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學案22 動能和動能定理
一、概念規(guī)律題組
1．在光滑的水平面上，用水平拉力分別使兩物體由靜止獲得相同的動能，那么，可以肯定的是(　　)
A．兩次水平拉力一定相等
B．兩物體質(zhì)量肯定相等
C．兩物體速度變化一定相等
D．水平拉力對兩物體做的功一定相等
2．質(zhì)量不同而具有相同動能的兩個物體，在動摩擦因數(shù)相同的水平面上滑行到停止，則下列說法錯誤的是(　　)
A．質(zhì)量大的滑行的距離大
B．質(zhì)量大的滑行的時間短
C．它們克服阻力做的功一樣大
D．它們運動的加速度一樣大
3．質(zhì)量為m的物體靜止在粗糙的水平地面上，若物體受水平力F的作用從靜止起通過位移l時的動能為Ek1，當物體受水平力2F作用，從靜止開始通過相同位移l，它的動能為Ek2，則(　　)
A．Ek2＝Ek1 B．Ek2＝2Ek1
C．Ek2>2Ek1 D．Ek14．在水平恒力作用下，物體沿粗糙水平地面運動，在物體的速度由0增為v的過程中，恒力做功W1，在物體的速度由v增為2v的過程中，恒力做功W2，則W1∶W2為(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．因為有摩擦力做功而無法確定
二、思想方法題組
圖1
5．如圖1所示，小球以初速度v0由A點沿不光滑的軌道運動到高為h的B點后自動返回，其返回途中仍經(jīng)過A點，則經(jīng)過A點時的速度大小為(　　)
A.
B.
C.
D.
圖2
6．如圖2所示，在水平板上，一個小球由穿過圓心的細線系住，以半徑R做勻速圓周運動，且豎直向下的拉力為F.若將拉力逐漸增大到8F時，小球的半徑變?yōu)镽，不計一切摩擦力，則在此過程中拉力所做的功為(　　)
A．W＝0 B．W＝2.25FR
C．W＝3.5FR D．W＝1.5FR
一、動能定理的理解及應(yīng)用
1．公式中的W是指物體所受合力的功或物體所受各力做功的代數(shù)和．
2．公式中ΔEk的正負表示的意義：(1)ΔEk>0表示動能增加；(2)ΔEk<0表示動能減少；(3)ΔEk＝0表示動能不變．
3．公式中等號的意義
(1)數(shù)量關(guān)系：即合力所做的功與物體動能的變化具有等量代換關(guān)系．可以通過計算物體動能的變化，求合力的功，進而求得某一力的功．
(2)單位相同：國際單位都是焦耳．
(3)因果關(guān)系：合力的功是物體動能變化的原因．
4．應(yīng)用動能定理解題的基本思路
(1)選取研究對象，明確它的運動過程；
(2)分析研究對象的受力情況和各個力做功情況，然后求各個力做功的代數(shù)和；
(3)明確物體在始、末狀態(tài)的動能Ek1、Ek2；
(4)列出動能定理方程進行計算或討論．
【例1】 如圖3所示，
圖3
質(zhì)量m＝1 kg的木塊靜止在高h＝1.2 m的平臺上，木塊與平臺間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木塊產(chǎn)生位移l1＝3 m時撤去，木塊又滑行l(wèi)2＝1 m時飛出平臺，求木塊落地時速度的大小？
[規(guī)范思維]
　
　
　
[針對訓練1]　如圖4所示
圖4
傾角θ＝37°，質(zhì)量M＝5 kg的粗糙斜面位于水平地面上，質(zhì)量m＝2 kg的木塊置于斜面頂端，從靜止開始勻加速下滑，經(jīng)t＝2 s到達底端，運動路程L＝4 m，在此過程中斜面保持靜止(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)，通過計算證明木塊在此過程中滿足動能定理．
二、利用動能定理求變力的功
應(yīng)用動能定理解題時，在分析過程的基礎(chǔ)上無需探究物體運動過程中狀態(tài)變化的細節(jié)，只需考慮整個過程的功及過程初、末狀態(tài)的動能，所以動能定理既適用于恒力作用下的勻變速直線運動，也適用于變力作用下的變加速直線運動或曲線運動，特別是求解曲線運動和變力做功問題更顯示出動能定理的優(yōu)越性．
【例2】 如圖5所示，質(zhì)量為m的小球用長為L
圖5
的輕質(zhì)細線懸于O點，與O點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，已知OP＝L/2，在A點給小球一個水平向左的初速度v0，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點B.則：
(1)小球到達B點時的速率？
(2)若不計空氣阻力，則初速度v0為多少？
(3)若初速度v0＝3 ，則在小球從A到B的過程克服空氣阻力做了多少功？
[規(guī)范思維]
　
　
　
　
[針對訓練2]　如圖6所示，
圖6
質(zhì)量為m的小物體靜止于長l的木板邊緣．現(xiàn)使板由水平放置繞其另一端O沿逆時針方向緩緩轉(zhuǎn)過α角，轉(zhuǎn)動過程中，小物體相對板始終靜止，求板對物體的支持力對物體做的功．
三、用動能定理求解多過程問題
1．由于動能定理不關(guān)注中間過程的細節(jié)，因此動能定理既可以求解單過程問題，也可以求解多過程問題，特別是求解多過程問題，更顯示出它的優(yōu)越性．
2．若過程包含幾個不同的子過程，既可分段考慮，也可全過程考慮，但分段不方便計算時必須全過程考慮．
【例3】 如圖7所示是某公司設(shè)計的“2009”玩具軌道，是用透明的薄壁圓管彎成的豎直軌道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是與“2009”管道平滑連接的豎直放置的半徑為R＝0.4 m的圓管軌道，已知AB圓管軌道半徑與“0”字型圓形軌道半徑相同．“9”管道是由半徑為2R的光滑圓弧和半徑為R的光滑圓弧以及兩段光滑的水平管道、一段光滑的豎直管道組成，“200”管道和“9”管道兩者間有一小縫隙P.現(xiàn)讓質(zhì)量m＝0.5 kg的閃光小球(可視為質(zhì)點)從距A點高H＝2.4 m處自由下落，并由A點進入軌道AB，已知小球到達縫隙P時的速率為v＝8 m/s，g取10 m/s2.求：
圖7
(1)小球通過粗糙管道過程中克服摩擦阻力做的功；
(2)小球通過“9”管道的最高點N時對軌道的作用力；
(3)小球從C點離開“9”管道之后做平拋運動的水平位移．
[規(guī)范思維]
　
　
　
圖8
【例4】 如圖8所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R.一個質(zhì)量為m的物體(可以看做質(zhì)點)從直軌道上的P點由靜止釋放．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ.求：
(1)物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程；
(2)最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力；
(3)為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L′應(yīng)滿足什么條件？
[規(guī)范思維]
　
　
　
【基礎(chǔ)演練】
1．質(zhì)量不等，但有相同動能的兩物體，在動摩擦因數(shù)相同的水平地面上滑行直到停止，則下列說法中正確的有(　　)
A．質(zhì)量大的物體滑行距離大
B．質(zhì)量小的物體滑行距離大
C．質(zhì)量大的物體滑行時間長
D．兩物體滑行時間相同
2．(2011·東莞模擬)如圖9所示，
圖9
質(zhì)量為m的物塊，在恒力F的作用下，沿光滑水平面運動，物塊通過A點和B點的速度分別是vA和vB，物塊由A點運動到B點的過程中，力F對物塊做的功W為(　　)
A．W>mv－mv
B．W＝mv－mv
C．W＝mv－mv
D．由于F的方向未知，W無法求出
3．起重機將物體由靜止舉高h時，物體的速度為v，下列各種說法中正確的是(不計空氣阻力)(　　)
A．拉力對物體所做的功，等于物體動能和勢能的增量
B．拉力對物體所做的功，等于物體動能的增量
C．拉力對物體所做的功，等于物體勢能的增量
D．物體克服重力所做的功，大于物體勢能的增量
圖10
4．如圖10所示，質(zhì)量為M、長度為L的木板靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的小物體(可視為質(zhì)點)放在木板上最左端，現(xiàn)用一水平恒力F作用在小物體上，使物體從靜止開始做勻加速直線運動．已知物體和木板之間的滑動摩擦力為Ff.當物體滑到木板的最右端時，木板運動的距離為x，則在此過程中(　　)
A．物體到達木板最右端時具有的動能為(F－Ff)（L+x）
B．物體到達木板最右端時，木板具有的動能為Ffx
C．物體克服摩擦力所做的功為FfL
D．物體和木板增加的機械能為Fx
5．如圖11所示，
圖11
質(zhì)量為m的物塊在水平恒力F的推動下，從山坡(粗糙)底部的A處由靜止起運動至高為h的坡頂B處，獲得的速度為v，AB之間的水平距離為x，重力加速度為g.下列說法不正確的是(　　)
A．物塊克服重力所做的功是mgh
B．合外力對物塊做的功是mv2
C．推力對物塊做的功是mv2＋mgh
D．阻力對物塊做的功是mv2＋mgh－Fx
6.(2011·東北三校聯(lián)合模擬)如圖12所示，
圖12
長為L的長木板水平放置，在木板的A端放置一個質(zhì)量為m的小物塊．現(xiàn)緩慢地抬高A端，使木板以左端為軸轉(zhuǎn)動，當木板轉(zhuǎn)到與水平面的夾角為α時小物塊開始滑動，此時停止轉(zhuǎn)動木板，小物塊滑到底端的速度為v，則在整個過程中(　　)
A.支持力對物塊做功為0
B.持力對小物塊做功為mgLsin α
C.摩擦力對小物塊做功為mgLsin α
D.滑動摩擦力對小物塊做功為mv2－mgLsin α
【能力提升】
圖13
7．如圖13所示，小木塊可以分別從固定斜面的頂端沿左邊或右邊由靜止開始滑下，且滑到水平面上的A點或B點停下．假定小木塊和斜面及水平面間的動摩擦因數(shù)相同，斜面與水平面平緩連接，圖中水平面上的O點位于斜面頂點正下方，則(　　)
A．距離OA小于OB B．距離OA大于OB
C．距離OA等于OB D．無法作出明確判斷
圖14
8．如圖14所示，一個質(zhì)量為m的圓環(huán)套在一根固定的水平直桿上，環(huán)與桿的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)給環(huán)一個向右的初速度v0，如果在運動過程中還受到一個方向始終豎直向上的力F的作用，已知力F的大小F＝kv(k為常數(shù)，v為環(huán)的運動速度)，則環(huán)在整個運動過程中克服摩擦力所做的功(假設(shè)桿足夠長)不可能為(　　)
A.mv B．0
C.mv＋ D.mv－
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.如圖15所示，某人乘雪橇從雪坡經(jīng)A點滑至B點，接著沿水平路面滑至C點停止，人與雪橇的總質(zhì)量為70 kg.表中記錄了沿坡滑下過程中的有關(guān)數(shù)據(jù)，請根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)解決下列問題．
圖15
位置 A B C
速度(m/s) 2.0 12.0 0
時刻(s) 0 4 10
(1)人與雪橇從A到B的過程中，損失的機械能為多少？
(2)設(shè)人與雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力大小．(g取10 m/s2)
(3)人與雪橇從B到C的過程中運動的距離．
圖16
10．如圖16所示，軌道ABC被豎直地固定在水平桌面上，A距離水平地面高H＝0.75 m，C距離水平地面高h＝0.45 m．一質(zhì)量m＝0.10 kg的小物塊自A點從靜止開始下滑，從C點以水平速度飛出后落在水平地面上的D點．現(xiàn)測得C、D兩點的水平距離為l＝0.60 m．不計空氣阻力，取g＝10 m/s2.求：
(1)小物塊從C點運動到D點經(jīng)歷的時間；
(2)小物塊從C點飛出時速度的大小；
(3)小物塊從A點運動到C點的過程中克服摩擦力做的功．
學案22　動能和動能定理
1．D　[由Fl＝mv2知兩次拉力做的功相等．]
2．BCD　[因a＝μg，Ek＝mv2，質(zhì)量大的物體，初速度小，t＝，故B對，又μmgx＝Ek，質(zhì)量大，位移小．]
3．C　[Fl－fl＝Ek1,2Fl－fl＝Ek2 即2Fl－2fl＋fl＝Ek2 2Ek1＋fl＝Ek2，故Ek2>2Ek1]
4．C　[W1－Wf1＝mv2－0. W2－Wf2＝m(2v)2－mv2 又v2＝2ax1，Wf1＝Fμx1
(2v)2－v2＝2ax2，Wf2＝Fμ·x2 由以上各式得W1∶W2＝1∶3.]
5．B　[由A→B：－Wf－mgh＝0－mv 由B→A：mgh－Wf＝mv 解得vA＝.]
6．D　[在軌道半徑減小的過程中，根據(jù)向心力公式和動能定理得 F＝m，8F＝m，W＝mv－mv， 則拉力做功：W＝1.5FR，故應(yīng)選D.]
思維提升
1．動能是標量，只有大小，沒有方向．Ek＝mv2對應(yīng)物體的瞬時速度，動能是狀態(tài)量，只與運動物體的質(zhì)量及速率有關(guān)，而與其運動方向無關(guān)，物體運動速度的方向發(fā)生變化時，動能不變．動能的變化ΔEk＝Ek′－Ek，沒有方向，是一個標量的代數(shù)運算．
2．動能定理的理解及應(yīng)用要點：
(1)動能定理既適用于恒力作用過程，也適用于變力作用過程．
(2)動能定理既適用于物體做直線運動的情況，也適用于物體做曲線運動的情況．
(3)動能定理的研究對象既可以是單個物體，也可以是幾個物體所組成的一個系統(tǒng)．
(4)動能定理的研究過程既可以是針對運動過程中的某個具體過程，也可以是針對運動的全過程．對全程列式時，關(guān)鍵是分清整個過程哪些力做功，且各個力做功應(yīng)與位移對應(yīng)，并確定初、末狀態(tài)的動能．
(5)動能定理的計算式為標量式，v為相對同一參考系的速度．
(6)在W＝Ek2－Ek1中，W為物體所受所有外力對物體所做功的代數(shù)和，正功取正值計算，負功取負值計算；Ek2－Ek1為動能的增量，即為末狀態(tài)的動能與初狀態(tài)的動能之差，而與物體運動過程無關(guān)．
例1 8 m/s
解析　解法一　取木塊為研究對象．其運動分三個過程，先勻加速運動l1，后勻減速運動l2，再做平拋運動，對每一個過程，分別列動能定理得Fl1－μmgl1＝mv
－μmgl2＝mv－mv
mgh＝mv－mv
解得v3＝8 m/s
解法二　對全過程由動能定理得Fl1－μmg(l1＋l2)＋mgh＝mv2－0
代入數(shù)據(jù)得v＝8 m/s
[規(guī)范思維]　利用動能定理解題的思路可概括為八個字：“一個過程兩個狀態(tài)”．“一個過程”即要分析過程中力及力做功的正負；“兩個狀態(tài)”是對應(yīng)這個過程的初、末狀態(tài)的動能，而這個過程則可以是單個過程，也可以是多個過程．
例2 (1) 　(2) 　(3)mgL
解析　(1)小球恰能到達最高點B，有mg＝m，得vB＝ .
(2)從A→B由動能定理得－mg(L＋)＝mv－mv 可求出v0＝
(3)在小球從A到B的過程中由動能定理得－mg(L＋)－Wf＝mv－mv
可求出Wf＝mgL.
[規(guī)范思維]　用動能定理求解變力做功的注意要點：
(1)分析物體受力情況，確定哪些力是恒力，哪些力是變力．如果是恒力，寫出恒力功的表達式，如果是變力，用相應(yīng)功的符號表示出變力的功．
(2)分析物體運動的初末狀態(tài)，求出動能的變化量．
(3)運用動能定理列式求解．
例3 (1)2 J　(2)35 N　(3)2.77 m
解析　(1)小球從初始位置到達縫隙P的過程中，由動能定理有mg(H＋3R)－WF＝mv2－0代入數(shù)據(jù)得WF＝2 J.
(2)設(shè)小球到達最高點N時的速度為vN，對由P→N過程由動能定理得
－mg·4R＝mv－mv2
在最高點N時，根據(jù)牛頓第二定律有FN＋mg＝m 聯(lián)立解得FN＝m－mg＝35 N
所以小球在最高點N時對軌道的作用力為35 N.
(3)小球從初始位置到達C點的過程中，由動能定理有mg(H＋R)－WF＝mv－0
解得vC＝4 m/s
小球從C點離開“9”管道之后做平拋運動，豎直方向2R＝gt2，解得t＝0.4 s水平方向DE＝vCt≈2.77 m
所以平拋運動的水平位移為2.77 m.
[規(guī)范思維]　當物體的運動是由幾個物理過程所組成，又不需要研究過程的中間狀態(tài)時，可以把幾個物理過程看做一個整體進行研究．
例4 (1)　(2)(3－2cos θ)mg (3)·R
解析　(1)摩擦力對物體始終做負功，故物體最終在圓心角為2θ的圓弧上做往復(fù)運動．
設(shè)物體在AB軌道上通過的總路程為x，則全程應(yīng)用動能定理得：mgRcos θ－μmgcos θ·x＝0 解得：x＝
(2)最終當物體通過圓弧最低點E時，設(shè)速度為vE，
在E點：FN－mg＝①
從B→E由動能定理得：mgR(1－cos θ)＝mv②
①②兩式聯(lián)立，得：FN＝(3－2cos θ)mg
由牛頓第三定律得物體對軌道的壓力為(3－2cos θ)mg
(3)若物體剛好到D點，設(shè)速度為vD，則mg＝③
對全過程由動能定理得mgL′sin θ－μmgcos θ·L′－mgR(1＋cos θ)＝mv④
③④聯(lián)立，得L′＝R
[規(guī)范思維]　解答此題應(yīng)注意重力做功只與高度差有關(guān)系，而滑動摩擦力做功與路程有關(guān)；應(yīng)用動能定理解題時，要靈活選取運動過程．
[針對訓練]
1．證明見解析
解析　在運動過程中木塊受重力、摩擦力做功．
重力做功：WG＝mgh＝mgLsin θ＝48 J
設(shè)木塊勻加速運動時加速度為a，則有L＝at2
對木塊受力分析由牛頓第二定律得F合＝mgsin θ－Ff＝ma
聯(lián)立以上兩式得Ff＝8 N
摩擦力做功：Wf＝－FfL＝－32 J
合力做功或外力對木塊做的總功W＝WG＋Wf＝16 J
動能的變化ΔEk＝mv2＝m·(at)2＝16 J
所以，合力做功或外力對木塊做的總功等于動能的變化(增加)．
2．mglsin α
1．BD　2.B　3.A　4.AB　5.ABD　6.BD　7.C
8．C　[當F＝mg時，環(huán)勻速運動，摩擦力為零，克服摩擦力所做的功W＝0
當F>mg時，豎直方向F＝mg＋FN，水平方向Ff＝μFN
環(huán)做減速運動，速度減小，由F＝kv知，F(xiàn)減小，當F＝mg后環(huán)勻速，此時F＝mg＝kv
所以v＝ W＝mv－mv2＝mv－
當F所以，由動能定理知，環(huán)克服摩擦力做功W＝mv
選項A、B、D可能，C不可能．]
9．(1)9 100 J　(2)140 N　(3)36 m
解析　(1)從A到B的過程中，人與雪橇損失的機械能為ΔE＝mgh＋mv－mv
＝(70×10×20＋×70×2.02－×70×12.02) J
＝9 100 J
(2)人與雪橇在BC段做勻減速運動的加速度a＝＝ m/s2＝－2 m/s2
根據(jù)牛頓第二定律Ff＝ma＝70×(－2) N＝－140 N，負號表示阻力的方向與運動方向相反．
(3)設(shè)B、C間的距離為x，對人與雪橇，由動能定理得－Ffx＝0－mv
代入數(shù)據(jù)解得x＝36 m
10．(1)0.3 s　(2)2.0 m/s　(3)0.1 J
解析　(1)小物塊從C水平飛出后做平拋運動，由h＝gt2得小物塊從C到D運動的時間t＝ ＝0.3 s
(2)從C點飛出時速度的大小v＝＝2.0 m/s
(3)小物塊從A運動到C的過程中，根據(jù)動能定理得
mg(H－h(huán))＋Wf＝mv2－0
摩擦力做功Wf＝mv2－mg(H－h(huán))＝－0.1 J
此過程中克服摩擦力做的功Wf′＝－Wf＝0.1 J.
易錯點評
1．動能定理中的功是合外力的總功；不是某一個力或幾個力的功．
2．應(yīng)用動能定理時，不必考慮勢能的變化．特別是有重力做功、彈力做功、電場力做功時，將這此力的功計入總功內(nèi)，而不必考慮重力勢能、彈性勢能和電勢能．
3．動能定理的表達式為標量式，不能在某一方向上列動能定理方程．

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