資源簡介

學案46 電磁感應中的電路與圖象問題
一、概念規律題組
圖1
1．用均勻導線做成的正方形線框邊長為0.2 m，正方形的一半放在垂直紙面向里的勻強磁場中，如圖1所示．當磁場以10 T/s的變化率增強時，線框中a、b兩點間的電勢差是(　　)
A．Uab＝0.1 V
B．Uab＝－0.1 V
C．Uab＝0.2 V
D．Uab＝－0.2 V
圖2
2．如圖2所示，導體AB在做切割磁感線運動時，將產生一個感應電動勢，設導體AB的電阻為r，導軌左端接有阻值為R的電阻，磁場磁感應強度為B，導軌寬為d，導體AB勻速運動，速度為v.下列說法正確的是(　　)
A．在本題中分析電路時，導體AB相當于電源，且A端為電源正極
B．UCD＝Bdv
C．C、D兩點電勢關系為：φC<φD
D．在AB中電流從B流向A，所以φB>φA
3．穿過閉合回路的磁通量Φ隨時間t變化的圖象分別如圖3所示，下列關于回路中產生的感應電動勢的論述，正確的是(　　)
圖3
A．圖①中，回路產生的感應電動勢恒定不變
B．圖②中，回路產生的感應電動勢一直在變大
C．圖③中，回路在0～t1時間內產生的感應電動勢小于在t1～t2時間內產生的感應電動勢
D．圖④中，回路產生的感應電動勢先變小再變大
二、思想方法題組
4．粗細均勻的電阻絲圍成的正方形線框置于有界勻強磁場中，磁場方向垂直于線框平面，其邊界與正方形線框的邊平行．現使線框以同樣大小的速度沿四個不同方向平移出磁場，如下圖所示，則在移出過程中線框的一邊a、b兩點間電勢差絕對值最大的是(　　)
5．如圖4甲所示，光滑導軌水平放置在斜向下且與水平方向夾角為60°的勻強磁場中，勻強磁場的磁感應強度B隨時間t的變化規律如圖乙所示(規定斜向下為正方向)，導體棒ab垂直導軌放置，除電阻R的阻值外，其余電阻不計，導體棒ab在水平外力作用下始終處于靜止狀態．規定a→b的方向為電流的正方向，水平向右的方向為外力的正方向，則在0～t時間內，能正確反映流過導體棒ab的電流i和導體棒ab所受水平外力F隨時間t變化的圖象是(　　)
圖4
一、電磁感應中的電路問題
1．內電路和外電路
(1)切割磁感線運動的導體或磁通量發生變化的線圈都相當于電源，該部分導體的電阻或線圈的電阻相當于電源的內阻(r)．
(2)除電源外其余部分是外電路．
2．解決與電路相聯系的電磁感應問題的基本方法
(1)用法拉第電磁感應定律和楞次定律(或右手定則)確定感應電動勢的大小和方向．
(2)畫等效電路圖．
(3)運用閉合電路歐姆定律、串并聯電路的性質、電功率等公式求解．
3．與上述問題相關的幾個知識點
(1)電源電動勢：E＝n或E＝Blv.
(2)閉合電路歐姆定律：I＝.
部分電路歐姆定律：I＝.
電源的內電壓：U內＝Ir.
電源的路端電壓：U外＝IR＝E－Ir.
(3)消耗功率：P外＝IU，P總＝IE.
(4)通過導體的電荷量：q＝IΔt＝n.
【例1】如圖5(a)所示，水平放置的兩根平行金屬導軌，間距L＝0.3 m，導軌左端連接R＝0.6 Ω 的電阻．區域abcd內存在垂直于導軌平面向外、B＝0.6 T的勻強磁場，磁場區域寬D＝0.2 m．細金屬棒A1和A2用長為2D＝0.4 m的輕質絕緣桿連接，放置在導軌平面上，并與導軌垂直，每根金屬棒在導軌間的電阻均為r＝0.3 Ω，導軌電阻不計．使金屬棒以恒定速度v＝1.0 m/s沿導軌向右穿越磁場，計算從金屬棒A1進入磁場(t＝0)到A2離開磁場的時間內，不同時間段通過電阻R的電流強度，并在圖1(b)中畫出．
圖5
二、電磁感應中的圖象問題
1．圖象問題可以綜合法拉第電磁感應定律、楞次定律或右手定則、安培定則和左手定則，還有與之相關的電路知識和力學知識等．
2．對于圖象問題，搞清物理量之間的函數關系、變化范圍、初始條件、斜率的物理意義等，往往是解題的關鍵．
3．解決圖象問題的一般步驟
(1)明確圖象的種類，即是B－t圖象還是Φ－t圖象，或者E－t圖象、I－t圖象等．
(2)分析電磁感應的具體過程．
(3)用右手定則或楞次定律確定方向對應關系．
(4)結合法拉第電磁感應定律、歐姆定律、牛頓運動定律等規律寫出函數關系式．
(5)根據函數關系式，進行數學分析，如分析斜率的變化、截距等．
(6)畫圖象或判斷圖象．
【例2】
圖6
如圖6所示，兩固定的豎直光滑金屬導軌足夠長且電阻不計．兩質量、長度均相同的導體棒c、d，置于邊界水平的勻強磁場上方同一高度h處．磁場寬為3h，方向與導軌平面垂直．先由靜止釋放c，c剛進入磁場即勻速運動，此時再由靜止釋放d，兩導體棒與導軌始終保持良好接觸．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的動能，xc、xd分別表示c、d相對釋放點的位移．下列圖中正確的是(　　)
[規范思維]
　
圖7
【例3】如圖7所示，一有界區域內，存在著磁感應強度大小均為B，方向分別垂直于光滑水平桌面向下和向上的勻強磁場，磁場寬度均為L.邊長為L的正方形線框abcd的bc邊緊靠磁場邊緣置于桌面上．使線框從靜止開始沿x軸正方向勻加速通過磁場區域，若以逆時針方向為電流的正方向，能反映線框中感應電流變化規律的是圖(　　)
[規范思維]
　
　
　
【基礎演練】
1．用相同導線繞制的邊長為L或2L的四個閉合導線框，以相同的速度勻速進入右側勻強磁場，如圖8所示．在每個線框進入磁場的過程中，M、N兩點間的電壓分別為Ua、Ub、Uc和Ud.下列判斷正確的是(　　)
圖8
A．UaC．Ua＝Ub2．一個圓形閉合線圈固定在垂直紙面的勻強磁場中，線圈平面與磁場方向垂直，如圖9甲所示．設垂直于紙面向里的磁感應強度方向為正，垂直于紙面向外的磁感應強度方向為負．線圈中順時針方向的感應電流為正，逆時針方向的感應電流為負．已知圓形線圈中感應電流I隨時間變化的圖象如圖乙所示，則線圈所處的磁場的磁感應強度隨時間變化的圖象可能是下圖中哪一個(　　)
圖9
3．如圖10甲所示，矩形導線框abcd放在勻強磁場中，在外力控制下靜止不動，磁感線方向與線圈平面垂直，磁感應強度B隨時間變化的圖象如圖乙所示．t＝0時刻，磁感應強度的方向垂直紙面向里．在0～4 s時間內，線框ab邊受安培力隨時間變化的圖象(力的方向規定以向左為正方向)可能是下圖中的(　　)
圖10
4．如圖11所示，圓環a和圓環b的半徑之比為2∶1，兩環用同樣粗細、同種材料制成的導線連成閉合回路，連接兩環的導線電阻不計，勻強磁場的磁感應強度變化率恒定．則在a、b環分別單獨置于磁場中的兩種情況下，M、N兩點的電勢差之比為(　　)
圖11
A．4∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2
圖12
5．如圖12所示，邊長為2l的正方形虛線框內有垂直于紙面向里的勻強磁場，一個邊長為l的正方形導線框所在平面與磁場方向垂直，導線框和虛線框的對角線重合．從t＝0開始，使導線框從圖示位置開始以恒定速度沿對角線方向移動進入磁場，直到整個導線框離開磁場區域．用I表示導線框中的感應電流，取逆時針方向為正．則下列表示I－t關系的圖線中，可能正確的是(　　)
6．(2011·江蘇·5)如圖13所示，水平面內有一平行金屬導軌，導軌光滑且電阻不計，勻強磁場與導軌平面垂直．阻值為R的導體棒垂直于導軌靜止放置，且與導軌接觸良好．t＝0時，將開關S由1擲到2.q、i、v和a分別表示電容器所帶的電荷量、棒中的電流、棒的速度和加速度．下列圖象正確的是(　　)
圖13
題號 1 2 3 4 5 6
答案
圖14
7．如圖14所示，間距l＝0.3 m的平行金屬導軌a1b1c1和a2b2c2分別固定在兩個豎直面內．在水平面a1b1b2a2區域內和傾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2區域內分別有磁感應強度B1＝0.4 T、方向豎直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的勻強磁場．電阻R＝0.3 Ω、質量m1＝0.1 kg、長為l的相同導體桿K、S、Q分別放置在導軌上，S桿的兩端固定在b1、b2點，K、Q桿可沿導軌無摩擦滑動且始終接觸良好．一端系于K桿中點的輕繩平行于導軌繞過輕質定滑輪自然下垂，繩上穿有質量m2＝0.05 kg的小環．已知小環以a＝6 m/s2的加速度沿繩下滑，K桿保持靜止，Q桿在垂直于桿且沿斜面向下的拉力F作用下勻速運動．不計導軌電阻和滑輪摩擦，繩不可伸長．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求
(1)小環所受摩擦力的大小；
(2)Q桿所受拉力的瞬時功率．
【能力提升】
8．兩根光滑的長直金屬導軌MN、M′N′平行放置于同一水平面內，導軌間距為l，電阻不計，M、M′處接有如圖15所示的電路，電路中各電阻的阻值均為R，電容器的電容為C.長度也為l、阻值也為R的金屬棒ab垂直于導軌放置，導軌處于磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場中．ab在外力作用下向右勻速運動且與導軌保持良好接觸，在ab運動距離為x的過程中，整個回路中產生的焦耳熱為Q.求：
圖15
(1)ab運動速度v的大小；
(2)電容器所帶的電荷量q.
9．如圖16甲所示，質量m＝6.0×10－3 kg、邊長L＝0.20 m、電阻R＝1.0 Ω的正方形單匝金屬線框abcd，置于傾角α＝30°的絕緣斜面上，ab邊沿水平方向，線框的上半部分處在垂直斜面向上的勻強磁場中，磁感應強度B隨時間t按圖乙所示的規律周期性變化，若線框在斜面上始終保持靜止，取g＝10 m/s2.試求：
(1)在0～2.0 ×10－2 s時間內線框中產生的感應電流的大小；
(2)在t＝1.0×10－2 s時線框受到斜面的摩擦力；
(3)一個周期內感應電流在線框中產生的平均電功率．
圖16
學案46　電磁感應中的電路與圖象問題
1．B
　[題中正方形線框的左半部分因磁通量變化而產生感應電動勢，故線框中將產生感應電流，把左半部分線框看成電源，設其電動勢為E，正方形線框的總電阻為r，則其內電阻為，畫出等效電路如圖所示．則ab兩點間的電勢差即為電源的路端電壓，設邊長為l，且依題意知＝10 T/s.
由E＝得E＝＝＝10× V＝0.2 V，所以U＝I＝·＝× V＝0.1 V.
由于a點電勢低于b點電勢，故Uab＝－0.1 V，B選項正確．]
2．A　[導體AB切割磁感線產生感應電動勢，在回路中產生感應電流，方向從B到A，導體AB相當于電源，電源內部電流由負極流向正極，因此A項對，D項錯；CD間電阻R相當于外電阻，UCD＝，且φC>φD.B、C項均錯誤．]
3．D
4．B　[設此題中磁感應強度為B，線框邊長為l，速度為v，則四種情況的感應電動勢都是Blv，但B中ab為電源，a、b兩點間的電勢差為路端電壓Uab＝Blv，其他三種情況下，Uab＝Blv，故選B.]
5．D　[由楞次定律可判定回路中的電流始終為b→a方向，由法拉第電磁感應定律可判定回路電流大小恒定，故A、B兩項錯；由F安＝BIL可得F安隨B的變化而變化，在0～t0時間內，F安方向向右，故外力F與F安等值反向，方向向左為負值；在t0～t時間內，F安方向改變，故外力F方向也改變為正值，綜上所述，D項正確．]
思維提升
1．內電路和外電路
(1)切割磁感線運動的導體或磁通量發生變化的線圈都相當于電源．
(2)該部分導體或線圈的電阻相當于電源的內阻，其余部分是外電路．
2．電源電動勢和路端電壓
(1)電動勢：E＝n(n為線圈的匝數)或E＝Blv.
(2)路端電壓：U＝E－Ir＝IR
3．在B－t圖象中，正負表示磁場的方向，斜率表示磁感應強度的變化率；在Φ－t圖象中斜率表示磁通量的變化率，與感應電動勢的大小有關．
例1 見解析
解析　t1＝＝0.2 s，t2＝＝0.4 s，t3＝＝0.6 s.
0～t1(0～0.2 s)時間內，A1棒相當于電源，
A1棒產生的感應電動勢
E＝BLv＝0.6×0.3×1.0 V＝0.18 V
電阻R與A2棒并聯，阻值為R并＝＝0.2 Ω
所以電阻R兩端電壓
U＝E＝×0.18 V＝0.072 V
通過電阻R的電流I1＝＝ A＝0.12 A
t1～t2(0.2 s～0.4 s)時間內穿過兩金屬棒之間的平面的磁通量不變，E＝0，I2＝0.
同理，t2～t3(0.4 s～0.6 s)時間內，I3＝0.12 A.
不同時間段通過R的電流如圖所示．
[規范思維]　電磁感應中的電路問題，實質是發生電磁感應的部分相當于電源對外供電，供電過程遵從電路中一切規律．所以明確“電源”及電路結構，畫等效電路圖是解題的關鍵．
例2 BD　[c棒下落h的過程為自由落體運動，a＝g.設進入磁場瞬間速度為v，則由勻速運動有F安＝mg＝BIL＝，a＝0.此時釋放d棒，在d棒自由下落h的過程中，c棒在磁場中下落2h，此過程c一直做勻速運動，a＝0.當d棒進入磁場后，c、d兩棒運動速度相同，穿過閉合回路磁通量不變，無感應電流，無安培力，二者都做勻加速直線運動．共同下落h后，此時c棒離開磁場，d棒進入磁場h的距離，此時c、d的速度都是v′(v′>v)，d此時切割磁感線，產生感應電動勢E′＝BLv′，F安′＝BI′L＝BL>F安＝mg，d棒做減速運動，d棒離開磁場后c、d兩棒均以加速度a＝g做勻加速運動，故選項B、D正確．]
[規范思維]　分析清楚c、d兩棒在下述三個過程中的受力情況和運動情況是解決本題的關鍵．①c在磁場內，d在磁場外．②c、d都在磁場內．③c在磁場外，d在磁場內．
例3 AC　[電流一開始為正，且I＝＝＝kt，所以電流隨時間均勻增大，A項正確；v＝，I＝＝∝，C項正確．本題還要注意線圈進入第二個磁場前后感應電流大小和方向不一樣．]
[規范思維]　對圖象的認識，應從以下幾方面注意：
(1)明確圖象所描述的物理意義，有必要需寫出函數表達式；
(2)必須明確各種“＋”“－”的含義；
(3)必須明確斜率的含義；
(4)必須建立圖象和電磁感應過程之間的對應關系．
思想方法總結
1．解決電磁感應電路問題的基本步驟
(1)用法拉第電磁感應定律和楞次定律或右手定則確定感應電動勢的大小和方向：感應電流的方向是電源內部電流的方向．
(2)根據“等效電源”和電路中其他各元件的連接方式畫出等效電路．
(3)根據E＝BLv或E＝n結合閉合電路歐姆定律，串并聯電路知識和電功率、焦耳定律等關系式聯立求解．
2．電磁感應圖象問題的解決方法
解決圖象問題的一般步驟
(1)明確圖象的種類，即是B－t圖還是Φ－t圖，或者E－t圖、I－t圖等．
(2)分析電磁感應的具體過程．
(3)用右手定則或楞次定律確定方向對應關系．
(4)結合法拉第電磁感應定律、歐姆定律、牛頓運動定律等寫出函數關系式．
(5)根據函數關系式，進行數學分析，如分析斜率的變化、截距等．
(6)判斷圖象(畫圖象或應用圖象解決問題)．
3．對圖象的分析，應做到“四明確一理解”：
(1)明確圖象所描述的物理意義；明確各種“＋”、“－”的含義；明確斜率的含義；明確圖象和電磁感應過程之間的對應關系．
(2)理解三個相似關系及其各自的物理意義：
v－Δv－，B－ΔB－，Φ－ΔΦ－.
1．B　2.CD　3.D　4.C　5.D
6．D　[導體棒做加速度減小的加速運動，直至勻速．故q－t圖象應如圖甲所示，A錯；i－t圖象應如圖乙所示，B錯；v－t圖象應如圖丙所示，C錯，D對．]
7．(1)0.2 N　(2)2 W
8．(1)　(2)
解析　(1)設ab上產生的感應電動勢為E，回路中的電流為I，ab運動距離x所用時間為t，三個電阻R與電源串聯，總電阻為4R，則有E＝Blv
由閉合電路歐姆定律有I＝
t＝
由焦耳定律有Q＝I2(4R)t
由上述方程得v＝.
(2)設電容器兩極板間的電勢差為U，則有U＝IR
電容器所帶的電荷量q＝CU
解得q＝.
9．(1)0.20 A　(2)3.4×10－2 N　沿斜面向上
(3)6×10－2 W
解析　(1)0～2.0×10－2 s時間內，線框中產生的感應電動勢為E1，感應電流為I1，方向由d→c，則E1＝＝·
I1＝
代入數據解得E1＝0.20 V，I1＝0.20 A.
(2)t＝1.0×10－2 s，線框受到的安培力F1＝B1I1L，方向沿斜面向下，結合圖乙，代入數據得F1＝4.0×10－3 N
設此時線框受到的摩擦力大小為Ff，則
由線框在斜面靜止得mgsin α＋F1－Ff＝0
代入數據得Ff＝3.4×10－2 N
摩擦力方向沿斜面向上．
(3)在3.0×10－2 s～4.0×10－2 s時間內線框中產生的感應電動勢
E2＝·
代入數據得E2＝0.40 V
2．0×10－2 s～3.0×10－2 s時間內，E3＝0.
設磁場變化周期為T，線框中產生的平均電功率為P，則
·＋·＝PT
代入數據得P＝6×10－2 W
易錯點評
1．在第1題中，不理解UMN的意義，不能對a、b、c、d四種情況進行統一分析，列相應表達式是錯誤的主要原因．
2．在第2題中，往往是把C項分析正確了，然后馬上把D項否定．屬于沒有真正理解B－t圖象斜率的大小、方向的意義．
3．在第4題中，出錯的原因主要是分析不徹底，雖然從圖象上判知感應電流在前、后半周期都是恒定的，但沒有想安培力也隨B的變化而變化．
4．在第5題中，由于不能想到方框切割磁感線的有效長度隨時間或位移如何變化，導致出錯．
5．圖象類問題是高考考查的熱點內容，在歷年的高考試卷中常常有所體現，但在考查過程中錯誤率也較高，主要體現在有些同學對坐標軸上的單位沒有弄清楚，對物理量在變化過程中的大小、正負沒有分析清楚．

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