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學案27 電場強度和電場線
一、概念規律題組
1．有關電場強度的理解，下述說法正確的是(　　)
A．由E＝可知，電場強度E跟放入的電荷q所受的電場力成正比
B．當電場中存在試探電荷時，電荷周圍才出現電場這種特殊的物質，才存在電場強度
C．由E＝可知，在離點電荷很近，r接近于零，電場強度達無窮大
D．電場強度是反映電場本身特性的物理量，與是否存在試探電荷無關
2．關于電場，下列敘述正確的是(　　)
A．在以點電荷為圓心，r為半徑的球面上，各點的場強都相同
B．正電荷周圍的電場強度一定比負電荷周圍的電場強度大
C．在電場中某點放入試探電荷q，該點的場強為E＝F/q，取走q后，該點場強不為零
D．電荷所受電場力越大，該點電場強度一定越大
3．關于電場線，下述說法中正確的是(　　)
A．電場線是客觀存在的
B．電場線與電荷運動的軌跡是一致的
C．電場線上某點的切線方向與電荷在該點受力方向可以不同
D．沿電場線方向，場強一定越來越大
4．如圖1所示，MN是電場中的一條電場線，一電子從a點運動到b點速度在不斷地增大，則下列結論正確的是(　　)
圖1
A．該電場是勻強電場
B．該電場線的方向由N指向M
C．電子在a處的加速度小于在b處的加速度
D．因為電子從a到b的軌跡跟MN重合，所以電場線實際上就是帶電粒子在電場中的運動軌跡
二、思想方法題組
5．在x軸上有兩個點電荷，一個帶正電荷Q1，一個帶負電荷Q2，且Q1＝2Q2，用E1和E2分別表示兩個電荷所產生的場強的大小，則在x軸上(　　)
A．E1＝E2的點有一處，該處合場強為零
B．E1＝E2的點有兩處，其中一處合場強為零，另一處合場強為2E2
C．E1＝E2的點有三處，其中兩處合場強為零，另一處合場強為2E2
D．E1＝E2的點有三處，其中一處合場強為零，另兩處合場強為2E1
圖2
6．如圖2所示，圖中實線是一簇未標明方向的由點電荷產生的電場線，虛線是某帶電粒子通過該電場區域時的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點，若帶電粒子在運動過程中只受電場力作用，根據此圖可做出的正確判斷是(　　)
A．帶電粒子所帶電荷的正、負
B．帶電粒子在a、b兩點的受力方向
C．帶電粒子在a、b兩點的加速度何處較大
D．帶電粒子在a、b兩點的速度何處較大
一、場強的三個表達式的比較及場強的疊加
1．場強的三個表達式的比較
定義式 決定式 關系式
表達式 E＝F/q E＝kQ/r2 E＝U/d
適用范圍 任何電場 真空中的點電荷 勻強電場
說明 E的大小及方向與檢驗電荷的電荷量及存在與否無關． Q：場源電荷的電荷量．r：研究點到場源電荷的距離，用于均勻帶電球體(或球殼)時，r是球心到研究點的距離，Q是整個球體的帶電荷量． U：電場中兩點的電勢差．d：兩點沿電場方向的距離.
2.電場的疊加原理
多個電荷在電場中某點的電場強度為各個點電荷單獨在該點產生的電場強度的矢量和，這種關系叫電場強度的疊加，電場強度的疊加遵循平行四邊形定則．
【例1】如圖3甲所示，在一個點電荷Q形成的電場中，Ox坐標軸與它的一條電場線重合，坐標軸上A、B兩點的坐標分別為2.0 m和5.0 m．放在A、B兩點的試探電荷受到的電場力方向都跟x軸的正方向相同，電場力的大小跟試探電荷所帶電荷量的關系圖象如圖乙中直線a、b所示，放在A點的電荷帶正電，放在B點的電荷帶負電．求：
圖3
(1)B點的電場強度的大小和方向；
(2)試判斷點電荷Q的電性，并說明理由；
(3)點電荷Q的位置坐標．
圖4
【例2】如題圖4所示，電量為＋q和－q的點電荷分別位于正方體的頂點，正方體范圍內電場強度為零的點有(　　)
A．體中心、各面中心和各邊中點
B．體中心和各邊中點
C．各面中心和各邊中點
D．體中心和各面中心
[規范思維]
　
　
　
　
二、對電場線的進一步認識
1．點電荷的電場線的分布特點(如圖5所示)
(1)離點電荷越近，電場線越密集，場強越強．
(2)若以點電荷為球心作一個球面，電場線處處與球面垂直，在此球面上場強大小處處相等，方向各不相同．
圖5
圖6
2．等量異種點電荷形成的電場中電場線的分布特點(如圖6所示)
(1)兩點電荷連線上各點，電場線方向從正電荷指向負電荷．
(2)兩點電荷連線的中垂面(線)上，場強方向均相同，且總與中垂面(線)垂直．在中垂面(線)上到O點等距離處各點的場強相等(O為兩點電荷連線的中點)．
(3)關于O點對稱的兩點A與A′，B與B′的場強等大、同向．
圖7
3．等量同種點電荷形成的電場中電場線的分布特點(如圖7所示)
(1)兩點電荷連線中點O處場強為零．
(2)中點O附近的電場線非常稀疏，但場強并不為零．
(3)在中垂面(線)上從O點到無窮遠，電場線先變密后變疏，即場強先變大后變小．
(4)兩點電荷連線中垂線上各點的場強方向和該直線平行．
(5)關于O點對稱的兩點A與A′，B與B′的場強等大、反向．
4．勻強電場中電場線分布特點(如圖8所示)
圖8
電場線是平行、等間距的直線，場強方向與電場線平行．
【例3】
圖9
圖9是某一點電荷的電場線分布圖，下列表述正確的是(　　)
A．a點的電勢高于b點的電勢
B．該點電荷帶負電
C．a點和b點電場強度的方向相同
D．a點的電場強度大于b點的電場強度
[規范思維]
　
　
　
　
　
圖10
【例4】如圖10所示，M、N為兩個固定的等量同種正電荷，在其連線的中垂線上的P點放一個靜止的負電荷(重力不計)，下列說法中正確的是(　　)
A．從P到O，可能加速度越來越小，速度越來越大
B．從P到O，可能加速度先變大，再變小，速度越來越大
C．越過O點后，加速度一直變大，速度一直變小
D．越過O點后，加速度一直變小，速度一直變小
[規范思維]
　
　
三、電場中的力學問題
【例5】
圖11
反射式速調管是常用的微波器件之一，它利用電子團在電場中的振蕩來產生微波，其振蕩原理與下述過程類似．如圖11所示，在虛線MN兩側分別存在著方向相反的兩個勻強電場，一帶電微粒從A點由靜止開始，在電場力作用下沿直線在A、B兩點間往返運
動．已知電場強度的大小分別是E1＝2.0×103 N/C和E2＝4.0×103 N/C，方向如圖所示，帶電微粒質量m＝1.0×10－20 kg，帶電荷量q＝－1.0×10－9 C，A點距虛線MN的距離d1＝1.0 cm，不計帶電微粒的重力，忽略相對論效應．求：
(1)B點距虛線MN的距離d2；
(2)帶電微粒從A點運動到B點所經歷的時間t.
[規范思維]
　
　
【基礎演練】
1．在如圖12所示的四種電場中，分別標記有a、b兩點．其中a、b兩點的電勢相等，電場強度相同的是(　　)
圖12
A．甲圖中與點電荷等距的a、b兩點
B．乙圖中兩等量異種電荷連線的中垂線上與連線等距的a、b兩點
C．丙圖中兩等量同種電荷連線的中垂線上與連線等距的a、b兩點
D．丁圖中勻強電場中的a、b兩點
2．一帶負電荷的質點，在電場力作用下沿曲線abc從a運動到c，已知質點的速率是遞減的．關于b點電場強度E的方向，下列圖示中可能正確的是(虛線是曲線在b點的切線)(　　)
圖13
3．一負電荷從電場中A點由靜止釋放，只受電場力作用，沿電場線運動到B點，它運動的速度—時間圖象如圖13所示．則A、B兩點所在區域的電場線分布情況可能是下圖中的(　　)
4．如圖14所示，有一帶電物體處在一個斜向上的勻強電場E中，由靜止開始沿天花板向左做勻速直線運動，下列說法正確的是(　　)
圖14
A．物體一定帶正電
B．物體一定帶負電
C．物體不一定受彈力的作用
D．物體一定受彈力的作用
圖15
5．如圖15所示，一電子沿等量異種電荷的中垂線由A→O→B勻速飛過，電子重力不計，則電子所受另一個力的大小和方向變化情況是(　　)
A．先變大后變小，方向水平向左
B．先變大后變小，方向水平向右
C．先變小后變大，方向水平向左
D．先變小后變大，方向水平向右
圖16
6．如圖16所示，真空中O點有一點電荷，在它產生的電場中有a、b兩點，a點的場強大小為Ea，方向與ab連線成60°角，b點的場強大小為Eb，方向與ab連線成30°，關于a、b兩點場強Ea、Eb及電勢φa、φb的關系，正確的是(　　)
A．Ea＝3Eb，φa>φb B．Ea＝3Eb，φa<φb
C．Ea＝，φa<φb D．Ea＝Eb，φa<φb
【能力提升】
圖17
7．如圖17所示，在光滑絕緣水平面上有兩個分別帶異種電荷的小球A和B，它們均在水平向右的勻強電場中向右做勻加速運動，且始終保持相對靜止．設小球A的電荷量為QA，小球B的電荷量為QB，則下列判斷正確的是(　　)
A．小球A帶正電，小球B帶負電，且QA＞QB
B．小球A帶正電，小球B帶負電，且QA＜QB
C．小球A帶負電，小球B帶正電，且QA＞QB
D．小球A帶負電，小球B帶正電，且QA＜QB
圖18
8．如圖18所示，一質量為m、帶電荷量為q的物體處于場強按E＝E0－kt(E0、k均為大于零的常數，取水平向左為正方向)變化的電場中，物體與豎直墻壁間動摩擦因數為μ，當t＝0時刻物體處于靜止狀態．若物體所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且電場空間和墻面均足夠大，下列說法正確的是(　　)
A．物體開始運動后加速度先增加、后減小
B．物體開始運動后加速度不斷增大
C．經過時間t＝，物體在豎直墻壁上的位移達最大值
D．經過時間t＝，物體運動速度達最大值
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
圖19
9．如圖19所示，一帶電荷量為q＝－5×10－3 C，質量為m＝0.1 kg的小物塊處于一傾角為θ＝37°的光滑絕緣斜面上，當整個裝置處于一水平向左的勻強電場中時，小物塊恰處于靜止狀態．(g取10 m/s2)求：
(1)電場強度多大？
(2)若從某時刻開始，電場強度減小為原來的，物塊下滑距離L＝1.5 m時的速度大小？
圖20
10．如圖20所示，傾角為θ的斜面AB是粗糙且絕緣的，AB長為L，C為AB的中點，在A、C之間加一方向垂直斜面向上的勻強電場，與斜面垂直的虛線CD為電場的邊界．現有一質量為m、電荷量為q的帶正電的小物塊(可視為質點)，從B點開始在B、C間以速度v0沿斜面向下做勻速運動，經過C后沿斜面勻加速下滑，到達斜面底端A時的速度大小為v.試求：
(1)小物塊與斜面間的動摩擦因數μ；
(2)勻強電場場強E的大小．
學案27　電場強度和電場線
1．D　2.C
3．C　[電場線不是客觀存在的，是為了形象描述電場而假想的線，A選項是錯的．B選項也是錯的，由靜止開始運動的電荷所受電場力方向應是該點切線方向，下一時刻位置應沿切線方向上，可能在電場線上，也可能不在電場線上，軌跡可能與電場線不一致．何況電荷可以有初速度，運動軌跡與初速度大小方向有關，可能的軌跡很多，而電場線是一定的．正電荷在電場中所受的電場力方向與該點的切線方向相同，而負電荷所受的電場力方向與該點的切線方向相反，選項C是正確的．場強大小與場強的方向無關，與電場線方向無關，D選項是錯的．]
4．B　[由于電場線的分布情況不確定，所以不能比較場強的大小．又由于電子從a到b速度增大，故電子所受電場力方向由a→b，因此，場強方向由b→a，答案為B.]
5．B　[畫出電荷及場強的示意圖如圖所示．
在兩個電荷之間可找到一點使E1＝E2且方向相同．合場強等于2E2，在兩點電荷連線延長線靠近小電荷量電荷的一側(圖中Q2右側)，可找到一點使E1＝E2，但方向相反，所以合場強為零；在連線延長線Q1左側．E1與E2方向相反，但大小不可能相等．故只有選項B正確．]
6．BCD　[由電場線的疏密可知，a點的場強大，帶電粒子在a點的加速度大，故C正確；畫出初速度方向結合運動軌跡的偏轉方向，可判斷帶電粒子所受電場力的方向，但由于電場的方向未知，所以不能判斷帶電粒子的電性，故A錯，B對；利用初速度的方向和電場力方向的關系，可判斷帶電粒子由a到b做負功，動能減小，因此va>vb，選項D正確．]
思維提升
1．電場強度是電場這種物質的本身屬性，由電場本身決定，與檢驗電荷的存在與否無關．
2．電場強度三個公式的不同：
(1)E＝是定義式，適用任何電場．
(2)E＝k是決定式，只適用點電荷形成的電場．
(3)E＝是關系式，只適用勻強電場．
3．電場強度是矢量，其運算遵循平行四邊形定則．
4．電場線是描述電場的一種物理方法，是假想的線，不是客觀存在的．
例1 (1)2.5 N/C　方向沿x軸負方向　(2)負電荷，理由見解析　(3)2.6 m
解析　(1)由圖可知，兩直線的斜率分別表示A、B兩點的場強，即B點的電場強度大小是EB＝＝ N/C＝2.5 N/C，因放入B點的是負電荷，電場力方向與規定的x軸的正方向相同，而負電荷受電場力方向與電場強度方向相反，故B點場強方向應指向x軸負方向．
(2)由第(1)問的分析可知，A點的電場強度大小是EA＝ N/C＝40 N/C，方向指向x軸正方向．故點電荷Q應位于A、B兩點之間，且是負電荷．
(3)設點電荷Q的坐標為x，由點電荷的電場強度E＝k表達式和數學關系可知：兩點場強關系滿足＝＝，解得x＝2.6 m(x＝1 m舍去)．
例2 D　[利用點電荷產生場強的公式E＝k和場強疊加原理，對某邊中點處的場強進行分析求合場強可知其大小并不是零，排除選項A、B、C，選項D正確．]
[規范思維]　電場的疊加要根據電荷的正、負，先判斷場強的方向，然后利用矢量合成法則，結合對稱性分析疊加結果．
例3 BD　[沿電場線方向電勢降低，故A選項錯誤；由圖中電場線分布知，此場為一負點電荷的電場線分布圖，B項正確；電場線密集處場強大，C項錯誤、D項正確．]
[規范思維]　根據電場線可以直觀反映的信息：電場線的疏密(場強大小)、方向(場強方向)及電勢高低(沿電場線方向電勢逐漸降低)．
例4 AB　[要判斷P→O的過程中，加速度的變化情況，關鍵是判斷等量同種電荷連線中垂線上的場強變化情況．畫出等量同種點電荷周圍的電場線分布如圖所示．
根據圖可以定性看出，中垂線上的場強并非單調變化，而是有一個電場線分布密集區域，即場強應該存在最大值．即從O點沿中垂線場強先增大后減小．
點電荷從P→O的過程中，電場力可能是先變大后變小，加速度隨之先變大后變小；也可能電場力一直變小，加速度一直變小，關鍵是P點位置的不確定性．不過，在到達O點之前，電場力一直表現為引力，速度一定是一直變大的，在O點時加速度為零，速度最大．該電場關于直線MN對稱，點電荷越過O點后的運動也不一定是單調變化的．綜上所述，本題正確選項是A、B.]
[規范思維]　等量同種或異種點電荷周圍的電場是高考考查的熱點，解題時要充分利用電場線這個形象化的工具，并重點掌握：
(1)等量同種電荷連線中垂線上，從O點向外場強先變大后減小．
(2)等量異種電荷連線中垂線上，從O點向外場強逐漸變小．
例5 (1)0.5 cm　(2)1.5×10－8 s
解析　(1)帶電微粒由A運動到B的過程中，由動能定理有
|q|E1d1－|q|E2d2＝0①
由①式解得d2＝d1＝0.5 cm②
(2)設微粒在虛線MN兩側的加速度大小分別為a1、a2，由牛頓第二定律有|q|E1＝ma1③
|q|E2＝ma2④
設微粒在虛線MN兩側運動的時間分別為t1、t2，由運動學公式有d1＝a1t⑤
d2＝a2t⑥
又t＝t1＋t2⑦
由②③④⑤⑥⑦式解得t＝1.5×10－8 s
[規范思維]　解決電場強度與力學知識的綜合問題的一般思路
(1)明確研究對象．(多為一個帶電體，也可取幾個帶電體組成的系統)
(2)分析研究對象所受的全部外力，包括電場力．
(3)由平衡條件或牛頓第二定律列方程求解即可，對于涉及能量的問題，一般用動能定理或能量守恒列方程求解．
1．B　2.D
3．C　[由速度—時間圖象可知，電荷的速度越來越大，且加速度也是越來越大，故電荷在運動過程中，應受到逐漸增大的吸引力作用，所以電場線的方向應由B指向A.由于加速度越來越大，所以電場力越來越大，即B點的電場強度應大于A點的電場強度，即B點處電場線應比A點處密集，所以正確答案為C.]
4．AD　[物體由靜止向左運動，所以物體帶正電，物體做勻速直線運動，即合力為零，所以一定受摩擦力和彈力作用，所以選A、D.]
5．B　[等量異種電荷電場分布如右圖所示，由圖(a)中電場線的分布可以看出，從A到O，電場線由疏到密；從O到B，電場線由密到疏，所以從A→O→B，電場強度應由小變大，再由大變小，而電場強度方向沿電場線切線方向，為水平向右，如圖(b)所示．由于電子處于平衡狀態，所受合外力必為零，故另一個力應與電子所受電場力大小相等、方向相反．電子受的電場力與場強方向相反，即水平向左，電子從A→O→B過程中，電場力由小變大，再由大變小，故另一個力方向應水平向右，其大小應先變大后變小，所以選項B正確．]
6．B　[點電荷形成的電場，由場強的方向可知，該點電荷為負點電荷，沿電場線方向電勢降低，故φa<φb；設Oa的距離為r，則Ob等于r，由E＝k可得，Ea＝3Eb，故選項B正確．]
7．A　[如果小球A帶正電，小球B帶負電，兩球相距L，由牛頓第二定律得：對小球B：k－QBE＝mBaB，
對小球A：QAE－k＝mAaA
而aA＝aB，所以必有QA＞QB，A正確，B錯誤；如果小球A帶負電，小球B帶正電，則A所受合外力水平向左，加速度向左，不符合題意，故C、D均錯．]
8．BC　[物體開始運動后，電場力不斷減小，則彈力、摩擦力不斷減小，所以加速度不斷增加；電場力減小到零后反向增大，電場力與重力的合力一直增大，加速度也不斷增大，速度也會一直增大，B正確，A、D錯誤；經過時間t＝后，物體將脫離豎直墻面，所以經過時間t＝，物體在豎直墻壁上的位移達最大值，C正確．]
9．(1)150 N/C　(2)3 m/s
解析　(1)小物塊受力如圖，由受力平衡得：qE－FNsin θ＝0①
mg－FNcos θ＝0②
由①②得E＝
代入數據得E＝150 N/C.
(2)由牛頓第二定律得：
mgsin θ－cos θ＝ma③
v2＝2aL④
由③④得v＝
代入數據得速度大小為：v＝3 m/s.
10．(1)tan θ　(2).
解析　(1)小物塊在BC上勻速運動，由受力平衡得FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ，而Ff＝μFN，由以上幾式解得μ＝tan θ.
(2)小物塊在CA上做勻加速直線運動，受力情況如圖所示，則
FN′＝mgcos θ－qE，Ff′＝μFN′
根據牛頓第二定律得
mgsin θ－Ff′＝ma，v2－v＝2a·
由以上幾式解得E＝.
易錯點評
1．電場強度的方向與正電荷在電場中受力方向相同，不能說成與電荷在電場中受力方向相同，因負電荷受力方向與場強方向相反．
2．電場力的大小由電荷量的大小和場強的大小共同決定，與其它因素(如運動狀態、質量)無關．
3．要熟記等量同種電荷和等量異種電荷連線上和連線的中垂線上電場強度的變化規律．

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