由虛線計算出的位移比實際的小，故選項C錯誤；t3～t4時間內虛線為平行于時間軸的直線，此線反映的運動為勻速直線運動，故選項D正確．
3．
答案　AB
解析　t＝0時，A質點在x1處，而B質點在原點處，故A正確；由題圖可知，0～t1時間內，A質點運動的速度比B大，但t1以后A質點靜止不動，速度為零，故C、D均錯誤；t2時刻A、B兩質點到達同一位置，之后B質點繼續向前運動，跑到A質點的前面，故B正確．
4．
答案　BC
解析　清楚地理解v－t圖象中“面積”的物理意義是解本題的關鍵，A、D中的v－t圖象中“面積”不等于20 m；B中v－t圖象的“面積”可能等于20 m；C中v－t圖象的“面積”正好等于20 m．B、C項正確，A、D項錯誤．
5
答案　BC
解析　速度－時間圖象在t軸以下的均為反方向運動，故2 h末乙車改變運動方向，A錯；2 h末從圖象圍成的面積可知乙車運動位移大小為30 km，甲車位移為30 km，相向運動，此時兩車相距70 km－30 km－30 km＝10 km，B對；從圖象的斜率看，斜率大加速度大，故乙車加速度在4 h內一直比甲車加速度大，C對；4 h末，甲車運動位移為120 km，乙車運動位移為30 km，兩車原來相距70 km，故此時兩車還相距20 km，D錯．
6．
答案　C
解析　本題考查加速度在v－t圖象中的表示．在0～1 s內，a＝1 m/s2，物體從靜止開始做正向勻加速運動，速度圖象是一條直線，1 s末速度v1＝at＝1 m/s.在1 s～2 s內，a2＝－1 m/s2，物體將仍沿正方向運動，但要減速，2 s末時速度v2＝v1＋a2t＝0,2 s～3 s內重復0～1 s內運動情況，3 s～4 s內重復1 s～2 s內運動情況，故選C項．
7.
答案　D
解析　在v－t圖象中，圖線的斜率代表加速度，從圖象可以看出，0～10 s內，加速度方向向下，圖線的斜率越來越小，故不是自由落體運動，是變加速直線運動，10 s末速度達到最大值；10 s末打開降落傘，加速度方向向上，物體做加速度逐漸減小的減速運動，15 s末加速度為零，速度達到穩定值，以后將做勻速直線運動．故選項D正確．
【能力提升】
8．
答案　(1)3 m/s2　(2)6.5 m
解析　(1)在甲發出口令后，甲、乙達到共同速度所用時間為t＝①
設在這段時間內甲、乙的位移分別為x1和x2，則
x2＝at2②
x1＝vt③
x1＝x2＋x0④
聯立①②③④式解得a＝＝3 m/s2.
(2)在這段時間內，乙在接力區的位移為
x2＝＝13.5 m
完成交接棒時，乙離接力區末端的距離為
L－x2＝6.5 m.
9．
答案　(1)75 m　(2)不能　(3)12 s
解析　(1)警車在追趕貨車的過程中，當兩車速度相等時，它們的距離最大，設警車發動后經過t1時間兩車的速度相等．則t1＝ s＝4 s
x貨＝(5.5＋4)×10 m＝95 m
x警＝at＝×2.5×42 m＝20 m；所以兩車間的最大距離Δx＝x貨－x警＝75 m.
(2)vm＝90 km/h＝25 m/s，當警車剛達到最大速度時，運動時間t2＝ s＝10 s
x貨′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m
x警′＝at＝×2.5×102 m＝125 m
因為x貨′>x警′，故此時警車尚未趕上貨車．
(3)警車剛達到最大速度時兩車距離Δx′＝x貨′－x警′＝30 m，警車達到最大速度后做勻速運動，設再經過Δt時間后追趕上貨車．則Δt＝＝2 s
所以警車發動后要經過t＝t2＋Δt＝12 s才能追上貨車．
易錯點評
1．要注意區分x－t圖象與v－t圖象的不同意義．
2．要注意把圖象與實際的運動情境相結合．
3．比較位移相等的不同運動形式的時間長短問題用v－t圖象方便．
4．用圖象解決追及相遇問題簡潔直觀，便于理解分析．

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