資源簡介

學案14 牛頓第二定律及應用(三)
簡單連接體問題動力學中的圖象問題
動力學中的傳送帶問題
一、概念規律題組
1．雨滴從空中由靜止落下，若雨滴下落時空氣對其的阻力隨雨滴下落速度的增大而增大，如下圖所示的圖象中，能正確反映雨滴下落運動情況的是(　　)
圖1
2．如圖1所示其小球所受的合力與時間的關系，各段的合力大小相同，作用時間相同，設小球從靜止開始運動．由此可判定(　　)
A．小球向前運動，再返回停止
B．小球向前運動再返回不會停止
C．小球始終向前運動
D．小球向前運動一段時間后停止
3．
圖2
我國國家大劇院外部呈橢球型．假設國家大劇院的屋頂為半球形，一警衛人員為執行特殊任務，必須冒險在半球形屋頂上向上緩慢爬行(如圖2所示)，他在向上爬的過程中(　　)
A．屋頂對他的支持力不變
B．屋頂對他的支持力變小
C．屋頂對他的摩擦力變大
D．屋頂對他的摩擦力變小
二、思想方法題組
4．A、B兩物體疊放在一起，放在光滑水平面上，如圖3甲所示，它們從靜止開始受到一個變力F的作用，該力與時間關系如圖乙所示，A、B始終相對靜止．則(　　)
圖3
A.在t0時刻A、B兩物體間靜摩擦力最大
B.在t0時刻A、B兩物體的速度最大
C.在2t0時刻A、B兩物體的速度最大
D.在2t0時刻A、B兩物體的位移最大
圖4
5．質量為m的物體放在A地的水平面上，用豎直向上的力F拉物體，物體的加速度a與拉力F的關系如圖4中直線①所示，用質量為m′的另一物體在B地做類似實驗，測得a－F關系如圖中直線②所示，設兩地的重力加速度分別為g和g′，則(　　)
A．m′>m，g′＝g B．m′C．m′＝m，g′>g D．m′＝m，g′>g
一、整體法和隔離法的選取
1．隔離法的選取原則：若連接體內各物體的加速度不相同，且需要求物體之間的作用力，就需要把物體從系統中隔離出來，將系統的內力轉化為隔離體的外力，分析物體的受力情況和運動情況，并分別應用牛頓第二定律列方程求解．隔離法是受力分析的基礎，應重點掌握．
2．整體法的選取原則：若連接體內各物體具有相同的加速度(主要指大小)，且不需要求物體之間的作用力，就可以把它們看成一個整體(當成一個質點)來分析整體受到的外力，應用牛頓第二定律求出加速度(或其他未知量)．
3．整體法、隔離法交替運用的原則：若連接體內各物體具有相同的加速度，且要求物體之間的作用力，可以先用整體法求出加速度，然后再用隔離法選取合適的研究對象，應用牛頓第二定律求作用力．即“先整體求加速度，后隔離求內力”．
圖5
【例1】在年北京殘奧會開幕式上，運動員手拉繩索向上攀登，最終點燃了主火炬，體現了殘疾運動員堅韌不拔的意志和自強不息的精神．為了探求上升過程中運動員與繩索和吊椅間的作用，可將過程簡化如下：一根不可伸縮的輕繩跨過輕質的定滑輪，一端掛一吊椅，另一端被坐在吊椅上的運動員拉住，如圖5所示．設運動員的質量為65 kg，吊椅的質量為15 kg，不計定滑輪與繩子間的摩擦，重力加速度取g＝10 m/s2.當運動員與吊椅一起以加速度a＝1 m/s2上升時，試求：
(1)運動員豎直向下拉繩的力；
(2)運動員對吊椅的壓力．
[規范思維]
　
　
圖6
[針對訓練1]如圖6所示，水平地面上有兩塊完全相同的木塊A、B，水平推力F作用在A上，用FAB代表A、B間的相互作用力，下列說法中錯誤的是(　　)
A．若地面是光滑的，則FAB＝F
B．若地面是光滑的，則FAB＝
C．若地面是粗糙的，且A、B被推動，則FAB＝
D．若地面是粗糙的，且A、B未被推動，FAB可能為
二、動力學中的圖象問題
圖象問題是近年高考命題的熱點，動力學問題的圖象在高考中也頻頻出現，常見的有v－t圖象、a－t圖象、F－t圖象、F－a圖象．
【例2】
圖7
兩物體甲和乙在同一直線上運動，它們在0～0.4 s時間內的v－t圖象如圖7所示．若僅在兩物體之間存在相互作用，則物體甲與乙的質量之比和圖中時間t1分別為(　　)
A.和0.30 s B．3和0.30 s
C.和0.28 s D．3和0.28 s
[規范思維]
　
　
圖8
【例3】質量為2 kg的物體靜止在足夠大的水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數為0.2，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小視為相等．從t＝0時刻開始，物體受到方向不變、大小呈周期性變化的水平拉力F的作用，F隨時間t的變化規律如圖8所示．重力加速度g取10 m/s2，則物體在t＝0至t＝12 s這段時間的位移大小為(　　)
A．18 m B．54 m C．72 m D．198 m
[規范思維]
　
　
【例4】如圖19(a)所示，質量m＝1 kg的物體沿傾角θ＝37°的固定粗糙斜面由靜止開始向下運動，風對物體的作用力沿水平方向向右，其大小與風速v成正比，比例系數用k表示，物體加速度a與風速v的關系如圖(b)所示，求：
圖9
(1)物體與斜面間的動摩擦因數μ；
(2)比例系數k.
(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
[規范思維]
　
　
　
　
【例5】如圖10(a)所示，用一水平外力F推著一個靜止在傾角為θ的光滑斜面上的物體，逐漸增大F，物體做變加速運動，其加速度a隨外力F變化的圖象如圖(b)所示，若重力加速度g取10 m/s2.根據圖(b)中所提供的信息計算不出(　　)
圖10
A．物體的質量
B．斜面的傾角
C．物體能靜止在斜面上所施加的最小外力
D．加速度為6 m/s2時物體的速度
[規范思維]
　
　
　
三、動力學中的傳送帶問題
【例6】 如圖11所示，傳送帶與水平面間的傾角
圖11
為θ＝37°，傳送帶以10 m/s的速率運行，在傳送帶上端A處無初速度地放上質量為0.5 kg的物體，它與傳送帶間的動摩擦因數為0.5，若傳送帶A到B的長度為16 m，則物體從A運動到B的時間為多少？(取g＝10 m/s2)
[規范思維]
　
　
圖12
[針對訓練2]如圖12所示，質量為m的物體用細繩拴住放在水平粗糙傳送帶上，物體距傳送帶左端距離為L，穩定時繩與水平方向的夾角為θ，當傳送帶分別以v1、v2的速度做逆時針轉動時(v1A．F1F2
C．t1>t2 D．t1可能等于t2
【基礎演練】
1．如圖13所示，
圖13
放在粗糙水平面上的物塊A、B用輕質彈簧秤相連，兩物塊與水平面間的動摩擦因數均為μ.今對物塊A施加一水平向左的恒力F，使A、B一起向左勻加速運動，設A、B的質量分別為m、M，則彈簧秤的示數為(　　)
A.　　　　　　　 　B.
C.M D.M
2．一個靜止的質點，在0～4 s時間內受到力F的作用，力的方向始終在同一直線上，力F隨時間t的變化如圖14所示，則質點在(　　)
圖14
A．第2 s末速度改變方向
B．第2 s末位移改變方向
C．第4 s末回到原出發點
D．第4 s末運動速度為零
圖15
3．如圖15所示，物體沿斜面由靜止滑下，在水平面上滑行一段距離后停止，物體與斜面和水平面間的動摩擦因數相同，斜面與水平面平滑連接．下圖中v、a、f和s分別表示物體速度大小、加速度大小、摩擦力大小和路程．下列圖象中正確的是(　　)
圖16
4．如圖16所示，彈簧測力計外殼質量為m0，彈簧及掛鉤的質量忽略不計，掛鉤吊著一質量為m的重物，現用一方向豎直向上的外力F拉著彈簧測力計，使其向上做勻加速直線運動，則彈簧測力計的讀數為(　　)
A．mg B.mg
C.F D.F
5．質量為1.0 kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面之間的動摩擦因數為0.30.對物體施加一個大小變化、方向不變的水平拉力F，作用了3t0的時間．為使物體在3t0時間內發生的位移最大，力F隨時間的變化情況應該為下圖中的(　　)
6.
圖17
如圖17所示，在光滑的水平面上放著緊靠在一起的A、B兩物體，B的質量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA＝(9－2t) N(t的單位是s)．從t＝0開始計時，則下列說法錯誤的是(　　)
A．A物體在3 s末時刻的加速度是初始時刻的
B．t>4 s后，B物體做勻加速直線運動
C．t＝4.5 s時，A物體的速度為零
D．t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反
圖18
7．如圖18所示，兩個質量分別為m1＝2 kg、m2＝3 kg的物體置于光滑的水平面上，中間用輕質彈簧秤連接．兩個大小分別為F1＝30 N、F2＝20 N的水平拉力分別作用在m1、m2上，則(　　)
A．彈簧秤的示數是25 N
B．彈簧秤的示數是50 N
C．在突然撤去F2的瞬間，m1的加速度大小為5 m/s2
D．在突然撤去F1的瞬間，m1的加速度大小為13 m/s2
【能力提升】
8．如圖19所示，
圖19
光滑水平面上放置質量分別為m和2m的四個木塊，其中兩個質量為m的木塊間用一不可伸長的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是μmg.現用水平拉力F拉其中一個質量為2m的木塊，使四個木塊以同一加速度運動，則輕繩對m的最大拉力為(　　)
A. B. C. ．3μmg
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
圖20
9．傳送帶是一種常用的運輸工具，被廣泛應用于礦山、碼頭、貨場、車站、機場等．如圖20所示為火車站使用的傳送帶示意圖．繃緊的傳送帶水平部分長度L＝5 m，并以v0＝2 m/s的速度勻速向右運動．現將一個可視為質點的旅行包無初速度地輕放在傳送帶的左端，已知旅行包與傳送帶之間的動摩擦因數μ＝0.2，g取10 m/s2.
(1)求旅行包經過多長時間到達傳送帶的右端；
(2)若要旅行包從左端運動到右端所用時間最短，則傳送帶速度的大小應滿足什么條件？最短時間是多少？
10．如圖21所示，
圖21
在傾角為θ＝30°的固定斜面上，跨過定滑輪的輕繩一端系在小車的前端，另一端被坐在小車上的人拉住．已知人的質量為60 kg，小車的質量為10 kg，繩及滑輪的質量、滑輪與繩間的摩擦均不計，斜面對小車的摩擦阻力為人和小車總重力的0.1倍，取重力加速度g＝10 m/s2，當人以280 N的力拉繩時，試求(斜面足夠長)：
(1)人與車一起運動的加速度大小；
(2)人所受摩擦力的大小和方向；
(3)某時刻人和車沿斜面向上的速度為3 m/s，此時人松手，則人和車一起滑到最高點所用時間為多少？
學案14　牛頓第二定律及應用(三)　簡單連接體問題
動力學中的圖象問題　動力學中的傳送帶問題
1．C　2.C
3．D　
[由于警衛人員在半球形屋頂上向上緩慢爬行，他爬行到的任一位置時都看作處于平衡狀態．在圖所示位置，對該警衛人員進行受力分析，其受力圖如右圖所示．將重力沿半徑方向和球的切線方向分解后列出沿半徑方向和球的切線方向的平衡方程
FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ
他在向上爬的過程中，θ變小，cos θ變大，屋頂對他的支持力變大；sin θ變小，屋頂對他的摩擦力變小．所以正確選項為D.]
4．BD　[對A、B整體　F＝(mA＋mB)a隔離物體A　Ff＝mAa由F－t可知：t＝0和t＝2t0時刻，F最大，故Ff最大，A錯．又由于A、B整體先加速后減速，2t0時刻停止運動，所以t0時刻速度最大，2t0時刻位移最大，B、D正確．]
5．B　[在A地，由牛頓第二定律有F－mg＝ma，得a＝－g＝F－g.同理，在B地：a′＝F－g′.這是一個a關于F的函數，(或)表示斜率，－g(或－g′)表示截距．由圖線可知<，g＝g′；故m>m′，g＝g′，B項正確．]
思維提升
1．選取整體法或隔離法的原則是：若系統整體具有相同加速度，且不要求求物體間的相互作用力，一般取整體為研究對象；若要求物體間相互作用力，則需把物體從系統中隔離出來，用隔離法，且選擇受力較少的隔離體為研究對象．
2．利用圖象分析物理問題時，往往根據物理定理或定律寫出橫軸物理量關于縱軸物理量的函數關系，借助函數的截距和斜率的物理意義解決問題．
例1 (1)440 N，方向豎直向下　(2)275 N，方向豎直向下
解析　(1)設運動員和吊椅的質量分別為M和m，繩拉運動員的力為F.以運動員和吊椅整體為研究對象，受到重力的大小為(M＋m)g，向上的拉力為2F，根據牛頓第二定律
2F－(M＋m)g＝(M＋m)a解得F＝440 N
根據牛頓第三定律，運動員拉繩的力大小為440 N，方向豎直向下．
(2)以運動員為研究對象，運動員受到三個力的作用，重力大小Mg，繩的拉力F，吊椅對運動員的支持力FN.根據牛頓第二定律F＋FN－Mg＝Ma解得FN＝275 N
根據牛頓第三定律，運動員對吊椅壓力大小為275 N，方向豎直向下．
[規范思維]　本題中由于運動員和吊椅整體具有共同的加速度，已知加速度，故先以整體為研究對象，求繩拉人的力；運動員對座椅的壓力是內力，需隔離求解．
例2 B　[根據v－t圖象可知，甲做勻加速運動，乙做勻減速運動．由a乙＝ m/s2＝10 m/s2，又a乙＝得，t1＝0.30 s，根據a＝得3a甲＝a乙．根據牛頓第二定律有＝·，則m甲∶m乙＝3.故B項正確．]
[規范思維]　對此類問題要注意從圖象提煉出物理情景，把圖象語言翻譯成物理過程，了解物體對應的運動情況和受力情況，靈活運用牛頓第二定律解題，聯系圖象(運動情況)和力的橋梁仍是a.
例3 B
[物體與地面間最大靜摩擦力Fmax＝μmg＝0.2×2×10 N＝4 N．由題給F－t圖象知0～3 s內，F＝4 N，說明物體在這段時間內保持靜止不動.3～6 s內，F＝8 N，說明物體做勻加速運動，加速度a＝＝2 m/s2.6 s末物體的速度v＝at＝2×3 m/s＝6 m/s，在6～9 s內物體以6 m/s的速度做勻速運動.9～12 s內又以2 m/s2的加速度做勻加速運動，作v－t圖象如圖．故0～12 s內的位移x＝(×3×6)×2 m＋6×6 m＝54 m．故B項正確．]
[規范思維]　解本題關鍵是從F－t圖象中提煉出信息，明確各個時間段的受力情況和運動情況，然后根據牛頓第二定律和運動學公式列方程．
例4 (1)0.25　(2)0.84 kg/s
解析　(1)由圖象知v＝0，a0＝4 m/s2
開始時根據牛頓第二定律得
mgsin θ－μmgcos θ＝ma0
μ＝＝＝0.25
(2)由圖象知v＝5 m/s，a＝0 由牛頓第二定律知
mgsin θ－μFN－kvcos θ＝0
FN＝mgcos θ＋kvsin θ
mg(sin θ－μcos θ)－kv(μsin θ＋cos θ)＝0
k＝＝ kg/s＝0.84 kg/s
[規范思維]　解本題需從a－v圖象中尋求信息，結合物體的受力情況，根據牛頓第二定律正確列出方程式．此外注意物體受多個力的作用，在進行力的運算時應用了正交分解法．
例5 ABC　[分析物體受力，由牛頓第二定律得：Fcos θ－mgsin θ＝ma，由F＝0時，a＝－6 m/s2，得θ＝37°.由a＝F－gsin θ和a－F圖線知：圖象斜率＝，得：
m＝2 kg，物體靜止時的最小外力Fmincos θ＝mgsin θ，Fmin＝mgtan θ＝15 N，無法求出物體加速度為6 m/s2時的速度，因物體的加速度是變化的，對應時間也未知，故A、B、C正確，D錯誤．]
[規范思維]　解此類a－F圖象問題，首先應寫出a隨F變化的關系式，然后通過斜率、截距的意義尋找解題的突破口．
例6 當皮帶向下運行時，總時間t＝2 s，當皮帶向上運行時，總時間t′＝4 s.
解析　首先判斷μ與tan θ的大小關系，μ＝0.5，tan θ＝0.75，所以物體一定沿傳送帶對地下滑．其次傳送帶運行速度方向未知，而傳送帶運行速度方向影響物體所受摩擦力的方向，所以應分別討論．
(1)當傳送帶以10 m/s的速度向下運行時，開始物體所受滑動摩擦力方向沿傳送帶向下(受力分析如圖中甲所示)．
該階段物體對地加速度
a1＝＝10 m/s2，
方向沿傳送帶向下
物體達到與傳送帶相同的速度所需時間t1＝＝1 s
在t1內物體沿傳送帶對地位移x1＝a1t＝5 m
從t1開始物體所受滑動摩擦力沿傳送帶向上(如圖中乙所示)，物體對地加速度
a2＝＝2 m/s2，方向沿傳送帶向下
物體以2 m/s2加速度運行剩下的11 m位移所需時間t2，則x2＝vt2＋a2t，代入數據解得t2＝1 s(t2′＝－11 s舍去)
所需總時間t＝t1＋t2＝2 s
(2)當傳送帶以10 m/s速度向上運行時，物體所受滑動摩擦力方向沿傳送帶向上且不變，設加速度大小為a3，則a3＝＝2 m/s2
物體從A運動到B所需時間t′，則x＝a3t′2；t′＝＝ s＝4 s.
[規范思維]　(1)按傳送帶的使用方式可將其分為水平和傾斜兩種．
(2)解題中應注意以下幾點：
①首先判定摩擦力突變點，給運動分段．物體所受摩擦力，其大小和方向的突變，都發生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．v物與v傳相同的時刻是運動分段的關鍵點，也是解題的突破口．
②在傾斜傳送帶上往往需比較mgsin θ與Ff的大小與方向．
③考慮傳送帶長度——判定臨界之前是否滑出；物體與傳送帶共速以后物體是否一定與傳送帶保持相對靜止做勻速運動．
[針對訓練]
1．A　2.BD　
1．A　2.D　3.C　4.D　5.B　6.ABD　7.D　8.B
9．(1)3 s　(2)大于或等于2 m/s　 s
解析　(1)旅行包無初速度地輕放在傳送帶的左端后，旅行包相對于傳送帶向左滑動，旅行包在滑動摩擦力的作用下向右做勻加速運動，由牛頓第二定律得旅行包的加速度a＝F/m＝μmg/m＝μg＝2 m/s2
當旅行包的速度增大到等于傳送帶速度時，二者相對靜止，勻加速運動時間t1＝v0/a＝1 s
勻加速運動位移x＝at＝1 m
此后旅行包勻速運動，勻速運動時間t2＝＝2 s
旅行包從左端運動到右端所用時間t＝t1＋t2＝3 s.
(2)要使旅行包在傳送帶上運行時間最短，必須使旅行包在傳送帶上一直加速由v2＝2aL得v＝＝2 m/s
即傳送帶速度必須大于或等于2 m/s
由L＝at2得旅行包在傳送帶上運動的最短時間t＝＝ s.
10．(1)2 m/s2　(2)140 N　方向沿斜面向上　(3)0.5 s
解析　(1)以人和小車為整體，沿斜面應用牛頓第二定律得：2F－(M＋m)gsin θ－k(M＋m)g＝(M＋m)a
將F＝280 N，M＝60 kg，m＝10 kg
k＝0.1代入上式得a＝2 m/s2
(2)設人受到小車的摩擦力大小為Ff人，方向沿斜面向下，對人應用牛頓第二定律得：
F－Mgsin θ－Ff人＝Ma，可得
Ff人＝－140 N
因此，人受到的摩擦力大小為140 N，方向沿斜面向上
(3)人松手后，設人和車一起上滑的加速度大小為a1，方向沿斜面向下，由牛頓第二定律得：
(M＋m)gsin θ＋k(M＋m)g＝(M＋m)a1
則a1＝6 m/s2，由v＝a1t1
可得t1＝＝0.5 s
易錯點評
繩或彈簧秤豎直向上拉物體時，拉力不一定等于重力．拉力與重力的大小比較決定于物體的運動狀態．

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