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機械能守恒定律的應用
單個物體機械能守恒的應用
（2021.黑龍江.月考）如圖所示，粗細均勻、兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液柱高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來打開閥門讓液體自由流動，不計液體產生的摩擦阻力，當兩邊液柱高度相等時，右側液柱下降的速度為（ ）
A． B． C． D．
關鍵信息：不計液體產生的摩擦阻力 → 滿足機械能守恒
兩邊液柱高度差為h，管中液柱總長度為4h → 確定重力勢能的改變量
解題思路：利用等效的方法確定液體減小的重力勢能，然后利用機械能守恒，即系統減小的重力勢能與系統增加的動能相等進行解答。
設管的橫截面積為S，液體的密度為ρ，打開閥門后，液體開始運動，不計液體產生的摩擦阻力，液體機械能守恒。兩邊液柱相平時，相當于右管高的液柱移到左管中，重心下降的高度為，即右管高的液柱下降減少的重力勢能轉化為全部液體的動能，由機械能守恒定律得：＝，解得v＝，故A正確。
（2022·浙江·月考）如圖所示，MN為光滑的水平面，NO是一長度S＝1.25m、傾角為θ＝37°的光滑斜面（斜面體固定不動），OP為一粗糙的水平面。MN、NO間及NO、OP間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條質量為m＝2kg，總長L＝0.8m的均勻柔軟鏈條開始時靜止的放在MNO面上，其AB段長度為L1＝0.4m，鏈條與OP面的動摩擦因數μ＝0.5，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），現自由釋放鏈條，求：
（1）鏈條的A端滑到O點時，鏈條的速率為多大？
（2）鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離為多大？
（1）鏈條的A端滑到O點的過程中，因為只有重力做功，所以機械能守恒。
設水平面為重力勢能的零點。鏈條開始運動時的機械能為E1，
AB段鏈條質量為m1＝1.0kg，BC段鏈條質量為m2＝1.0kg。
E1＝m2gSsinθ＋m1g(Ssinθ sinθ)
因為S＞L，鏈條的A端滑到O點時，C點已在斜面上，設此時的機械能為E2，
E2＝mgsinθ＋mv2
由機械能守恒定律E1＝E2，代入數據得：v＝3m/s
（2）根據題意，鏈條開始進入水平面階段，摩擦力是變力。
但摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功，
從鏈條的A端滑到O點到最終鏈條停下的過程，
設鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離x，由動能定理得：
mgsinθ μmgL μmgx＝0 mv2
解得：x＝0.98m。
1．應用機械能守恒定律的注意事項：
（1）應用機械能守恒定律時，需要先對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒做出判斷。
（2）列方程時，選取的角度不同，表達式也會不同，對參考平面的選取要求也不一定相同。
（3）在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面。
2．非質點模型機械能守恒的處理：
（1）像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中往往將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。
（2）即使不能看成質點來處理，但若只有重力做功，則物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定形狀規則、質量分布均勻的物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。一般情況下物體各部分速度大小相同，動能可以用表示。
多物體系統機械能守恒的應用
（2022·福建·月考）如圖所示，滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細繩繞過光滑定滑輪連接物塊1，物塊1又與一輕質彈簧連接在一起，輕質彈簧另一端固定在地面上。開始時用手托住滑塊2，使繩子剛好伸直處于水平位置但無張力，此時彈簧的壓縮量為d。現將滑塊2從A處由靜止釋放，經過B處的速度最大，到達C處的速度為零，此時物塊1還沒有到達滑輪位置。已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d，不計滑輪質量、大小及摩擦。下列說法中正確的是（ ）
A．滑塊2下滑過程中，機械能先增大后減小
B．滑塊2經過B處時的加速度不等于零
C．物塊1和滑塊2的質量之比為2∶1
D．若滑塊2質量增加一倍，其它條件不變，仍讓滑塊2由A處從靜止滑到C處，滑塊2到達C處時，物塊1和滑塊2的速度之比為5∶4
關鍵信息：光滑的豎直桿、不計滑輪質量、大小及摩擦 → 整個系統滿足機械能守恒
已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d → 確定物塊1上升的高度以及彈簧對物塊1和系統的做功情況
滑塊2經過B處的速度最大 → 加速度為零
滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細繩繞過光滑定滑輪連接物塊1 → 存在速度關聯，物塊1與滑塊2沿繩子方向上的速度相等
解題思路：根據功能關系對滑塊2進行做功分析，確定滑塊2的機械能變化情況；再根據牛頓運動定律分析滑塊2的受力情況，確定滑塊2的加速度變化情況；利用系統機械能守恒定律處理物塊1、滑塊2以及彈簧構成的系統，確定物塊1和滑塊2的質量關系；利用速度關聯問題中的速度關系，分析物塊1和滑塊2的速度關系。
AB．對滑塊2下滑過程中進行分析，繩子拉力一直對滑塊2做負功，所以滑塊2的機械能一直減小；滑塊2下滑過程中經過B處時速度最大，根據牛頓第二定律可得加速度為0，所以A、B錯誤。
C．對物塊1靜止時分析，彈簧壓縮量為x1＝d；當2下滑到C點時，根據幾何關系，物塊1上升的高度為： ＝ 3d＝2d，則當物體2到達C時彈簧伸長的長度為d，此時彈簧的彈性勢能等于物體1靜止時的彈性勢能，對于物塊1、滑塊2及彈簧組成的系統，由機械能守恒定律應有：m1g 2d＝m2g 4d，得m1∶m2＝2∶1，故C正確。
D．設繩子與豎直桿之間的夾角為θ，根據物塊1和2沿繩子方向的分速度大小相等，則得v2cosθ＝v1，其中cosθ＝，則得滑塊2到達C處時，物塊1和滑塊2的速度之比v1∶v2＝4∶5，故D錯誤。
故選：C。
（2022·遼寧·月考）質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為2m的小球A和質量為3m的小球B。支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，如圖所示。開始時OA邊處于水平位置，取此時OA所在水平面為零勢能面，現將小球A由靜止釋放，求：
（1）小球A到達最低點時，整個系統的總機械能E；
（2）小球A到達最低點時的速度大小vA；
（3）當OA直角邊與水平方向的夾角θ為多大時，小球A的速度達到最大？并求出小球A的最大速度v。
（1）由題意得，小球A從靜止至到達最低點的過程中，兩球組成的系統機械能守恒，則小球A到達最低點時，整個系統的總機械能為：E＝Ep初＝ 3mgL
（2）小球A從靜止至到達最低點的過程中，根據系統機械能守恒可得：
3mgL＝ 2mg·2L＋＋
由題意得兩球的角速度相同，由v＝ωr知A、B兩球的線速度之比為vA∶vB＝2L∶L＝2∶1
聯立解得：vA＝
（3）當OA直角邊與水平方向的夾角為θ時，由系統機械能守恒可得：
3mgL＝ 2mg·2Lsinθ 3mg·Lcosθ＋＋
結合vA∶vB＝2∶1
解得：＝gL(4sinθ＋3cosθ) gL＝gLsin(θ＋α) gL
其中tanα＝，α＝37°，
根據數學知識可知，當θ＝53°時，有最大值，
解得小球A的速度最大值為：v＝
1．輕繩連接：
（1）分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。
（2）用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
（3）對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
2．輕桿連接
（1）用桿連接的兩個物體，其線速度大小一般有以下兩種情況：
a．若兩物體繞某一固定點做圓周運動，根據角速度ω相等確定線速度v的大小。
b．“關聯速度法”：兩物體沿桿方向速度大小相等。
（2）桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
（3）對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。
3．輕彈簧連接
（1）由輕彈簧連接的物體系統，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。
（2）兩點注意:
①對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量完全決定，無論彈簧伸長還是壓縮。
②物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關。
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