資源簡介

平面幾何基礎知識（基本定理、基本性質）
1． 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊
和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍． (2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊
在這邊上的射影乘積的兩倍．
2． 射影定理（歐幾里得定理）
3． 中線定理（巴布斯定理）設△ 的邊 的中點為 ，則有 AB 2 + AC 2 = 2(AP 2 + BP 2ABC BC P ) ；
2b2 + 2c 2 a 2
中線長： m = ．
a
2
AB ⊥CD AC 2 AD 2 = BC 2 BD 24． 垂線定理： ．
2 bc
高線長： h = p( p a)( p b)( p c) = sin A = csin B = bsinC ．
a
a a
5． 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．
如△ABC 中，AD 平分∠BAC，則 BD AB= ；（外角平分線定理）．
DC AC
2 2bc A
角平分線長： t = bcp( p a) = cos （其中 p 為周長一半）．
a
b + c b + c 2
a b c
6． 正弦定理： = = = 2R ，（其中 R 為三角形外接圓半徑）．
sin A sin B sinC
2 2 2
7． 余弦定理： c = a + b 2abcos C ．
8． 張角定理： sin BAC sin BAD sin DAC= + ．
AD AC AB
9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC 及其底邊上 B、C 兩點間的一點 D，則有 AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝
BC·DC·BD．
10． 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉化？）
11． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角．
12． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）
13． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內接四邊形 ABCD 中，AC⊥BD，自對角線的交點 P 向一邊作垂線，其延
長線必平分對邊．
14． 點到圓的冪：設 P 為⊙O 所在平面上任意一點，PO=d，⊙O 的半徑為 r，則 d2－r2 就是點 P 對于⊙O 的冪．過 P
任作一直線與⊙O 交于點 A、B，則 PA·PB= |d2－r2|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，
如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根
軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相
交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．
15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即 AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成
立) ．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．
16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中點，弦 CD、EF 經過點 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求證：MP=QM．
17． 費馬點：定理 1 等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角
形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理 2 三角形每一內角都小于 120°時，在三
角形內必存在一點，它對三條邊所張的角都是 120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有
一內角不小于 120°時，此角的頂點即為費馬點．
18． 拿破侖三角形：在任意△ABC 的外側，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則 AE、AB、CD 三線共點，并且 AE
＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理． 以△ABC 的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接
圓⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 的圓心構成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 三圓共點，外拿破侖三角形是
一個等邊三角形；△ABC 的三條邊分別向△ABC 的內側作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2 、⊙
A2 、⊙B2 的圓心構成的△——內拿破侖三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2 三圓共點，內拿破侖三角形也是一個等邊三
角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．
19． 九點圓（Nine point round 或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以
及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質,例如:
（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;
（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;
（3）三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕．
20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．
21． 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為 R，內切圓半徑為 r，外心與內心的距離為 d，則 d2=R2－2Rr．
22． 銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．
23． 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成 2：1 的兩部分； xA + xG( B
+ xC yA + y + y, B C )
3 3
重心性質：（1）設 G 為△ABC 的重心，連結 AG 并延長交 BC 于 D，則 D 為 BC 的中點，則 AG : GD = 2 :1；
1
（2）設 G 為△ABC 的重心，則 S = S = S = S ；
ABG BCG ACG ABC
3
（3）設 G 為△ABC 的重心，過 G 作 DE∥BC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，過 G 作 PF∥AC 交 AB 于 P，交 BC
DE FP KH 2 DE FP KH
于 F，過 G 作 HK∥AB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，則 = = = ; + + = 2；
BC CA AB 3 BC CA AB
（4）設 G 為△ABC 的重心，則
① BC
2 + 3GA 2 =CA 2 + 3GB 2 = AB 2 + 3GC 2 ；
GA2 + GB2 2
1
② + GC = (AB 2 + BC 2 + CA2 ) ；
3
PA2 + PB 2 + PC 2 =GA 2 + GB 2 + GC 2 + 3PG 2③ （P 為△ABC 內任意一點）；
2 2 2
④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA + GB + GC 最小；
⑤三角形內到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則 G 為△ABC 的重心）．
a b c a b c
x + x + x y + y + y
A B C A B C
24． 垂心：三角形的三條高線的交點； H ( cos A cos B cosC , cos A cos B cosC )
a b c a b c
+ + + +
cos A cos B cosC cos A cos B cosC
垂心性質：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的 2 倍；
（2）垂心 H 關于△ABC 的三邊的對稱點，均在△ABC 的外接圓上；
（3）△ABC 的垂心為 H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH 的外接圓是等圓；
（4）設 O，H 分別為△ABC 的外心和垂心，則 BAO = HAC , CBO = ABH , BCO = HCA ．
25． 內心：三角形的三條角分線的交點—內接圓圓心，即內心到三角形各邊距離相等；
ax + bx + cx ay + by + cy
I ( A B C , A B C )
a + b + c a + b + c
內心性質：（1）設 I 為△ABC 的內心，則 I 到△ABC 三邊的距離相等，反之亦然；
1 1 1
（2）設 I 為△ABC 的內心，則 BIC = 90 + A, AIC = 90 + B, AIB = 90 + C ；
2 2 2
（3）三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若 A 平分線交△ABC
外接圓于點 K，I 為線段 AK 上的點且滿足 KI=KB，則 I 為△ABC 的內心；
（4）設 I 為△ABC 的內心， BC = a, AC = b, AB = c, A 平分線交 BC 于 D，交△ABC 外接圓于點 K，則
AI AK IK b + c
= = = ；
ID KI KD a
（5）設 I 為△ABC 的內心，BC = a, AC = b, AB = c, I 在 BC, AC , AB 上的射影分別為D, E, F ，內切圓半徑為 r ，
1
令 p = (a + b + c) ，則① S = pr ；② AE = AF = p a; BD = BF = p b;CE =CD = p c ABC ；③
2
abcr = p AI BI CI ．
26． 外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；
sin 2Ax + sin 2Bx + sin 2Cx sin 2Ay + sin 2By + sin 2Cy
O( A B C , A B C )
sin 2A+ sin 2B + sin 2C sin 2A+ sin 2B + sin 2C
外心性質：（1）外心到三角形各頂點距離相等；
（2）設 O 為△ABC 的外心，則 BOC = 2 A或 BOC = 360 2 A；
（3） abcR = ；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和．
4S

27． 旁心：一內角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設△ABC 的三邊 BC = a, AC = b, AB = c, 令
1
p = (a + b + c) ，分別與 BC, AC , AB 外側相切的旁切圓圓心記為 I , I , IA B C ，其半徑分別記為 r , r , rA B C ．
2
1 1
旁心性質：（1） BI C = 90 A, BI C = BI C = A, （對于頂角 B，C 也有類似的式子）；
A B C
2 2
1
（2） I I I = ( A + C) ；
A B C
2
（3）設 AI DI = DB = DCA 的連線交△ABC 的外接圓于 D，則 A （對于 BI ,CIB C 有同樣的結論）；
（4）△ABC 是△IAIBIC 的垂足三角形，且△IAIBIC 的外接圓半徑 R'等于△ABC 的直徑為 2R．
1 1 abc 2 2 2
28． 三角形面積公式：S ABC = aha = absin C = = 2R
2 sin Asin Bsin C a + b + c=
2 2 4R 4(cot A + cot B + cot C)
1
= pr = p( p a)( p b)( p c) ，其中 ha 表示 BC 邊上的高，R 為外接圓半徑，r 為內切圓半徑，p = (a + b + c) ．
2
29． 三角形中內切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關系：
A B C A B C A B C A B C
r = 4R sin sin sin ; r = 4R sin cos cos , r = 4R cos sin cos , r = 4R cos cos sin ;
a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r r r 1 1 1 1r = , r = , r = ; + + = .
a B C b A C c A B r r r r
tan tan tan tan tan tan a b c
2 2 2 2 2 2
30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC 的三邊 BC、CA、AB 或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分
BP CQ AR
別為 P、Q、R 則有 =1．（逆定理也成立）
PC QA RB
31． 梅涅勞斯定理的應用定理 1：設△ABC 的∠A 的外角平分線交邊 CA 于 Q，∠C 的平分線交邊 AB 于 R，∠B 的平分
線交邊 CA 于 Q，則 P、Q、R 三點共線．
32． 梅涅勞斯定理的應用定理 2：過任意△ABC 的三個頂點 A、B、C 作它的外接圓的切線，分別和 BC、CA、AB 的延
長線交于點 P、Q、R，則 P、Q、R 三點共線．
33． 塞瓦(Ceva)定理：設 X、Y、Z 分別為△ABC 的邊 BC、CA、AB 上的一點，則 AX、BY、CZ 所在直線交于一點的充
AZ BX CY
要條件是 · · =1．
ZB XC YA
34． 塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC 的邊 BC 的直線與兩邊 AB、AC 的交點分別是 D、E，又設 BE 和 CD 交于 S，
則 AS 一定過邊 BC 的中點 M．
35． 塞瓦定理的逆定理：（略）
36． 塞瓦定理的逆定理的應用定理 1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線
交于一點．
37． 塞瓦定理的逆定理的應用定理 2：設△ABC 的內切圓和邊 BC、CA、AB 分別相切于點 R、S、T，則 AR、BS、CT 交
于一點．
38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC 的外接圓上任意一點 P 向三邊 BC、CA、AB 或其延長線作垂線，設其垂足分別
是 D、E、R，則 D、E、R 共線，（這條直線叫西摩松線 Simson line）．
39． 西摩松定理的逆定理：（略）
40． 關于西摩松線的定理 1：△ABC 的外接圓的兩個端點 P、Q 關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上．
41． 關于西摩松線的定理 2（安寧定理）：在一個圓周上有 4 點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關于該三角
形的西摩松線，這些西摩松線交于一點．
42． 史坦納定理：設△ABC 的垂心為 H，其外接圓的任意點 P，這時關于△ABC 的點 P 的西摩松線通過線段 PH 的中心．
43． 史坦納定理的應用定理：△ABC 的外接圓上的一點 P 的關于邊 BC、CA、AB 的對稱點和△ABC 的垂心 H 同在一條
（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點 P 關于△ABC 的鏡象線．
44． 牛頓定理 1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線．這條直線叫做這個
四邊形的牛頓線．
45． 牛頓定理 2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．
46． 笛沙格定理 1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的連線交于一
點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線．
47． 笛沙格定理 2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的連線交
于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線．
48． 波朗杰、騰下定理：設△ABC 的外接圓上的三點為 P、Q、R，則 P、Q、R 關于△ABC 交于一點的充要條件是：弧
AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 ) ．
49． 波朗杰、騰下定理推論 1：設 P、Q、R 為△ABC 的外接圓上的三點，若 P、Q、R 關于△ABC 的西摩松線交于一點，
則 A、B、C 三點關于△PQR 的的西摩松線交于與前相同的一點．
50． 波朗杰、騰下定理推論 2：在推論 1 中，三條西摩松線的交點是 A、B、C、P、Q、R 六點任取三點所作的三角形的
垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點．
51． 波朗杰、騰下定理推論 3：考查△ABC 的外接圓上的一點 P 的關于△ABC 的西摩松線，如設 QR 為垂直于這條西摩
松線該外接圓的弦，則三點 P、Q、R 的關于△ABC 的西摩松線交于一點．
52． 波朗杰、騰下定理推論 4：從△ABC 的頂點向邊 BC、CA、AB 引垂線，設垂足分別是 D、E、F，且設邊 BC、CA、
AB 的中點分別是 L、M、N，則 D、E、F、L、M、N 六點在同一個圓上，這時 L、M、N 點關于關于△ABC 的西摩
松線交于一點．
53． 卡諾定理：通過△ABC 的外接圓的一點 P，引與△ABC 的三邊 BC、CA、AB 分別成同向的等角的直線 PD、PE、PF，
與三邊的交點分別是 D、E、F，則 D、E、F 三點共線．
54． 奧倍爾定理：通過△ABC 的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC 的外接圓的交點分別是 L、M、N，
在△ABC 的外接圓上取一點 P，則 PL、PM、PN 與△ABC 的三邊 BC、CA、AB 或其延長線的交點分別是 D、E、F，
則 D、E、F 三點共線．
55． 清宮定理：設 P、Q 為△ABC 的外接圓的異于 A、B、C 的兩點，P 點的關于三邊 BC、CA、AB 的對稱點分別是 U、
V、W，這時，QU、QV、QW 和邊 BC、CA、AB 或其延長線的交點分別是 D、E、F，則 D、E、F 三點共線．
56． 他拿定理：設 P、Q 為關于△ABC 的外接圓的一對反點，點 P 的關于三邊 BC、CA、AB 的對稱點分別是 U、V、W，
這時，如果 QU、QV、QW 和邊 BC、CA、AB 或其延長線的交點分別是 D、E、F，則 D、E、F 三點共線．（反點：
P、Q 分別為圓 O 的半徑 OC 和其延長線的兩點，如果 OC2=OQ×OP 則稱 P、Q 兩點關于圓 O 互為反點）
57． 朗古來定理：在同一圓周上有 A1、B1、C1、D1 四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點 P，作 P 點的關于這 4
個三角形的西摩松線，再從 P 向這 4 條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上．
58． 從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心．
59． 一個圓周上有 n 個點，從其中任意 n－1 個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點．
60． 康托爾定理 1：一個圓周上有 n 個點，從其中任意 n－2 個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點．
61． 康托爾定理 2：一個圓周上有 A、B、C、D 四點及 M、N 兩點，則 M 和 N 點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、
△ABC 中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上．這條直線叫做 M、N 兩點關于四邊形 ABCD 的康托爾線．
62． 康托爾定理 3：一個圓周上有 A、B、C、D 四點及 M、N、L 三點，則 M、N 兩點的關于四邊形 ABCD 的康托爾線、
L、N 兩點的關于四邊形 ABCD 的康托爾線、M、L 兩點的關于四邊形 ABCD 的康托爾線交于一點．這個點叫做 M、
N、L 三點關于四邊形 ABCD 的康托爾點．
63． 康托爾定理 4：一個圓周上有 A、B、C、D、E 五點及 M、N、L 三點，則 M、N、L 三點關于四邊形 BCDE、CDEA、
DEAB、EABC 中的每一個康托爾點在一條直線上．這條直線叫做 M、N、L 三點關于五邊形 A、B、C、D、E 的康
托爾線．
64． 費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切．
65． 莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一
個正三角形．這個三角形常被稱作莫利正三角形．
66． 布利安松定理：連結外切于圓的六邊形 ABCDEF 相對的頂點 A 和 D、B 和 E、C 和 F，則這三線共點．
67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內接六邊形 ABCDEF 相對的邊 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的（或延長線的）交點
共線．
68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點 A、B 的距離之比為定比 m：n（值不為 1）的點 P，位于將線段 AB 分成
m：n 的內分點 C 和外分點 D 為直徑兩端點的定圓周上．這個圓稱為阿波羅尼斯圓．
69． 庫立奇*大上定理：（圓內接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心
都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓．
70． 密格爾（Miquel）點： 若 AE、AF、ED、FB 四條直線相交于 A、B、C、D、E、F 六點，構成四個三角形，它們是
△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點．
71． 葛爾剛（Gergonne）點：△ABC 的內切圓分別切邊 AB、BC、CA 于點 D、E、F，則 AE、BF、CD 三線共點，這個
點稱為葛爾剛點．
72． 歐拉關于垂足三角形的面積公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一點，過 M 向三邊作垂線，三個垂足
2 2
形成的三角形的面積，其公式： S DEF | R d |= ．
S 4R 2
ABC

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