資源簡介

目錄
一、初高中銜接 ....................................... 1
二、集合與簡易邏輯 ................................... 3
三、函數 ............................................. 5
四、三角函數 ........................................ 14
五、平面向量 ........................................ 26
六、不等式 .......................................... 30
七、數列 ............................................ 35
八、立體幾何 ........................................ 41
九、直線與圓 ........................................ 47
十、圓錐曲線 ........................................ 55
十一、導數與積分 .................................... 66
十二、排列組合與二項式定理 .......................... 72
十三、統計與概率 .................................... 76
十四、復數 .......................................... 86
十五、極坐標與參數方程 .............................. 89
十六、平面幾何證明 .................................. 92
高中數學寶典
高中數學常用公式與結論
一．初高中銜接
1．乘法公式：
（1）平方差公式： a2 b2 a b a b ；
2
（2）完全平方公式： a b a2 2ab b2 ；
（3）立方和公式： a3 b3 a b a2 ab b2 ；
（4）立方差公式： a3 b3 a b a2 ab b2 ；
（5）三數和平方公式：
2
a b c a2 b2 c2 2 ab bc ac ；
3
（6）兩數和立方公式： a b a3 3a2b 3ab2 b3；
3
（7）兩數差立方公式： a b a3 3a2b 3ab2 b3 ．
2．二次函數：
（1）一般式： f x ax2 bx c a 0 ；
2
（2）頂點式： f x a x h k a 0 ，頂點坐標 h,k ，
b 4ac b2
其中 h ， k ；
2a 4a
（3）兩根式： f x a x x1 x x2 a 0 ， x1, x2 分別是拋
物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標．
1
3．韋達定理：
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，當 b2 4ac 0 時，
b c
兩實根為 x1, x2 ，于是有 x1 x2 ， x1x2 ．
a a
2
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二．集合與簡易邏輯
1．元素與集合的關系： x A x U A， x U A x A．
2．集合的性質：
（1）任何一個集合 A 是它本身的子集，記為 A A；
（2）空集是任意集合的子集；
（3）空集是任意非空集合的真子集；
（4）含 n 個元素的集合的子集個數為 2n ，真子集的個數為
n n
2 1，非空子集的個數為 2 1，非空真子集的個數
為 2n 2 ．
3． 德摩根定律：U A B U A U B ，U A B U A U B ．
4．容斥原理：
card A B cardA cardB card A B ．（ cardA表示集合
A的元素個數）．
5．真值表：
p q p q p q p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3
6．常見結論的否定形式：
原結論 否定 原結論 否定
是 不是 至少有一個 一個也沒有
都是 不都是 至多有一個 至少有兩個
大于 不大于 至少有 n 個 至多有 n 1個
小于 不小于 至多有 n 個 至少有 n 1個
對所有 x ,成立 存在某 x ,不成立 p 或 q p 且 q
對任何 x ,不成立 存在某 x ,成立 p 且 q p 或 q
7．四種命題：
（1）原命題：若 p ，則 q ；
（2）逆命題：若 q ，則 p ；
（3）否命題：若 p ，則 q ；
（4）逆否命題：若 q ，則 p ．
注：原命題與其逆否命題的真假性一致。
8．充分條件：若 p q ，則 p 是 q 的充分條件；
必要條件：若 q p ，則 p 是 q 的必要條件；
充要條件：若 p q ，且 q p ，則 p 是 q 的充要條件．
4
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三．函數
1．函數的單調性：
（1）設 x1, x2 a,b ， x1 x2 ，則
f x f x
1 2

x1 x2 f x1 f x2 0 0 f x 在 a,b x1 x2
上是增函數；
f x1 f x 2

x1 x2 f x1 f x2 0 0 f x 在 a,b x1 x2
上是減函數.
（2）設函數 f (x) （不為常函數）在某個區間內可導，如果
f '(x) 0，則 f x 在該區間內為增函數；如果 f '(x) 0，
則 f x 在該區間內為減函數．
（3）對于復合函數 y f g x 的單調性，必須同時考慮
y f u 與u g x 的單調性，從而得出 y f g x 的
單調性．
y f (u) u g(x) y f [g(x)]
增函數 增函數 增函數
增函數 減函數 減函數
減函數 增函數 減函數
減函數 減函數 增函數
總結：同增異減．
5
2．判斷函數奇偶性的方法：
（1）定義法：
第一步：判斷函數 f x 的定義域是否關于原點對稱；
第二步：計算 f x ；
第三步：若 f x f x ，則 f x 為奇函數；
若 f x f x ， 則 f x 為偶函數．
（2）圖象法：
函數圖象關于原點對稱，則此函數是奇函數；
函數圖象關于 y 軸對稱，則此函數是偶函數．
3．定義域含零的奇函數必過原點（即有 f 0 0）．
偶函數的特性 f m f m
4．對于復合函數 y f g x 的奇偶性，必須同時考慮 y f u
與u g x 的奇偶性，從而得出 y f g x 的奇偶性．
y f (u) u g(x) y f [g(x)]
偶函數 偶函數 偶函數
偶函數 奇函數 偶函數
奇函數 偶函數 偶函數
奇函數 奇函數 奇函數
總結：一偶則偶，同奇則奇．
6
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5．函數的單調性和奇偶性綜合：奇函數在對稱的兩個區間上的
單調性相同；偶函數在對稱的兩個區間上的單調性相反．
6．函數的對稱性：
（1）軸對稱：
①函數 y f x 的圖象關于直線 x a對稱
f x f 2a x f a x f a x
y f a x 是偶函數；
②若函數 y f x 滿足 f a x f b x ，則
a b
y f x 的圖象關于直線 x 對稱．
2
（2）中心對稱：
①函數 y f x 關于點 a , 0 成中心對稱
f a x f a x y f a x 是奇函數；
②函數 f x 的圖象關于點 a , b 對稱
f a x f a x 2b 2b f x f 2a x ；
③若函數 f x 滿足 f a x f b x c ，則 f x 的
a b c
圖象關于點 , 中心對稱．
2 2
7
7．具有周期性的抽象函數：
函數 y f x 對定義域內任一實數 x 滿足（其中 a 為常數）：
（1） f x f x a ，則 y f x 是以T a 為正周期的周期
函數；
（2） f x a f x ，則 y f x 是以T 2 a 為正周期的
周期函數；
1
（3） f x a ，則 y f x 是以T 2 a 為正周期的
f x
周期函數；
（4） f x a f x a ，則 y f x 是以T 2 a 為正周期
的周期函數；
1 f x
（5） f x a ，則 y f x 是以T 2 a 為正周期
1 f x
的周期函數；
1 f x
（6） f x a ，則 y f x 是以T 4 a 為正周期
1 f x
的周期函數；
1 f x
（7） f x a ，則 y f x 是以T 4 a 為正周期
1 f x
的周期函數．
8
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8．指數函數：
一般地，函數 f (x) ax a 0且a 1 叫做指數函數．
指數函數的性質
圖象
定義域 R
值域 0 ,
過定點 0，1 ，即 x 0 時， y 1
性質
在 R 上是減函數 在 R 上是增函數
9
9．對數函數的圖象和性質：
一般地，對數函數 y loga x(a 0且 a 1）的圖象和性質如
下表所示
0 a 1 a 1
圖象
定義域 (0， )
值域 R
過定點 (1，0) ，即 x 1時， y 0
性質
在 (0， ) 上是減函數； 在 (0， ) 上是增函數．
10．指數和指數運算：
a0 （1） 1(a 0)；
m
a n n m （2） (n a )m am (a 0, n , m N , 且 n 為既約分數)
；

m
1 m
（3） a n (a 0, n , m N , 且 為既約分數) ； m n
a n
10
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r s r s
（4） a a a (a 0) ；
（5） (a
r )s ars (a 0)；
ar r s
（6） a (a 0) ；
as
（7） (ab)
r arbr (a 0 , b 0)．
11．對數和對數運算（ a 0，且 a 1，M 0，N 0）：
（1） loga 1 0；
（2） loga a 1；
（ ） log N 3 a a N ；
（4） loga M loga N loga (M N)；
M
（5） loga M loga N loga ；
N

（6） loga M loga M ；
1
（7） log M loga M ； a

（8） loga M log M

；
a
log
（9） log N a
N
b （ a，b 0，a，b 1，N 0）．
loga b
11
12．冪函數：一般地，形如 y x R 的函數稱為冪函數，其
中 為常數．
（1）幾種冪函數的圖象：
y
y=x3
y=x2 y=x
1
y=x 2
1
y=x-1
O 1 x
（2）冪函數的性質：

①當 0 時，函數 y x 的圖象都經過點 0 , 0 和
1,1 ，且在第一象限內單調遞增；
②當 0時，函數 y x

的圖象都經過點 1,1 ，且在第
一象限內單調遞減．
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13．方程的根與函數的零點：
（1）方程 f x 0有實根 函數 y f x 的圖象與 x 軸有交
點 函數 y f x 有零點．
（2）零點存在性定理：
如果函數 y f x 在區間 a，b 上的圖象是連續不斷的
一條曲線，且 f a f b 0，則函數 y f x 在區間
a，b 內有零點，即存在 c a，b ，使得 f c 0 ．
（3）若函數 y f x 在區間 I 上是單調的，則函數 y f x 在
區間 I 上至多有一個零點．
13
四．三角函數
1．弧度與角度的換算：180 π rad，
180
1 rad 57.30 57 18 ．
π
2．扇形中的計算公式： 若扇形的半徑為 r ，圓心角為 （ 0）
1 1 2
弧度，弧長為 l ，面積為 S ，則 l r ， S lr r ．
2 2

3．三角函數中的重要不等式：若 x 0, ，則 sin x x tan x．
2
sin
4．同角三角函數的基本關系式： sin2 cos2 1，tan ．
cos
5．誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）：
（1）公式一：終邊相同的角的同一三角函數的值相等．
sin( 2kπ) sin k Z ；
cos( 2kπ) cos k Z ；
tan( 2kπ) = tan k Z ．
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（2）公式二：角 與 π的三角函數間的關系．
sin π sin ；
cos π cos ；
tan π tan ．
（3）公式三：角 與 的三角函數間的關系．
sin( ) sin ；
cos( ) cos ；
tan( ) tan ．
（4）公式四：角 與 π 的三角函數間的關系．
sin π sin ；
cos π cos ；
tan π tan ．
π
（5）公式五：角 與 的三角函數間的關系．
2
π
sin cos ；
2
π
cos sin ．
2
15
π
（6）公式六：角 與 的三角函數間的關系．
2
π
sin cos ；
2
π
cos sin ．
2
16
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6．正弦函數 y sin x ．
正弦函數 y sin x
圖象
定義域 R
值域 [ 1,1]
最小正周期 2π
π
對稱軸 直線 x kπ k Z
2
對稱性
性質 對稱中心 kπ ，0 k Z
奇偶性 奇函數
π π
單調增區間 2kπ , 2kπ k Z
2 2
單調性
π 3π
單調減區間 2kπ , 2kπ k Z
2 2


17
7．余弦函數 y cos x．
余弦函數 y cos x
圖象
定義域 R
值域 [ 1,1]
最小正周期 2π
對稱軸 直線 x kπ k Z
對稱性
π
性質 對稱中心 kπ ,0 k Z
2
奇偶性 偶函數
單調增區間 π 2kπ , 2kπ k Z
單調性
單調減區間 2kπ , π 2kπ k Z
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8．正切函數 y tan x ．
正切函數 y tan x
圖象

定義域 x x k , k Z
2
值域 R
最小正周期 π
性質 k
對稱中心 , 0 k Z
2
奇偶性 奇函數

單調性 單調增區間 k , k k Z
2 2
19
9．函數 y Asin x （其中 A , , 為常數，且 A 0， 0 ）
的性質：
2π
（1）周期性：最小正周期為T ．

（2）值域： A , A ．
（3）對稱軸方程：
π 2 k
由 x kπ k Z x k Z ．
2 2
（4）對稱中心： x0 , 0 其中 x0 kπ k Z ．
（5）奇偶性：當 k k Z 時， y Asin x 為奇函

數；當 k k Z 時， y Asin x 為偶函
2
數．
（6）單調性：根據復合函數“同增異減”來判斷單調性．
10．圖象變換：
由函數 y sin x 的圖象通過變換得到 y Asin x 的圖
象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．
方法一：先平移后伸縮：
1
向左 橫坐標變為原來的 0 或向右 0
y sin x y sin x y sin x 平移 個單位 縱坐標不變
縱 坐 標變 為原 來的 A倍 y Asin x ；橫坐標不變
20
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方法二：先伸縮后平移：
1
橫坐標變為原來的 向左 0 或向右 0
y sin x y sin x y sin x 縱坐標不變
平移 個單位

縱 坐 標變 為原 來的 A倍 y Asin x ．
橫坐標不變
11． y Asin x A 0 , 0 , x 0 , 表示一個振動
2
量時， A 叫做振幅， 叫做角速度，T 叫做周期，

1
f 叫做頻率， x 叫做相位， x 0時的相位
T 2
稱為初相．
12．和差角公式：
（1）C ∶cos cos cos sin sin ；
（2）C ∶cos cos cos sin sin ；
（3） S ∶sin sin cos cos sin ；
（4） S ∶sin sin cos cos sin ；
tan tan
（5）T ∶tan ；
1 tan tan
tan tan
（6）T ∶tan ．
1 tan tan
21
13．二倍角公式：
（1）二倍角的正弦、余弦、正切：
S2 : sin 2 2sin cos ；
2 2 2 2
C2 : cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ；
2tan
T2 : tan 2 ．
1 tan2
（2）公式的逆向變換及有關變形：
2
1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos sin cos ；
2 1 cos2 1 cos2 cos ； sin2 ．
2 2
14．輔助角公式：
y Asin Bcos A2 B2 sin ，（其中
A B
cos ， tan ）．
2 2 A
A B
15．積化和差與和差化積公式：
（1）積化和差公式：
1
sin Acos B sin A B +sin A B ； 2
1
cos Asin B sin A B sin A B ； 2
1
cos Acos B cos A B cos A B ； 2
1
sin Asin B cos A B cos A B ． 2
22
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（2）和差化積公式：
A B A B
sin A sin B 2sin cos ；
2 2
A B A B
sin A sin B 2cos sin ；
2 2
A B A B
cos A cos B 2cos cos ；
2 2
A B A B
cos A cos B 2sin sin ．
2 2
16．正弦定理及其在解三角形中的應用：
（1）正弦定理：在三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相
a b c
等，即 2R．
sin A sin B sinC
正弦定理變形有：
① a 2Rsin A，b 2Rsin B ， c 2RsinC ；
a b c
② sin A ， sin B ， sinC ；
2R 2R 2R
③ a :b :c sin A : sin B : sinC ；
1 1 1
④面積公式： S absinC bcsin A acsin B ．
2 2 2
（2）正弦定理用于兩類解三角形的問題：
①已知三角形的任意兩個角與一邊，求其它兩邊和一
角
②已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊
的對角，進而計算出其它的邊與角．
23
17．余弦定理及其在解三角形中的應用：
（1）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方
和減去這兩邊與它們夾角 的余弦的積的兩倍，
a2 b2 c2
cosC
c2 a2 b2 2abcosC 2ab

2 2 2 a
2 c2 b2
即： b a c 2accos B ，變形式為： cos B ．
2 2 2 2ac
a b c 2bccos A b2 c2 a2
cos A
2bc
（2）余弦定理及其變形常用來解決這樣兩類解三角形的問題：
①已知兩邊和任意一個內角解三角形；
②已知三角形的三邊解三角形．
18．解三角形的常見類型及解法：
已知條件 應用定理 一般解法
一邊和兩角 由 A B C π ，求角 A ；由正弦定理求出 b 與
正弦定理
（如 a ， B ， C ） c ．
兩邊和夾角 余弦定理 由余弦定理求第三邊 c ；由正弦定理求出小邊所對的角
（如 a ， b ， C ） 正弦定理 (此角一定是銳角)；再由 A B C π ．
由余弦定理求出角 A 、 B ；再 A B C π ，
三邊（ a ， b ， c ） 余弦定理
求出角 C ．
兩邊與其中一邊的對角 正弦定理 由正弦定理求出角 B ；由 A B C π ，求出角
（如 a ， b ， A ） 余弦定理 C ；再利用正弦定理或余弦定理求 c ．
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19．解決三角形的綜合問題時，要注意以下關系式的運用
① A B C π；
② sin A B sinC ； cos A B cosC ；
A B C A B C
③ sin cos ； cos sin ；
2 2 2 2
④ a b A B ．
25
五．平面向量
1．向量的數量積與實數的積的相同點：
實數的乘積 向量的數量積
運算的結果是一個實數 運算的結果是一個實數
a b b a a b b a
(a b) c a c b c (a b) c a c b c
(a b)2 a2
2 2
2ab b2 (a b)2 a 2a b b
2 2
(a b)(a b) a2 b2 (a b)(a b) a b
a2 b2 0 a 0且b 0 a2 2 b 0 a 0且b 0
| a | | b | | a b | | a | | b | | a | | b | | a b | | a | | b |
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2．向量的數量積與實數的積的不同點：
實數的乘積 向量的數量積
結合律 (ab)c a(bc) (a b) c a (b c)
a b 0 a 0或b 0 a b 0 a 0或b 0或a b
| ab | | a || b | | a b | | a | | b |
(ab)2 a2b2 2 2 2 (a b) a b
3．平面向量的坐標運算：
已知 a x1 , y1 ，b x2 , y ，則有 2
（1）向量的和： a b x1 x2 , y1 y2 ；
（2）向量的差： a b x1 x2 , y1 y2 ；
（3）數乘向量： a x1 , y1 ；
（4）向量的數量積： a b x1x2 y1y2 ；
（5）向量的長度： a a a x 2 y 2 ； 1 1
a b x x y
（6）向量夾角： cos a , b 1 2 1
y2 ；
a b x 2 y 2 x 2 21 1 2 y2
27
（7）向量平行： a//b x1y2 x2 y1 0；
（8）向量垂直： a b x1x2 y1y2 0．
4．平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面內的兩個不共線非
零向量．那么對于這一平面內的任意向量 a ，有且只有一對實
數 1、 a e e2 ，使 1 1 2 2 ．
5．設 a x1, y1 ，b x2 , y2 ，則 a b a b cos x1x2 y1y ； 2
其幾何意義是 a b等于 a 的長度與 b 在 a 的方向上的投影的
a b x x y y
乘積； a 在 b 的方向上的投影 a cos 1 2 1 2 ．
b x2 22 y2
6．共線向量定理：向量 a （ a 0）與向量 b 共線，當且僅當有
唯一一個實數 ，使 b a ．
7．向量 a,b 滿足的不等式為： a b a b a b ．
8．三角形四心的性質：
（1）三角形的外心O ：三邊中垂線的交點，滿足
OA OB OC ．
（2）三角形的內心 I ：三條內角平分線的交點，滿足
aIA bIB cIC 0．
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（3）三角形的重心G ：三邊中線的交點，滿足
GA GB GC 0．在 ABC 中， P 為平面上任意一點，
1
有 PG PA PB PC G 為 ABC 的重心．
3
（4）三角形的垂心 H ：三邊高線的交點，滿足
HA HB HB HC HC HA ，
OH OA OB OC 3OG ．
29
六．不等式
1．不等式的性質及推論：
性質 1（對稱性）： a b b a；
性質 2（傳遞性）： a b且b c a c；
性質 3（可加性）： a b a c b c ；
推論 1（移項法則）： a b c a c b ；
推論 2（同向可加性）： a b且 c d a c b d ；
性質 4（可乘性）： a b且 c 0 ac bc ； a b且
c 0 ac bc；
推論（正數同向可相乘）： a b 0且 c d 0 ac bd ．
2．均值不等式：如果 a 、 b R （R 表示正實數），那么
a b
ab ，當且僅當 a b時， 等號成立．此結論又稱均
2
a b
值不等式或基本不等式．其中， 叫做 a 、 b 的算術平均
2
值， ab （ ab 0）叫做 a 、 b 的幾何平均值．
30
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3．均值不等式推廣：
2 a b a2 b2
ab （調和平均數 幾何平均數
1 1 2 2

a b
算術平均數 平方平均數）類似的，這個不等式可以推廣到 n
個數的情形：
n 1 a1 a2 an a
2
1 a
2 a2
a a a n 2 n
1 1 1 1 2 n n n

a1 a2 an
4．柯西不等式：設 a1 、 a2 、 、 an 及b1、 b2 、 、bn 為任意
A a2 2 2實數，記 n 1 a2 an ， Bn a1b1 a2b2 anbn ，
C 2 2 2 2n b1 b2 bn ，則 Bn An Cn ，當且僅當
a a a1 2 n 時等號成立．
b1 b2 bn
5．柯西不等式的常用形式：
2
a1b1 a2b2 anbn
① a a ； 1 2 an
b1 b2 bn
② 2 2 2 1 1 1 a1 a2 an a1b1 a2b2 anbn 2
b1 b
2 b22 n
31
6．證明不等式的常用方法：
（1）比較法：①設 a 、b 為實數，那么 a b a b 0；
a b a b 0； a b a b 0．
②作商法的原理：設 a 、b 0 ，那么
a
a b 1．
b
（2）分析法：執果索因，通常使用“要證——只要證——只 要
證——即為已知”的格式．
（3）綜合法：由因導果．
（4）反證法：正難則反．
（5）換元法：對不等式中的某些部分或者整體進行換元，有
的時候可以達到化簡題目、凸顯結果的效果，使題目變
得簡單明了．
（6）放縮法：將不等式一側適當放大或縮小，以達到證明目
的．
7．放縮法的常見處理技巧：
（1）添加或舍去一些項，如： a2 1 a ； n n 1 n ．
（2）將分子或分母放大（或縮小）．
n n 1
（3）利用基本不等式，如： n n 1 ．
2
（4）常見結論：
① 1 1 1 1 ；
n2 n 1 n n 1 n
32
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② 1 1 1 1 1 ；
2 2 n n 1 2 n 1 n 1
③ 1 4 4 1 1 2 ；
2 2 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
④ 2 1 22 n 1 n 2 n n 1 ；
n n 1 n n n 1
⑤ n 1 1 ．
n 1 ! n! n 1 !
8．不等式成立問題的類型：
（1）恒成立問題：
①若不等式 f x A在區間 D 上恒成立，則等價于函數
f x 在區間 D 上的最小值（或下確界）大于 A ．
②若不等式 f x B在區間 D 上恒成立，則等價于函數
f x 在區間 D 上的最大值（或上確界）小于 B ．
（2）能成立問題：
①若在區間 D 上存在實數 x 使不等式 f x A成立，即
f x A在區間 D 上能成立，則等價于函數 f x 在區
間 D 上的最大值（或上確界）大于 A ．
②若在區間 D 上存在實數 x 使不等式 f x B成立，即
f x B在區間 D 上能成立，則等價于函數 f x 在區
間 D 上的最小值（或下確界）小于 B ．
33
（3）恰成立問題：
①不等式 f x A在區間 D 上恰成立，等價于不等式
f x A的解集為 D ．
②不等式 f x B在區間 D 上恰成立，等價于不等式
f x B的解集為 D ．
9．線性規劃中的幾個目標函數（方程）的幾何意義：
（1） z ax by ，若 b 0 ，直線在 y 軸上的截距越大， z 越
大；若b 0，直線在 y 軸上的截距越大， z 越小．
y n
（2） 表示過兩點 x, y , m,n 的直線的斜率．
x m
2 2
（3） t x m y n 表示圓心 m,n 固定，半徑變化的
動圓．
2 2
（4） t x m y n 表示點 x, y 到點 m,n 的距離．
Ax0 By0 C
（5） d 表示 x0 , y0 到直線的距離．
A2 B2
34
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七．數列
1．已知等差數列 an ，首項為 a1 ，公差為 d ，通項為 an ，前 n
項和為 Sn ．
等差數列通項公式： an a1 n 1 d am n m d ．
前 n 項和公式： n a1 an n n 1 d d Sn na1 d n
2 ． a1 n
2 2 2 2
2．等差中項：如果三個數 a ， A ， b 組成等差數列，那么 A 叫
做 a ， b 的等差中項；如果 A 是 a 和 b 的等差中項，則
a b 2A．
3．等差數列 an 的常見性質：
（1）p 、q 、m 、n *N ，若 p q m n，則 ap aq am an ；
特別地，若 2m p q ，則有 2am ap aq ；
（2）m 、 p 、n *N ，若 m ， p ，n 成等差數列，則 am ，ap ，
an 也成等差數列；
（3） S a nn 是 n 的前 項和，則 Sm ， S2m Sm ， S3m S2m ，
為等差數列，公差為 m
2d ；
S d S d d
（4） 數列 n 是等差數列，公差為 ，且
n n a1 ；
n 2 n 2 2
35
（5）當 n 為奇數時，則：
① sn n an 1 ; ② s奇 s a偶 n 1 ;
2 2
s奇 n 1
③ ;
s n 1
偶
當 n 為偶數時，則
n
① s .s偶 奇 . d ;
2
n(an an )
n(a a ) 1
② s 1 n 2 2n ;
2 2
an
s奇
③ = 2
s a
偶 n 1
2
4．已知等比數列 an ，首項為 a1 ，公比為 q ，通項為 a nn ，前 項
和為 Sn ．
a a qn 1 a qn m 等比數列通項公式： n 1 m ．
na1 , q 1

前 n 項和公式： sn a1 1 qn a1 q. a n , q 1
1 q 1 q
36
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5．等比中項：若三個數 x ，G ， y 成等比數列，G 叫做 x ， y 的
等比中項．若G 是 x 2和 y 的等比中項，則G xy ．
6．等比數列 an 的常見性質：
（1）p 、q 、m 、n *N ，若 p q m n，則 ap aq am an ；
特別地，若 2m p q ，則有 a2m ap aq ；
（2）m 、 p 、n *N ，若 m ， p ，n 成等差數列，則 a am ， p ，
an 成等比數列；
（3）若 an 是正項的等比數列，則 logb an 是等差數列，公
差為 logb q ；
（4）若 an 是等比數列， S 是 an 的前 nn 項和，則 Sm ，
S2m Sm ， S3m S2m ， 為等比數列（ Sm ， S2m Sm ，
S3m S2m ， 均不為零）．
7．求數列通項公式的方法：
（1）若已知數列的前 n 項和 Sn 與 an 的關系，則可用
S1 , n 1
an 來求通項，注意驗證 a1 是否包含在后
Sn Sn 1 , n 2
面 an 的公式中，若不符合要單獨列出．
37
（2）累加法：對于數列 an ，有遞推公式為 an 1 an p（ p
為常數）或 an 1 an f n （ f n 可求和），那么求這
類數列通項公式的方法是由遞推公式寫出 n 1 個等式，
將這 n 1 個等式相加求和即可．
a
（3）累乘法：對于數列 an ，有遞推公式為
n 1 p （ p 為
an
非零常數）或 an 1 f n an （ f n 可求積），那么求這
類數列通項公式的方法是由遞推公式寫出 n 1 個等式，
將這 n 1 個等式相乘即可．
（4）待定系數法：遇到形如 an 1 pan f n p 0 ,1 ，可
利用待定系數法構造等比或等差數列，從而求出通項 an ．
① an 1 pan q p 0,1,q 0 ，可設 bn an ；
② an 1 pan kn b p 0,1 ，可設bn an n ；
n
③ an 1 pan c q
n p 0,1, p q ，可設 bn an q ；
n n 1
④ an 1 pan c p p 0,1 ，等式兩邊同除以 p ．
（5）對數變換法： an 1 pa
q
n p 0 , an 0 ，在原遞推式兩
邊取對數得 lgan 1 q lgan lg p ，令bn lgan ，得
b
bn 1 qbn lg p ，利用待定系數法求出 b a 10
n
n 之后得 n ．
38
高中數學寶典
（6）倒數變換法： an 1 an pan 1an （ p 為常數且 p 0 ），兩
1 1 1
邊同除以 an 1an ，轉化為 p ，令 bn ，得
an an 1 an
ma
bn bn 1 p ，求出 bn 之后再求 an ；還有形如 a
n
n 1
pan q
1 q 1 p
的遞推式，也可采用取倒數的方法轉化成
an 1 m an m
1
的形式，令 bn ，求出 bn 之后再求 an ．
an
8．數列求和的方法：
（1）有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將
這類數列適當拆開，可分為 幾個等差、等比或常見的數列，
然后分別求和，再將其合并即可．常用的求和公式：
n 1
① k n n 1 ；
k 1 2
n
2 1
② k n n 1 2n 1 ；
k 1 6
n 2
3 1 ③ k n n 1 ．
k 1 2
39
（2）倒序相加法：將一個數列倒過來排列（反序），再把它與
原數列相加．
（3）錯位相減法：這種方法是在推導等比數列的前 n 項和公
式時所用的方法，這種方法主要用于求數列 an bn 的前
n 項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列．
（4） 裂項相消法：如果數列的通項可分裂成“兩項差”的形式，
且相鄰項分裂后相關聯， 那么常選用裂項相消法求和．
常見的裂項形式有：
1 1 1
① an ；
n n 1 n n 1
1 1 1 1
② a ； n
n n k k n n k
1 1 1 1
③ ； 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1
④ an ；
n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2
1 1
⑤ a b ；
a b a b
Cm 1 ⑥ n C
m
n 1 C
m
n ；
⑦ n n! n 1 ! n!．
40
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八．立體幾何
1．空間幾何體的表面積和體積公式：
（1）棱柱：表面積 S表 S側 2S底，體積V S底h．
1
（2）棱錐：表面積 S表 S側 S底，體積V S h ． 底
3
（3）棱臺：表面積 S表 S側 S上底 S上底 ，體積
1
V h S ． 上底 S下底 S上底S下底
3
（ ）圓柱：表面積 S 2 r l r ，體積V r2 4 表 l ．（ l 為母
線長）
1
（5）圓錐：表面積 S表 r l r ，體積V r
2h ．（ l 為母
3
線長）
2 2
（6）圓臺：表面積 S表 l r1 r2 r1 r2 ，體積
1
V h r 21 r1r2 r 2 ．（ l 為母線長） 2
3
4
（7）球：表面積 S 4 R2 ，體積V R3表 ．
3
41
2．平面的三個公理：
（1）公理一：如果一條直線上的兩點在同一個平面內，那么
這條直線上所有的點都在這個平面內．
A l

B l
符號語言： l
A
B
（2）公理二：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個
平面．
推論 1：經過一條直線和直線外的一點，有且只有一個
平面．
推論 2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論 3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
（3）公理三：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它
們有且只有一條過該點的公共直線．
P l
符號語言：
P P l
3．立體幾何八大定理：
（1）線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一
條直線平行，則該直線與此平面平行．
a

符號語言：b a//
a//b
42
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（2）線面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過
這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．
a//

符號語言： a a//b
b
（3）面面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另
一個平面平行，則這兩個平面平行．
a
b

符號語言： a b P //
a//

b//
（4）面面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平
面相交，那么它們的交線平行．
//

符號語言： a a//b
b
（5）線面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交
直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
a

b

符號語言： l a l
l b

a b P
43
（6）線面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩直線平行．
l
符號語言： l //m
m
（7）面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則
這兩個平面垂直．
l
符號語言：
l
（8）面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直
于交線的直線與另一個平面垂直．

m
符號語言： l
l m
l
4．幾何法求解空間角和距離：
（1）異面直線所成角（角的范圍為 0 90 ）的求法：
①平移法：平移直線，構造三角形；
②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發現
兩條異面直線間的關系．
44
高中數學寶典
（2）直線和平面所成角（角的范圍為 0 90 ）的求法：
①直接法：直接作出線面角，然后根據正余弦定理求解
角度；
②在直線上找一點，用體積法求出點到平面的距離，然
后根據斜線長度求線面角的正弦值．
（3）二面角（角的范圍為 0 180 ）的求法：
①定義法：在二面角的棱上找一特殊點，過該點在兩個
半平面內分別作垂直于棱的射線．如圖（1）， AOB為
二面角 l 的平面角．
②垂連法：過二面角的一個半平面內一點作另一個半平
面所在平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直
可找到二面角的平面角或其補角．如圖（2）， AOB為
二面角 l 的平面角．
③面積射影定理：平面圖形射影面積等于被射影圖形的面
積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦．即設一個
平面圖形的面積為 S ，所在平面為 ，該平面圖形在平面
上的射影面積為 S ， 與 的夾角為 ，則 S S cos ．
45
（4）求點到面的距離的主要方法：
①直接法：由點作面的垂線，求垂線段的長度；
②轉化法：轉化成另一點到該平面的距離；
③體積法：從不同的角度選擇底和高計算體積．
5．向量法求解空間角和距離：
（1）異面直線所成角：設異面直線 l1 、l2 的方向向量分別為 m1 、
m2 ，則 l1 與 l2 所成的角 滿足 cos cos m1,m2 ．
（2）線面角：設直線 l 的方向向量和平面 的法向量分別為 m
和 n ，則直線 l 與平面 所成角 滿足 sin cos m,n ．
（3）二面角：設 n1 、 n2 分別是二面角 l 的兩個半平面
、 的法向量，則向量 n1 與 n2 的夾角（或其補角）的
大小就是二面角的大小．
（4）點到面的距離的求法：如圖，設 A 為平面 內的一點， B
為平面 外的一點， n 為平面 的法向量，則 B 到平面
AB n
的距離 d ．
n
46
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九．直線與圓
1．直線的斜率和傾斜角：
（1）傾斜角：當直線 l 與 x 軸相交時，我們取 x 軸作為基準，
x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的角 叫做直線 l
的傾斜角．規定：當直線 l 與 x 軸平行或重合時，直線的傾
斜角為 0 ．直線的傾斜角 的范圍： 0 180 ．
（2）直線的斜率：我們把一條直線的傾斜角 的正切值叫做
這條直線的斜率，通常用 k 表示，即 k tan ．傾斜是 90
直線沒有斜率
（3）斜率公式：經過兩點 P1 x1 , y1 、 P2 x2 , y2 x1 x2 的直
y y
線的斜率公式為 k 2 1 ．
x2 x1
2．直線方程的五種形式：
（1）點斜式方程： y y0 k x x0 ，由直線上一點 x0 , y0
斜率 k 確定直線方程；
（2）斜截式方程： y kx b，由直線的斜率 k 和其在 y 軸上
的截距 b 確定直線的方程；
47
y y x x
（3）兩點式方程： 1 1 x1 x2 , y1 y2 ，由直線
y2 y1 x2 x1
上兩點 x1 , y1 、 x2 , y2 確定方程；
x y
（4）截距式方程： 1 a 0 , b 0 ，由直線在 x 、 y 軸
a b
上的截距 a 、 b 確定方程；
（5）一般式方程： Ax By C 0（ A 、 B 不全為零），與直
線一一對應．
3．兩條直線 l1 : A1x B1y C1 0 、l2 : A2x B2 y C2 0的位置關
系：
（1）相交： A1B2 A2B1 0 ；
（2）平行： A1B2 A2B1 0 且 B1C2 C1B2 0 ；
（3）重合： A1 A2 ， B1 B ，C1 C2 02 ；
（4）垂直： A1A2 B1B2 0 ．
4．距離公式：
（1）點到直線的距離公式：點 P x0 , y0 到直線
Ax0 By0 C
l : Ax By C 0的距離 d ．
A2 B2
（2）兩條平行線之間的距離：兩條平行線 l1 : Ax By C1 0、
C1 C2
l2 : Ax By C2 0 之間的距離 d ．
A2 B2
48
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5．直線系方程：
（1）過兩直線 l1 : A1x B1y C1 0 、 l2 : A2x B2 y C2 0交
點的直線系方程可設為
A1x B1y C1 A2x B2 y C2 0 0 ．
（2）與直線 l : Ax By C 0平行的直線系方程可設為
Ax By m 0 m C ．
（3）與直線 l : Ax By C 0垂直的直線系方程可設為
Bx Ay n 0 ．
6．到角和夾角公式：
（1） l1 到 l2 的角是指直線 l1 繞著交點按逆時針方向轉到和直
線 l 重合所轉的角 ， 0, 2 且
k2 ktan 1 k1k2 1 ．
1 k1k2

（2） l1 與 l2 的夾角是指不大于直角的角 ， 0, 且
2
k k
tan 2 1 k1k2 1 ．
1 k1k2
49
7．設 ABC 三頂點坐標為 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，C x3 , y3 ，則
x x x y y y
重心坐標為G 1 2 3 , 1 2 3

．
3 3
8．對稱問題：
（1）點關于點對稱：
點 P x0 , y0 關于點 A m , n 的對稱點 P x , y ，可利
用中點坐標公式求得，
x x 0

m
2 x 2m x0
由 ．
y y n 0
y 2n y0
2
（2）點關于直線對稱：
設點 P x0 , y0 關于直線 Ax By C 0的對稱點為
P x , y ，則線段 PP 的中點在已知直線上，且 PP 與已
x0 x y0 y
A B C 0
2 2
知直線垂直，即 ，解此方程，
y y
0 A 1
x x0 B
即可得 P x , y ．
50
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（3）直線關于點對稱：
直線 Ax By C 0關于點 P x0 , y0 的對稱直線方程的
求法：
法一：求出直線上的兩個特殊點 M 、 N 關于點 P 的對稱
點 M 、N 的坐標，則直線 M N 的方程即為所求的方程；
法二：設對稱直線的方程為 l : Ax By C 0，可由點 P
到直線 l 、 l 距離相等確定 l 的方程．
（4）直線關于直線對稱：
直線 l1 : A1x B1y C1 0 關于 l2 : A2x B2 y C2 0的對
稱直線 l 的方程的求法： 1
①若 l1 與 l2 相交，可設交點為 M ，再求得 l1 上點 N 關于 l2
的對稱點 N ，由 M 和 N 確定方程；
②若 l1 與 l2 平行，可由平行線的距離公式確定 l 的方程． 1
9．圓的方程：
（1）圓的標準方程：
①以點C a , b 為圓心， r 為半徑的圓的方程為
2 2
x a y b r2 ．
2 2 2
②圓心在原點的圓的標準方程為 x y r ．
51
2
（2）圓的一般方程： x y
2 Dx Ey F 0
（ D2 E2 4F 0）．
2
注：① x2 和 y 項的系數相等且都不為零；
②沒有 xy 這樣的二次項；
D E D2 E2 4F
③表示以 , 為圓心， 為半
2 2 2
徑的圓．
x a r cos
（3）圓的參數方程： 為參數 ，其中圓心為
y b r sin
a,b ，半徑為 r ．
（4）以 A x1, y1 、 B x2 , y2 為直徑的圓的方程為
x x1 x x2 y y1 y y2 0 ．
10．點、直線與圓的位置關系：
2 2 2
（1） 點與圓的位置關系：圓的標準方程 x a y b r ．
2 2 2
①若點 M x0 , y0 在圓外，則 x0 a y0 b r ；
2 2
②若點 M x0 , y0 在圓上，則 x0 a y0 b r
2
2 2
③若點 M x , y 在圓內，則 x a y b r20 0 0 0 ．
52
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（2）直線與圓的位置關系：如果圓心到直線的距離為 d ，圓
的半徑為 r ，那么：
①若 d r ，則直線與圓相離；
②若 d r ，則直線與圓相切；
③若 d r ，則直線與圓相交．
（3）圓與圓的位置關系：
設圓O1 的半徑為 r1 ，圓O2 的半徑為 r2 ，兩圓的圓心距為
d ，則：
①當 r1 r2 d 時，兩圓外離；
②當 r1 r2 d 時，兩圓外切；
③當 r1 r2 d r1 r2 時，兩圓相交；
④當 r1 r2 d 時，兩圓內切；
⑤當 r1 r2 d 時，兩圓內含．
11．圓的切線方程：
（1）點 P x0 , y0 在圓 x
2 y2 r2 上，則過點 P 的切線方程
2
為： x0x y0 y r ．
2 2 2
（2）點 P x0 , y0 在圓 x y r 外，則過點 P 作圓的兩條
切線，切點分別為 A, B ，則直線 AB 的方程為：
2
x0x y0 y r ．
2 2
（3）點 P x0 , y0 在圓 x a y b r
2 上，則過點 P 的
2
切線方程為： x0 a x a y0 b y b r ．
53
2 2
（4）點 P x0 , y0 在圓 x a y b r
2 外，則過點 P 作
圓的兩條切線，切點分別為 A, B ，則直線 AB 的方程為：
x0 a x a y0 b y b r
2 ．
2 2
12．過圓C1 : x y D1x E1y F1 0
C2 : x
2 y2 D2x E2 y F2 0
交點的圓（相交弦）系方程為
x2 y2 D x E y F x2 y2 1 1 1 D2x E2 y F2 0，
1時為兩圓相交弦所在直線方程．
54
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十．圓錐曲線
1．橢圓的標準方程與簡單幾何性質：
焦點的 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
位置
圖形
2 2 y2x y x
2
標準方程 1(a b 0) 1(a b 0)
a2 b2 a
2 b2
范圍 a x a 且 b y b a y a 且 b x b
A1( a，0)，A2 (a，0) A1(0， a)，A2 (0，a)
頂點
B1(0， b)，B2 (0，b) B1( b，0)，B2 (b，0)
軸長 短軸的長為 2b，長軸的長為 2a
焦點 F ( c，0)，F (c，0) F1(0， c)，F2 (0，c) 1 2
焦距 | F1F2 | 2c
對稱性 關于 x 軸、 y 軸對稱， (0，0) 為對稱中心
c b2
離心率 e 1 (0 e 1)
a a2
55
2．橢圓的焦點三角形和焦半徑：
（1）橢圓的焦點三角形：以橢圓的兩個焦點 F1 ， F2 與橢圓上
的任意一點 P （非長軸頂點）組成的三角形．
（2）橢圓的焦點三角形的周長為 2a 2c ，面積為
2 F PF
S 1 2 ． PF F b tan1 2 2
（3）橢圓的焦半徑公式：對于離心率為 e，焦點在 x 軸的橢
x2 y2
圓 E ： 1上的點 P x0 , y0 ，它到左焦點 F2 2 1 的距a b
離和到右焦點 F2 的距離分別為 PF1 a ex0 ，
PF2 a ex0 ．
56
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3．雙曲線的標準方程與簡單幾何性質：
焦點的位置 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
圖形
x2 y2 y2 x2
標準方程 1 1
a2 b2 a2 b2
x ， a a， y ， a a，
范圍
且 y R 且 x R
頂點 A1( a，0)，A2 (a，0) A1(0， a)，A2 (0，a)
軸長 虛軸的長為 2b，實軸的長為 2a
焦點 F1( c，0)，F2 (c，0) F1(0， c)，F2 (0，c)
焦距 | F1F2 | 2c
對稱性 關于 x 軸、 y 軸對稱， (0，0) 為對稱中心
b a
漸進線 直線 y x 直線 y x
a b
c b2
離心率 e 1 (e 1)
a a2
57
4．雙曲線的焦點三角形和焦半徑：
（1）雙曲線的焦點三角形：以雙曲線的兩個焦點 F1 ， F2 與雙
曲線上任意一點 P （非雙曲線頂點）為頂點組成的三角
形．
b2
（2）雙曲線的焦點三角形的面積為 S F PF ． 1 2 F PF
tan 1 2
2
（3）雙曲線的焦半徑公式：對于離心率為 e，焦點在 x 軸的
x2 y2
雙曲線 E ： 1上的點 P x
2 2 0
, y0 ，P 在左支時，
a b
PF1 (ex0 a)， PF2 (ex0 a) ; P 在右支時，
PF1 ex0 a， PF2 ex0 a .
58
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5．設拋物線的焦點到準線的距離為 p （ p 0），拋物線的標準方
程與簡單幾何性質如下：
標準方程 圖形 對稱軸 焦點坐標 準線方程
y2 2 px p p
, 0 x
( p 0) 2 2
x 軸
y2 2 px p p
, 0 x
( p 0) 2 2
x2 2 py p p
0 , y
( p 0) 2 2
y 軸
x2 2 py p p
0 , y
( p 0) 2 2
拋物線的離心率：拋物線上的點到焦點與到準線的距離的比叫做拋
物線的離心率，用 e表示， e 1．
59
6．圓錐曲線的第二定義：
x2 y2
（1）①橢圓 1 a b 0 的左焦點對應的左準線為
a2 b2
a2 a2
x ，右焦點對應的右準線為 x ；
c c
x2 y2 a2
②雙曲線 1的左焦點對應的左準線為 x ，
a2 b2 c
a2
右焦點對應的右準線為 x ；
c
2 p p
③拋物線 x 2py的焦點為 0 , ，準線為 y ；
2 2
2 p p
④拋物線 y 2px 的焦點為 , 0 ，準線為 x ．
2 2
圓錐曲線上的點到焦點距離與到準線距離的比為常數，且
該常數即為離心率 e．
（2）到定點與到定直線的距離之比為常數 e的點的軌跡為：
①當 0 e 1時，軌跡為離心率為 e的橢圓，定點為其中的
一個焦點；
②當 e 1時，軌跡為拋物線，定點為焦點；
③當 e 1時，軌跡為離心率為 e的雙曲線，定點為其中一個
焦點．
60
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7．直線與圓錐曲線相切的充要條件：
2 2 2
（1）圓 x y r 與直線 Ax By C 0相切的條件是
A2r2 B2r2 C2 ；
x2 y2
（2）橢圓 1 a b 0 與直線 Ax By C 0相切的
a2 b2
條件是 A2a2 B2b2 C2 ；
x2 y2
（3）雙曲線 1 a , b 0 與直線 Ax By C 0相切
a2 b2
的條件是 A2a2 B2b2 C2 ；
（4）拋物線 y2 2px p 0 與直線 Ax By C 0相切的條
2
件是 pB 2AC ；
2
（5）拋物線 x 2py p 0 與直線 Ax By C 0相切的條
2
件是 pA 2BC ．
61
8．過圓錐曲線C 上一點 P x0 , y0 與圓錐曲線相切的直線方程為：
圓錐曲線
圓錐曲線C 的方程 在點 P x0 , y0 處的切線
C
x2 y2 r2 x x y y r2 0 0
圓
2 2
2x a y b r2 x0 a x a y 0 b y b r
y2 2px y0 y p x x 0
拋物線
x2 2py x0x p y y 0
x2 y2 x x y y
橢圓 1 0 0 1
2 2 a2a b b
2
x2 y2 x x y y
雙曲線 1 0 0 1
a2 b2 a
2 b2
一般圓錐
2 D EAx By2 Dx Ey F 0 Ax0x By0 y x x0 y y0 F 0
2 2
曲線
62
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9．設 P x0 , y0 是圓錐曲線C 外一點，過點 P 作曲線的兩條切線，
切點為 M 、 N ，則切點弦 MN 所在的直線方程為：
圓錐
曲線 圓錐曲線C 的方程 切點弦方程
C
x2 y2 r2 2 x0x y0 y r
圓
2 2
x a y b r2 x0 a x a y0 b y b r
2
y2 2px y0 y p x x拋物 0
線
x2 2py x0x p y y 0
x2 y2 x0 x y0 y
橢圓 1 1
2 2
a2 b2 a b
雙曲
x2 y2 x0 x y0 y 1 1
a2
2
b2 a b
2
線
一般
D E
圓錐 Ax2 By2 Dx Ey F 0 Ax0x By0 y x x0 y y0 F 0
2 2
曲線
63
10．圓錐曲線中的弦長問題：
（1）兩根之差公式：
如果 x1 、x2 是一元二次方程 ax
2 bx c 0 a 0 , 0 的兩

根，則 x1 x2 ．
a
（2）弦長公式：
假設直線與圓錐曲線相交于 A x1 , y1 、 B x2 , y2 兩點：
①如果直線恒過 y 軸上某一定點 0 , b 時，則可把直線方
程設成 y kx b，則弦長公式為
2
1
AB 1 k 2 x1 x 1 k
2
2 1 y1 y2 ；
a k
②如果直線斜率可能不存在，或者直線恒過 x 軸上某一定
點 n , 0 時，可把直線方程設成 x my n（m 為斜率的
倒數，不能表示斜率為 0 的直線，稱為倒斜橫截式），對
應的弦長公式為
2
2 1 AB 1 m y1 y2 1 x1 x ． 2
m
64
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11．弦 AB 的中點與直線 AB 斜率的關系：
x2 y2
（1）已知 AB 是橢圓 1(a 0,b 0) 的一條弦，弦 AB
2 2 a b
b2 x
中點 M 的坐標為 x0 , y ，則 k
0
0 AB ；
a2 y0
x2 y2
（2）已知 AB 是雙曲線 1(a 0,b 0) 的一條弦，
a2 b2
b2 x
弦 AB 中點 M 的坐標為 x0 , y0 ，則 k
0
AB ；
a2 y0
（3）已知 AB 是拋物線 y2 2px p 0 的一條弦，弦 AB 中
p
點 M 的坐標為 x0 , y0 ，則 kAB ．
y0
12．圓錐曲線中的面積問題：
設直線與圓錐曲線相交于 A x1 , y1 、B x2 , y2 兩點，P0 為平
面內任意一點，P1 為直線 AB 與坐標軸的交點，P0 到直線 AB
的距離為 d ，且 P0P1 l ．則 P0 AB的面積可如下表示：
y y y
P0 A
A A
d P1
O x P O0 P x O x1
P0
B
B B
1 1 1
（1） S d AB ； （2） S P AB l y1 y ； （3） P AB 2 S P AB l x1 x ． 0 22 0 2 0 2
65
十一．導數與積分
1．函數的平均變化率：
一般地，已知函數 y f x ，x0 、x1 是其定義域內不同的兩點
記 x x1 x0 ，
y y1 y0 f x1 f x0 f x0 x f x0
f x0 x f x0 y
則當 x 0時，商 稱作函數
x x
y f x 在區間 x0 , x0 x （或 x0 x , x0 ）上的平均變
化率．
2．函數的瞬時變化率，函數的導數：
一 般 地 ， 函 數 y f x 在 x x0 處 的 瞬 時 變 化 率 是
y f x0 x f x0
lim lim ，我稱它為函數 y f x 在
x 0 x x 0 x
x x 處 的 導 數 ， 記 作 f x 0 0 或 y ， 即x x0
f x x f x
f x0
0 0
lim ．
x 0 x
66
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3．導函數：
如果函數 f x 在開區間 a , b 內每一點都可導，那么其導數值
在 a , b 內構成一個新的函數，我們把這個函數叫做 f x 在開
區間 a , b 內的導函數，記作 f x 或 y ．導函數通常簡稱為
導數，如果不特別指明求某一點的導數，那么求導數指的就是
求導函數．
4．基本初等函數的導數公式：
（1）若 f x c （ c 為常數），則 f x 0 ；
（2）若 f x x （ *Q ），則 f x x 1 ；
（3）若 f x sin x，則 f x cos x；
（4）若 f x cos x ，則 f x sin x ；
（5）若 f x ax ，則 f x ax ln a；
（6）若 f x ex ，則 f x ex ；
1
（7）若 f x loga x，則 f x ；
x ln a
1
（8）若 f x ln x，則 f x ．
x
67
5．導數運算法則（其中 f x 、 g x 都是可導函數， c 為常數）：
（1） f x g x

f x g x ；
（2） f x g x

f x g x f x g x ；
f x f x g x f x g x
（3） （ g x 0 ）．
g x
2
g x
6．復合函數求導：
復合函數 y f g x 的導數和函數 y f u 、u g x 的導
數間的關系為 y x y u ． u x
7．導數的幾何意義：
函 數 f x 在 x x0 處 的 導 數 就 是 曲 線 y f x 在 點
x0 , f x0 處的切線的斜率．
8．曲線在某點的切線：
（1）求出函數 y f x 在 x x0 處的導數，即曲線 y f x 在
點 x0 , f x0 處切線的斜率；
（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為
y f x0 x x0 y0 ．
注意：如果曲線 y f x 在點 x0 , f x0 的切線平行于 y 軸
（此時導數不存在）時，由切線的定義可知，切線的方程為
x x0 ．
68
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9．曲線過某點的切線：
（1）曲線的切線不一定和曲線只有一個公共點；
（2）“在”某一點的切線和“過”某點的切線是兩個不同的概念；
（3）在某一點的切線，若有，則只有一條；而過某點的切線
可能不只一條；
（4）用導數求切線的斜率時，先設出切點，即采用“待定切
點法”．
10．利用導數判斷函數的單調性：
在某個區間 a , b 內，如果 f x 0 ，那么函數 y f x 在
這個區間內單調遞增；如果 f x 0 ，那么函數 y f x 在
這個區間內單調遞減．
11．利用導數研究函數的極值：
已知函數 y f x ，設 x0 是定義域內任一點，如果對 x0 附近
的所有 x ，都有 f x f x0 ，則稱函數 f x 在點 x0 處取極
大值，記作 y f x f x極大值 0 ，并把 x0 稱為函數 的一個極
大值點；如果在 x0 附近都有 f x f x0 ，則稱函數 f x 在
點 x 處取極小值，記作 y f x0 極小值 0 ，并把 x0 稱為函數
f x 的一個極小值點．
69
12．函數 y f x 在 a , b 上的最值：
（1）求函數 y f x 在 a , b 內的極值；
（2）將函數 y f x 的各極值與端點處的函數值 f a ，
f b 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最
小值．
13．導數題中常用的不等式：
（ x1） e 1 x；
（2） ln 1 x x ；
1
（3） ln x 1 ；
x
1 1 1
（4） ln 1 ；
n 1 n n
n
（5） 1 x 1 nx x 1, n 0 ．
14．定積分的概念：
如果函數 f x 在區間 a , b 上連續，用分點
a x0 x1 xi 1 xi xn b
將區間 a , b 等分成 n 個小區間，在每個小區間 xi 1 , xi 上任
n n b a
取一點 i i 1, 2 , , n ，作和式 f i x f i ，
i 1 i 1 n
當 n 時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函
70
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數 f x 在區間 a , b 上的定積分，記作
b n b a
f x dx lim f ，這里， ai 與 b 分別叫做積分a n
i 1 n
下限與積分上限，區間 a , b 叫做積分區間，函數 f x 叫做
被積函數， x 叫做積分變量， f x dx 叫做被積式．
15．微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：
一般地，如果 f x 是區間 a , b 上的連續函數，并且
b
F x f x ，那么 f x dx F b F a ．為了方便，a
我們常常把 F b F a 記成 F x ba ，即
b
f x dx F x b a F b F a ． a
71
十二．排列組合與二項式定理
1．加法原理：若完成一件事有 n 類辦法，在第1類辦法中有m1種
不同的方法，在第 2 類辦法中有 m2 種不同的方法，……，在第 n
類 辦 法 中 有 mn 種 不 同 方 法 ， 則 完 成 這 件 事 共 有
N m1 m2 mn 種不同的方法．
2．乘法原理：如果完成一件事需要 n 個步驟，第1步有 m1種不
同的方法，第 2 步有m2 種不同的方法，……，第 n 步有mn 種不
同的方法，那么完成這件事共有 N m1 m2 mn 種不同的
方法．
3．排列：一般地，從 n 個不同的元素中取 m m n 個元素，按
照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素
的一個排列．
排列數：從 n 個不同的元素中取m m n 個元素的所有排列的
個數，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數，用符號
Amn 表示．
排列數公式： Amn n n 1 n 2 n m 1 ，其中 m 、
n N ，并且 m n．
全排列：一般地，n 個不同元素全部取出的一個排列，叫做 n 個
不同元素的一個全排列．
72
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n 的階乘：正整數由1到 n 的連乘積，叫做 n 的階乘，用 n!表
示．規定： 0! 1．
4．組合：一般地，從 n 個不同元素中，任意取出 m m n 個元
素并成一組，叫做從 n 個元素匯總任取 m 個元素的一個組合．
組合數：從 n 個不同元素中，任意取出 m m n 個元素的所有
組合的個數，叫做從 n 個不同元素中，任意取出 m 個元素的組
m
合數，用符號Cn 表示．
n n 1 n 2 n m 1 n!
組合數公式： Cmn ，
m! m! n m !
其中 m 、 n N ，并且 m n．
m n m
組合數的兩個性質：性質1：Cn Cn ；
m
性質 2 ：Cn 1 C
m
n C
m 1
n ．（規定：C
0
n 1）
5．排列組合典型方法：
（1）元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮
其它元素．
（2）位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮
其它位置．
73
（3）排除法：從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種
間接解題的方法．
（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素
“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆
元素”內部排列．
（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，
再讓不相鄰的元素插空．
（6）隔板法： n 個相同元素，分成 m m n 組，每組至少一
個的分組問題，把 n 個元素排成一排，從 n 1個空中選
m 1
m 1個空，各插一個隔板，有Cn 1 種方法．
6．二項式定理：
n
a b C0an C1an 1b C2an 2b2 Cn n *n n n n b n N ．
其中的系數Crn r 0 ,1, 2 , , n 叫做二項式系數，式中的
Cran rn b
r
叫做二項展開式的通項，它是二項展開式中的第 r 1
r n r r
項，用Tr 1表示，即Tr 1 Cn a b ．
7．二項式系數的性質：
n
（1） a b 的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的
二項式系數相等．這一性質可直接由公式C
m Cn mn n 得到．
n
（2） a b 的二項展開式中，所有二項式系數之和等于 2n ，
C0 C1 C2 n n即 n n n Cn 2 ．
74
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n
（3） a b 的二項展開式中，奇數項的二項式系數之和等于
偶數項的二項式系數之和．即
C0 C2 C4 1 3 5 n 1n n n Cn Cn Cn 2 ．
n
（4） a b 的二項展開式中，當 n 為偶數時，中間一項的二
n
項式系數C 2 取得最大值；當 n 為奇數時，中間兩項的二項n
n 1 n 1
式系數C 2 、C 2 相等且同時取得最大值． n n
75
十三．統計與概率
1．我們一般把所考察對象的某一數值指標構成的集合看做總體，
構成總體的每一個元素作為個體．從總體中抽出若干個體所組
成的集合叫做樣本．樣本中個體的數目叫做樣本容量．
2．每個個體被抽到的機會均等，這樣的抽樣是隨機抽樣．
3．簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有 N 個個體，從中逐
個不放回地抽取 n 個個體作為樣本（ n N ），如果每次抽取時
總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫
做簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種——抽簽
法和隨機數法．
（1）抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的 N 個個體編號，
把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，
每次從中抽取一個號簽，連續抽取 n 次，就得到一個容量
為 n 的樣本．
（2）隨機數法：即利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的
隨機數進行抽樣．
76
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4．系統抽樣：一般地，假設要從容量為 N 的總體中抽取容量為
n 的樣本，我們可以按下列
步驟進行系統抽樣：
（1）先將總體的 N 個個體編號；
N
（2）確定分段間隔 k ，對編號進行分段（當 是整數時，取
n
N
k ）；
n
（3）在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號 l （ l k ）；
（4）按照一定的規則抽取樣本，通常是將 l 加上間隔 k 得到第
2 個個體編號 l k ，再加 k 得到第3個個體編號 l 2k ，
依次進行下去，直到獲取整個樣本．
5．分層抽樣：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，
然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各
層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
6．列出樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：
（1）計算極差：找出數據的最大值與最小值，計算它們的差；
極差
（2）決定組距與組數：取組距，用 決定組數；
組距
（3）決定分點：決定起點，進行分組；
（4）列頻率分布直方表：對落入各小組的數據累計，算出各
小數的頻數，除以樣本容量，得到各小組的頻率；
77
頻率
（5）繪制頻率分布直方圖：以數據的值為橫坐標，以 的
組距
值為縱坐標繪制直方圖，知小長方形的
頻率
面積=組距 =頻率．
組距
7．制作莖葉圖的步驟：
（1）將數據分為“莖”、“葉”兩部分；
（2）將最大莖與最小莖之間的數字按大小順序排成一列，并
畫上豎線作為分隔線；
（3）將各個數據的“葉”在分界線的一側對應莖處同行列出．
8．一般地，設樣本的元素為 x1 , x2 , , xn ，樣本的平均數為 x ，
定義樣本方差為
1 2 2 2 1 2
s2 x 2 21 x x2 x xn x x1 x2 x2 n nxn n
1 2 2 2樣本標準差 s x x x 1 2 x xn x
n
78
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9． 2 2聯表的獨立性檢驗：如果對于某個群體有兩種狀態，對
于每種狀態又有兩種情況，這樣排成一張 2 2的表，如下：
狀態 B 狀態 B 總計
狀態 a b a b
狀態 A c d c d
總計 a c b d a b c d
如果有調查得來的四個數據 a 、b 、c 、d ，并希望根據這樣的
4 個數據來檢驗上述的兩種狀態 A 與 B 是否有關，就稱之為
2 2聯表的獨立性檢驗．
（1）統計假設：如果事件 A 與 B 獨立，這時應該有
P AB P A P B ，用字母 H0 表示此式，
即 H0 : P AB P A P B ，稱之為統計假設．
（2） K 2 （讀作“卡方”）統計量：
2
n ad bc
K 2 ，
a b c d a c b d
用它的大小來決定是否拒絕原來的統計假設 H0 ．當
K 2 6.635時，有 99% 的把握說事件 A 與 B 有關；當
K 2 3.841時，有 95% 的把握說事件 A 與 B 有關；
K 2當 3.841時，認為事件 A 與 B 是無關的．
79
10．線性回歸系數的最佳估計值：
利用最小二乘法可以得到 a 、 b 的計算公式為：
n n
xi x yi y xi yi nxy
b i 1 i 1 ， a y b x
n 2 n 2
xi x x2i nx
i 1 i 1
由此得到的直線 y a bx 就稱為回歸直線，此直線方程即為線
性回歸方程．其中 a ，b 分別為 a ，b 的估計值， a 稱為回歸截
距， b 稱為回歸系數， y 稱為回歸值．
11．事件的概率：
m
（1）等可能事件的概率公式： P A ．
n
（2）互斥事件有一個發生的概率公式為：
P A B P A P B ；
（3）相互獨立時間同時發生的概率公式為：
P AB P A P B ；（4）條件概率：一般地，設 A 、B 為
P AB
兩個事件，且 P A 0 ，稱 P B A 為在事件 A 發
P A
生的條件下，事件 B 發生的條件概率．
80
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12．離散型隨機變量的分布列：
（1）將離散型隨機變量 X 所有可能的取值 xi 與該取值對應的
概率 pi i 1, 2 , , n 列表表示：
我們稱這個表為離散型隨機變量 X 的概率分布，或稱為離
散型隨機變量 X 的分布列．
（2）離散型隨機變量的分布列的性質：
① pi 0 , i 1, 2 , , n；
② p1 p2 pn 1．
13．典型分布：
（1）兩點分布：如果隨機變量 X 的分布列為
則稱 X 服從兩點分布，并稱 p P X 1 為成功概率．（兩
點分布又稱 0—1 分布，由于只有兩個可能結果的隨機試驗
叫伯努利試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布．）
81
（2）超幾何分布：一般地，設有總數為 N 件的兩類物品，其中
一類有 M 件，從所有物品中任取 n 件（ n N ），這 n 件中
所含這類物品件數 X 是一個離散型隨機變量，它取值為 m
Cm Cn m
時的概率為 P X m M N M（ 0 m l ，l 為 n 和 M 中
CnN
較小的一個）．我們稱離散型隨機變量 X 的這種形式的概率
分布為超幾何分布．
（3）二項分布：
①獨立重復試驗：如果每次試驗，只考慮有兩個可能的
結果 A 及 A ，并且事件 A 發生的概率相同．在相同的條
件下，重復地做 n 次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那
么一般就稱它們為 n 次獨立重復試驗．
②二項分布：若將事件 A 發生的次數設為 X ，事件 A 不發
生的概率為 q 1 p ，那么在 n 次獨立重復試驗中，事件 A
恰好發生 k k n kk 次的概率是 P(X K) Cn p q , k=0 ,1 , 2..., n
于是得到 X 的分布列
此時稱隨機變量 X 服從二項分布，記作 X ~ B n , p ．
82
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14．離散型隨機變量的均值與方差：一般地，若離散型隨機變量 X
的分布列為
（1）稱 E X x1 p1 x2 p2 xn pn 為隨機變量 X 的均值
或數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
（ ）稱 2 2 22 D X x1 E X p1 x2 E X p2 xn E X pn
為隨機變量 X 的方差，并稱其算術平方根 D X 為隨機
變量 X 的標準差．隨機變量的方差和標準差都反映了隨
機變量取值偏離于均值的平均程度．（離散程度）
（3）X 為隨機變量，a ，b 為常數，則 E aX b aE X b，
D aX b a2D X ．
15．典型分布的期望與方差：
（1）兩點分布：在一次兩點分布試驗中，離散型隨機變量 X
的期望取值為 p ，在 n 次兩點分布試驗中，離散型隨機變
量 X 的期望取值為 np ．
（2）超幾何分布：若離散型隨機變量 X 服從參數為 N ， M ，
n 的超幾何分布，則
nM n N n N M M
E X ， D X ． 2
N N N 1
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（3）二項分布：若離散型隨機變量 X 服從參數為 n 和 p 的
二項分布，則 E X np ， D X np 1 p ．
16．正態分布：
2
x
1 2
（1）正態曲線的定義：函數 , x e 2 ，x R，
2
其中實數 和 0 為參數，我們稱
, x 的圖象（如圖）為正態分布密度
曲線，簡稱正態曲線．
（2）正態曲線的性質：
①曲線位于 x 軸上方，與 x 軸不相交；
②曲線是單峰的，它是關于直線 x 對稱；
1
③曲線在 x 處達到峰值 ；
2
④曲線與 x 軸之間的面積為 1；
⑤當 一定時，曲線隨著 的變化而沿 x 軸平移；
⑥當 一定時，曲線的形狀由 確定， 越小，曲線
越“瘦高”，表示總體的分布越集中； 越大，曲線越“矮
胖”，表示總體的分布越分散．
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高中數學寶典
（3）正態分布的定義及表示：如果對于任何實數 a ，b（ a b ），
b
隨機變量 X 滿足 P a X b , x dx ，則稱 X 的 a
分布為正態分布，記作 X ~ N , 2 ．
（4）正態分布的三個常用數據：
① P X 0.6826 ；
② P 2 X 2 0.9544；
③ P 3 X 3 0.9974．
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十四．復數
1．虛數單位 i ：規定 i2 1，即 i 是 1的一個平方根．
2．數系的擴充與復數的定義：
形如 a bi a , b R 的數叫做復數，復數全體所成的集合叫做
復數集，一般用字母C 表示．復數通常用字母 z 表示，即
z a bi a , b R ．其中 a 叫做復數 z 的實部，記作Re z ；
b 叫做復數 z 的虛部，記作 Im z ．
實數集 R 是復數集C 的真子集，即R C．
復數可以分類如下：
實數 b 0

復數z a bi a , b R 純虛數 a 0 , b 0
虛數
非純虛數 a 0 , b 0
3．兩個復數相等：如果兩個復數 z1 a bi a , b R 和
z2 c di c , d R 的實部和虛部分別相等，即 a c 且b d ，
那么我們就說這兩個復數相等．記作 a bi c di．
4．復數的運算法則：
對于兩個復數 a bi、 c di （ a、b、c、d R）．
加法： a bi c di a c b d i ；
減法： a bi c di a c b d i ；
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乘法： a bi c di ac bd bc ad i ；
a bi ac bd bc ad
除法： i c di 0 ．
c di c2 d 2 c2 d 2
5．復數的運算定律：
復數的加法滿足交換律、結合律，也就是說，對于任何復數 z1 、
z2 、 z3，均有 z1 z2 z2 z1， z1 z2 z3 z1 z2 z3 ．
復數的乘法滿足交換律、結合律、分配律，也就是說，對于任
何復數 z1 、z2 、z3，均有 z1 z2 z2 z1 ， z1 z2 z3 z1 z2 z3 ，
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 ．
2 2
6．復數的模：對于復數 z a bi a , b R ，我們把 a b 稱
為該復數的模，記作 z ．一般地，對任意復數 z 、 z1 、 z2 ，復
數的模的運算具有以下性質：
（1） z1 z2 z1 z2 ；
z z1
（2） 1 z2 0 ；
z2 z2
n n *
（3） z z n N ；
（4） z1 z2 z1 z2 z1 z2 ．
7．共軛復數：實部相等而虛部互為相反數的兩個復數，稱其為
共軛復數．對于復數 z a bi a , b R ，它的共軛復數用
z a bi a , b R 表示．任意復數 z 、 z1 、 z2 有：
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（1） z1 z2 z1 z2 ；
（2） z1 z2 z1 z2 ；
z z
（3） 1 1 z2 0 ；
z2 z2
n
（4） zn z ；
（5） z z 2Re z ， z z 2i Im z ；
（6） z z ；
2 2
（7） z z z z ．
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十五．極坐標與參數方程
1．極坐標系：如圖，在平面內取一個定點O ，叫做極點；自極
點O引一條射線Ox ，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角
度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣
就建立了一個極坐標系．
設 M 是平面內一點，極點O 與點 M 的距離 OM 叫做點 M 的
極徑，記為 ；以極軸Ox 為始邊，
射線OM 為終邊的角 xOM 叫做
點 M 的極角，記為 ．有序數對
, 叫做點 M 的極坐標，記為
M , ．
一般地，不作特殊說明時，我們認為 0， 可取任意實數．
2．極坐標和直角坐標的互化：把直角坐標系的原點作為極點，
x 軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單
位．那么在這兩種坐標系下，點的坐標可以根據需要相互轉
2 x2 y2
x cos
化： 或 y ．
y
sin tan x 0
x
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3．極坐標系下曲線的方程：
（1）直線的方程：
① 0 R 表示過極點且極角為 0 的直線；
② cos 0 a 表示過點 A a , 0 且垂直于 OA 的
直線．
（2）圓的方程：
① r 表示以極點為圓心， r 為半徑的圓；
② 2 2 2 cos r2 表示以 0 , 0 0 0 0 為圓心，
r 為半徑的圓．
ep
（3）圓錐曲線的方程： 表示離心率為 e，焦點
1 ecos
到相應準線距離為 p 的圓錐曲線方程．
①當 0 e 1時，方程表示橢圓，極點在橢圓的左焦點；
②當 e 1時，方程表示拋物線，極點在拋物線的焦點；

③當 e 1時，若 R 則方程表示雙曲線，若 R 則表
示雙曲線的右支，極點在雙曲線的右焦點．
4．參數方程的概念：一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上
任意一點的坐標 x 、 y 都是某個變數 t 的函數 x f t ，并且對

y g t
于 t 的每一個允許值，由方程組 x f t 所確定的點 M x , y 都

y g t
在這條曲線上，那么該方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系
變數 x 、 y 的變數 t 叫做參變數，簡稱參數．相對于參數方程而
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言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程．
5．常見曲線的參數方程：
x m t cos
（1）直線 l 的常用參數方程為： ， t R 為參
y n t sin
數，其中 為直線的傾斜角， m , n 為直線上一點．
2 2
（2）圓 x a y b r2 的常用參數方程為：
x a r cos
， 0 , 2 為參數．
y b r sin
x2 y2 x acos
（3）橢圓 1的常用參數方程為： ，
a2 b2 y bsin
0 , 2 為參數．
x2 y2 x asec
（4）雙曲線 1的參數方程為： ，
a2 b2

y b tan
0 , 2 為參數．
x 2 pt22
（5）拋物線 y 2px 的參數方程為： ， t 為參數．
y 2 pt
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十六．平面幾何證明
1．平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的
對應線段成比例．
2．相似三角形的判定定理：
（1）兩角對應相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對應成比例，兩三角形相似．
3．直角三角形的射影定理：
（1）直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例
中項，
（2）兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項．
4．圓周角定理、圓心角定理與弦切角定理：
（1）圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓
心角的一半．
（2）圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數．
（3）圓周角定理的推論：
①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的
圓周角所對的弧也相等；
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②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角； 90 的圓周角所
對的弦是直徑．
（4）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．
5．圓的切線的性質和判定：
（1）性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．
（2）與性質定理有關的結論：
①經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；
②經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．
（3）判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的
直線是圓的切線．
6．圓內接四邊形的性質與判定定理：
（1）圓內接四邊形的性質定理：
①圓的內接四邊形的對角互補；
②圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角．
（2）圓內接四邊形的判定定理：
①定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的
四個頂點共圓；
②推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那
么這個四邊形的四個頂點共圓．
93
7．圓冪定理：
（1）相交弦定理：若弦 AB 、CD相交于圓O 內點 P ，則有
PA PB PC PD．
（2）割線定理：若 PAB 、 PCD是圓O 的兩條割線，則有
PA PB PC PD．
（3）切割線定理：若 PA 切圓O 于 A ， PBC 是圓O 的割線，
則有 PA2 PC PB．
圖（1） 圖（2） 圖（3）
94

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