資源簡介

圓周運動
水平面內圓周運動及臨界問題
（2021.湖北.檢測）水平圓盤上沿直徑方向放置以輕繩相連的兩個小物塊A和B，兩物塊的質量分別為mA和mB，到圓心的距離分別為rA和rB，且rA＜rB。兩物塊與圓盤間的最大靜摩擦力均為自身重力的μ倍，重力加速度為g。忽略小物塊A、B的大小，不考慮輕繩拉力上限，輕繩伸直且最初拉力為零。圓盤繞過圓心的豎直軸轉動，轉動的角速度ω由零緩慢增大。
（1）當圓盤以角速度ω1勻速轉動時，輕繩上開始出現拉力，求ω1的大小；
（2）當圓盤以角速度ω2勻速轉動時，小物塊A將開始滑動，求ω2的大小；
（3）在角速度從零緩慢地增加到小物塊A將開始滑動過程中，小物塊A與圓盤間摩擦力大小為fA，試通過計算，在坐標系中作出fA－ω2圖象（要求：必須標出每段圖象轉折點的縱坐標值）。
關鍵信息：、隨圓盤一起繞過圓心的豎直軸轉動 → 水平圓盤模型
A、B隨圓盤一起繞過圓心的豎直軸轉動 → 水平圓盤模型
rA＜rB，且圓盤轉速逐漸增大 → 物塊滑動的臨界狀態為，則，，故wB臨＜wA臨，即B比A先達到臨界狀態。
解題思路：抓住A剛要滑動和B剛要滑動時的兩個臨界狀態，B所受的靜摩擦力剛好達最大值時，細繩剛開始有拉力；A所受的靜摩擦力剛好到達最大值時，A、B剛好同時相對圓盤發生滑動。
（1）當角速度較小時，輕繩張力T＝0，
圓盤對A、B的靜摩擦力提供其繞軸做圓周運動的向心力，即f0＝mω2r。
當圓盤轉速增大時，因為rA＜rB，所以物體B先達到最大靜摩擦力，
對B：μmBg＝mBω12rB，即當ω1＝時，輕繩上開始出現拉力。
（2）當ω＞ω1時，輕繩開始出現張力，
對A：fA－T＝mA ω2 rA ①
對B：μmBg＋T＝mBω2rB ②
由①＋②得fA＋μmBg＝(mArA＋mBrB)ω2，則當角速度ω增大時，fA一直增大，當A將要開始滑動時fA＝μmAg，解得ω2＝。
（3）由第（1）問可得，當0＜ω≤ω1時，fA＝mArAω2，令ω＝ω1時，解得fA＝
由第（2）問可得，當ω1＜ω≤ω2時，
fA＝(mArA＋mBrB)ω2－μmBg，
令ω＝ω2時，解得fA＝μmAg
綜上作出fA－ω2圖象如圖所示
（2022.重慶.檢測）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉動的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺以一定角速度勻速轉動，一質量為m的小物塊（可視為質點）落入陶罐內，經過一段時間后小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，小物塊與陶罐內壁間的動摩擦因數為μ，且它和O點的連線與OO′之間的夾角為θ，轉動角速度為ω，重力加速度為g。則下列說法正確的是（ ）
A．當ω2＝時，小物塊與陶罐內壁間的彈力為mgcosθ
B．當ω2＝時，小物塊與陶罐內壁間的彈力為
C．當ω2＝時，小物塊與陶罐內壁間的摩擦力沿罐壁向上
D．當ω2＝時，小物塊將向陶罐上沿滑動
ABC、當摩擦力恰好為零，受力分析如圖所示，支持力和重力的合力提供向心力，設此時角速度為ω0，有：mgtanθ＝mRsinθω02，
解得ω02＝，此時小物塊與陶罐內壁間的彈力為N＝，故AC錯誤，B正確；
D、當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，超過最大值物塊將向陶罐上沿滑動，受力分析圖如下：
設此最大角速度為ω，
水平方向：fcosθ＋Nsinθ＝mRsinθω2，
豎直方向：fsinθ＋mg＝Ncosθ，其中f＝μN，
聯立解得ω2＝，D錯誤，故選B。
水平面內圓周運動常見的三種臨界情況分析：
臨界情況 典型模型 臨界條件分析
相對滑動的臨界條件 兩物體相對靜止且存在著摩擦力時，二者相對滑動的臨界條件是靜摩擦力剛好達到最大值
接觸與分離的臨界條件 兩物體恰好接觸或分離，臨界條件是彈力Fn＝0
繩子斷裂與松弛的臨界條件 繩子所能承受的張力是有限度的，繩子恰不斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是繩子張力為0
豎直面內圓周運動及臨界問題
（2022.海南.檢測） 如圖所示，一質量為m＝0.1kg的小球以豎直向上的初速度v0＝10m/s沖入一管道。該管道為圓管道，半徑為R＝5m。已知小球的入口與圓心在同一高度。經過管道后，它又沿著水平導軌進入另一半徑為r的圓軌道，且恰好能通過圓軌道的最高點，若所有銜接處均不損失機械能，不計摩擦，小球直徑以及管道內徑可忽略，圓軌道和圓軌道底端均與水平導軌相切，g取10 m/s2。下列說法正確的是（ ）
A．小球到達管道最高點時對管道的壓力為零
B．小球到達管道最高點時速度為m/s
C．小球到達管道最低點時對管道的壓力為6N
D．圓軌道半徑r為4m
關鍵信息：光滑圓管道 → 輕桿模型，最高點速度v≥0
光滑圓軌道 → 輕繩模型，恰好能通過最高點的臨界v＝
解題思路：“兩點”即最高點和最低點，在最高點和最低點對小球受力分析，找出向心力的來源，根據牛頓第二定律列方程，“一過程”，即從最高點到最低點（或從最低點到最高點），用動能定理或機械能守恒定律將這兩點聯系起來。
B．小球從出發點到管道最高點，由動能定理可得－mgR＝mv12－mv02，解得小球到達管道最高的點時速度v1＝0，選項B錯誤；
A．小球在最高點時，小球對管道的壓力等于小球的重力，選項A錯誤；
C．小球從出發點到管道最低點，由動能定理可得mgR＝mv22－mv02，解得小球到達管道最低點時速度v2＝m/s，在最低點，由牛頓第二定律F－mg＝，解得管道最低點對小球的支持力F＝5N，再結合牛頓第三定律可知，選項C錯誤；
D．小球剛好通過圓軌道最高點，在最高點速度v滿足mg＝，解得v＝，小球從出發點到圓軌道最高點由動能定理可得：mgR－2mgr＝mv2－mv02，聯立得：r＝4m，故D正確。
（2022.廣東.檢測）如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”。它可等效為一質點在圓軌道外側運動的模型，如圖乙所示。在豎直平面內固定的強磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點分別為軌道的最高點與最低點。質點沿軌道外側做完整的圓周運動，所受圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當質點以速率v＝通過A點時，對軌道的壓力為其重力的8倍，不計摩擦和空氣阻力，質點質量為m，重力加速度為g，則（ ）
A．強磁性引力的大小F＝7mg
B．質點在A點對軌道的壓力小于在B點對軌道的壓力
C．只要質點能做完整的圓周運動，則質點對A、B兩點的壓力差恒為5mg
D．若強磁性引力大小恒為2F，為確保質點做完整的圓周運動，則質點通過B點的最大速率為
A、質點在A點，由牛頓第二定律有：F＋mg－FA＝，根據牛頓第三定律有：FA＝FA′＝8mg，聯立解得：F＝8mg，選項A錯誤；
BC、質點能完成圓周運動，則在A點根據牛頓第二定律有：F＋mg－NA＝，根據牛頓第三定律有：NA＝NA′；在B點，根據牛頓第二定律有：F－mg－NB＝，根據牛頓第三定律有：NB＝NB′；從A點到B點過程，根據動能定理有：mg 2R＝－。
聯立解得：NA′－NB′＝6mg，選項BC錯誤；
D、若強磁性引力大小恒為2F，在B點根據牛頓第二定律有2F－mg－FB＝，當FB＝0時，質點速度最大，聯立解得vB′＝，故選D。
解決豎直平面內的圓周運動臨界問題的解題思路：
斜面上的圓周運動及臨界問題
（2022.河北.月考）如圖所示，一傾斜的勻質圓盤可繞垂直于盤面的固定中心軸轉動，盤面上離轉軸距離為l＝6.25cm處有一質量為m＝0.4kg的小物體（可視為質點）靜止在傾斜的勻質圓盤上，物體與盤面間的動摩擦因數為μ＝，盤面與水平面的夾角為θ＝30°。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）若小物體與圓盤始終保持相對靜止，求圓盤勻速轉動角速度的最大值；（計算結果保留根式）
（2）若小物體與圓盤始終保持相對靜止，當圓盤勻速轉動的角速度達最大值時，求小物體運動到最高點時所受摩擦力；
（3）若小物塊在最高點不受摩擦力，求此時小物塊的角速度和線速度大小。（計算結果保留根式）
關鍵信息：小物體隨圓盤一起做勻速轉動 → 斜面模型＋勻速圓周運動；
小物體在圓盤最低點 → 所受摩擦力最大，臨界點1：角速度最大；
小物體在圓盤最高點 → 所受摩擦力為零，臨界點2：只有重力沿斜面向下的分力提供向心力。
解題思路：“兩點”即最高點和最低點，在最高點和最低點對小球受力分析，找出向心力的來源，根據牛頓第二定律列方程求解。
（1）小物塊在最低點相對圓盤即將滑動時，圓盤勻速轉動角速度最大，受力分析如圖所示：
f1＝μmgcos30°
由牛頓第二定律有μmgcos30°－mgsin30°＝，
代入數據解得ω1＝rad/s；
（2）設小物體在最高點所受摩擦力大小為f，方向沿斜面向上，受力分析如圖所示：
根據牛頓第二定律得mgsin30°－f＝，
代入數據解得f＝1N，方向沿圓盤面向上；
（3）小物塊在最高點不受摩擦力，根據牛頓第二定律有
mgsin30°＝，
解得小物塊在最高點不受摩擦力時的角速度ω2＝，
代入數據解得ω2＝rad/s，
小物塊在最高點不受摩擦力時的線速度大小v＝ω2l＝m/s
（2021.江蘇.檢測）如圖所示，兩個質量均為m的小物塊a和b（可視為質點），靜止在傾斜的勻質圓盤上，圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉動，a到轉軸的距離為l，b到轉軸的距離為2l，物塊與盤面間的動摩擦因數為，盤面與水平面的夾角為30°。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g，若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉動，下列說法正確的是（ ）
A．a在最高點時所受摩擦力可能為0 B．a在最低點時所受摩擦力可能為0
C．ω＝是a開始滑動的臨界角速度 D．ω＝是b開始滑動的臨界角速度
A．假設在最高點，若a所受的摩擦力為零，僅靠重力沿圓盤向下的分力提供向心力，有：mgsinθ＝mlω2，在最低點，有f－mgsinθ＝mlω2，解得最低點的摩擦力f＝mg，而最大靜摩擦力fm＝μmgcosθ＝0.75mg，可知最高點a的摩擦力不會為零，選項A錯誤；
B．在最低點，a靠靜摩擦力和重力沿圓盤方向的分力提供向心力，合力指向圓心，則靜摩擦力大于重力沿圓盤方向的分力，選項B錯誤；
C．在最低點，對a，根據牛頓第二定律得，μmgcos30°－mgsin30°＝mlω2，解得a開始滑動的臨界角速度ω＝，選項C錯誤；
D．在最低點，對b，根據牛頓第二定律得，μmgcos30°－mgsin30°＝m 2lω'2，解得b開始滑動的臨界角速度ω'＝，選項D正確；
故選D。
求解斜面上圓周運動問題的“三個關鍵”：
（1）物體在垂直于斜面方向上的合力一定為零；
（2）物體在斜面內指向圓心方向的合力提供向心力；
（3）物體經過斜面上最高點、最低點時的臨界條件。
斜面上的圓周運動要根據具體情境，可以借助于處理豎直面內的圓周運動模型的方法分析解決。

展開更多......

收起↑