資源簡介

學案17 平拋運動
一、概念規律題組
1．關于平拋運動的說法正確的是(　　)
A．平拋運動是勻變速曲線運動
B．平拋物體在t時刻速度的方向與t時間內位移的方向相同
C．平拋物體在空中運動的時間隨初速度增大而增大
D．若平拋物體運動的時間足夠長，則速度方向將會豎直向下
2．關于物體的平拋運動，下列說法正確的是(　　)
A．由于物體受力的大小和方向不變，因此平拋運動是勻變速運動
B．由于物體速度的方向不斷變化，因此平拋運動不是勻變速運動
C．物體的運動時間只由拋出時的初速度決定，與高度無關
D．平拋運動的水平距離由拋出時的初速度決定，與高度無關
3．一個物體以初速度v0水平拋出，經過時間t其豎直方向速度大小與v0大小相等，那么t為(　　)
A. B. C. D.
4．初速度為v0的平拋物體，某時刻物體的水平分位移與豎直分位移大小相等，下列說法錯誤的是(　　)
A．該時刻物體的水平分速度與豎直分速度相等
B．該時刻物體的速率等于v0
C．物體運動的時間為
D．該時刻物體位移大小等于
二、思想方法題組
5．以下對平拋運動的認識，說法不正確的是(　　)
A．在同一位置水平拋出的物體，初速度越大者著地前在空中運動的時間越長
B．以同一初速度拋出的物體，拋出點越高者落地速度越大
C．在任意兩個連續相等時間內，豎直方向位移之差恒相等
D．在任意兩個相等的時間內，速度的變化量恒相等
6．從傾角為α的斜面上同一點，以大小不等的初速度v1和v2(v1>v2)沿水平方向拋出兩個小球，兩個小球落到斜面上的瞬時速度方向與斜面的夾角分別為β1和β2，則(　　)
A．β1>β2 B．β1<β2 C．β1＝β2 D．無法確定
一、平拋運動物體的運動
1．求以下三種情況下平拋運動的時間(如圖1所示)
圖1
ta＝　　tb＝　　tc＝
總結：(1)平拋運動的時間取決于
(a)：物體下落的高度
(b)：初速度v0及斜面傾角
(c)：拋點到豎直墻的距離及v0
(2)(a)中的水平位移x＝v0·，取決于v0和下落高度h.
2．速度的變化規律
(1)任意時刻的速度水平分量均等于初速度v0.
(2)任意相等時間間隔Δt內的速度變化量方向豎直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt.
3．位移變化規律
(1)任意相等時間間隔Δt內的水平位移不變，即Δx＝v0Δt.
(2)連續相等的時間間隔Δt內，豎直方向上的位移差不變，即Δy＝gΔt2.
4．平拋運動的兩個重要推論
推論Ⅰ：做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻任一位置處，設其末速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ.
圖2
證明：如圖2所示，由平拋運動規律得：tan α＝＝
tan θ＝＝＝
所以tan α＝2tan θ
推論Ⅱ：做平拋(或類平拋)運動的物體，任意時刻的瞬時速度方向的反向延長線一定通過此時水平位移的中點．
證明：如圖2所示，設平拋物體的初速度為v0，從原點O運動到A點的時間為t，A點坐標為(x，y)，B點坐標為(x′，0)．則
x＝v0t，y＝gt2，vy＝gt，
又tan α＝＝，解得x′＝.
即末狀態速度方向的反向延長線與x軸的交點必為此時水平位移的中點．
圖3
【例1】如圖3所示，一物體自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上．物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角φ滿足(　　)
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
[規范思維]
　
　
　
　
圖4
[針對訓練1]　如圖4，跳臺滑雪運動員經過一段加速滑行后從O點水平飛出，經3.0 s落到斜坡上的A點．已知O點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角θ＝37°，運動員的質量m＝50 kg.不計空氣阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)求：
(1)A點與O點的距離L；
(2)運動員離開O點時的速度大小；
圖5
【例2】一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖5中虛線所示．小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為(　　)
A．tan θ B．2tan θ C. D.
[規范思維]
　
　
圖6
[針對訓練2]　如圖6所示，以v0＝10 m/s的速度水平拋出的小球，飛行一段時間垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上，按g＝10 m/s2考慮，以下結論中不正確的是(　　)
A．物體飛行時間是 s
B．物體撞擊斜面時的速度大小為20 m/s
C．物體飛行的時間是2 s
D．物體下降的距離是10m
圖7
【例3】拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動．現討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力．(設重力加速度為g)
(1)若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度v1水平發出，落在球臺的P1點(如圖7中實線所示)，求P1點距O點的距離x1.
(2)若球在O點正上方以速度v2水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺的P2點(如圖中虛線所示)，求v2的大小．
(3)若球在O點正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3處，求發球點距O點的高度h3.
[規范思維]
　
　
　
二、類平拋運動物體的運動
1．類平拋運動的受力特點
物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直．
2．類平拋運動的運動特點
在初速度v0方向做勻速直線運動，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝.
3．類平拋運動的求解方法
(1)常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的勻加速直線運動，兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性．
(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向上列方程求解．
圖8
【例4】 在光滑的水平面內，一質量m＝1 kg的質點以速度v0＝10 m/s沿x軸正方向運動，經過原點后受一沿豎直向上(沿y軸正向)的恒力F＝15 N作用，直線OA與x軸成α＝37 ，如圖8所示曲線為質點的軌跡圖(g取10 m/s2，sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8)．求：
(1)如果質點的運動軌跡與直線OA相交于P點，質點從O點到P點所經歷的時間以及P點的坐標；
(2)質點經過P點的速度大小．
[規范思維]
　
　
　
　
【基礎演練】
1．如圖9所示，將兩個質量相等的小鋼球從斜面的同一高度處由靜止同時釋放，滑道2與光滑水平板吻接，則將觀察到的現象是A、B兩個小球在水平面上相遇，改變釋放點的高度和上面滑道對地的高度，重復實驗，A、B兩球仍會在水平面上相遇，這說明(　　)
圖9
A．平拋運動在水平方向的運動是勻速直線運動
B．平拋運動在豎直方向的運動是自由落體運動
C．A球在下落過程中機械能守恒
D．A、B球的速度任意時刻都相同
2．在平坦的壘球運動場上，擊球手揮動球棒將壘球水平擊出，壘球飛行一段時間后落地．若不計空氣阻力，則(　　)
A．壘球落地時瞬時速度的大小僅由初速度決定
B．壘球落地時瞬時速度的方向僅由擊球點離地面的高度決定
C．壘球在空中運動的水平位移僅由初速度決定
D．壘球在空中運動的時間僅由擊球點離地面的高度決定
3．某同學對著墻壁練習打網球，假定球在墻面上以25 m/s的速度沿水平方向反彈．落地點到墻面的距離在10 m至15 m之間．忽略空氣阻力，取g＝10 m/s2.球在墻面上反彈點的高度范圍是(　　)
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
4．飛機在水平地面上空的某一高度水平勻速飛行，每隔相等時間投放一個物體．如果以第一個物體a的落地點為坐標原點、飛機飛行方向為橫坐標的正方向，在豎直平面內建立直角坐標系．如下圖所示是第5個物體e離開飛機時，拋出的5個物體(a、b、c、d、e)在空間位置的示意圖，其中不可能的是(　　)
圖10
5．甲、乙兩球位于同一豎直線上的不同位置，甲比乙高h，如圖10所示，將甲、乙兩球分別以v1、v2的速度沿同一水平方向拋出，不計空氣阻力，下列條件中可以使乙球擊中甲球的是(　　)
A．同時拋出，且v1B．甲比乙后拋出，且v1>v2
C．甲比乙早拋出，且v1>v2
D．甲比乙早拋出，且v1圖11
6．如圖11所示，高為h＝1.25 m的平臺上，覆蓋一層薄冰，現有一質量為60 kg的滑雪愛好者，以一定的初速度v向平臺邊緣滑去，著地時的速度方向與水平地面間的夾角為45 (取重力加速度g＝10 m/s2)．由此可知不正確的是(　　)
A．滑雪者離開平臺邊緣時的速度大小是5.0 m/s
B．滑雪者著地點到平臺邊緣的水平距離是2.5 m
C．滑雪者在空中運動的時間為0.5 s
D．滑雪者著地時的速度大小為5m/s
圖12
7．如圖12所示，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經過時間ta恰好落在斜面底端P處；今在P點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經過時間tb恰好落在斜面的中點處．若不計空氣阻力，下列關系式正確的是(　　)
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝2tb
【能力提升】
8．隨著人們生活水平的提高，高爾夫球將逐漸成為普通人的休閑娛樂．如圖13所示，某人從高出水平地面h的坡上水平擊出一個質量為m的高爾夫球．由于恒定的水平風力的作用，高爾夫球豎直地落入距擊球點水平距離為L的A穴．則下列判斷中錯誤的是(　　)
圖13
A．球被擊出后做平拋運動
B．該球從被擊出到落入A穴所用的時間為
C．球被擊出時的初速度大小為L
D．球被擊出后受到的水平風力的大小為mgL/h
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
圖14
9．如圖14所示，一小球從平臺上水平拋出，恰好落在臺的一傾角為α＝53°的光滑斜面頂端，并剛好沿光滑斜面下滑，已知斜面頂端與平臺的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，則：
(1)小球水平拋出的初速度v0是多大？
(2)斜面頂端與平臺邊緣的水平距離x是多少？
(3)若斜面頂端高H＝20.8 m，則小球離開平臺后經多長時間t到達斜面底端？
10．如圖15所示，
圖15
在距地面80 m高的水平面上做勻加速直線運動的飛機上每隔1 s依次放下a、b、c三物體，拋出點a、b與b、c間距分別為45 m和55 m，分別落在水平地面上的A、B、C處．求：
(1)飛機飛行的加速度；
(2)剛放下b物體時飛機的速度大小；
(3)b、c兩物體落地點BC間的距離．
學案17　平拋運動
1．A
2．AD　[平拋運動是a＝g的勻變速曲線運動，t＝與h、g有關．]
3．A　[v0＝vy＝gt，t＝]
4．A　[x＝v0t y＝gt2 由x＝y得t＝ vy＝gt＝2v0
vt＝＝v0，s＝x＝ 故B、C、D結果正確．]
5．BCD
6．C
[如右圖所示，設落點分別為A、B，則位移分別為OA、OB，這兩個位移同方向，因此位移角均為φ，vA與vB的速度角分別為圖中的θ1和θ2，由tan θ1＝2tan φ和tan θ2＝2tan φ可得θ1＝θ2，因此vA與vB這兩個速度方向平行，所以β1＝β2.]
思維提升
1．平拋運動的條件是①只受重力作用；②初速度不為0，且方向水平．
2．平拋運動的性質是勻變速曲線運動．
3．平拋運動的研究方法是運動的分解，即平拋運動是水平方向的勻速直線運動與豎直方向的自由落體運動的合運動．
4．平拋運動中速度偏角θ與位移偏角α之間的關系是tan θ＝2tan α，要記住這一重要推論．
例1 D　[本題考查平拋運動的有關知識，本題為中等難度題目．由平拋運動知識可得：對速度分解有tan φ＝＝，對位移分解有tan θ＝＝＝，所以有：tan φ＝2tan θ.]
[規范思維]　本題考查平拋運動的基本處理方法，也考查了斜面的制約關系．平拋物體落在斜面上，就確定了水平位移和豎直位移的幾何關系，即tan θ＝(此式可稱為斜面的制約方程)．此外利用推論解題很便捷．本題的結果實際上是平拋運動的一個重要推論tan φ＝2tan θ.
例2 D　[設小球的初速度為v0，飛行時間為t.由速度三角形可得＝tan θ.故有＝＝，答案為D.]
[規范思維]　本題中，斜面制約的是速度方向．物體垂直落在斜面上，就確定了速度方向．
例3 (1)v1　(2) 　(3)h
解析　(1)設發球時飛行時間為t1，根據平拋運動規律
h1＝gt①
x1＝v1t1②
聯立以上兩式，解得x1＝v1·③
(2)設發球高度為h2，飛行時間為t2，根據平拋運動規律
h2＝gt④
x2＝v2t2⑤
乒乓球反彈前后水平分速度不變，最大高度不變
故h2＝h⑥
2x2＝L⑦
聯立④⑤⑥⑦式，得v2＝ ⑧
(3)如下圖所示，發球高度為h3，飛行時間為t3，根據平拋運動得h3＝gt⑨
x3＝v3t3⑩
且3x3＝2L
設球從恰好越過球網到最高點的時間為t，水平距離為x，有
h3－h＝gt2
x＝v3t
由幾何關系知x3＋x＝L
聯立⑨～ 式，解得h3＝h
[規范思維]　本題以乒乓球發球為背景，考查學生讀題、審題及挖掘信息的能力、建模能力．問題設置有臺階、有鋪墊，難度逐漸增加：第(1)問已知平拋的豎直高度和初速度求水平位移，難度較小；第(2)問認識到發球的對稱性才可解答；第(3)問不僅能從對稱性分析，還要恰當列式，熟練推導．
例4 (1)3 s　(30 m,22.5 m)　(2)5 m/s
解析　(1)質點在水平方向上不受外力作用做勻速直線運動，豎直方向上受恒力F和重力mg作用做勻加速直線運動．由牛頓第二定律得a＝＝ m/s2＝5 m/s2
設質點從O點到P點經歷的時間為t，P點坐標為(xP，yP)，則xP＝v0t，yP＝at2
又tan α＝ 聯立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m
(2)質點經過P點時沿y方向的速度 vy＝at＝15 m/s
故P點的速度大小vP＝＝5 m/s
[規范思維]　類平拋運動是指物體受恒力作用且恒力方向與初速度方向垂直的運動，其運動規律與平拋運動的規律相同，處理方法與平拋運動問題的處理方法亦相同，但需注意的是不一定按豎直方向和水平方向進行分解，而是按初速度方向和合外力方向來分解．
[針對訓練]
1．(1)75 m　(2)20 m/s
解析 (1)運動員在豎直方向做自由落體運動，有Lsin 37°＝gt2
A點與O點的距離L＝＝75 m
(2)設運動員離開O點時的速度大小為v0，運動員在水平方向做勻速直線運動，
即Lcos 37°＝v0t 解得v0＝＝20 m/s
2．AB　[考查平拋運動．豎直方向的速度vy＝＝10 m/s，運動時間t＝＝ s＝ s，A正確，C錯誤；合速度大小v＝＝20 m/s，B正確；物體下落的豎直距離y＝gt2＝15 m，D錯誤．]
1．A　2.D　3.A
4．ACD　[本題考查平拋運動的特點．物體被拋出時的水平速度相同，如果第一個物體a剛好落地，那么其它幾個物體在豎直方向應該排成一排，所以A對；如果先投出的物體已經落地，相鄰物體的水平距離應該相等，沒有落地的在豎直方向仍排成一排，所以B錯誤，C、D正確．]
5．ABC　[要使乙球擊中甲球，則由豎直方向分運動的空間關系h1>h2及豎直方向分運動規律h＝gt2可確定時間關系t1>t2，即甲球要早拋出；由水平方向分運動的空間關系x1＝x2及時間關系，根據x＝vt可確定速度關系v16．ABCD　[滑雪者做平拋運動的時間t＝ ＝0.5 s，落地時的豎直速度vy＝gt＝5.0 m/s，因著地速度與水平方向的夾角為45 ，由vcos 45 ＝v0，vsin 45 ＝vy，可得滑雪者離開平臺的水平速度v0＝5.0 m/s，著地的速度大小為v＝5 m/s，平拋過程的水平距離為x＝v0t＝2.5 m，故A、B、C、D均正確．]
7．BD　[做平拋運動的物體運動時間由豎直方向的高度決定t＝ ，a物體下落的高度是b的2倍，有ta＝tb，C錯誤，D正確；水平方向的距離由高度和初速度決定x＝v0，由題意得a的水平位移是b的2倍，可知va＝vb，A錯誤，B正確．]
8．BC　[由于受到恒定的水平風力的作用，球被擊出后在水平方向做勻減速運動，A錯誤；由h＝gt2得球從被擊出到落入A穴所用的時間t＝ ，B正確；由題述高爾夫球豎直地落入A穴可知球水平末速度為零，小球在水平方向做勻減速運動，由L＝v0t/2得球被擊出時的初速度大小為v0＝L ，C正確；由v0＝at得球的水平方向加速度大小a＝gL/h，球被擊出后受到的水平風力的大小為F＝ma＝mgL/h，D錯誤．]
9．(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)2.4 s
解析　(1)由題意可知，小球落到斜面上并沿斜面下滑，說明此時小球速度方向與斜面平行，否則小球會彈起，
所以vy＝v0tan 53°，v＝2gh，
則vy＝4 m/s，v0＝3 m/s.
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m
(3)小球沿斜面做勻加速直線運動的加速度a＝gsin 53°，初速度v＝5 m/s.則
＝vt2＋at，解得t2＝2 s(或t2＝－ s不合題意舍去)，所以t＝t1＋t2＝2.4 s.
10．(1)10 m/s2　(2)50 m/s　(3)95 m
解析　(1)飛機在水平方向上由a經b到c做勻加速直線運動且tab＝tbc＝T＝1 s，由Δx＝aT2得，a＝＝＝10 m/s2.
(2)因位置b對應a到c過程的中間時刻，故有vb＝＝50 m/s.
(3)設物體從被拋出到落地所用時間為t，由h＝gt2得：t＝ ＝4 s，BC間距離為：xBC＝xbc＋vct－vbt，
又vc－vb＝aT，得：xBC＝xbc＋aTt＝95 m.
易錯點評
1．平拋運動中，在任意相等時間內的速度變化量都相等，且方向豎直向下，即Δv＝gΔt.
2．平拋運動的物體在空中的飛行時間僅決定于下落的高度，與初速度的大小無關，即t＝.
3．平拋運動與斜面結合的問題，常常用斜面傾角的正切與平拋物體水平位移、豎直位移之間的關系來處理．
4．類平拋運動的處理方法與平拋運動完全一樣，只是加速度不再是g，而應先根據牛頓第二定律求出加速度a，然后用平拋運動的處理方法來解決．

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