資源簡介

學案18 圓周運動
一、概念規律題組
1．下列說法正確的是(　　)
A．勻速圓周運動是一種勻速運動
B．勻速圓周運動是一種勻變速運動
C．勻速圓周運動是一種變加速運動
D．做勻速圓周運動的物體所受合外力為零
2．下列關于勻速圓周運動中向心加速度的說法，正確的是(　　)
A．向心加速度越大，物體速率變化越快
B．向心加速度越大，物體速度變化越快
C．向心加速度越大，物體速度方向變化越快
D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量
3．一小球被細繩拴著，在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，向心加速度為a，那么下列說法錯誤的是(　　)
A．小球運動的角速度ω＝
B．小球在時間t內通過的路程為s＝t
C．小球做勻速圓周運動的周期T＝
D．小球在時間t內可能發生的最大位移為2R
圖1
4．如圖1所示，甲、乙、丙三個輪子依靠摩擦傳動，相互之間不打滑，其半徑分別為r1、r2、r3.若甲輪的角速度為ω1，則丙輪的角速度為(　　)
A. B.
C. D.
二、思想方法題組
5．如圖2所示，小物塊A與圓盤保持相對靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運動．則下列關于A的受力情況的說法中正確的是(　　)
圖2
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和與運動方向相反的摩擦力
C．受重力、支持力、摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和指向圓心的摩擦力
6．狗拉著雪撬在水平冰面上沿著圓弧形的道路勻速行駛，下圖為四個關于雪撬受到的牽引力F及摩擦力Ff的示意圖(O為圓心)，其中正確的是(　　)
一、圓周運動的運動學分析
1．勻速圓周運動
(1)特點：線速度的大小不變，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不變的．
(2)性質：是線速度大小不變而方向時刻變化的變速曲線運動，是加速度大小不變而方向時刻改變的變加速曲線運動．
(3)向心加速度和向心力：僅存在向心加速度．向心力就是做勻速圓周運動的物體所受外力的合力．
(4)質點做勻速圓周運動的條件：合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
2．傳動裝置特點
(1)同軸傳動：固定在一起共軸轉動的物體上各點角速度相同．
(2)皮帶傳動：不打滑的摩擦傳動和皮帶(或齒輪)傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等．
(3)在討論v、ω、r三者關系時，應采用控制變量法，即保持其中一個量不變來討論另外兩個量的關系．
【例1】如圖3所示為某一皮帶傳動裝置．主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉動，轉速為n，轉動過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是(　　)
圖3
A.從動輪做順時針轉動 B.從動輪做逆時針轉動
C.從動輪的轉速為n D.從動輪的轉速為n
[規范思維]
　
　
　
圖4
[針對訓練1]　如圖4所示，輪O1、O3固定在同一轉軸上，輪O1、O2用皮帶連接且不打滑．在O1、O2、O3三個輪的邊緣各取一點A、B、C，已知三個輪的半徑比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三點的線速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三點的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三點的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
二、圓周運動中的動力學問題分析
1．向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力．
2．分析下列各情景中的向心力來源
圖形 向心力來源
衛星繞地球做勻速圓周運動 引力
繩拉球在光滑水平面上做勻速圓周運動 拉力(或彈力)
衣服在筒內壁上做勻速圓周運動 壁對衣服的彈力
物體做圓錐擺運動 拉力和重力的合力
汽車通過拱形橋時 重力和支持力的合力　
3.圓周運動的分析思路
(1)圓周可看成是牛頓第二定律應用的進一步延伸．將牛頓第二定律F＝ma應用于圓周運動，F就是向心力，a就是向心加速度，即得：F＝man＝m＝mω2R＝mR
(2)基本思路
①明確研究對象．
②分析運動情況：即做什么性質的圓周運動(勻速圓周運動？變速圓周運動？)；確定軌道所在的平面和圓心位置，從而確定向心力的方向．
③分析受力情況(注意不要把向心力作為某一性質的力進行分析)，在向心方向求合外力(即選定向心方向為正方向)．
④由牛頓第二定律列方程，根據已知量和要求量選擇合適的向心加速度公式．
⑤求解或進行必要的討論．
圖5
【例2】如圖5所示，物塊P置于水平轉盤上隨轉盤一起運動，圖中c沿半徑指向圓心，a與c垂直，下列說法正確的是(　　)
A．當轉盤勻速轉動時，P受摩擦力方向為b方向
B．當轉盤加速轉動時，P受摩擦力方向可能為a方向
C．當轉盤加速轉動時，P受摩擦力方向可能為c方向
D．當轉盤減速轉動時，P受摩擦力方向可能為d方向
[規范思維]
　
　
　
圖6
【例3】 如圖6所示，在光滑的水平面上有兩個質量相同的球A和球B，A、B之間以及B球與固定點O之間分別用兩段輕繩相連并以相同的角速度繞著O點做勻速圓周運動，如果OB＝2AB，則繩OB與繩BA的張力之比為(　　)
A．2∶1 B．3∶2 C．5∶3 D．5∶2
[規范思維]
　
　
　
　
　
[針對訓練2]　美國空軍“雷鳥”飛行表演隊在泰國首都曼谷進行了精彩的飛行表演．飛行員駕機在豎直平面內做圓環特技飛行，若圓環半徑為1 000 m，飛行速度為100 m/s，求飛行在最高點和最低點時飛行員對座椅的壓力是自身重力的多少倍．(g＝10 m/s2)
【基礎演練】
圖7
1．如圖7所示，物塊在水平圓盤上，與圓盤一起繞固定軸勻速轉動，下列說法中正確的是(　　)
A．物塊處于平衡狀態
B．物塊受三個力作用
C．在角速度一定時，物塊到轉軸的距離越遠，物塊越不容易脫離圓盤
D．在物塊到轉軸距離一定時，物塊運動周期越小，越不容易脫離圓盤
圖8
2．如圖8所示是一個玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三個點．當陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩定旋轉時，下列表述正確的是(　　)
A．a、b和c三點的線速度大小相等
B．a、b和c三點的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的線速度比a、b的大
圖9
3．如圖9所示，某同學用硬塑料管和一個質量為m的鐵質螺絲帽研究勻速圓周運動，將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并在水平方向做半徑為r的勻速圓周運動，則只要運動角速度合適，螺絲帽恰好不下滑，假設螺絲帽與塑料管間的動摩擦因數為μ，認為最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．則在該同學手轉塑料管使螺絲帽恰好不下滑時，下列分析正確的是(　　)
A．螺絲帽的重力與其受到的最大靜摩擦力平衡
B．螺絲帽受到塑料管的彈力方向水平向外，背離圓心
C．此時手轉動塑料管的角速度ω＝
D．若塑料管的轉動加快，螺絲帽有可能相對塑料管發生運動
圖10
4．甲、乙兩名溜冰運動員，面對面拉著彈簧測力計做圓周運動，如圖10所示．已知M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，兩人相距0.9 m，彈簧測力計的示數為96 N，下列判斷中正確的是(　　)
A．兩人的線速度相同，約為40 m/s
B．兩人的角速度相同，約為2 rad/s
C．兩人的運動半徑相同，都是0.45 m
D．兩人的運動半徑不同，甲為0.3m，乙為0.6m
5．如圖11所示，兩個嚙合齒輪，小齒輪半徑為10 cm，大齒輪半徑為20 cm，大齒輪中C點離圓心O2的距離為10 cm，A、B分別為兩個齒輪邊緣上的點，則A、B、C三點的(　　)
圖11
A．線速度之比為1∶1∶1
B．角速度之比為1∶1∶1
C．向心加速度之比為4∶2∶1
D．轉動周期之比為2∶1∶1
6.如圖12所示，放置在水平地面上的支架質量為M，支架頂端用細線拴著的擺球質量為m，現將擺球拉至水平位置，而后釋放，擺球運動過程中，支架始終不動，以下說法正確的是(　　)
圖12
A．在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為(m＋M)g
B．在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為Mg
C．擺球到達最低點時，支架對地面的壓力為(m＋M)g
D．擺球到達最低點時，支架對地面的壓力為(3m＋M)g
【能力提升】
7．如圖13所示，在驗證向心力公式的實驗中，質量相同的鋼球①放在A盤的邊緣，鋼球②放在B盤的邊緣，A、B兩盤的半徑之比為2∶1.a、b分別是與A盤、B盤同軸的輪，a輪、b輪半徑之比為1∶2.當a、b兩輪在同一皮帶帶動下勻速轉動時，鋼球①、②受到的向心力之比為(　　)
圖13
A．2∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．8∶1
圖14
8．質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質木架上的A點和C點，如圖14所示，當輕桿木架繞軸BC以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，繩a在豎直方向，繩b在水平方向，當小球運動到圖示位置時，繩b被燒斷的同時木架停止轉動，則下列說法中錯誤的是(　　)
A．小球仍在水平面內做勻速圓周運動
B．在繩b被燒斷瞬間，繩a中張力突然增大
C．若角速度ω較小，小球在垂直于平面ABC的豎直平面內擺動
D．若角速度ω較大，小球可在垂直于平面ABC的豎直平面內做圓周運動
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
圖15
9．如圖15所示，細繩一端系著質量m＝0.1 kg的小物塊A，置于光滑水平臺面上；另一端通過光滑小孔O與質量M＝0.5 kg的物塊B相連，B靜止于水平地面上．當A以O為圓心做半徑r＝0.2 m的勻速圓周運動時，地面對B的支持力FN＝3.0 N，求物塊A的速度和角速度的大小．(g＝10 m/s2)
圖16
10．如圖16所示，一根長0.1 m的細線，一端系著一個質量為0.18 kg的小球，拉住線的另一端，使球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運動，使小球的轉速很緩慢地增加，當小球的轉速增加到開始時轉速的3倍時，細線斷開，線斷開前的瞬間，線受到的拉力比開始時大40 N，求：
(1)線斷開前的瞬間，線受到的拉力大小；
(2)線斷開的瞬間，小球運動的線速度大小；
(3)如果小球離開桌面時，速度方向與桌邊線的夾角為60°，桌面高出地面0.8 m，求：小球飛出后的落地點距桌邊線的水平距離．
學案18　圓周運動
1．C
2．C　[向心加速度是描述速度方向變化快慢的物理量．]
3．ABD　[由a＝ω2R得ω＝
t時間內的路程s＝vt＝ωRt＝t
T＝＝2π，故知A、B、D正確．]
4．A　[連接輪之間可能有兩種類型，即皮帶輪或齒輪相互傳動和同軸輪傳動(各個輪子的軸是焊接的)，本題屬于齒輪，同軸輪的特點是角速度相同，皮帶輪的特點是各個輪邊緣的線速度大小相同，即v1＝ω1r1＝v2＝ω2r2＝v3＝ω3r3，顯然A選項正確．]
5．D
6．C　[摩擦力的方向沿切線，F和Ff的合力充當向心力．]
思維提升
1．注意區分勻速直線運動與勻速圓周運動的不同．勻速直線運動是平衡態，加速度為零，所受合力為零；勻速圓周運動是非平衡態，速度方向在變化，一定有加速度，也一定受力的作用．
2．向心力是效果力，是物體實際所受性質力的分力或合力，在分析物體所受力的個數時，不應分析向心力．
例1 BC　[因為主動輪順時針轉動，從動輪通過皮帶的摩擦力帶動而轉動，所以從動輪做逆時針轉動；由于通過皮帶傳動且轉動過程中皮帶不打滑，皮帶與輪邊緣的線速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2得，從動輪的轉速為n2＝.答案為B、C.]
[規范思維]　分析傳動問題要抓住關鍵的兩點：
(1)同一輪軸上的各點角速度相同；(2)皮帶不打滑(或齒輪傳動)時，輪邊緣各點的線速度大小相同．這兩點抓住了，然后再根據描述圓周運動的各物理量之間的關系就不難得出正確的結論．
例2 BD　[圓周運動，向心方向一定受力．勻速圓周運動，切向方向不受力；變速圓周運動，切向方向一定受力．加速沿a方向，減速沿a反方向．摩擦力即為向心方向和切向方向這兩個方向上受到的力的合力．由此可判斷B、D正確．]
[規范思維]　(1)首先確定物體做什么性質的圓周運動：勻速圓周運動，合外力指向圓心；非勻速圓周運動，合外力有兩個分力：沿半徑指向圓心方向的合外力提供向心力，改變物體的速度方向；沿切線方向的分力產生切向加速度，改變速度的大小．(2)再根據合加速度的方向判斷靜摩擦力的方向．
例3 C　[設AB段長為l，分別對A、B受力分析如圖所示
由牛頓第二定律得
FOB－FAB＝m·2lω2①
FBA＝m·3lω2②
由牛頓第三定律知FAB與FBA大小相等
聯立①②解得：FOB＝5mlω2，FAB＝3mlω2]
[規范思維]　通過此題進一步強化應用牛頓第二定律解題的思路：明確研究對象；隔離物體進行受力分析；明確圓心及半徑；應用牛頓第二定律列方程．正確的進行受力分析仍是解題的關鍵．
[針對訓練]
1．(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1
解析　(1)令vA＝v，由于轉動時不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，當角速度一定時，線速度跟半徑成正比，故vc＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于共軸轉動，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，當線速度一定時，角速度跟半徑成反比，故ωB＝2ω.所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A點向心加速度為aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，當線速度一定時，向心加速度跟半徑成反比，所以aB＝2a.又因為ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，當角速度一定時，向心加速度跟半徑成正比，故aC＝a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
2．見解析
解析　如右圖所示，飛至最低點時飛行員受向下的重力mg和向上的支持力FN1，合力提供向心力即Fn1＝FN1－mg；在最高點時，飛行員受向下的重力mg和向下的壓力FN2，合力提供向心力即Fn2＝FN2＋mg.兩個向心力大小相等且Fn＝Fn1＝Fn2＝
在最低點：FN1－mg＝，則FN1＝＋mg
解得：＝＋1＝2
在最高點：FN2＋mg＝，則FN2＝－mg
解得：＝－1＝0
即飛機飛至最低點時，飛行員對座椅的壓力是自身重力的兩倍，飛至最高點時，飛行員對座椅無壓力．
1．B　[對物塊進行受力分析可知，物塊受豎直向下的重力、垂直圓盤向上的支持力及指向圓心的摩擦力共三個力作用，合力提供向心力，A錯，B正確．根據向心力公式F＝mrω2可知，當ω一定時，半徑越大，所需的向心力越大，物塊越容易脫離圓盤；根據向心力公式F＝mr()2可知，當物塊到轉軸距離一定時，周期越小，所需向心力越大，物塊越容易脫離圓盤，C、D錯誤．]
2．B　[由于a、b和c三點是陀螺上的三個點，所以當陀螺轉動時，三個點的角速度相同，選項B正確，C錯誤；根據v＝ωr，由于a、b、c三點的半徑不同，ra＝rb>rc，所以有va＝vb>vc，選項A、D均錯誤．]
3．A　[由于螺絲帽做圓周運動過程中恰好不下滑，則豎直方向上重力與最大靜摩擦力平衡，塑料管對螺絲帽的彈力提供其做勻速圓周運動的向心力，故選項A正確，B錯誤；mg＝Ff＝μFN，FN＝mrω2，ω＝ ，故C錯誤；無論塑料管的轉動速度增大多少，豎直方向上仍然受力平衡，螺絲帽不會發生相對運動，故選項D錯誤．]
4．BD　[兩人旋轉一周的時間相同，故兩人的角速度相同，兩人做圓周運動所需的向心力相同，由F＝mω2r可知，旋轉半徑滿足：r甲∶r乙＝M乙∶M甲＝1∶2，
又r甲＋r乙＝0.9 m
則r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m
兩人的角速度相同，則v甲∶v乙＝1∶2
由F＝M甲ω2r甲可得ω＝2 rad/s.故選項B、D正確．]
5．C　[由題意知RB＝2RA＝2RC，而vA＝vB，即ωARA＝ωBRB，ωA∶ωB＝RB∶RA＝2∶1，又有ωB＝ωC，由v＝ω·R，知vB＝2vC，故A、B、C三點線速度之比為2∶2∶1，角速度之比為2∶1∶1，因T＝，故周期之比為1∶2∶2，由a＝ω2R，可知向心加速度之比為(22×1)∶(12×2)∶(12×1)＝4∶2∶1，故選C.]
6．BD　[在釋放前的瞬間繩拉力為零 對M：FN1＝Mg
當擺球運動到最低點時，由機械能守恒得mgR＝①
由牛頓第二定律得：FT－mg＝②
由①②得繩對小球的拉力FT＝3mg
擺動過程中，支架始終不動，對支架M由受力平衡，地面支持力FN＝Mg＋3mg
由牛頓第三定律知，支架對地面的壓力FN2＝3mg＋Mg，故選項B、D正確．]
7．D　[a、b兩輪在同一皮帶帶動下勻速轉動，說明a、b兩輪的線速度相等，即va＝vb，由v＝rω，ra∶rb＝1∶2，知ωa∶ωb＝2∶1，又因a輪與A盤同軸，b輪與B盤同軸，對應的角速度相等，即ωA∶ωB＝2∶1，又rA∶rB＝2∶1，再利用公式a＝rω2，得a1∶a2＝8∶1，D項正確．]
8．BCD　[繩b被燒斷前，豎直方向合力為零，即Fa＝mg，燒斷繩b后，因慣性，球要在豎直面內做圓周運動，且Fa′－mg＝m，所以Fa′>Fa，A錯誤，B正確；當ω足夠小時，小球不能擺過AB所在高度，而是在垂直于平面ABC的豎直平面內來回擺動，C正確；當ω足夠大時，小球在豎直面內能通過AB上方最高點，從而做圓周運動，D正確．]
9．2 m/s　10 rad/s
解析　設細繩的拉力為F，對A：F＝m 對B：F＋FN＝Mg
解得A的速度大小　v＝2 m/s A的角速度大小為ω＝＝10 rad/s
10．(1)45 N　(2)5 m/s　(3)1.73 m
解析　(1)線的拉力等于向心力，設開始時角速度為ω0，轉速為n0，向心力是F0，線斷開前的瞬間，角速度為ω，轉速為n，線的拉力是F.
F0＝mωR①
ω0＝2πn0②
F＝mω2R③
ω＝2πn④
由①②③④得＝＝2＝2＝⑤
又因為F＝F0＋40 N⑥
由⑤⑥得F＝45 N
(2)設線斷開時，小球運動的線速度大小為v
由F＝得，v＝ ＝ m/s＝5 m/s
(3)設桌面高度為h，小球從離開桌面到落地經歷的時間為t.
t＝ ＝0.4 s
則小球飛出后的落地點到桌邊線的水平距離為
l＝v·sin 60°·t＝5××0.4 m＝ m＝1.73 m.
易錯點評
1．在傳動問題中要注意區分軸傳動與帶(或摩擦)傳動兩種情況．軸傳動時，共軸各輪角速度相等；帶(或摩擦)傳動時，各輪邊緣線速度相等．解題中應挖掘出這一隱含條件．
2．勻速圓周運動具有周期性，解題中要特別注意由周期性所引起的多解問題．
3．在變速圓周運動中，合力與合加速度都不指向圓心，向心力與向心加速度只是合力與合加速度的一個分量．
4．對于圓周運動中的臨界問題，找到臨界狀態，列出臨界條件下的平衡方程或牛頓第二定律方程是解題的關鍵．

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