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第十章　交變電流
學案48 交變電流的產生和描述
一、概念規律題組
1．圖中閉合線圈都在勻強磁場中繞虛線所示的固定轉軸勻速轉動，不能產生正弦式交變電流的是(　　)
2．下面關于交變電流的說法中正確的是(　　)
A．交流電器設備上所標的電壓值和電流值是交變電流的峰值
B．用交流電流表和電壓表測定的數值是交變電流的瞬時值
C．給定的交變電流數值，在沒有特別說明的情況下指的都是有效值
D．跟交變電流有相同的熱效應的直流電數值是交變電流的有效值
3．一閉合矩形線圈abcd繞垂直于磁感線的固定軸OO′勻速轉動，線圈平面位于如圖1甲所示的勻強磁場中．通過線圈的磁通量Φ隨時間t的變化規律如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
圖1
A．t1、t3時刻通過線圈的磁通量變化率最大
B．t1、t3時刻線圈中感應電流方向改變
C．t2、t4時刻線圈中磁通量最大
D．t2、t4時刻線圈中感應電動勢最小
二、思想方法題組
4．兩個完全相同的電熱器，分別通以圖2甲、乙所示的峰值相等的矩形交變電流和正弦交變電流，則這兩個電熱器的電功率之比P甲∶P乙等于(　　)
圖2
A.∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．1∶1
5．一正弦交流電的電壓隨時間變化的規律如圖3所示，由圖可知(　　)
圖3
A．該交流電的電壓的有效值為100 V
B．該交流電的頻率為25 Hz
C．該交流電壓瞬時值的表達式為u＝100sin 25t V
D．若將該交流電壓加在阻值為100 Ω的電阻兩端，則該電阻消耗的功率為50 W
一、正弦式交流電產生的原理
圖4
矩形線框繞垂直于勻強磁場的軸O轉動時，線圈的兩條邊切割磁感線產生感應電動勢，如圖4所示．設線圈的匝數為n，轉動角速度為ω，兩對邊分別為l1和l2(其中ab邊為l1，ad邊為l2)．
若從中性面開始計時，經時間t轉到如圖所示位置．則t時間線框轉過ωt角．
ab邊產生的電動勢
e1＝nBl1ω·l2sin ωt.
cd邊產生的電動勢
e2＝nBl1ω·l2sin ωt.
由右手定則可知：e1和e2環繞方向相同．
故總電動勢e＝e1＋e2＝nBl1l2ωsin ωt＝nBSωsin ωt.
其中nBSω為電動勢的最大值．
圖5
【例1】 如圖5所示，邊長為l的正方形線圈abcd的匝數為n，ad邊的中點和bc邊的中點的連線OO′恰好位于勻強磁場的邊界上，磁感應強度為B，線圈與外電阻R構成閉合電路，整個線圈的電阻為r.現在讓線圈以OO′連線為軸，以角速度ω勻速轉動，從圖示時刻開始計時，求：
(1)閉合電路中電流瞬時值i的表達式；
(2)當t＝時，電阻R兩端的電壓值．
[規范思維]
　
　
　
[針對訓練1]　在勻強磁場中，一矩形金屬框繞與磁感線垂直的轉軸勻速轉動，如圖6所示，產生的交變電動勢的圖象如圖7所示，則(　　)
　　
　　　 圖6　　　　　　　　圖7
A．t＝0.005 s時線框的磁通量變化率為零
B．t＝0.01 s時線框平面與中性面重合
C．線框產生的交變電動勢有效值為311 V
D．線框產生的交變電動勢頻率為100 Hz
二、正弦式交流電的圖象的應用
　　物理量　　 函數(從中性面計時) 圖象
磁通量 Φ＝Φmcos ωt　＝BScos ωt
電動勢 e＝Emsin ωt　＝nBSωsin ωt
路端電壓 u＝Umsin ωt　
電流 i＝Imsin ωt　
【例2】 如圖8(a)所示，一矩形線圈abcd放置在勻強磁場中，并繞過ab、cd中點的軸OO′以角速度ω逆時針勻速轉動．若以線圈平面與磁場夾角θ＝45°時為計時起點，如圖(b)所示，并規定當電流自a流向b時為正方向．則下面所示的四幅圖中正確的是(　　)
圖8
[規范思維]
　
　
圖9
[針對訓練2]　小型交流發電機中，矩形金屬線圈在勻強磁場中勻速轉動，產生的感應電動勢與時間成正弦函數關系，如圖9所示，此線圈與一個R＝10 Ω的電阻構成閉合電路，不計電路的其他電阻，下列說法正確的是(　　)
A．交變電流的周期為0.125 s
B．交變電流的頻率為8 Hz
C．交變電流的的有效值為 A
D．交變電流的的最大值為4 A
三、非正弦交流電有效值的計算方法
只有正弦式交變電流才能用的關系，其他交變電流都不滿足這一關系，只能根據有效值的定義進行計算．計算時要注意兩點，一：若交變電流正負半周最大值不相等時，應分段計算電熱；二：取一個周期計算電熱．
【例3】 如圖10所示為一交變電流的i－t圖象，該交變電流的有效值為多少？
圖10
[規范思維]
　
　
　
[針對訓練3]　
圖11
如圖11所示的區域內有垂直于紙面的勻強磁場，磁感應強度為B.電阻為R、半徑為L、圓心角為45°的扇形閉合導線框繞垂直于紙面的O軸以角速度ω勻速轉動(O軸位于磁場邊界)．則線框內產生的感應電流的有效值為(　　)
A. B.
C. D.
四、交流電四值的比較和應用
物理量 物理含義 重要關系 適用情況及說明
瞬時值 交變電流某一時刻的值 e＝Emsin ωt i＝Imsin ωt 計算線圈某時刻的受力情況
峰值 最大的瞬時值 Em＝nBSωIm＝ 討論電容器的擊穿電壓
有效值 跟交變電流的熱效應等效的恒定電流值 對正(余)弦交變電流有：E＝Em/ U＝Um/ I＝Im/ (1)計算與電流的熱效應有關的量(如功、功率、熱量等) (2)電器設備“銘牌”上所標的一般是有效值(3)保險絲的熔斷電流值為有效值
平均值 交變電流圖象中圖線與時間軸所圍的面積與時間的比值 ＝Bl＝n＝ 計算通過電路截面的電荷量
【例4】一臺小型發電機產生的電動勢隨時間變化的正弦規律圖象如圖12甲所示．已知發電機線圈內阻為5.0 Ω，現外接一只電阻為95.0 Ω的燈泡，如圖乙所示，則(　　)
圖12
A．電壓表V的示數為220 V
B．電路中的電流方向每秒鐘改變50次
C．燈泡實際消耗的功率為484 W
D．發電機線圈內阻每秒鐘產生的焦耳熱為24.2 J
[針對訓練4]　
圖13
如圖13所示，在勻強磁場中勻速轉動的矩形線圈的周期為T，轉軸O1O2垂直于磁場方向，線圈電阻為2 Ω.從線圈平面與磁場方向平行時開始計時，線圈轉過60°時的感應電流為1 A．那么(　　)
A．線圈消耗的電功率為4 W
B．線圈中感應電流的有效值為2 A
C．任意時刻線圈中的感應電動勢為e＝4cos t
D．任意時刻穿過線圈的磁通量為Φ＝sin t
【基礎演練】
1．如下圖所示的線圈中產生了交變電流的是(　　)
2．一正弦交流電的電壓隨時間變化的規律如圖14所示．由圖可知(　　)
圖14
A．該交流電的電壓瞬時值的表達式為u＝100sin (25t) V
B．該交流電的頻率為25 Hz
C．該交流電的電壓的有效值為100 V
D．若將該交流電壓加在阻值為R＝100 Ω的電阻兩端，則電阻消耗的功率是50 W
3．矩形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的軸勻速轉動，下列說法正確的是(　　)
A．在中性面時，通過線圈的磁通量最大
B．在中性面時，感應電動勢最大
C．穿過線圈的磁通量為零時，感應電動勢也為零
D．線圈每個周期內通過中性面兩次，電流方向改變一次
4．一個矩形線圈在勻強磁場中轉動產生的交變電流的電動勢e＝220sin 100πt V，那么(　　)
A．該交變電流的頻率是100 Hz
B．當t＝0時，線圈平面恰好與中性面垂直
C．當t＝ s時，e有最大值
D．該交變電流電動勢的有效值為220 V
5．如圖15甲所示，為一種調光臺燈電路示意圖，它通過雙向可控硅電子器件實現了無級調節亮度．給該臺燈接220 V的正弦交流電后加在燈管兩端的電壓如圖乙所示，則此時交流電壓表的示數為(　　)
圖15
A．220 V B．110 V C. V D. V
6．電吹風是電動機帶動風葉轉動的裝置，電熱絲給空氣加熱得到熱風．設電動機線圈和電熱絲的總電阻為R，接在一電壓為u＝U0sin ωt的交流電源上，若已知電吹風使用時消耗的功率為P，通過電熱絲和電動機線圈的總電流為I，則有(　　)
A．P>　 B．P>I2R　 C．P＝I2R　 D．P＝U0I
【能力提升】
7．在兩塊金屬板上加上交變電壓u＝Umsin t，當t＝0時，板間有一個電子正好處于靜止狀態．下面關于電子以后的運動情況的判斷正確的是(　　)
A．t＝T時，電子回到原出發點
B．電子始終向一個方向運動
C．t＝T/2時，電子將有最大速度
D．t＝T/2時，電子的位移最大
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案
8.把電壓u＝120sin ωt V、頻率為50 Hz的交變電流加在激發電壓和熄滅電壓均為u0＝60 V的霓虹燈的兩端．
(1)求在一個小時內，霓虹燈發光時間有多長．
(2)試分析為什么人眼不能感到這種忽明忽暗的現象？
(已知人眼的視覺暫留時間約為 s)
學案48　交變電流的產生和描述
1．C　2.CD
3．B　[t1、t3時刻通過線圈的磁通量Φ的絕對值最大，磁通量變化率＝0，此時感應電動勢、感應電流為零，線圈中感應電流方向改變，A錯誤，B正確；t2、t4時刻線圈中磁通量為零，磁通量的變化率最大，即感應電動勢最大，C、D錯誤．]
4．B　[甲為矩形交變電流，它的大小恒為Im，方向做周期性的變化，而電流通過電阻的熱功率跟電流的方向無關，所以矩形交變電流通過電阻R的熱功率P甲＝Im2R；乙為正弦交變電流，計算熱功率時要用電流的有效值：I＝，所以P乙＝I2R＝()2R＝R＝，故＝，B正確．]
5．BD　[根據圖象可知該交變電流的最大值為100 V，周期為4×10－2 s，所以頻率為25 Hz.]
思維提升
1．只有閉合線圈繞垂直于磁場方向的軸勻速轉動時，才能產生正弦式交變電流．
2．有效值是根據電流的熱效應來定義的．只有正弦式電流才有：E＝，I＝.求電功、電熱、電表示數，銘牌標識，指的都是有效值．
3．線圈在中性面位置特點：Φ最大，e＝0，電流換方向，線圈在垂直中性面位置特點：Φ＝0，最大，e最大．
4．若線圈從中性面開始計時，表達式為e＝Em·sin ωt，若線圈從垂直中性面開始計時，表達式為e＝Emcos ωt.
例1 (1)i＝sin ωt　(2)
解析　(1)沿O′O方向看去，磁場分布的側視圖如下圖所示．由圖可知，線圈轉動時只有一條邊切割磁感線，產生感應電動勢，在t時刻線圈的電動勢為：
e＝nBlv1＝nBlv·sin ωt
其中v＝ω·
解得e＝nBl2ωsin ωt
根據閉合電路歐姆定律可知，閉合電路中的電流為：
i＝＝sin ωt.
(2)由電流瞬時值表達式知，t＝時，流過電阻R的電流為i1＝sin(ω·)＝
由部分電路歐姆定律知，t＝時，
電阻R兩端電壓為u＝i1R＝.
[規范思維]　當線圈從中性面位置開始計時時，電流的瞬時值表達式才是正弦形式，而從垂直中性面位置開始計時時為余弦形式，還要注意：Em＝nBSω中，S為有效面積，且與線圈的形狀無關．
例2 D　[由楞次定律知，t＝0時，感應電流方向為負，線圈平面與中性面的夾角為－θ＝，線圈再轉過到達中性面，所以，在線圈轉過的過程中電流在減小，θ＝時，i＝0，因而只有D項正確．]
[規范思維]　解答本題應注意以下三方面：
(1)t＝0時刻感應電流的方向；
(2)利用t＝0時刻的速度確定感應電動勢大小；
(3)判定t＝0時刻后短時間內電流的變化趨勢．
例3 1.9 A　
解析　從題圖可知交流電周期
T＝0.4 s，t1＝0.1 s，t2＝0.1 s，t3＝0.15 s，t4＝0.05 s，
設其有效值為I，則：
IRt1＋IRt2＋IRt3＋IRt4＝I2RT，
其中I1＝3 A，I2＝2 A，I3＝1 A，I4＝0，
代入上式，得I≈1.9 A.
[規范思維]　(1)計算有效值一般取交變電流的一個周期；
(2)不要盲目套用公式， 倍關系只適用于正弦式交流電．
例4 D　[由圖甲可知，感應電動勢最大值為220 V，故其有效值為220 V，電壓表測量的是燈泡兩端的電壓，U＝209 V，A錯；交流電的周期T＝0.02 s，一個周期內電流的方向改變2次，故其方向每秒改變100次，B錯；燈泡消耗的功率P＝I2R＝()2×95 W＝459.8 W，C錯；發電機內阻每秒產生的熱量Q＝I2rt＝()2×5×1 J＝24.2 J，D對．]
[規范思維]　計算熱量、電功率，電流表、電壓表的示數等用的都是有效值．而計算電荷量需用平均電動勢＝n求解．
[針對訓練]
1．B　2.C　3.D　4.AC
思想方法總結
1．交流的產生
(1)只要平面線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸勻速轉動，就產生正弦式交流電，其變化規律與線圈的形狀、與轉動軸處于線圈平面內哪個位置無關．
(2)因e∝，故Φ－t圖象與e－t圖象總是互余的．
(3)線圈轉動一周兩次經過中性面，所以一個周期內電流方向改變兩次．
(4)當計時起點為中性面位置時，表達式為e＝Emsin ωt.
當計時起點為線圈平面與磁場方向平行時，表達式為e＝Emcos ωt.
2．正確理解交變電流的“四值”是解題關鍵．(1)求電荷量時要用平均值，由法拉第電磁感應定律＝n求得；(2)交流電路中電表顯示的是有效值；計算熱量、功率、電功一定要用有效值求解．(3)只有正(余)弦交變電流的有效值是最大值的，其他交變電流的有效值要根據有效值的定義求解．(4)計算有效值一般取交變電流一個周期的時間，根據焦耳定律進行確定．
(5)求某一時刻的電流值時用到的是瞬時值
1．BCD　2.BD　3.A　4.C　5.B　6.BD　7.BC　
8．(1)2 400 s　(2)見解析
解析　(1)如圖所示，畫出一個周期內交變電流的u－t圖象，其中陰影部分對應的時間表示霓虹燈不能發光的時間，根據對稱性，一個周期內霓虹燈不能發光的時間為4t1.
當u＝u0＝60 V時，
由u＝120sin ωt V求得：t1＝ s
再由對稱性知一個周期內能發光的時間：
t＝T－4t1＝ s－4× s＝ s
再由比例關系求得一個小時內霓虹燈發光的時間為：
t＝× s＝2 400 s.
(2)很明顯霓虹燈在工作過程中是忽明忽暗的，而熄滅的時間間隔最長只有 s(如圖中t2＋t3那段時間)，由于人的眼睛具有視覺暫留現象，而這個視覺暫留時間約為 s，遠大于 s，因此經過燈光刺激的人眼不會因為短暫的熄滅而有所感覺．
易錯點評
1．對交流電產生過程中感應電動勢e、磁通量Φ、磁通量變化量ΔΦ和磁通量變化率間的關系不清楚，誤認為磁通量為零，感應電動勢就為零，磁通量最大，則感應電動勢最大，不能準確把握中性面的意義或不能把圖象和物理過程聯系起來也是出錯的主要原因．
2．不能正確寫出交流電的瞬時值表達式，分不清什么時候用正弦，什么時候用余弦，注意從中性面位置計時，用正弦；從Φ＝0位置計時，用余弦．
3．第5題涉及到了有效值的計算，是錯誤多發處．計算時一般取一個周期的時間，根據這一時間內電流的變化規律和焦耳定律進行運算．
4．對交流的“四值”理解不到位，造成錯誤．如求電荷量不知道用平均值，判斷電容器的擊穿電壓不知道用最大值等等．

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