資源簡介

天體運(yùn)動(dòng)
天體的質(zhì)量和密度計(jì)算
（2021 全國乙卷）科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長軸為1000AU（太陽到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為（ ）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010 M
關(guān)鍵信息：太太陽到地球的距離為1AU → 地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝1AU（AU表示一個(gè)天文單位，1AU為地球到太陽的平均距離，大約1.5億公里），繞行周期T0＝1年。
估算黑洞質(zhì)量 → 近似把S2看成繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r＝1000R。
給出1994年到2002年間S2的位置示意圖 → S2對應(yīng)位置的時(shí)間差8年為繞行的半個(gè)周期，周期T＝16T0。
解題思路：根據(jù)繞行天體的軌道半徑r、周期T，由G＝mr()2，可求解中心天體的質(zhì)量M＝。
地球繞太陽所需的向心力由太陽對地球的萬有引力提供，設(shè)地球質(zhì)量為m0，
由G＝m0R()2
解得太陽的質(zhì)量為M＝ ①
同理S2繞黑洞的向心力由黑洞對它的萬有引力提供，設(shè)S2質(zhì)量為m，
由G＝mr()2
解得黑洞的質(zhì)量為Mx＝ ②
由②/①可得＝，代入數(shù)據(jù)
解得：Mx≈3.91×106M
故選：B。
（智學(xué)精選）某次發(fā)射火箭的過程中，當(dāng)火箭距地面的高度恰好為地球半徑的3倍時(shí)，火箭的加速度為a，方向豎直向上，火箭內(nèi)有一電子臺秤，物體在該臺秤上顯示的示數(shù)為發(fā)射前在地面上靜止時(shí)示數(shù)的一半。已知地球的第一宇宙速度為v，引力常量為G，則下列說法正確的是（ ）
A．距地面高度恰好為地球半徑的3倍處的重力加速度為地球表面重力加速度的16倍
B．地球表面的重力加速度約為16a
C．地球的半徑為R＝
D．地球的質(zhì)量為M＝
A、設(shè)地球表面的重力加速度為g，距地面高度恰好為地球半徑的3倍處的重力加速度為g1。在地球表面上，由萬有引力等于重力得：G＝mg
在距地面高度恰好為地球半徑的3倍處，有G ＝mg1，式中H＝3R
聯(lián)立可得＝＝，故A錯(cuò)誤；
B、臺秤上物體的質(zhì)量為m，火箭在地球上時(shí)臺秤顯示的讀數(shù)FN1＝mg
距地面3R時(shí)臺秤顯示的讀數(shù)FN2＝FN1＝mg，對臺秤上物體，由牛頓第二定律得：FN2－mg1＝ma，解得a＝g，同時(shí)得到g＝a，故B錯(cuò)誤；
C、設(shè)近地衛(wèi)星的質(zhì)量為m0，由m0g＝m0，解得R＝，故C正確；
D、由G ＝m0g，解得M＝，故D錯(cuò)誤。
故選：C。
計(jì)算天體質(zhì)量和密度的兩條思路：
1．在忽略中心天體自轉(zhuǎn)的情況下，利用中心天體的半徑和表面的重力加速度g計(jì)算。由G＝mg求出M＝，進(jìn)而求得ρ＝＝＝。
2．利用環(huán)繞天體的軌道半徑r和周期T計(jì)算。由G＝mr()2，可求出M＝，若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑r＝R，則ρ＝＝。
衛(wèi)星的發(fā)射與變軌
（2022 浙江月考）“天問一號”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點(diǎn)沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點(diǎn)，再依次進(jìn)入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則天問一號（ ）
A．發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間
B．從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的時(shí)間小于6個(gè)月
C．在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小
D．在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度均大于地球繞太陽的速度
關(guān)鍵信息：“天問一號”從地球發(fā)射到火星 → 發(fā)射速度需大于第二宇宙速度11.2km/s
調(diào)相軌道和停泊軌道為橢圓軌道 → 開普勒第三定律（＝k）討論周期
解題思路：“天問一號”的變軌問題，根據(jù)在對應(yīng)軌道萬有引力與向心力的供需關(guān)系討論。
A、天問一號需要脫離地球引力的束縛，所以在地球發(fā)射天問一號的速度要大于第二宇宙速度11.2km/s，故A錯(cuò)誤。
B、地球公轉(zhuǎn)周期為12個(gè)月，根據(jù)開普勒第三定律可知，＝k，天問一號在地火轉(zhuǎn)移軌道的軌道半長軸大于地球公轉(zhuǎn)半徑，則運(yùn)行周期大于12個(gè)月，從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的時(shí)間大于6個(gè)月，故B錯(cuò)誤；
C、同理，環(huán)繞火星的停泊軌道半長軸小于調(diào)相軌道半徑，則在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小，故C正確；
D、天問一號在Q點(diǎn)點(diǎn)火加速進(jìn)入火星軌道，則在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)的速度小于火星軌道的速度；根據(jù)萬有引力提供向心力可知，＝m，解得線速度：v＝，地球公轉(zhuǎn)半徑小于火星公轉(zhuǎn)半徑，則地球繞太陽的速度大于火星繞太陽的速度，則在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)的速度小于地球繞太陽的速度，故D錯(cuò)誤。
故選：C。
（2022 浙江聯(lián)考）如圖所示，實(shí)線是地球赤道上空的同步衛(wèi)星軌道，同步衛(wèi)星壽命終結(jié)時(shí)，它會被二次變速通過橢圓轉(zhuǎn)移軌道推到虛線所示同步軌道上空約300公里處的“墳場軌道”。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，引力常數(shù)為G，地球質(zhì)量為M，根據(jù)上面提供信息，下列得到的結(jié)論中正確的是（ ）
A．地球的密度為
B．地球同步衛(wèi)星離開地面高度為
C．衛(wèi)星從同步軌道轉(zhuǎn)移到“墳場軌道”需要給衛(wèi)星二次加速
D．寧波的緯度約為30°，定點(diǎn)在經(jīng)度與寧波經(jīng)度相同的同步衛(wèi)星，晚上從寧波觀察同步衛(wèi)星與水平面的視角約為30°
A、對近地衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力和密度公式可得：＝，
ρ＝又V＝πR3，解得：，該公式中周期應(yīng)是圍繞地球表面作圓周運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的軌道周期，而不是自轉(zhuǎn)周期，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬有引力提供向心力得：＝m，解得：r＝，其中r為同步衛(wèi)星軌道半徑，離開地面高度還要減去地球半徑，故B錯(cuò)誤；
C、衛(wèi)星從同步軌道轉(zhuǎn)移到“墳場軌道”需要給衛(wèi)星二次加速，故C正確；
D、同步衛(wèi)星離地高度高，從幾何關(guān)系可知，∠BPA＝120°，
又，解得： ，該公式中周期應(yīng)是圍繞地球表面作圓周運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的軌道周期，而不是自轉(zhuǎn)周期，故A錯(cuò)誤；
假設(shè)三角形BPA為等腰三角形，則∠A＝∠θ＝30°。但同步衛(wèi)星離地高度較高，故AP大于BP，則∠θ大于∠A，所以θ大于30°，即晚上從寧波觀察同步衛(wèi)星與水平面的視角肯定大于30°，故D錯(cuò)誤；
故選：C。
衛(wèi)星的繞行和變軌問題：
1、衛(wèi)星變軌（橢圓軌道）的實(shí)質(zhì)：衛(wèi)星變軌的運(yùn)動(dòng)模型是向心運(yùn)動(dòng)和離心運(yùn)動(dòng)。當(dāng)某種原因衛(wèi)星速度v突然增大時(shí)，有G＜m，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將偏離圓軌道做離心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v突然減小時(shí)，有G＞m，衛(wèi)星將做向心運(yùn)動(dòng)。
2、衛(wèi)星繞行（圓軌道）的五個(gè)特點(diǎn)：（1）a、v、ω、T均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑r和中心天體質(zhì)量共同決定；（2）質(zhì)量相同的衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不相等，“高軌高能，低軌低能”；故可總結(jié)為“高軌低速，大周期”。
雙星和多星問題
（2022 云南月考）科學(xué)家麥耶（M Mayor）和奎洛茲（D Queloz）因?qū)ο低庑行堑难芯慷@得2019年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他們發(fā)現(xiàn)恒星“飛馬座51”附近存在一較大的行星，兩星在相互引力的作用下，圍繞兩者連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知行星A與恒星B之間的距離為L，行星的質(zhì)量為m，恒星的質(zhì)量為M，引力常量為G，設(shè)行星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r、周期為T、向心加速度為a、線速度為v，下列表達(dá)式不正確的是（ ）
A．r＝ B．a(chǎn)＝
C． D．v＝
關(guān)鍵信息：兩星圍繞兩者連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng) → 雙星問題，各自所需的向心力由彼此的萬有引力提供，兩星的周期和角速度都相同。
行星A與恒星B之間的距離為L，行星A的繞行半徑為r → 恒星B的繞行半徑為L－r。
解題思路：分別對行星A和恒星B受力分析，根據(jù)所需的向心力由彼此的萬有引力提供，抓住星體的周期相等，列牛頓第二定律方程求解各物理量。
對行星A：＝mr ① 對恒星B：＝M(L－r) ②
由①÷②可得：r＝，故A正確；
由①、②聯(lián)立可得周期：，故C正確；
由＝ma可得向心加速度：a＝，故B正確；
線速度：v＝＝r·＝M·，故D不正確。
要選不正確的選項(xiàng)，故選D。
（2022 安徽檢測）宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，三星質(zhì)量相等。現(xiàn)已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，如圖乙所示。設(shè)兩種系統(tǒng)中三個(gè)星體的質(zhì)量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖中標(biāo)出，引力常量為G，則下列說法中正確的是（ ）
A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為
B．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π
C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為
D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小為
A．在直線三星系統(tǒng)中，星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他兩星對它的萬有引力的合力提供，根據(jù)萬有引力定律，有G＋G＝m，解得v＝，故A錯(cuò)誤；
B．由周期T＝知，直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝4π，故B錯(cuò)誤；
C．在三角形三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力也是由其他兩星對它的萬有引力的合力提供，如圖
有2Gcos30°＝mω2·，解得ω＝，故C錯(cuò)誤；
D．由2Gcos30°＝ma，得a＝，故D正確。
故選D。
雙星或多星問題解題技巧：
（1）確定系統(tǒng)中心及半徑：明確雙星或多星的特點(diǎn)、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）明確向心力：星體所受的向心力由其他天體對它的萬有引力的合力提供；
（3）抓住角速度和周期特點(diǎn)：一般情況下星體的角速度和周期相等；
（4）清楚星體的軌道半徑不是天體間的距離：要利用幾何知識，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬有引力和向心力。
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