資源簡介

學案8 力的合成與分解
一、概念規律題組
1．關于合力的下列說法，正確的是(　　)
A．幾個力的合力就是這幾個力的代數和
B．幾個力的合力一定大于這幾個力中的任何一個力
C．幾個力的合力可能小于這幾個力中最小的力
D．幾個力的合力一定大于這幾個力中最大的力
2．關于兩個分力F1、F2及它們的合力F的說法，下述不正確的是(　　)
A．合力F一定與F1、F2共同作用產生的效果相同
B．兩力F1、F2不一定是同種性質的力
C．兩力F1、F2一定是同一個物體受的力
D．兩力F1、F2與F是物體同時受到的三個力
3．如圖1所示，物體放在光滑斜面上，所受重力為G，斜面支持力為FN，設使物體沿斜面下滑的力是F1，則下列說法中錯誤的是(　　)
圖1
A．G是可以分解為F1和對斜面的壓力F2
B．F1是G沿斜面向下的分力
C．F1是FN和G的合力
D．物體受到G、FN的作用
4．圖2是給墻壁粉刷涂料用的“涂料滾”的示意圖．使用時，用撐竿推著粘有涂料的涂料滾沿墻壁上下緩緩滾動，把
圖2
涂料均勻地粉刷到墻上．撐竿的重量和墻壁的摩擦均不計，而且撐竿足夠長，粉刷工人站在離墻壁一定距離處緩緩上推涂料滾，關于該過程中撐竿對涂料滾的推力F1，涂料滾對墻壁的壓力F2，以下說法中正確的是(　　)
A．F1增大，F2減小 B．F1減小，F2增大
C．F1、F2均增大 D．F1、F2均減小
二、思想方法題組
圖3
5．水平橫梁一端A插在墻壁內，另一端裝有一小滑輪B.一輕繩的一端C固定于墻壁上，另一端跨過滑輪后懸掛一質量為m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如圖3所示，則滑輪受到繩子的作用力為(g取10 N/kg)(　　)
A．50 N
B．50 N
C．100 N
D．100 N
6．受斜向上的恒定拉力作用，物體在粗糙水平面上做勻速直線運動，則下列說法正確的是(　　)
A．拉力在豎直方向的分量一定大于重力
B．拉力在豎直方向的分量一定等于重力
C．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力
D．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力
一、合力的范圍及共點力合成的方法
1．合力范圍的確定
(1)兩個共點力的合成，|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即兩個力大小不變時，其合力隨兩力夾角的增大而減小，當兩力反向時，合力最小，為|F1－F2|，當兩力同向時，合力最大，為F1＋F2.
(2)三個共點力的合成：①當三個共點力共線同向時，合力最大為F1＋F2＋F3
②任取兩個力，求出合力范圍，如第三個力在這個范圍內，則三力合成的最小值為零；如不在范圍內，則合力的最小值為最大的一個力減去另外兩個較小力的數值之和的絕對值．
2．共點力的合成方法
(1)合成法則：平行四邊形定則或三角形定則．
(2)求出以下三種特殊情況下二力的合力：
①相互垂直的兩個力合成，合力大小為F＝.
②夾角為θ、大小相等的兩個力合成，其平行四邊形為菱形，對角線相互垂直，合力大小為F＝2F1cos
③夾角為120°、大小相等的兩個力合成，合力大小與分力相等，方向沿二力夾角的平分線
【例1】 在電線桿的兩側
圖4
常用鋼絲繩把它固定在地上，如圖4所示．如果鋼絲繩與地面的夾角∠A＝∠B＝60°，每條鋼絲繩的拉力都是300 N，試用作圖法和解析法分別求出兩根鋼絲繩作用在電線桿上的合力．(結果保留到整數位)
[規范思維]
　
　
　
　
[針對訓練1]兩個大小分別為F1和F2(F2A．F2≤F≤F1 B.≤F≤
C．F1－F2≤F≤F1＋F2 D．F－F≤F2≤F＋F
[針對訓練2]　(2009·江蘇·2)如圖5所示，
圖5
用一根長1 m的輕質細繩將一幅質量為1 kg的畫框對稱懸掛在墻壁上，已知繩能承受的最大張力為10 N，為使繩不斷裂，畫框上兩個掛釘的間距最大為(g取10 m/s2)(　　)
A. m B. m
C. m D. m
二、力的分解的方法
1．按力的效果分解
圖6
(1)找出重力G的兩個作用效果，并求它的兩個分力．如圖6所示
F1＝Gsin θ，F2＝Gcos θ(用G和θ表示)
(2)歸納總結：按力的效果求分力的方法：①根據力的實際作用效果確定兩個實際分力的方向．②再根據兩個實際分力的方向畫出平行四邊形，并由平行四邊形定則求出兩個分力的大小．
2．按問題的需要進行分解
(1)已知合力和兩個分力的方向，可以作出惟一的力的平行四邊形；對力F進行分解，其解是惟一的．
(2)已知合力和一個分力的大小與方向，對力F進行分解，其解也是惟一的．
圖7
(3)已知一個分力F1的方向和另一個分力F2的大小，對力F進行分解，則有三種可能(F1與F的夾角為θ)．如圖7所示：
①F2②F2＝Fsin θ或F2≥F時有一組解．
③Fsin θ圖8
【例2】 如圖8所示，用輕繩AO和OB將重為G的重物懸掛在水平天花板和豎直墻壁之間，重物處于靜止狀態，AO繩水平，OB繩與豎直方向的夾角為θ，則AO繩的拉力FA、OB繩的拉力FB的大小與G之間的關系為(　　)
A．FA＝Gtan θ B．FA＝
C．FB＝ D．FB＝Gcos θ
[規范思維]
　
　
　
　
　
　
　
[針對訓練3]　
圖9
如圖9所示，質量為m的物體懸掛在輕質支架上，斜梁OB與豎直方向的夾角為θ.設水平橫梁OA和斜梁OB作用于O點的彈力分別為F1和F2，以下結果正確的是(　　)
A．F1＝mgsin θ B．F1＝
C．F2＝mgcos θ D．F2＝
三、正交分解法
1．定義：把各個力沿相互垂直的兩個方向進行分解的方法
用途：求多個共點力的合力時，往往用正交分解法．
圖10
2．步驟：如圖10所示，(1)建立直角坐標系；通常選擇共點力的作用點為坐標原點，讓盡可能多的力落在坐標軸上，建立x、y軸．
(2)把不在坐標軸上的各力沿坐標軸方向進行正交分解．
(3)沿著坐標軸方向求合力Fx、Fy.
(4)求Fx、Fy的合力，F與Fx、Fy的關系式為：F＝.方向為：tan α＝Fy/Fx.
圖11
【例3】 物體A的質量為2 kg，兩根輕細繩b和c的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體A上，在物體A上另施加一個方向與水平線成θ角的拉力F，相關幾何關系如圖11所示，θ＝60°.若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍．(g取10 m/s2)
[規范思維]
　
　
　
　
　
　
　
　
[針對訓練4]　
圖12
如圖12所示，置于水平地面的三腳架上固定著一質量為m的照相機．三腳架的三根輕質支架等長，與豎直方向均成30°角，則每根支架中承受的壓力大小為(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
【基礎演練】
1．下列四個圖中，F1、F2、F3都恰好構成封閉的直角三角形(頂角為直角)，這三個力的合力最大的是(　　)
圖13
2．如圖13所示，重力為G的物體靜止在傾角為α的斜面上，將重力G分解為垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那么(　　)
A．F1就是物體對斜面的壓力
B．物體對斜面的壓力方向與F1方向相同，大小為Gcos α
C．F2就是物體受到的靜摩擦力
D．物體受到重力、斜面對物體的支持力、靜摩擦力、F1和F2共五個力的作用
3．小明想推動家里的衣櫥，但
圖14
使出了吃奶的力氣也推不動，他便想了個妙招，如圖14所示，用A、B兩塊木板，搭成一個底角較小的人字形架，然后往中央一站，衣櫥居然被推動了！下列說法正確的是(　　)
A．這是不可能的，因為小明根本沒有用力去推衣櫥
B．這是不可能的，因為無論如何小明的力氣也沒那么大
C．這有可能，A板對衣櫥的推力有可能大于小明的重力
D．這有可能，A板對衣櫥的推力不可能大于小明的重力
4．如圖15所示，
圖15
將細線的一端系在右手中指上，另一端系上一個重為G的鉤碼．用一支很輕的鉛筆的尾部頂在細線上的某一點，使細線的上段保持水平，筆的尖端置于右手掌心．鉛筆與水平細線的夾角為θ，則(　　)
A．中指受到的拉力為Gsin θ
B．中指受到的拉力為Gcos θ
C．手心受到的壓力為
D．手心受到的壓力為
5．作用于同一點的兩個力，大小分別為F1＝5 N，F2＝4 N，這兩個力的合力F與F1的夾角為θ，則θ可能為(　　)
A．45° B．60°
C．75° D．90°
6.
圖16
如圖16所示是骨折病人的牽引裝置示意圖，繩的一端固定，繞過定滑輪和動滑輪后掛著一個重物，與動滑輪相連的帆布帶拉著病人的腳，整個裝置在同一豎直平面內．為了使腳所受的拉力增大，可采取的方法是(　　)
A．只增加繩的長度
B．只增加重物的質量
C．只將病人的腳向右移動
D．只將兩定滑輪的間距增大
【能力提升】
圖17
7．如圖17所示，在豎直平面內的直角坐標系中，一個質量為m的質點在外力F作用下，從坐標原點O由靜止開始沿直線ON斜向下運動，直線ON與y軸負方向成θ角，則物體所受拉力F的最小值為(　　)
A．mgtan θ B．mgsin θ
C．mg/sin θ D．mgcos θ
8．如圖18所示，
圖18
人曲膝下蹲時，膝關節彎曲的角度為θ，設此時大、小腿部的肌群對膝關節的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨對膝關節的作用力大致相等，那么腳掌所受地面豎直向上的彈力約為(　　)
A. B.
C. D.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.在傾角為α的斜面上，一條質量不計的皮帶一端固定在斜面上端，另一端繞過一中間有一圈凹槽的圓柱體，并用與斜面夾角為β的力F拉住，使整個裝置處于靜止狀態，如圖19所示．不計一切摩擦，圓柱體質量為m，求拉力F的大小和斜面對圓柱體的彈力FN的大小．
圖19
某同學分析過程如下：
將拉力F沿斜面和垂直于斜面方向進行分解．
沿斜面方向：Fcos β＝mgsin α ①
沿垂直于斜面方向：Fsin β＋FN＝mgcos α ②
問：你同意上述分析過程嗎？若同意，按照這種分析方法求出F及FN的大小；若不同意，指明錯誤之處并求出你認為正確的結果．
10.
圖20
如圖20所示，輕繩AB總長為l，用輕滑輪懸掛重為G的物體．繩能承受的最大拉力是2G，將A端固定，將B端緩慢向右移動d而使繩不斷，求d的最大值．
學案8　力的合成和分解
1．CD　[力是矢量，力的合力不能簡單的代數加減，故A是錯誤的，合力可以大于分力，可以等于分力，也可以小于分力，故B是錯誤的，C、D正確．]
2．AC　[只有同一個物體的受力才能合成，分力作用在不同物體上的力不能合成．合力是對原來幾個力的等效替代，可以是不同性質的力，但不能同時存在，故正確答案為A、C.]
3．BC　[重力G可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面使物體緊壓斜面的力F2，選項B正確，A錯誤．F2是重力的一個分力，不是(物體)對斜面的壓力(該壓力的本質是彈力，受力物體是斜面，完全不是一回事)．因F1和F2是G的兩個分力，F1、F2與G是等效替代關系，不同時出現，不重復考慮，選項D錯．物體放在光滑斜面上只受到重力G和支持力FN兩個力的作用．因為在垂直于斜面方向上，F2與FN平衡，故F1可以說是FN和G的合力(可以依據平行四邊形定則作出)，選項C正確．]
4．D　[對涂料滾進行受力分析，受到重力、竿對滾的推力、墻壁對滾的支持力三個力，其緩慢向上滾的過程中三力平衡，竿對滾的推力方向與豎直方向的夾角變小，根據物體的平衡條件可知，推力豎直向上的分力大小等于涂料滾的重力，涂料滾的重力不變，隨推力方向與豎直方向夾角變小，推力也逐漸變小，進而其水平方向上的分力也變小，即涂料滾對墻壁的壓力也變小，所以選項D正確．]
5．C　
[本題考查二力平衡條件及兩個等大的力互成120 °的合力求法．以滑輪為研究對象，懸掛重物的繩的張力是F＝mg＝100 N，故小滑輪受到繩的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N.從右圖中看出，∠CBD＝120°，∠CBF＝∠DBF，得∠CBF＝60°，即△CBF是等邊三角形，故F＝100 N．]
6．D　
[物體受力如右圖，因為物體勻速直線運動，故所受合外力為零，各方向合外力為零．則：
Fcos θ＝Ff，即Ff>0，Ff＝μFN，即FN>0，FN＝mg－Fsin θ，所以mg>Fsin θ，故只有D項符合題意．]
思維提升
1．合力與分力是一種“等效替換”關系，一個物體不能同時受分力與合力的作用，也就是說，合力與分力不能同時作用在同一個物體上．
2．在力的合成問題中常遇見的題目有以下幾種：
①在合成圖中有直角，可以利用直角三角形的知識求解．
②若兩個力相等，且兩個力合成的平行四邊形是菱形，可以利用菱形的對角線垂直平分的知識求解．
③若兩個力相等，且兩個力的夾角為120°，可由幾何知識知合力等于其中一個分力大小．
3．正交分解法不僅可以應用于力的分解，也可應用于其他任何矢量的分解，我們選取坐標系時，可以是任意的，不過選擇合適的坐標系可以使問題簡化，通常坐標系的先取有兩個原則：
(1)使盡量多的矢量落在坐標軸上，
(2)盡量使未知量落在坐標軸上．
例1 520 N，方向豎直向下
解析　(1)作圖法：如圖甲所示，自O點引兩條等長的有向線段OC和OD，夾角為60°.設定每單位長度表示100 N，則OC和OD的長度都是3個單位長度，作出平行四邊形OCED，其對角線OE就表示兩個拉力F1、F2的合力F，量得OE長為5.2個單位長度．
所以合力F＝100×5.2 N＝520 N.
用量角器量得∠COE＝∠DOE＝30°，
所以合力方向豎直向下．
(2)解析法：先畫出力的平行四邊形，如圖乙所示，由于OC＝OD，得到的是菱形．連結CD、OE，兩對角線垂直且平分，OD表示300 N，∠COO′＝30°.在三角形OCO′中，OO′＝OCcos 30°.在力的平行四邊形中，各線段的長度表示力的大小，則有＝F1cos 30°，所以合力
F＝2F1cos 30°＝2×300× N＝519.6 N≈520 N.
合力方向豎直向下．
[規范思維]　作圖法求合力時要嚴格按照力的圖示作圖，用毫米刻度尺測量線段的長度．解析法求合力時，僅作出力的示意圖即可，關鍵是用勾股定理或余弦定理計算，兩種方法都離不開力的平行四邊形定則．
例2 AC　
[本題中選O點為研究對象，它受三個力作用處于靜止狀態．
解法一　力的作用效果分解法
繩子OC的拉力FC等于重物的重力G.將FC沿AO和BO方向分解，兩個分力分別為FA、FB，如圖甲所示．可得＝tan θ，＝cos θ
FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正確．
解法二　正交分解法
結點O受到三個力FA、FB、FC作用，如圖乙所示．
在水平方向和豎直方向分解FB，列方程得
FBcos θ＝FC＝G，FBsin θ＝FA，
可解得FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正確．
解法三　力的合成法
結點O受到三個力FA、FB、FC作用，如圖丙所示，其中FA、FB的合力與FC等大反向，即F合＝FC＝G，則：＝tan θ，＝cos θ
解得：FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正確．]
[規范思維]　力的合成法、力的作用效果分解法、正交分解法都是常見的解題方法，一般情況下，物體只受三個力的情形下，力的合成法、作用效果分解法解題較為簡單，在三角形中找幾何關系，利用幾何關系或三角形相似求解；而物體受三個以上力的情況多用正交分解法，但也要視題目具體情況而定．
例3 N≤F≤ N
解析　作出物體A的受力分析圖如右圖所示，由平衡條件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0①
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0②
由①式得F＝－F1③
由②③式得F＝＋④
要使兩繩都伸直，則有F1≥0，F2≥0
所以由③式得Fmax＝＝ N
由④式得Fmin＝＝ N
綜合得F的取值范圍為 N≤F≤ N.
[規范思維]　①本題中物體受多個力的作用而保持平衡狀態，其合力為零．求多個力的合力要用正交分解法．②本題求F的大小范圍，實質上需找到使b繩和c繩都伸直的臨界值，也就是保證兩繩的拉力都大于或者等于零．
[針對訓練]
1．C　2.A　3.D　4.D
1．C　2.B　3.C　4.C　5.AB　6.BC
7. B
[物體受重力和拉力F沿ON方向運動，即合力方向沿ON方向，據力的合成法則作圖，如右圖所示．
由圖可知當F垂直于ON時有最小值，即F＝mgsin θ，故B正確．]
8．D　[設大腿骨和小腿骨的作用力分別為F1、F2，則F1＝F2
由力的平行四邊形定則易知F2cos＝，對F2進行分解有F2y＝F2sin
解得F2y＝tan＝，D選項正確．]
9．不同意，理由見解析　mg mgcos α－mgsin β
解析　不同意．平行于斜面的皮帶對圓柱體也有力的作用，其受力如圖所示．
①式應改為：Fcos β＋F＝mgsin α③
由③得F＝mg④
將④代入②，解得
FN＝mgcos α－Fsin β＝mgcos α－mgsin β.
10.l
解析　如右圖所示，以與滑輪接觸的那一小段繩子為研究對象，在任何一個平衡位置都在滑輪對它的壓力(大小為G)和繩的拉力F1、F2共同作用下靜止．而同一根繩子上的拉力大小F1、F2總是相等的，它們的合力FT是重力G的平衡力，方向豎直向上．因此以F1、F2為分力作力的合成的平行四邊形一定是菱形．利用菱形對角線互相垂直平分的性質，結合相似三角形知識可得∶＝∶F1，因為繩能承受的最大拉力是2G，所以d最大時F1＝F2＝2G，此時∶＝∶4，所以d最大為l.
易錯點評
1．合力可以大于分力，也可以小于分力．
2．對于桿所施加的力，要注意區分活動桿和固定桿，活動桿施加的力一定沿桿；固定桿施加的力可以不沿桿．
3．對于繩所提供的力，要注意區分有無結點．有結點時，結點兩側繩提供的力一般不等；無結點時，繩提供的力大小一定相等．
4．若物體受三個力，其中一個力大小、方向一定，另一個力方向一定，第三個力大小、方向變化時，一般用圖解法分析三力的變化．用此法時關鍵是要正確畫出變化中的矢量三角形．

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