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第五章　機械能守恒定律
學案21 功　功率
一、概念規律題組
1．關于作用力與反作用力做功的關系，下列說法正確的是(　　)
A．當作用力做正功時，反作用力一定做負功
B．當作用力不做功時，反作用力也不做功
C．作用力與反作用力所做的功一定是大小相等、方向相反
D．作用力做正功時，反作用力也可能做正功
2．關于摩擦力對物體做功，以下說法中正確的是(　　)
A．滑動摩擦力總是做負功
B．滑動摩擦力可能做負功，也可能做正功
C．靜摩擦力對物體一定做負功
D．靜摩擦力對物體總是做正功
3．水平恒力F作用在一個物體上，使該物體沿光滑水平面在力的方向上移動距離l，恒力F做的功為W1，功率為P1；再用同樣的水平力F作用在該物體上，使該物體在粗糙的水平面上在力的方向上移動距離l，恒力F做的功為W2，功率為P2，下面選項正確的是(　　)
A．W1P2 B．W1>W2，P1C．W1＝W2，P1>P2 D．W1＝W2，P14．質量為m的木塊放在光滑水平面上，在水平力F作用下從靜止開始運動，則運動時間t時F的功率是(　　)
A. B. C. D.
二、思想方法題組
5．汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發動機功率為P.快進入鬧市區時，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半并保持該功率繼續行駛．下面四個圖象中正確表示了從司機減小油門開始，汽車的速度與時間的關系的是(　　)
6．用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘進d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進入木板的深度是(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
一、正負功的判斷
1．從做功的兩個必要因素判斷力對物體是否做功，即物體是否受到力的作用；物體在力的方向上有無位移．
2．根據功和能的關系判斷力對物體是否做功．即物體的能量是否發生變化：若能量增加，則力對物體做正功；若能量減少，則力對物體做負功．
3．判斷正負功的方法
(1)從力和位移的夾角大小判斷：0≤α<90°，做正功；90°<α≤180°，做負功；α＝90°，不做功．
(2)從力和速度的夾角大小判斷：0≤θ<90°，做正功；90°<θ≤180°，做負功；θ＝90°，不做功．
(3)根據功能關系判斷：物體的能量增加，外力做正功；物體的能量減少，外力做負功．
【例1】一人乘電梯從1樓到20樓，在此過程中經歷了先加速，后勻速，再減速的運動過程，則電梯支持力對人做功情況是(　　)
A．加速時做正功，勻速時不做功，減速時做負功
B．加速時做正功，勻速和減速時做負功
C．加速和勻速時做正功，減速時做負功
D．始終做正功
[規范思維]
　
　
　
【例2】 如圖
圖1
1所示，兩個質量相同的小球A、B固定在一輕桿的兩端，繞一固定轉軸O從水平位置由靜止釋放，當桿到達豎直位置時，設桿對A做功為W1，桿對B做功為W2，則(　　)
A．W1＝0，W2＝0 B．W1>0，W2>0
C．W1>0，W2<0 D．W1<0，W2>0
[規范思維]
　
　
二、功的計算方法
1．恒力做功的計算公式W＝Flcos α.
2．變力做功的計算
(1)用動能定理W＝ΔEk或功能關系W＝ΔE計算
(2)變力做功的功率一定時，用功率和時間計算：W＝Pt.
(3)將變力做功轉化為恒力做功．
3．總功的計算：
(1)先求物體所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每個力做的功，再求各功的代數和．
【例3】一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1 m/s.從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間的變化規律分別如圖2(a)和圖(b)所示．設在第1秒內、第2秒內、第3秒內力F對滑塊做的功分別為W1、W2、W3，則以下關系式正確的是(　　)
圖2
A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W1[規范思維]
　
　
　
【例4】 人
圖3
在A點拉著繩通過一定滑輪吊起質量m＝50 kg的物體，如圖3所示，開始繩與水平方向夾角為60°，人勻速提起重物由A點沿水平方向運動2 m到達B點，此時繩與水平方向成30°角，求人對繩的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
[規范思維]
　
　
　
　
　
　
三、平均功率和瞬時功率的計算
1．在計算中，P＝只能計算平均值，而P＝Fv能計算平均值和瞬時值．
(1)若v是瞬時值，則計算出的功率是瞬時值．
(2)若v是平均值，則計算出的功率是平均值．
2．應用公式P＝Fv時需注意
(1)F與v方向在同一直線上時：P＝Fv.
(2)F與v方向有一夾角α時：P＝Fvcos α.
【例5】
圖4
如圖4所示，一根不可伸長的輕繩兩端各系一個小球a和b，跨在兩根固定在同一高度的光滑水平細桿上，質量為3m的a球置于地面上，質量為m的b球從水平位置靜止釋放，當a球對地面壓力剛好為零時，b球擺過的角度為θ.下列結論正確的是(　　)
A．θ＝60°
B．θ＝45°
C．b球擺動到最低點的過程中，重力對小球做功的功率先增大后減小
D．b球擺動到最低點的過程中，重力對小球做功的功率一直增大
[規范思維]
　
　
　
【例6】
圖5
質量為m的物體靜止在光滑水平面上，從t＝0時刻開始受到水平力的作用．力的大小F 與時間t的關系如圖5所示，力的方向保持不變，則(　　)
A.3t0時刻的瞬時功率為
B.3t0時刻的瞬時功率為
C.在t＝0到3t0這段時間內，水平力的平均功率為
D.在t＝0到3t0這段時間內，水平力的平均功率為
[規范思維]
　
　
　
　
　
四、機車的兩種啟動方式
1．機車的功率表達式P＝Fv中，P是發動機的實際功率，F是牽引力．若功率P不變，則F與v成反比，即v增大，F減小；v減小，F增大．
2．分析機車啟動問題的基本公式是：
F－F阻＝ma
P＝Fv
其中F阻為機車在運動過程中所受的阻力．在不同的運動情景中雖然F阻來源不同，但分析方法和思路是相同的．
3．兩種啟動方式的比較
方式過程 恒定功率啟動 恒定加速度啟動
過程分析 階段一：v↑ F＝↓ a＝↓階段二：F＝F阻 a＝0 P＝F阻·vm 階段一：a＝不變 F不變 v↑ P＝F·v↑，直到P＝P額＝F·vm′階段二：vm′↑ F＝↓ a＝↓階段三：F＝F阻時 a＝0 v達最大值vm＝
運動規律 加速度逐漸減小的變加速直線運動(對應下圖中的OA段) 最后以vm做勻速直線運動 以加速度a做勻加速直線運動(對應下圖中的OA段) 額定功率下的變加速直線運動(對應AB段) 最后以vm做勻速直線運動
v—t圖象
【例7】 一列火車總質量m＝500 t，機車發動機的額定功率P＝6×105 W，在軌道上行駛時，軌道對列車的阻力Ff是車重的0.01倍，求：
(1)火車在水平軌道上行駛的最大速度；
(2)在水平軌道上，發動機以額定功率P工作，當行駛速度為v1＝1 m/s和v2＝10 m/s時，列車的瞬時加速度a1、a2各是多少；
(3)在水平軌道上以36 km/h速度勻速行駛時，發動機的實際功率P′；
(4)若火車從靜止開始，保持0.5 m/s2的加速度做勻加速運動，這一過程維持的最長時間．
【基礎演練】
圖6
1．如圖6所示，用恒力F拉著質量為m的物體沿水平面從A移到B的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．有摩擦力時比無摩擦力時F做的功多
B．有摩擦力時比無摩擦力時F做的功少
C．物體加速運動時F做的功比減速運動時F做的功多
D．物體無論是加速、減速還是勻速，力F做的功一樣多
圖7
2．物體在合外力作用下做直線運動的v－t圖象如圖7所示．下列表述中正確的是(　　)
A．在0～1 s內，合外力做正功
B．在0～2 s內，合外力總是做負功
C．在1 s～2 s內，合外力不做功
D．在0～3 s內，合外力總是做正功
3．如圖8所示是
圖8
一汽車在平直路面上啟動的速度—時間圖象，從t1時刻起汽車的功率保持不變，由圖象可知(　　)
A．0～t1時間內，汽車的牽引力增大，加速度增大，功率不變
B．0～t1時間內，汽車的牽引力不變，加速度不變，功率增大
C．t1～t2時間內，汽車的牽引力減小，加速度不變
D．t1～t2時間內，汽車的牽引力不變，加速度不變
4．一質量為m的物體，同時受幾個力的作用而處于靜止狀態．某時刻其中一個力F突然變為，則經過t時刻，合力的功率的大小是(　　)
A. B.
C. D.
圖9
5．如圖9所示，質量為m的木塊放在傾角為α的斜面上與斜面一起水平向左勻速運動，木塊(　　)
A．對斜面的壓力大小為mgsin α
B．所受的支持力對木塊不做功
C．所受的摩擦力對木塊做負功
D．所受的摩擦力方向可能沿斜面向下
6．如圖10所示，
圖10
在雄壯的《中國人民解放軍進行曲》中，胡錦濤主席乘國產紅旗牌檢閱車，穿過天安門城樓，經過金水橋，駛上長安街，檢閱了44個精神抖擻、裝備精良的地面方隊．若胡錦濤主席乘坐的國產紅旗牌檢閱車的額定功率為P，檢閱車勻速行進時所受阻力為Ff，在時間t內勻速通過總長為L的地面方隊，由此可知(　　)
A．在時間t內檢閱車的發動機實際做功為Pt
B．檢閱車勻速行進的速度為
C．檢閱車勻速行進時地面對車輪的摩擦力為滑動摩擦力
D．檢閱車的實際功率為
7.
圖11
用水平力拉一物體在水平地面上從靜止開始做勻加速運動，到t1秒末撤去拉力F，物體做勻減速運動，到t2秒末靜止．其速度圖象如圖11所示，且α<β.若拉力F做的功為W，平均功率為P；物體在加速和減速過程中克服摩擦阻力做的功分別為W1和W2，它們的平均功率分別為P1和P2，則下列選項中正確的是(　　)
A．W＝W1＋W2 B．W1＝W2
C．P＝P1＋P2 D．P1>P2
8.
圖12
如圖12所示，兩個完全相同的小球A、B，在同一高度處以相同大小的初速度v0分別水平拋出和豎直向上拋出，忽略空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
A．兩小球落地時的速度相同
B．兩小球落地時，重力的瞬時功率相同
C．從開始運動至落地，重力對兩小球做功相同
D．從開始運動至落地，重力對兩小球做功的平均功率相同
【能力提升】
圖13
9．物體沿直線運動的v－t關系如圖13所示，已知在第1秒內合外力對物體做的功為W，則(　　)
A．從第1秒末到第3秒末合外力做功為4W
B．從第3秒末到第5秒末合外力做功為－2W
C．從第5秒末到第7秒末合外力做功為W
D．從第3秒末到第4秒末合外力做功為－0.75W
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案
10.
圖14
汽車發動機的功率為60 kW，汽車的質量為4 t，當它行駛在坡度為α(sin α＝0.02)的長直公路上時，如圖14所示，所受摩擦阻力為車重的0.1倍(g取10 m/s2)，求：
(1)汽車所能達到的最大速度vm；
(2)若汽車從靜止開始以0.6 m/s2的加速度做勻加速直線運動，則此過程能維持多長時間？
(3)當汽車以0.6 m/s2的加速度勻加速行駛的速度達到最大值時，汽車做功多少．
11．在一次抗洪搶險活動中，解放軍某部利用直升機搶救一重要落水物體，靜止在空中的直升機上的電動機通過懸繩將物體從離飛機90 m處的洪水中吊到機艙里．已知物體的質量為80 kg，吊繩的拉力不能超過1 200 N，電動機的最大輸出功率為12 kW.為盡快把物體安全救起，操作人員采取的辦法是：先讓吊繩以最大的拉力工作一段時間，達到最大功率后電動機就以最大功率工作，當物體到達機艙時恰好達到最大速度．(g取10 m/s2)求：
(1)落水物體剛到達機艙時的速度；
(2)這一過程所用的時間．
學案21　功　功率
1．D　2.B
3．C　[由W＝Fl和P＝分析．]
4．C　[a＝，v＝at＝，則P＝Fv＝.]
5．C　[開始勻速，說明牽引力和阻力大小相等；當功率減小時，速度和牽引力都要減小，故汽車做加速度減小的變減速運動，由初始和最終時的功率關系得最終速度為初始時的一半．]
6．B　[釘子釘入木板過程中隨著深度的增加，阻力成正比地增加，這屬于變力做功問題，由于力與深度成正比，可將變力等效為恒力來處理．據題意可得：
W＝d＝d①
W＝d′＝d′②
聯立①②式解得d′＝(－1)d.]
思維提升
1．作用力和反作用力做功沒有一定的關系，因為根據做功的兩個因素，雖然作用力和反作用力大小相等，但這兩個力分別作用在發生相互作用的兩個物體上，這兩個物體在相同時間內運動的情況是由這兩個物體所受的合力、物體的質量以及物體的初始條件這三個因素共同決定的，所以兩個物體在相互作用力方向上的位移并沒有必然聯系，因此作用力和反作用力所做功的數值也沒有一定的聯系．
2．靜摩擦力和滑動摩擦力可以做正功、負功或不做功．一對相互作用的靜摩擦力做功之和恒為零，而一對相互作用的滑動摩擦力做功之和恒為負值．
3．注意區分瞬時功率與平均功率．利用P＝只能求平均功率；而利用P＝Fvcos θ既可求平均功率，也可求瞬時功率，需注意的是，只有F與v方向相同時，才有P＝Fv.
4．公式W＝Flcos θ只能用來求恒力的功，不能直接用來求變力的功．變力做功的求法有：
①微元法；②平均力法；③圖象法；④動能定理法；⑤功率法．
例1 D　[力對物體做功的表達式為W＝Flcos α，0°≤α<90°時，F做正功；α＝90°時，F不做功；90°<α≤180°時，F做負功．電梯支持力始終豎直向上，與位移同向，α＝0°，故支持力始終做正功，D正確．]
[規范思維]　在本題的三種運動情形中，支持力的方向均與速度方向同向，故都做正功．功的正負與運動狀態無關．
例2 C　[A球向上運動的過程中，動能和重力勢能都增大，即機械能增大，則桿必對A做正功，W1>0.對于B球，由于動能增大，重力勢能減小，機械能的變化不好判斷，但從A的能量變化容易判斷知A的機械能增大，而A、B組成的系統機械能不變，則B的機械能減小，故桿對B球做負功，W2<0.]
[規范思維]　本題判斷功的正負的方法：物體的能量增加，外力做正功；物體的能量減小，外力做負功．
例3 B　[由v－t圖象可知第1秒內、第2秒內、第3秒內的力和位移均為正方向，設滑塊的初速度為v0，則x1＝t＝ m，x2＝t＝ m，x3＝v0t＝1 m，F1＝1 N，F2＝3 N，F3＝2 N，有W1＝F1x1＝ J，W2＝F2x2＝ J，W3＝F3x3＝2 J，所以得W1[規范思維]　本題全過程力是變力，但各個子過程中力是恒力，可在各個過程中分別計算功，然后求總功．
例4 732 J
解析　經分析，人對繩的拉力做的功與繩對物體的拉力做的功是相同的，又因為人勻速提升物體，故物體處于平衡狀態，可知繩上拉力F＝mg
且重物上升的高度h等于右側繩子的伸長量Δl
由幾何關系易求Δl＝2(－1) m
所以，人對繩子的拉力做的功
W＝FΔl＝mgh＝500×2(－1) J＝732 J
[規范思維]　(1)應用功的計算公式W＝Flcos α求功時，F必須是恒力，即大小、方向均不變，l是對地位移(力的作用點的對地位移)，而力的作用點的位移跟物體的位移在很多問題中往往不同．
(2)靈活的選擇研究對象可以使問題的矛盾轉化，大大簡化解題過程．
例5 AC　[b球下擺過程中，豎直方向的速度v⊥先增大后減小，重力對小球做功的功率P＝mgv⊥先增大后減小．a對地面的壓力剛好為零，說明繩的拉力FT＝3mg.對b球，設繞行半徑為r，在最低點時，mgr＝mv2　FT′－mg＝ 得FT′＝FT＝3mg
所以b在最低點時，a球恰好對地面壓力為零．]
[規范思維]　在利用功率公式P＝Fvcos α解題時，注意不要丟了“cos α”，“vcos α”可理解為力F方向的速度．
例6 BD　[0～2t0時間內物體做勻加速直線運動，可求得2t0時刻物體的速度為2t0.2t0～3t0時間內物體也做勻加速直線運動，可求得3t0時刻物體的速度為2t0＋t0＝F0t0.所以3t0時刻的瞬時功率為3F0＝，故B正確；0～2t0時間內水平力做功為F02t0＝，2t0～3t0時間內水平力做功為3F0t0＝，所以總功為，總功率為，所以D正確．]
[規范思維]　在進行功率的計算時，一定注意要求的是平均功率還是瞬時功率．如果是平均功率一般用P＝計算；如果是瞬時功率則要用P＝Fvcos α計算．
例7 (1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　0.02 m/s2 (3)5×105 W　(4)4 s
解析　(1)列車以額定功率工作時，當牽引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg時，列車的加速度為零，速度達最大值vm，則：vm＝＝＝＝12 m/s.
(2)當v據牛頓第二定律得a1＝＝1.1 m/s2
當v＝v2＝10 m/s時，F2＝＝6×104 N
據牛頓第二定律得a2＝＝0.02 m/s2.
(3)當v＝36 km/h＝10 m/s時，列車勻速運動，則發動機的實際功率P′＝Ffv＝5×105 W.
(4)據牛頓第二定律得牽引力F′＝Ff＋ma＝3×105 N在此過程中，速度增大，發動機功率增大．當功率為額定功率時速度大小為vm′，即vm′＝＝2 m/s據vm′＝at，得t＝＝4 s.
1．BD　2.A　3.BC　4.B　5.AC　6.D　7.A　8.C
9．CD
10．(1)12.5 m/s　(2)13.9 s　(3)4.16×105 J
解析　由P＝Fv可知，汽車在額定功率下行駛，牽引力與速度成反比．當汽車的牽引力與阻力(包括爬坡時克服的下滑力)相等時，速度達最大．只有當汽車牽引力不變時，汽車才能勻加速行駛，當Fv＝P額時，勻加速運動結束，可由W＝Fx 求出這一階段汽車做的功．
(1)汽車在坡路上行駛，所受阻力由兩部分構成，即
F阻＝kmg＋mgsin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因為F＝F阻時，P＝F阻vm，所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s
(2)汽車從靜止開始，以a＝0.6 m/s2勻加速行駛，由牛頓第二定律有F′－F阻＝ma
所以F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持這一牽引力，汽車可達到勻加速行駛的最大速度vm′，有vm′＝＝ m/s≈8.33 m/s
由運動學規律可以求出勻加速行駛的時間與位移
t＝＝ s＝13.9 s
x＝＝ m≈57.82 m.
(3)由W＝Fx可求出汽車在勻加速階段行駛時做功為
W＝Fx＝7.2×103×57.82 J≈4.16×105 J
11．(1)15 m/s　(2)7.75 s
解析　(1)第一階段繩以最大拉力拉著物體勻加速上升，當電動機達到最大功率時，功率保持不變，物體變加速上升，速度增大，拉力減小，當拉力與重力相等時，速度達到最大．由Pm＝Fvm，得vm＝＝ m/s＝15 m/s
此即物體剛到機艙時的速度．
(2)勻加速上升的加速度為a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
勻加速階段的末速度v1＝＝ m/s＝10 m/s
勻加速上升時間t1＝＝ s＝2 s
勻加速上升的高度h1＝t1＝×2 m＝10 m
以最大功率上升過程由動能定理得Pmt2－mg(h－h1)＝mv－mv
解得t2＝5.75 s
所以吊起落水物體所用總時間為t＝t1＋t2＝(2＋5.75) s＝7.75 s
易錯點評
1．在應用公式W＝Flcos θ求恒力F的功時，與物體是否受其它力以及物體的運動狀態無關．功的大小只由力的大小、位移大小及二者方向的夾角決定．
2．在應用公式P＝Fv分析機車啟動時，F為機車的牽引力，只有機車勻速運動時，牽引力F等于阻力f，才有P＝fv.
3．在機車以恒定加速度啟動中，要注意區分勻加速過程終止時的速度與最后的最大速度．

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