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學案24 功能關系　能量守恒定律
一、概念規律題組
1．質量均為m的甲、乙、丙三個小球，在離地面高為h處以相同的動能在豎直平面內分別做平拋、豎直下拋、沿光滑斜面下滑的運動，則下列說法錯誤的是(　　)
A．三者到達地面時的速率相同
B．三者到達地面時的動能相同
C．三者到達地面時的機械能相同
D．三者同時落地
圖1
2．如圖1所示，一個小孩從粗糙的滑梯上加速滑下，對于其機械能的變化情況，下列判斷正確的是(　　)
A．重力勢能減小，動能不變，機械能減小
B．重力勢能減小，動能增加，機械能減小
C．重力勢能減小，動能增加，機械能增加
D．重力勢能減小，動能增加，機械能不變
3．質量為m的物體，從靜止開始以2g的加速度豎直向下運動h，不計空氣阻力，則下列說法中錯誤的是(　　)
A．物體的機械能保持不變
B．物體的重力勢能減小mgh
C．物體的動能增加2mgh
D．物體的機械能增加mgh
圖2
4．如圖2所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，在彈簧壓縮到最短的整個過程中，下列關于能量的敘述中正確的是(　　)
A．重力勢能和動能之和總保持不變
B．重力勢能和彈性勢能之和總保持不變
C．動能和彈性勢能之和總保持不變
D．重力勢能、彈性勢能和動能之和總保持不變
二、思想方法題組
5．如圖3所示，小球以初速度v0從光滑斜面底部向上滑，恰能到達最大高度為h的斜面頂部．圖中A是內軌半徑大于h的光滑軌道、B是內軌半徑小于h的光滑軌道、C是內軌直徑等于h的光滑軌道、D是長為h的輕棒，其下端固定一個可隨棒繞O點向上轉動的小球．小球在底端時的初速度都為v0，則小球在以上四種情況中能到達高度h的有(　　)
圖3
6．從地面豎直向上拋出一個物體，當它的速度減為初速度v0的一半時，上升的高度為(空氣阻力不計)(　　)
A. B. C. D.
一、幾種常見的功能關系
1．合力做功與物體動能改變之間的關系：合力做功等于物體動能的增量，即W合＝Ek2－Ek1(動能定理)．
2．重力做功與物體重力勢能改變之間的關系：重力做功等于物體重力勢能增量的負值，即WG＝－ΔEp.
3．彈力做功與物體彈性勢能改變之間的關系：彈力做功等于物體彈性勢能增量的負值，即W＝－ΔEp.
4．除了重力和系統內彈力之外的其他力做功與機械能改變之間的關系：其他力做的總功等于系統機械能的增量，即W其他＝ΔE.
圖4
【例1】如圖4所示，傾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，長為l、質量為m、粗細均勻、質量分布均勻的軟繩置于斜面上，其上端與斜面頂端齊平．用細線將物塊與軟繩連接，物塊由靜止釋放后向下運動，直到軟繩剛好全部離開斜面(此時物塊未到達地面)，在此過程中(　　)
A．物塊的機械能逐漸增加
B．軟繩重力勢能共減少mgl
C．物塊重力勢能的減少等于軟繩克服摩擦力所做的功
D．軟繩重力勢能的減少等于其動能的增加與克服摩擦力所做功之和
[規范思維]
　
　
　
　
[針對訓練1]　如圖5所示，卷揚機的繩索通過定滑輪用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移動，在移動過程中，下列說法正確的是(　　)
圖5
A．F對木箱做的功等于木箱增加的動能與木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F對木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力勢能
D．F對木箱做的功大于木箱增加的機械能與木箱克服摩擦力做的功之和
二、能量轉化與守恒定律的應用
1．摩擦力做功的特點：
(1)一對靜摩擦力對兩物體做功時，能量的轉化情況：靜摩擦力對相互作用的一個物體做正功，則另一摩擦力必對相互作用的另一物體做負功，且做功的大小相等，在做功的過程中，機械能從一個物體轉移到另一物體，沒有機械能轉化為其他形式的能．
(2)一對滑動摩擦力對兩物體做功時，能量的轉化情況：由于兩物體發生了相對滑動，位移不相等，因而相互作用的一對滑動摩擦力對兩物體做功不相等，代數和不為零，其數值為－Fx，即滑動摩擦力對系統做負功，系統克服摩擦力做功，將機械能轉化為內能，即Q＝Fx.
2．能量守恒定律：當物體系內有多種形式的能量參與轉化時，可考慮用能量守恒定律解題，能量守恒定律的兩種常見表達形式：(1)轉化式：ΔE減＝ΔE增，即系統內減少的能量等于增加的能量；(2)轉移式：ΔEA＝－ΔEB，即一個物體能量的減少等于另一個物體能量的增加．
【例2】質量為m的木塊(可視為質點)左端與輕彈簧相連，彈簧的另一端與固定在足夠大的光滑水平桌面上的擋板相連，木塊的右端與一輕細線連接，細線繞過光滑的質量不計的輕滑輪，木塊處于靜止狀態，在下列情況中彈簧均處于彈性限度內，(不計空氣阻力及線的形變，重力加速度為g)．
(1)在圖6甲中，在線的另一端施加一豎直向下的大小為F的恒力，木塊離開初始位置O由靜止開始向右運動，彈簧開始發生伸長形變，已知木塊通過P點時，速度大小為v，O、P兩點間的距離為l.求木塊拉至P點時彈簧的彈性勢能；
圖6
(2)如果在線的另一端不是施加恒力，而是懸掛一個質量為M的鉤碼，如圖乙所示，木塊也從初始位置O由靜止開始向右運動，求當木塊通過P點時的速度大小．
[規范思維]
　
　
　
[針對訓練2]　如圖7所示，
圖7
A、B、C質量分別為mA＝0.7 kg，mB＝0.2 kg，mC＝0.1 kg，B為套在細繩上的圓環，A與水平桌面的動摩擦因數μ＝0.2，另一圓環D固定在桌邊，離地面高h2＝0.3 m，當B、C從靜止下降h1＝0.3 m，C穿環而過，B被D擋住，不計繩子質量和滑輪的摩擦，取g＝10 m/s2，若開始時A離桌邊足夠遠．試求：
(1)物體C穿環瞬間的速度．
(2)物體C能否到達地面？如果能到達地面，其速度多大？
三、用功能關系分析傳送帶問題
傳送帶模型是高中物理中比較成熟的模型，典型的有水平和傾斜兩種情況．一般設問的角度有兩個：(1)動力學角度，如求物體在傳送帶上運動的時間、物體在傳送帶上能達到的速度、物體相對傳送帶滑過的位移等，方法是牛頓第二定律結合運動學規律．(2)能量的角度：求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動而產生的熱量、因放上物體而使電動機多消耗的電能等．
【例3】 飛機場上運送行李的裝置為一水平放置的環形傳送帶，
圖8
傳送帶的總質量為M，其俯視圖如圖8所示．現開啟電動機，傳送帶達到穩定運行的速度v后，將行李依次輕輕放到傳送帶上．若有n件質量均為m的行李需通過傳送帶運送給旅客．假設在轉彎處行李與傳送帶無相對滑動，忽略皮帶輪、電動機損失的能量．求從電動機開啟，到運送完行李需要消耗的電能為多少？
[規范思維]
　
　
　
[針對訓練3]　一質量為M＝2.0 kg的小物塊隨足夠長的水平傳送帶一起運動，被一水平向左飛來的子彈擊中并從物塊中穿過，子彈和小物塊的作用時間極短，如圖9甲所示．地面觀察者記錄了小物塊被擊中后的速度隨時間變化關系如圖乙所示(圖中取向右運動的方向為正方向)．已知傳送帶的速度保持不變，g取10 m/s2.
圖9
(1)指出傳送帶速度v的方向及大小，說明理由．
(2)計算物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ.
(3)計算傳送帶對外做了多少功？子彈射穿物塊后系統有多少能量轉化為內能？
【基礎演練】
1．物體只在重力和一個不為零的向上的拉力作用下，分別做了勻速上升、加速上升和減速上升三種運動．在這三種情況下物體機械能的變化情況是(　　)
A．勻速上升機械能不變，加速上升機械能增加，減速上升機械能減小
B．勻速上升和加速上升機械能增加，減速上升機械能減小
C．由于該拉力與重力大小的關系不明確，所以不能確定物體機械能的變化情況
D．三種情況中，物體的機械能均增加
2．從地面豎直上拋一個質量為m的小球，小球上升的最大高度為H.設上升過程中空氣阻力F阻恒定．則對于小球的整個上升過程，下列說法中錯誤的是(　　)
A．小球動能減少了mgH
B．小球機械能減少了F阻H
C．小球重力勢能增加了mgH
D．小球的加速度大于重力加速度g
3．如圖10所示，
圖10
一輕彈簧的左端固定，右端與一小球相連，小球處于光滑水平面上．現對小球施加一個方向水平向右的恒力F，使小球從靜止開始運動，則小球在向右運動的整個過程中(　　)
A．小球和彈簧組成的系統機械能守恒
B．小球和彈簧組成的系統機械能逐漸減小
C．小球的動能逐漸增大
D．小球的動能先增大后減小
4．一顆子彈以某一水平速度擊中了靜止在光滑水平面上的木塊，并從中穿出．對于這一過程，下列說法正確的是(　　)
A．子彈減少的機械能等于木塊增加的機械能
B．子彈減少的動能等于木塊增加的動能
C．子彈減少的機械能等于木塊增加的動能與木塊增加的內能之和
D．子彈減少的動能等于木塊增加的動能與子彈和木塊增加的內能之和
5．如圖11所示，
圖11
一質量為m的小球固定于輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定于O點處，將小球拉至A處，彈簧恰好無形變，由靜止釋放小球，它運動到O點正下方B點間的豎直高度差為h，速度為v，則(　　)
A．由A到B重力做的功小于mgh
B．由A到B重力勢能減少mv2
C．由A到B小球克服彈力做功為mgh
D．小球到達位置B時彈簧的彈性勢能為mgh－
圖12
6．如圖12所示，長為L的小車置于光滑的水平面上，小車前端放一小物塊，用大小為F的水平力將小車向右拉動一段距離l，物塊剛好滑到小車的左端．物塊與小車間的摩擦力為Ff，在此過程中(　　)
A．系統產生的內能為FfL
B．系統增加的機械能為Fl
C．物塊增加的動能為FfL
D．小車增加的動能為Fl－FfL
7．如圖13所示，
圖13
質量為m的物塊從A點由靜止開始下落，加速度為g，下落H到B點后與一輕彈簧接觸，又下落h后到達最低點C，在由A運動到C的過程中，空氣阻力恒定，則(　　)
A．物塊機械能守恒
B．物塊和彈簧組成的系統機械能守恒
C．物塊機械能減少mg(H＋h)
D．物塊和彈簧組成的系統機械能減少mg(H＋h)
【能力提升】
8．如圖14所示為
圖14
某探究活動小組設計的節能運輸系統．斜面軌道傾角為30°，質量為M的木箱與軌道的動摩擦因數為.木箱在軌道頂端時，自動裝貨裝置將質量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速度滑下，當輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，再重復上述過程．下列選項正確的是(　　)
A．m＝M
B．m＝3M
C．木箱不與彈簧接觸時，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，減少的重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.如圖15所示，傾角為30°的光滑斜面的下端有一水平傳送帶，傳送帶正以6 m/s的速度運動，運動方向如圖所示．一個質量為2 kg的物體(物體可以視為質點)，從h＝3.2 m高處由靜止沿斜面下滑，物體經過A點時，不管是從斜面到傳送帶還是從傳送帶到斜面，都不計其動能損失．物體與傳送帶間的動摩擦因數為0.5，物體向左最多能滑到傳送帶左右兩端AB的中點處，重力加速度g＝10 m/s2，求：
圖15
(1)物體由靜止沿斜面下滑到斜面末端需要多長時間；
(2)傳送帶左右兩端AB間的距離l至少為多少；
(3)上述過程中物體與傳送帶組成的系統產生的摩擦熱為多少．
圖16
10．如圖16所示，固定斜面的傾角θ＝30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數為μ，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點．用一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側繩子與斜面平行，A的質量為2m，B的質量為m，初始時物體A到C點的距離為L.現給A、B一初速度v0使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，整個過程中，輕繩始終處于伸直狀態，求此過程中：
(1)物體A向下運動剛到C點時的速度；
(2)彈簧的最大壓縮量；
(3)彈簧中的最大彈性勢能．
學案24　功能關系　能量守恒定律
1．ABC　[只有重力做功，機械能守恒，mgh＋Ek1＝Ek2＝mv2，A、B、C對．]
2．B　[下滑時高度降低，則重力勢能減小，加速運動，動能增加，摩擦力做負功，機械能減小，B對，A、C、D錯．]
3．BCD　[物體所受合外力F＝ma＝2mg>mg，說明物體除重力外還受到其他力作用，機械能不守恒，A選項錯誤；重力做的功等于物體重力勢能的改變量(減小量)，B選項正確；合外力做的功等于物體動能的增量，C正確；除重力外其他外力(等于mg)對物體做的功等于物體機械能的增量，D正確．]
4．D　[小球下落過程中受到的重力做正功，彈力做負功，重力勢能、彈性勢能及動能都要發生變化．任意兩種能量之和都不會保持不變，但三種能量有相互轉化，總和不變，D正確．]
5．AD　[在不違背能量守恒定律的情景中的過程并不是都能夠發生的，B、C中的物體沿曲線軌道運動到與軌道間的壓力為零時就會脫離軌道做斜上拋運動，動能不能全部轉化為重力勢能，故A、D正確．]
6．D　[設上拋物體的速度減為初速度v0的一半時，上升的高度為h，選地面為參考平面，由機械能守恒定律得：
mv＝m()2＋mgh，
解得h＝，D正確．]
思維提升
1．功和能本質不同，功是過程量，能是狀態量，二者不能相互轉化，而只能是通過做功實現不同能量形式之間的轉化，并且功是能量轉化的量度，做功的過程就是能量轉化的過程．
2．各種功與對應能量變化的關系
功 能量的變化
合外力做正功 動能增加
重力做正功 重力勢能減少
彈簧彈力做正功 彈性勢能減少
電場力做正功 電勢能減少
分力力做正功 分子勢能減少
其他力(除重力、彈力)做正功 機械能增加
例1 BD　[繩的拉力對物塊做負功，所以物塊的機械能減少，故選項A錯誤；軟繩減少的重力勢能ΔEp＝mg(－sin 30°)＝mgl，故選項B正確；軟繩被拉動，表明細線對軟繩拉力大于摩擦力，而物塊重力勢能的減少等于克服細線拉力做功與物塊動能之和，選項C錯誤；對軟繩應用動能定理，有WT＋WG－Wf＝ΔEk，所以軟繩重力勢能的減少ΔEp＝WG＝ΔEk＋(Wf－WT)，所以ΔEp<ΔEk＋Wf，選項D正確．]
[規范思維]　運用功能關系解題，應弄清楚各種力做功情況及與相應能的變化的關系，如重力做什么功，合外力做什么功，除重力和彈力之外的力做什么功，從而判斷重力勢能(或彈性勢能)、動能、機械能的變化．
例2 (1)Fl－mv2　(2)
解析　(1)用力F拉木塊至P點時，設此時彈簧的彈性勢能為E，根據功能關系得
Fl＝E＋mv2
所以彈簧的彈性勢能為E＝Fl－mv2.
(2)懸掛鉤碼M時，當木塊運動到P點時，彈簧的彈性勢能仍為E，設木塊的速度為v′，由機械能守恒定律得 Mgl＝E＋(m＋M)v′2
聯立解得v′＝
[規范思維]　運用能的轉化與守恒定律解題時，應首先弄清楚各種能量間的轉化關系，這種轉化是靠做功實現的，因此，物體在運動過程中各個力做的功是解題的關鍵．抓住能量間的轉化關系和各個力做的功是解決這種問題的基礎．
例3 Mv2＋nmv2
解析　設行李與傳送帶間的動摩擦因數為μ，則傳送帶與行李間由于摩擦產生的總熱量
Q＝nμmgΔl
由運動學公式得Δl＝l傳－l行＝vt－＝
又v＝μgt
聯立解得Q＝nmv2
由能量守恒得E＝Q＋Mv2＋n×mv2
所以E＝Mv2＋nmv2
[規范思維]　摩擦力做功與產生內能的關系：
(1)靜摩擦力做功的過程中，只有機械能的相互轉移(靜摩擦力起著傳遞機械能的作用)，而沒有內能的產生．
(2)滑動摩擦力做功的過程中，能量的轉化有兩個方向，一是相互摩擦的物體之間機械能的轉移；二是機械能轉化為內能，轉化為內能的量值等于機械能的減少量，表達式為Q＝F滑·l相對．
[針對訓練]
1．CD　2.(1) m/s　(2)物體C能到達地面，速度為 m/s
3．見解析
解析　(1)從速度圖象中可以看出，物塊被擊穿后，先向左做減速運動，速度為零后，又向右做加速運動，當速度等于2.0 m/s，則隨傳送帶一起做勻速運動，所以，傳送帶的速度方向向右，傳送帶的速度v的大小為2.0 m/s.
(2)由速度圖象可得，物塊在滑動摩擦力的作用下做勻變速運動的加速度為a，有
a＝＝ m/s2＝2.0 m/s2
由牛頓第二定律得滑動摩擦力Ff＝μMg，則物塊與傳送帶間的動摩擦因數
μ＝＝＝＝0.2.
(3)由速度圖象可知，傳送帶與物塊存在摩擦力的時間只有3秒，傳送帶在這段時間內移動的位移為x，則x＝vt＝2.0×3 m＝6.0 m
所以，傳送帶所做的功W＝Ffx＝0.2×2.0×10×6.0 J＝24 J.
設物塊被擊中后的初速度為v1，向左運動的時間為t1，向右運動直至和傳送帶達到共同速度的時間為t2，則有：
物塊向左運動時產生的內能Q1＝μMg(vt1＋t1)＝32 J
物塊向右運動時產生的內能Q2＝μMg(vt2－t2)＝4 J.
所以整個過程產生的內能Q＝Q1＋Q2＝36 J.
1．D　2.A　3.BD　4.D
5．AD　[由A到B，高度減小h，重力做功mgh，重力勢能減少mgh，但因彈簧伸長，彈性勢能增加，由能量守恒得mgh＝mv2＋Ep，可得Ep＝mgh－mv2，小球克服彈力做功應小于mgh，故B、C錯誤，A、D正確．]
6．A
7．D　[因為下落加速度是g，所以有阻力做功且阻力大小Ff＝mg，機械能不守恒，A、B錯；下落(H＋h)過程中，阻力做功Wf＝－Ff(H＋h)，所以物塊和彈簧組成的系統機械能減少mg(H＋h)，C錯，D正確．]
8．BC　[從開始下滑到彈簧壓縮至最短過程中，設下滑的距離為L，根據功能關系，有
(M＋m)gLsin 30°＝μ(M＋m)gLcos 30°＋Epmax①
卸下貨物后，木箱被彈回的過程中，由功能關系，有
Epmax＝MgLsin 30°＋μMgLcos 30°②
由①②聯立并代入μ＝得m＝2M
故選項A錯，選項B對；
根據牛頓第二定律，不與彈簧接觸時，下滑過程中，有
(M＋m)gsin 30°－μ(M＋m)gcos 30°＝(M＋m)a1
上滑時，有Mgsin 30°＋μMgcos 30°＝Ma2
解得a1＝－μg＝ a2＝＋μg＝g
即a2>a1，故選項C正確；
從頂端下滑過程中，克服摩擦力和彈簧彈力做功，因此減少的重力勢能一部分轉化為內能，一部分轉化為彈性勢能，故選項D錯誤．]
9．(1)1.6 s　(2)12.8 m　(3)160 J
解析　(1)物體在斜面上，由牛頓第二定律得mgsin θ＝ma，＝at2，可得t＝1.6 s.
(2)由能的轉化和守恒得mgh＝μmg，l＝12.8 m.
(3)此過程中，物體與傳送帶間的相對位移x相＝＋v帶·t1，又＝μgt，
而摩擦熱Q＝μmg·x相，以上三式可聯立得Q＝160 J.
10．(1) 　(2)－
(3)mv－μmgL
解析　(1)A和斜面間的滑動摩擦力Ff＝2μmgcos θ，物體A向下運動到C點的過程中，根據能量關系有：2mgLsin θ＋·3mv＝·3mv2＋mgL＋FfL，v＝
(2)從物體A接觸彈簧，將彈簧壓縮到最短后又恰回到C點，對系統應用動能定理得
－Ff·2x＝0－×3mv2，x＝－
(3)彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，對系統根據能量關系有
Ep＋mgx＝2mgxsin θ＋Ffx 因為mgx＝2mgxsin θ
所以Ep＝Ffx＝mv－μmgL.
易錯點評
1．一對相互作用的滑動摩擦力做功所產生的熱量Q＝Ffl相對，其中l相對是物體間相對路徑長度．如果兩物體同向運動，l相對為兩物體對地位移大小之差；如果兩物體反向運動，l相對為兩物體對地位移大小之和；如果一個物體相對另一物體做往復運動，則l相對為兩物體相對滑行路徑的總長度．
2．在彈性限度內，同一彈簧伸長量等于壓縮量時，彈性勢能相等．
3．在涉及繩子突然繃緊、藥品爆炸、非彈性碰撞等問題時，機械能一定是不守恒的，但能量一定是守恒的．

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