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第十二章　機械振動　機械波　光
學案55 機械振動　用單擺測定重力加速度
一、概念規律題組
1．簡諧運動的平衡位置是指(　　)
A．速度為零的位置 B．回復力為零的位置
C．加速度為零的位置 D．位移最大的位置
2．懸掛在豎直方向上的彈簧振子，周期為2 s，從最低點的位置向上運動時開始計時，它的振動圖象如圖1所示，由圖可知(　　)
圖1
A．t＝1.25 s時振子的加速度為正，速度為正
B．t＝1.7 s時振子的加速度為負，速度為負
C．t＝1.0 s時振子的速度為零，加速度為負的最大值
D．t＝1.5 s時振子的速度為零，加速度為負的最大值
二、思想方法題組
3．如圖2所示兩木塊A和B疊放在光滑水平面上，質量分別為m和M，A與B之間的最大靜摩擦力為Ffm，B與勁度系數為k的輕質彈簧連接構成彈簧振子，為使A和B在振動過程中不發生相對滑動，則(　　)
圖2
A．它們的振幅不能大于Ffm
B．它們的振幅不能大于Ffm
C．它們的最大加速度不能大于
D．它們的最大加速度不能大于
一、簡諧運動的規律及應用
圖3
　情景：如圖3所示，一水平方向的彈簧振子在BC之間做簡諧運動．以此為例，試分析簡諧運動的以下特征：
1．受力特征：回復力滿足F＝－kx，即回復力大小與位移的大小成正比，方向與位移的方向相反．
2.運動特征：簡諧運動是變速運動，位移x、速度v、加速度a都隨時間按正弦規律周期性變化．當振子衡位置時，a、F、x都減小，v增大；當振子遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減?。?br/>3．能量特征：振幅越大，能量越大．在運動過程中，動能和勢能相互轉化，機械能守恒．
4．對稱性特征：
圖4
(1)如圖4所示，振子經過關于平衡位置O對稱(OP＝OP′)的兩點P、P′時，速度的大小、動能、勢能相等．相對于平衡位置的位移大小相等．
(2)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′.
(3)振子往復運動過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等即tOP＝tPO.
【例1】一簡諧振子沿x軸振動，平衡位置在坐標原點．t＝0時刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s 時刻x＝0.1 m；t＝4 s時刻x＝0.1 m．該振子的振幅和周期可能為(　　)
A．0.1 m， s B．0.1 m，8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m，8 s
二、簡諧運動的圖象
圖5
1．確定振動物體在任一時刻的位移．如圖5所示，對應t1、t2時刻的位移分別為x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.
2．確定振動的振幅．圖象中最大位移的值就是振幅，如圖5所示，振動的振幅是10 cm.
3．確定振動的周期和頻率．振動圖象上一個完整的正弦(余弦)圖形在時間軸上拉開的“長度”表示周期．
由圖5可知，OD、AE、BF的間隔都等于振動周期，T＝0.2 s，頻率f＝1/T＝5 Hz.
4．確定各質點的振動方向．例如：圖5中的t1時刻，質點正遠離平衡位置向正方向運動；t3時刻，質點正向著平衡位置運動．
5．比較各時刻質點加速度的大小和方向．例如：在圖5中，t1時刻質點位移x1為正，則加速度a1為負，t2時刻質點位移x2為負，則加速度a2為正，又因為|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.
【例2】如圖6所示為一
圖6
彈簧振子的振動圖象，試完成以下要求：
(1)寫出該振子簡諧運動的表達式．
(2)在第2 s末到第3 s末這段時間內彈簧振子的加速度、速度、動能和彈性勢能各是怎樣變化的？
(3)該振子在前100 s的總位移是多少？路程是多少？
三、單擺及周期公式
1．單擺振動的周期公式T＝2π，該公式提供了一種測定重力加速度g的方法．
2．l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離，要區分擺長和擺線長，懸點實質為擺球擺動所在圓弧的圓心．
3．g為當地重力加速度．
4．T＝2π只與l及g有關，而與振子的質量及振幅無關．
特別提示
若單擺沒有處于地球表面或所處環境為非平衡態，則g為等效重力加速度，大體有這樣幾種情況：(1)不同星球表面g＝GM/r2；(2)單擺處于超重或失重狀態等效g＝g0±a，如軌道上運行的衛星a＝g0，完全失重，等效g＝0；(3)不論懸點如何運動還是受別的作用力，等效g的取值等于在單擺不擺動時，擺線的拉力F與擺球質量m的比值，即等效g＝F/m.
【例3】將一勁度系數為k的輕質彈簧豎直懸掛，下端系上質量為m的物塊．將物塊向下拉離平衡位置后松開，物塊上下做簡諧運動，其振動周期恰好等于以物塊平衡時彈簧的伸長量為擺長的單擺周期．請由單擺的周期公式推算出該物塊做簡諧運動的周期T.
四、實驗：用單擺測重力加速度
1．實驗原理
單擺在擺角很小(小于10°)時，其擺動可以看作簡諧運動，其振動周期T＝2π ，其中l為擺長，g為當地重力加速度，由此可得g＝，據此，只要測出擺長l和周期T，就可計算出當地重力加速度g的數值．
2．注意事項
(1)細線的質量要小，彈性要小，選用體積小、密度大的小球，擺角不超過10°.
(2)要使擺球在同一豎直面內擺動，不能形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放．
(3)測周期的方法：
①要從擺球過平衡位置時開始計時，因為此處速度大、計時誤差小，而最高點速度小、計時誤差大．
②要測多次全振動的時間來計算周期．如在擺球過平衡位置開始計時，且在數“零”的同時按下秒表，以后擺球從同一方向通過最低位置時計數1次．
(4)由公式g＝，分別測出一系列擺長l對應的周期T，作出l—T2的圖象，如圖7所示，圖象應是一條通過原點的直線，求出圖線的斜率k，即可求得g值．
圖7
g＝4π2k，k＝＝
根據圖線斜率求g值可以減小誤差．
【例4】 某同學想在家里做用單擺測定重力加速度的實驗，但沒有合適的擺球，他只好找到一塊大小為3 cm左右，外形不規則的大理石塊代替小球．實驗步驟是：
A．石塊用細尼龍線系好，結點為M，將尼龍線的上端固定于O點
B．用刻度尺測量OM間尼龍線的長度L作為擺長
C．將石塊拉開一個大約α＝30°的角度，然后由靜止釋放
D．從擺球擺到最高點時開始計時，測出30次全振動的總時間t，由T＝得出周期
E．改變OM間尼龍線的長度，再做幾次實驗，記下相應的L和T
F．求出多次實驗中測得的L和T的平均值作計算時使用的數據，帶入公式g＝()2L求出重力加速度g.
(1)你認為該同學在以上實驗步驟中有重大錯誤的是哪些步驟？為什么？
(2)該同學用OM的長作為擺長，這樣做引起的系統誤差將使重力加速度的測量值比真實值偏大還是偏小？你認為用何方法可以解決擺長無法準確測量的困難？
五、受迫振動和共振
1．做受迫振動的物體，它的周期或頻率等于驅動力的周期或頻率，與物體的固有周期或固有頻率無關．
2．共振：做受迫振動的物體，它的固有頻率與驅動力的頻率越接近，其振幅就越大，當二者相等時，振幅達到最大，這就是共振現象．
圖8
3．共振曲線
如圖8所示，以驅動力頻率為橫坐標，以受迫振動的振幅為縱坐標．它直觀地反映了驅動力頻率對受迫振動振幅的影響，由圖可知，f驅與f固越接近，振幅A越大；當f驅＝f固時，振幅A最大．
【例5】 某振動系統的固有頻率為f0，在周期性驅動力的作用下做受迫振動，驅動力的頻率為f .若驅動力的振幅保持不變，下列說法正確的是________(填入選項前的字母)
A．當fB．當f>f0時，該振動系統的振幅隨f減小而增大
C．該振動系統的振動穩定后，振動的頻率等于f0
D．該振動系統的振動穩定后，振動的頻率等于f
【基礎演練】
1．某質點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關系式為x＝Asint，則質點(　　)
A．第1 s末與第3 s末的位移相同
B．第1 s末與第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
圖9
2．一質點做簡諧運動的振動圖象如圖9所示，質點的速度與加速度方向相同的時間段是(　　)
A．0～0.3 s
B．0.3 s～0.6 s
C．0.6 s～0.9 s
D．0.9 s～1.2 s
圖10
3．如圖10所示，彈簧振子在振動過程中，振子從a到b歷時0.2 s，振子經a、b兩點時速度相同，若它從b再回到a的最短時間為0.4 s，則該振子的振動頻率為(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
4．一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則(　　)
A．若t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動的位移大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數倍
B．若t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動的速度大小相等、方向相反，則Δt一定等于的整數倍
C．若Δt＝T，則在t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動的加速度一定相等
D．若Δt＝，則在t時刻和(t＋Δt)時刻彈簧的長度一定相等
圖11
5．如圖11所示，一單擺懸于O點，擺長為L，若在O點的豎直線上的O′點釘一個釘子，使OO′＝L/2，將單擺拉至A處釋放，小球將在A、B、C間來回振動，若振動中擺線與豎直方向夾角小于10°，則此擺的周期是(　　)
A．2π
B．2π
C．2π ( ＋ )
D．π( ＋ )
圖12
6．如圖12所示，AC是一段半徑為2 m的光滑圓弧軌道，圓弧與水平面相切于A點，BC＝7 cm.現將一個小球先后從曲面的頂端C和圓弧中點D由靜止開始釋放，到達底端時的速度分別為v1和v2，所用時間分別為t1和t2，則(　　)
A．v1>v2，t1＝t2 B．v1C．v1>v2，t1>t2 D．v1＝v2，t1＝t2
圖13
7．如圖13所示為受迫振動的演示裝置，當單擺A振動起來后，通過水平懸繩迫使單擺B、C振動，則下列說法正確的是(　　)
A．只有A、C擺振動周期相等
B．A擺的振幅比B擺小
C．C擺的振幅比B擺大
D．A、B、C三擺的振動周期相等
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案
【能力提升】
8．有一彈簧振子在水平方向上的BC之間做簡諧運動，已知BC間的距離為20 cm，振子在2 s內完成了10次全振動．若從某時刻振子經過平衡位置時開始計時(t＝0)，經過周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)作出該振子的位移—時間圖象；
(3)寫出振子的振動方程．
圖14
9．如圖14所示是一個單擺的共振曲線．
(1)若單擺所處環境的重力加速度g取9.8 m/s2，試求此擺的擺長．
(2)若將此單擺移到高山上，共振曲線的“峰”將怎樣移動？
圖15
10．(探究創新)某同學利用如圖15所示的裝置測量當地的重力加速度．實驗步驟如下：
A．按裝置圖安裝好實驗裝置；
B．用游標卡尺測量小球的直徑d；
C．用米尺測量懸線的長度l；
D．讓小球在豎直平面內小角度擺動．當小球經過最低點時開始計時，并計數為0，此后小球每經過最低點一次，依次計數1、2、3、….當數到20時，停止計時，測得時間為t；
E．多次改變懸線長度，對應每個懸線長度，都重復實驗步驟C、D；
F．計算出每個懸線長度對應的t2；
G．以t2為縱坐標、l為橫坐標，作出t2－l圖線．
結合上述實驗，完成下列題目：
(1)用游標為10分度(測量值可準確到0.1 mm)的卡尺測量小球的直徑．某次測量的示數如圖16所示，讀出小球直徑d的值為________cm.
圖16
圖17
(2)該同學根據實驗數據，利用計算機作出圖線如圖17所示．根據圖線擬合得到方程t2＝404.0l＋3.5.由此可以得出當地的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.86，結果保留3位有效數字)
(3)從理論上分析圖線沒有過坐標原點的原因，下列分析正確的是(　　)
A．不應在小球經過最低點時開始計時，應該在小球運動到最高點時開始計時
B．開始計時后，不應記錄小球經過最低點的次數，而應記錄小球做全振動的次數
C．不應作t2－l圖線，而應作t2－(l－d)圖線
D．不應作t2－l圖線，而應作t2－(l＋d)圖線
學案55　機械振動　用單擺測定重力加速度
1．B　[簡諧運動的物體，平衡位置是回復力為零的位置，而合外力是否為零，不同的系統是不同的，因此加速度不一定為零，比如單擺在平衡位置時存在向心加速度．簡諧運動的物體經過平衡位置時速度最大，位移為零．]
2．C　[彈簧振子振動時，加速度的方向總是指向平衡位置，且在最大位移處，加速度值最大，在平衡位置處加速度的值為0，由圖可知，t＝1.25 s時，振子的加速度為負，t＝1.7 s時振子的加速度為正，t＝1.5 s時振子的加速度為零，故A、B、D均錯誤，只有C正確．]
3．BD　[為使A和B在振動過程中不發生相對滑動，在最大振幅時，是加速度的最大時刻，這時對A研究則有：Ffm＝mam，得am＝，故C錯誤，D正確；對整體研究，最大振幅即為彈簧的最大形變量，kA＝(M＋m)am，得A＝Ffm，A錯誤，B正確．]
思維提升
1．簡諧運動的概念：如果質點的位移與時間的關系遵從正弦函數的規律，即它的振動圖象(x－t)圖象是一條正弦曲線這樣的振動叫簡諧運動．描述簡諧運動的物理量有振幅A、周期T、頻率f等．
2．回復力F＝－kx.回復力為效果力．
3．振動圖象表示質點離開平衡位置的位移隨時間變化的規律，它不是質點的運動軌跡．
例1 ACD　[若振幅A＝0.1 m，T＝ s，則 s 為半周期，從－0.1 m處運動到0.1 m，符合運動實際，4 s－ s＝ s為一個周期，正好返回0.1 m處，所以A項正確．若A＝0.1 m，T＝8 s， s只是T的，不可能由負的最大位移處運動到正的最大位移處，所以B項錯．若A＝0.2 m，T＝ s， s＝，振子可以由－0.1 m運動到對稱位置，4 s－ s＝ s＝T，振子可以由0.1 m返回0.1 m，所以C項對．若A＝0.2 m，T＝8 s， s＝2×，而Asin＝A，即時間內，振子可以從平衡位置運動到0.1 m處；再經 s又恰好能由0.1 m處運動到0.2 m處后再返回0.1 m處，故D項正確．]
例2 (1)x＝5sin t 　(2)見解析　(3)0　5 m
解析　(1)由振動圖象可得：A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
則ω＝＝ rad/s
故該振子簡諧運動的表達式為x＝5sin t
(2)由圖可知，在t＝2 s時，振子恰好通過平衡位置，此時加速度為零，隨著時間的延續，位移值不斷加大，加速度的值也變大，速度值不斷變小，動能不斷減小，彈性勢能逐漸增大．當t＝3 s時，加速度的值達到最大，速度等于零，動能等于零，彈性勢能達到最大值．
(3)振子經過一個周期位移為零，路程為5×4 cm＝20 cm，前100 s剛好經過了25個周期，所以前100 s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
例3 2π
解析　物塊平衡時，彈簧伸長量為L，則mg＝kL，由單擺周期公式T＝2π
解得T＝2π
例4 見解析
解析　(1)實驗步驟中有重大錯誤的是：
B：大理石重心到懸掛點間的距離才是擺長
C：最大偏角不能超過10°
D：應在擺球經過平衡位置時計時
F：應該用各組的L、T求出各組的g后，再取平均值
(2)用OM作為擺長，則忽略了大理石塊的大小，沒有考慮從結點M到石塊重心的距離，故擺長L偏小．根據T＝2π ，g＝，故測量值比真實值偏?。梢杂酶淖償[長的方法，如T＝2π ，T′＝2π ，測出Δl，則g＝.
例5 BD　[由共振條件及共振曲線可知：驅動力頻率f驅越接近振動系統的固有頻率f0，則振幅越大，故知：當ff0時，振幅隨f的↑而↓，隨f的↓而↑，B對；系統振動穩定時，振動頻率等于驅動力頻率f，與固有頻率f0無關，D對，C錯，故選B、D.]
思想方法總結
1．質點做簡諧運動時，在同一位置，振動的位移相同，回復力、加速度、動能和勢能也相同，速度大小相等，但方向可能相同，也可能相反．在關于平衡位置對稱的兩個位置，動能、勢能對應相等，回復力、加速度大小相等，方向相反，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反；振動質點由平衡位置到該兩對稱點的時間也對應相等，一個做簡諧運動的質點，經過時間t＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)，質點所處位置必與原來位置關于平衡位置對稱．
2．解決類單擺問題應注意
(1)建立單擺模型．
(2)利用等效思想掌握等效擺長和g′的計算方法．
(3)擺角較大時，不能用公式T＝2π來計算．
3．解答受迫振動和共振的問題時要抓住兩點：(1)受迫振動的頻率等于驅動力的頻率；(2)當受迫振動的頻率越接近固有頻率時，受迫振動的振幅越大，否則越?。?br/>1．AD　2.BD　3.B
4．C　[設彈簧振子的振動圖象如右圖所示，B、C兩點的位移大小相等、方向相同，但B、C兩點的時間間隔Δt≠nT(n＝1,2,3，…)，A錯誤；B、C兩點的速度大小相等、方向相反，但Δt≠nT/2(n＝1,2,3，…)，B錯誤；因為A、D兩點的時間間隔Δt＝T，A、D兩點的位移大小和方向均相等，所以A、D兩點的加速度一定相等，C正確；A、C兩點的時間間隔Δt＝T/2，A點與C點位移大小相等、方向相反，若在A點彈簧是伸長的，則在C點彈簧是壓縮的，所以A、C兩點彈簧的形變量大小相同，而彈簧的長度不相等，D錯誤．]
5．D　[T＝＋＝π ＋π ，故選D.]
6．A　[小球兩次沿光滑圓弧軌道下滑，其重力的切向分力提供回復力，又因弧長遠遠小于半徑，即最大擺角小于10°，小球兩次運動均可視為單擺的簡諧運動，擺長等于圓弧槽半徑，所以有T＝2π ，則t1＝t2＝.球運動中只有重力做功，機械能守恒，mgh＝mv2，v＝，因為h1>h2，所以v1>v2，A項正確．]
7．CD　[當單擺A振動起來后，單擺B、C做受迫振動，做受迫振動的物體的固有周期(或頻率)等于驅動力的周期(或頻率)，選項A錯誤而D正確；當物體的固有頻率等于驅動力的頻率時，發生共振現象，選項C正確而B錯誤．]
8．(1)10 cm　0.2 s　(2)見解析圖
(3)x＝－0.1sin 10πt
解析　(1)振子的振幅A＝10 cm，振子的周期T＝0.2 s.
(2)該振子的位移—時間圖象如右圖所示
(3)x＝－Asin ωt
＝－0.1sin 10πt
9．(1)2.76 m　(2)向左移動
解析　(1)由圖象知，單擺的固有頻率f＝0.3 Hz.
由f＝
得到：l＝≈2.76 m
(2)由f＝知，單擺移動到高山上，重力加速度g減小，其固有頻率減小，故“峰”向左移動．
10．(1)1.52　(2)9.76　(3)D
易錯點評
1．一個周期內，振子的路程是4個振幅A，半個周期內，振子的路程是2個振幅，但周期內，振子的路程不一定是一個振幅．
2．在分析單擺的周期時，注意周期T與擺球的質量無關，與擺長和等效重力加速度有關．
3．在第6題中，小球沿光滑圓弧下滑，許多同學往往用x＝at2求時間，想不到利用單擺的簡諧運動特性分析問題．
4．由于振動的周期性、對稱性，在很多題目中存在多解，這點有些同學沒能考慮到．

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