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學案41 磁場對運動電荷的作用
一、概念規律題組
1．關于安培力和洛倫茲力，下面說法中正確的是(　　)
A．洛倫茲力和安培力是性質完全不同的兩種力
B．安培力和洛倫茲力，其本質都是磁場對運動電荷的作用力
C．安培力和洛倫茲力，二者是等價的
D．安培力對通電導體能做功，但洛倫茲力對運動電荷不能做功
2．以下四個圖是表示磁場磁感應強度B、負電荷運動的方向v和磁場對負電荷的洛倫茲力F之間的相互關系圖，這四個圖中畫得正確的是(B、v、F兩兩垂直)(　　)
3．帶電荷量為＋q的粒子在勻強磁場中運動，下列說法中正確的是(　　)
A．只要速度大小相同，所受洛倫茲力就相同
B．如果把＋q改為－q，且速度反向，大小不變，則洛倫茲力的大小、方向均不變
C．洛倫茲力方向一定與電荷運動方向垂直，磁場方向一定與電荷運動方向垂直
D．粒子在只受到洛倫茲力作用時運動的動能不變
二、思想方法題組
4．一個質量為m、電荷量為q的粒子，在磁感應強度為B的勻強磁場中做勻速圓周運動，則下列說法中正確的是(　　)
A．它所受的洛倫茲力是恒定不變的
B．它的速度是恒定不變的
C．它的速度與磁感應強度B成正比
D．它的運動周期與速度的大小無關
圖1
5．如圖1所示，在邊界PQ上方有垂直紙面向里的勻強磁場，一對正、負電子同時從邊界上的O點沿與PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁場中，則關于正、負電子，下列說法不正確的是(　　)
A．在磁場中運動的時間相同
B．在磁場中運動的軌道半徑相同
C．出邊界時兩者的速度相同
D．出邊界點到O點處的距離相等
一、對洛倫茲力的理解
1．洛倫茲力和安培力的關系
洛倫茲力是單個運動電荷在磁場中受到的力，而安培力是導體中所有定向移動的自由電荷受到的洛倫茲力的宏觀表現．
2．洛倫茲力方向的特點
(1)洛倫茲力的方向與電荷運動的方向和磁場方向都垂直，即洛倫茲力的方向總是垂直于運動電荷速度方向和磁場方向確定的平面．
(2)用左手定則判定負電荷在磁場中運動所受的洛倫茲力時，要注意將四指指向電荷運動的反方向．
3．洛倫茲力與電場力的比較
洛倫茲力 電場力
性質 磁場對在其中運動電荷的作用力 電場對放入其中電荷的作用力
產生條件 v≠0且v不與B平行 電場中的電荷一定受到電場力作用
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向與場方向的關系 一定是F⊥B，F⊥v與電荷電性無關 正電荷受力與電場方向相同，負電荷受力與電場方向相反
做功情況 任何情況下都不做功 可能做正功、負功，也可能不做功
力為零時場的情況 F為零，B不一定為零 F為零，E一定為零
作用效果 只改變電荷運動的速度方向，不改變速度大小 既可以改變電荷運動的速度大小，也可以改變電荷運動的方向
【例1】帶電粒子垂直勻強磁場方向運動時，會受到洛倫茲力的作用．下列表述正確的是(　　)
A．洛倫茲力對帶電粒子做功
B．洛倫茲力不改變帶電粒子的動能
C．洛倫茲力的大小與速度無關
D．洛倫茲力不改變帶電粒子的速度方向
二、帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的分析方法
1．圓心的確定
如圖2甲、乙所示，試確定兩種情況下圓弧軌道的圓心，并總結此類問題的分析方法．
圖2
圖3
總結　兩種情況下圓心的確定分別采用以下方法：
(1)已知入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖3所示，圖中P為入射點，M為出射點)．
(2)
圖4
已知入射點和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖4所示，P為入射點，M為出射點)．
根據以上總結的結論可以分析下面幾種常見的不同邊界磁場中的運動規律：
①直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖5(a)、(b)、(c)所示)
圖5
②平行邊界(存在臨界條件，如圖6(a)、(b)、(c)所示)
圖6
③圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖7所示)
圖7
2．半徑的確定
用幾何知識(勾股定理、三角函數等)求出半徑的大小．
3．運動時間的確定
粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間表示為：t＝T(或t＝T)．
【例2】
圖8
空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，圖8中的正方形為其邊界．一細束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射．這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不計重力．下列說法正確的是(　　)
A．入射速度不同的粒子在磁場中的運動時間一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡一定相同
C．在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同
D．在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大
[規范思維]
　
　
【例3】 如圖9所示，在某空間實驗室中，有兩個靠在一起的等大的圓柱形區域，分別存在著等大反向的勻強磁場，磁感應強度B＝0.10 T，磁場區域半徑r＝ m，左側區域圓心為O1，磁場向里，右側區域圓心為O2，磁場向外．兩區域切點為C.今有質量m＝3.2×10－26 kg、帶電荷量q＝1.6×10－19 C的某種離子，從左側區域邊緣的A點以速度v＝106 m/s正對O1的方向垂直磁場射入，它將穿越C點后再從右側區域穿出．求：
圖9
(1)該離子通過兩磁場區域所用的時間；
(2)離子離開右側區域的出射點偏離最初入射方向的側移距離(側移距離指垂直初速度方向上移動的距離)．
[規范思維]
　
　
三、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
1．解決此類問題的關鍵是：找準臨界點．
2．找臨界點的方法是：
以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，借助半徑R和速度v(或磁場B)之間的約束關系進行動態運動軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關系，找出臨界點，然后利用數學方法求解極值，常用結論如下：
(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切．
(2)當速度v一定時，弧長(或弦長)越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長．
(3)當速率v變化時，圓周角越大，運動時間越長．
【例4】如圖10(a)所示，在以O為圓心，內外半徑分別為R1和R2的圓環區域內，存在輻射狀電場和垂直紙面的勻強磁場，內外圓間的電勢差U為常量，R1＝R0，R2＝3R0.一電荷量為＋q，質量為m的粒子從內圓上的A點進入該區域，不計重力．
(1)已知粒子從外圓上以速度v1射出，求粒子在A點的初速度v0的大小．
(2)若撤去電場，如圖10(b)，已知粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度v2射出，方向與OA延長線成45°角，求磁感應強度的大小及粒子在磁場中運動的時間．
(3)在圖10(b)中，若粒子從A點進入磁場，速度大小為v3，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應強度應小于多少？
圖10
[規范思維]
　
　
【基礎演練】
1．在高緯度地區的高空，大氣稀薄，常出現五顏六色的弧狀、帶狀或幕狀的極其美麗壯觀的發光現象，這就是我們常說的“極光”．“極光”是由太陽發射的高速帶電粒子受地磁場的影響，進入兩極附近時，撞擊并激發高空中的空氣分子和原子引起的．假如我們在北極地區忽然發現正上方的高空出現了射向地球的沿順時針方向生成的紫色弧狀極光(顯示帶電粒子的運動軌跡)．則關于引起這一現象的高速帶電粒子的電性及弧狀極光的彎曲程度的說法中，正確的是(　　)
A．高速粒子帶負電 B．高速粒子帶正電
C．軌跡半徑逐漸減小 D．軌跡半徑逐漸增大
圖11
2．真空中兩根長直金屬導線平行放置，其中一根導線中通有恒定電流．在兩導線所確定的平面內，一電子從P點運動的軌跡的一部分如圖11中的曲線PQ所示，則一定是(　　)
A．ab導線中通有從a到b方向的電流
B．ab導線中通有從b到a方向的電流
C．cd導線中通有從c到d方向的電流
D．cd導線中通有從d到c方向的電流
圖12
3．如圖12所示，一帶負電的質點在固定的正的點電荷作用下繞該正電荷做勻速圓周運動，周期為T0，軌道平面位于紙面內，質點的速度方向如圖中箭頭所示．現加一垂直于軌道平面的勻強磁場，已知軌道半徑并不因此而改變，則(　　)
A．若磁場方向指向紙里，質點運動的周期將大于T0
B．若磁場方向指向紙里，質點運動的周期將小于T0
C．若磁場方向指向紙外，質點運動的周期將大于T0
D．若磁場方向指向紙外，質點運動的周期將小于T0
4.
圖13
如圖13所示，圓柱形區域的橫截面．在沒有磁場的情況下，帶電粒子(不計重力)以某一初速度沿截面直徑方向入射時，穿過此區域的時間為t；若該區域加沿軸線方向的勻強磁場，磁感應強度為B，帶電粒子仍以同一初速度沿截面直徑入射，粒子飛出此區域時，速度方向偏轉了.根據上述條件可求得的物理量為(　　)
A．帶電粒子的初速度
B．帶電粒子在磁場中運動的半徑
C．帶電粒子在磁場中運動的周期
D．帶電粒子的比荷
5.
圖14
回旋加速器是用來加速帶電粒子的裝置，如圖14所示，它的核心部分是兩個D形金屬盒，兩盒相距很近，分別和高頻交流電源相連接，在兩盒間的窄縫中形成交變電場，使帶電粒子每次通過窄縫都得到加速．兩盒放在勻強磁場中，磁場方向垂直于盒底面，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，通過兩盒間的窄縫時反復被加速，直到達到最大圓周半徑時通過特殊裝置被引出，如果用同一回旋加速器分別加速氚核(H)和α粒子(He)，比較它們所加的高頻交流電源的周期和獲得的最大動能的大小，可知(　　)
A．加速氚核的交流電源的周期較大，氚核獲得的最大動能較小
B．加速氚核的交流電源的周期較大，氚核獲得的最大動能也較大
C．加速氚核的交流電源的周期較小，氚核獲得的最大動能也較小
D．加速氚核的交流電源的周期較小，氚核獲得的最大動能較大
6.
圖15
如圖15所示，在x軸上方存在著垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一個不計重力的帶電粒子從坐標原點O處以速度v進入磁場，粒子進入磁場時的速度方向垂直于磁場且與x軸正方向成120°角，若粒子穿過y軸正半軸后在磁場中到x軸的最大距離為a，則該粒子的比荷和所帶電荷的正負是(　　)
A.，正電荷 B.，正電荷
C.，負電荷 D.，負電荷
【能力提升】
7.
圖16
如圖16所示，一個質量為m、電荷量為＋q的圓環，可在水平放置的足夠長的粗糙細桿上滑動，細桿處于磁感應強度為B的勻強磁場中，不計空氣阻力，現給圓環向右的初速度v0，在以后的運動過程中，圓環運動的速度圖象可能是下圖中的(　　)
圖17
8．如圖17所示，矩形MNPQ區域內有方向垂直于紙面的勻強磁場，有5個帶電粒子從圖中箭頭所示位置垂直于磁場邊界進入磁場，在紙面內做勻速圓周運動，運動軌跡為相應的圓?。@些粒子的質量、電荷量以及速度大小如下表所示．
粒子編號 質量 電荷量(q>0) 速度大小
1 m 2q v
2 2m 2q 2v
3 3m －3q 3v
4 2m 2q 3v
5 2m －q v
由以上信息可知，從圖中a、b、c處進入的粒子對應表中的編號分別為(　　)
A．3、5、4 B．4、2、5 C．5、3、2 D．2、4、5
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.
圖18
利用電場和磁場，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學分析和原子核技術等領域有重要的應用．
如圖18所示的矩形區域ACDG(AC邊足夠長)中存在垂直于紙面的勻強磁場，A處有一狹縫．離子源產生的離子，經靜電場加速后穿過狹縫沿垂直于GA邊且垂直于磁場的方向射入磁場，運動到GA邊，被相應的收集器收集，整個裝置內部為真空．
已知被加速的兩種正離子的質量分別為m1和m2(m1>m2)，電荷量均為q，加速電場的電勢差為U，離子進入電場時的初速度可以忽略．不計重力，也不考慮離子間的相互作用．
(1)求質量為m1的離子進入磁場時的速率v1.
(2)當磁感應強度的大小為B時，求兩種離子在GA邊落點的間距s.
(3)在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實際裝置中狹縫具有一定寬度，若狹縫過寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點區域交疊，導致兩種離子無法完全分離．
設磁感應強度大小可調，GA邊長為定值L，狹縫寬度為d，狹縫右邊緣在A處．離子可以從狹縫各處射入磁場，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場，為保證上述兩種離子能落在GA邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度．
學案41　磁場對運動電荷的作用
1．BD　2.ABC　3.BD　4.D　5.A
思維提升
1．洛倫茲力的大小和方向
(1)大小：F＝Bqvsin θ，θ為v與B的夾角．
①θ＝0°或180°時，F＝0.
②θ＝90°時，F＝Bqv.
③靜止的電荷不受洛倫茲力作用．
(2)方向
①左手定則
注意：四指指向正電荷運動的方向；拇指指向正電荷所受洛倫茲力的方向．
②方向特點：F垂直于B和v決定的平面，即F始終與速度方向垂直，故洛倫茲力永不做功．
2．帶電粒子在勻強磁場中的運動
(1)若v∥B，帶電粒子不受洛倫茲力，在勻強磁場中做勻速直線運動．
(2)若v⊥B，帶電粒子僅受洛倫茲力作用，在垂直于磁感線的平面內以入射速度v做勻速圓周運動．
由牛頓第二定律和向心力公式
可得：qvB＝m；軌道半徑R＝；周期T＝＝
例1 B　[F＝qvB，洛倫茲力的特點是永遠與運動方向垂直，永不做功，因此選B.]
例2　BD　[帶電粒子進入磁場后，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，根據qvB＝得軌道半徑r＝，粒子的比荷相同，故不同速度的粒子在磁場中運動的軌道半徑不同，軌跡不同；相同速度的粒子，軌道半徑相同，軌跡相同，故B正確．帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T＝＝，故所有帶電粒子的運動周期均相同，若帶電粒子都從磁場左邊界出磁場，則這些粒子在磁場中的運動時間是相同的，但不同速度的粒子，其運動軌跡不同，故A、C錯誤．根據＝得θ＝t，所以運動時間t越長，運動軌跡所對的圓心角θ越大，故D正確．]
[規范思維]　因所有粒子比荷相同，所以電性相同；又所有粒子從同一點入射，所以軌跡是否相同，應看半徑；運動時間是否相同，應看圓心角．另外還應注意磁場邊界的約束．
例3　(1)4.19×10－6 s　(2)2 m
解析　(1)離子在磁場中做勻速圓周運動，在左右兩區域的運動軌跡是對稱的．如下圖所示，設軌跡半徑為R，圓周運動的周期為T.
由牛頓第二定律
qvB＝m①
又：T＝②
聯立①②得：R＝③
T＝④
將已知數據代入③得R＝2 m⑤
由軌跡圖知：tan θ＝＝，則θ＝30°.
則全段軌跡運動時間：
t＝2××2θ＝⑥
聯立④⑥并代入已知數據得：
t＝ s＝4.19×10－6 s
(2)在圖中過O2向AO1作垂線，聯立軌跡對稱關系知側移總距離d＝2rsin 2θ＝2 m.
[規范思維]　1.帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的程序解題法——三步法：
(1)畫軌跡：即確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
(2)找聯系：軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系，偏轉角度與圓心角、運動時間相聯系，在磁場中運動的時間與周期相聯系．
(3)用規律：即牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期公式、半徑公式．
2．首先利用對準圓心方向入射必定沿背離圓心出射的規律，找出圓心位置；再利用幾何知識及帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的相關知識求解．
例4 見解析
解析　(1)根據動能定理，qU＝mv－mv，所以v0＝.
(2)如圖所示，設粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，由幾何知識可知R2＋R2＝(R2－R1)2，解得R＝R0.根據洛倫茲力公式qv2B＝m，解得B＝＝.
根據公式＝，2πR＝v2T，
qv2B＝m，解得t＝＝＝＝
(3)考慮臨界情況，如圖所示
①qv3B1′＝m，解得B1′＝，
②qv3B2′＝m，解得B2′＝，綜合得：B′<.
[規范思維]　(1)帶電粒子在電磁復合場中運動時，洛侖茲力不做功，只有電場力做功．
(2)帶電粒子在單一磁場中運動時，定圓心、求半徑及圓心角是解題的關鍵．
(3)注意有界磁場的邊界約束以及由此而產生的臨界情況．
思想方法總結
1．帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的程序解題法——三步法
(1)畫軌跡：即確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
(2)找聯系：軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系，偏轉角度與圓心角、運動時間相聯系，在磁場中運動的時間與周期相聯系．
(3)用規律：即牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期公式、半徑公式．
2．解答有關運動電荷在有界勻強磁場中的運動問題時，我們可以將有界磁場視為無界磁場，讓粒子能夠做完整的圓周運動，確定粒子做圓周運動的圓心，作好輔助線，充分利用圓的有關特性和公式定理、圓的對稱性等幾何知識是解題關鍵，如弦切角等于圓心角的一半、速度的偏轉角等于圓心角．粒子在磁場中的運動時間與速度方向的偏轉角成正比．
1．BC　　2.C　3.AD　4.CD　5.A　6.C
7．AD　8.D
9．(1)　(2)(－)
(3)L
解析　(1)加速電場對質量為m1的離子做的功W＝qU.
由動能定理得m1v＝qU
所以v1＝
(2)由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得
qvB＝，R＝①
利用①式得離子在磁場中的軌道半徑分別為
R1＝，R2＝②
兩種離子在GA邊上落點的間距
s＝2R1－2R2＝(－)③
(3)質量為m1的離子在GA邊上的落點都在其入射點左側2R1處，由于狹縫的寬度為d，因此落點區域的寬度也是d.同理，質量為m2的離子在GA邊上的落點區域的寬度也是d.
要保證兩種離子能完全分離，兩個區域應無交疊，條件為
2(R1－R2)>d④
將②式代入④式得2R1>d
R1的最大值滿足2R1m＝L－d
得(L－d)>d
求得最大值dm＝L
易錯點評
1．求解帶電粒子在有界磁場中做圓周運動的力學問題時，根據速度方向垂直于半徑，正確地畫出圓周運動的軌跡是解題過程中要做的第一步(不少同學不善于規范地畫出軌跡圖，致使無法正確地找出幾何關系)，此后再由平面幾何知識求出軌道半徑和軌跡所對應的圓心角，最后再利用帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的規律求解．
2．在第5題中，由于某些同學不理解回旋加速器的工作原理導致出錯．理解回旋加速器的原理需掌握兩點：①粒子離開磁場時的動能與加速電壓無關，由R＝知，Ek＝只取決于磁場的半徑R、磁感應強度B的大小以及粒子本身的質量和電荷量；②粒子做圓周運動的周期等于交變電場的周期，由f＝知，要加速不同的粒子需調整B和f.
3．在第8題中，所給信息較多，但如沒有耐心和一定的方法，會陷入無從下手的境地．根據題圖確認a、b、c三者的半徑關系，電性關系，再結合表中的數據進行分析．綜合分析能力一直是高考的重點，應在平時的學習中注意培養．

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