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平面解析中的軌跡問題
一. 知識點
軌跡相關問題可以從以下幾方面出發：
①將數學語言轉換為文字定義，進而分析圖形類型（需要注意長軸長、實軸長、焦距長等特殊要求）；
例：定值時，聯想橢圓，需注意定值（2a）與（2c）的大小關系，
時，為橢圓；時，為線段；時，不存在．
定值時，聯想雙曲線，注意定值與的大小關系，還要注意的大小分析左右支，
時，為雙曲線中的一支；時，為一條射線；時，不存在．
②結合垂徑定理等性質，在圓、橢圓、雙曲線中，假設所求點坐標，代入定理，化簡求解；
③遵循原則，求誰設誰，用假設的點坐標，來表示題中已知點的橫縱坐標，并代入題中已有的解析（注意！是將題中已知點的新坐標代入！），并化簡求解．
二. 典型例題
三. 變式練習
1．平面上動點到定點的距離比到軸的距離大1，則動點的軌跡方程為　　
A． B．
C．或 D．或
2．點是以，為焦點的橢圓上的一點，過焦點作的外角平分線的垂線，垂足為點，則點的軌跡是　　
A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓
3．設圓的圓心為，是圓內一定點，為圓周上任一點．線段的垂直平分線與的連線交于點，則的軌跡方程為　　
A． B．
C． D．
4．已知曲線上任意一點都滿足關系式，則曲線的標準方程為　　
A． B．
C． D．
5．設定點、，動點滿足條件，則點的軌跡是　　
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
6．在中，，，的內切圓切于點，且，則頂點的軌跡方程為　 　．
7．直線與橢圓交于，兩點，已知的斜率為1，則弦的中點軌跡方程為　 　．
8．已知的頂點、，、分別為、的中點，和邊上的中線交于，并且，則點的軌跡方程為　 　．
9．已知兩定點，，如果動點滿足條件，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于　　
A． B． C． D．
10．已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線．求的方程．
11．如圖所示，已知是圓內的一點，、是圓上兩動點，且滿足，求矩形的頂點的軌跡方程．
12．已知動點與兩定點，連線的斜率之積等于常數．
（1）求動點的軌跡的形狀；
（2）試根據的取值情況討論軌跡的形狀．
答案
1解：設，
由到定點的距離為，
到軸的距離為，
當時，的軌跡為；
當時，又動點到定點的距離比到軸的距離大1，
列出等式：
化簡得 ，為焦點為的拋物線．
則動點的軌跡方程為或．
故選：．
2解：由題意，是以，為焦點的橢圓上一點，過焦點作外角平分線的垂線，垂足為，延長交延長線于，得，
由橢圓的定義知，故有，
連接，知是三角形的中位線
，即點到原點的距離是定值，由此知點的軌跡是圓
故選：．
3解：由圓的方程可知，圓心，半徑等于5，設點的坐標為，，的垂直平分線交于，． 又半徑5，．依據橢圓的定義可得，點的軌跡是以、 為焦點的橢圓，且，，，
故橢圓方程為 ，即 ．
故選：．
4解：由橢圓的定義可知，橢圓的焦點在軸上，交點坐標分別為，，
設橢圓的標準方程為，則，
，，橢圓的標準方程為，
故選：．
5解：，．
故當時，滿足條件 的點的軌跡是線段．
當時，滿足條件的點的軌跡是以、 為焦點的橢圓．
故選：．
6解：如圖，
設、分別為圓與、的兩個切點，則，，
又，
，
點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，
且，，，軌跡方程為．
故答案為：．
7解：設弦的兩端點分別為，、，，中點為，
則，，
平行弦的斜率為1，則，
把、兩點代入，兩式相減并整理可得，
所求的軌跡方程為（橢圓內部分），
故答案為：（橢圓內部分）．
8解：的邊和邊上的中線交于，
點為的重心，
，可得，
點的軌跡是以、為焦點的橢圓，，
可得，
橢圓的方程為，
由三角形中，點不在直線上，可得，即
因此，點的軌跡方程為
故答案為：
9解：已知兩定點，，如果動點滿足，設點的坐標為，
則，即，
所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于，
故選：．
10解：圓，圓，
設動圓半徑為．
在內，動圓只能在內與內切，不能是在動圓內，即：
動圓與圓外切，則，
動圓與圓內切，則，
，即到和到的距離之和為定值．
是以、為焦點的橢圓．
的中點為原點，故橢圓中心在原點，
，，，，
，
的方程為
11解：設的中點為，則也是的中點，設的坐標為，，則在中，．
又因為是弦的中點，依垂徑定理：在中，．
又，所以有，即．
因此點在一個圓上，而當在此圓上運動時，點即在所求的軌跡上運動．
設，因為是的中點，所以，
代入方程，得，
整理得：，這就是所求的點的軌跡方程．
12解：（1）由題設知直線與的斜率存在且均不為零
所以，
整理得
（2）①當時，軌跡為中心在原點，焦點在軸上的雙曲線（除去頂點）
②當時，軌跡為中心在原點，焦點在軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）
③當時，軌跡為以原點為圓心，1的半徑的圓除去點，
④當時，軌跡為中心在原點，焦點在軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）

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