資源簡介

機械能守恒定律
功的計算
重難點 題型 分值
重點 功的計算及正負 選擇 計算 6-8分
難點 功的正負的含義及判定
一、功
1. 概念：一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了一段位移，這個力就對物體做了功。
2. 做功的兩個因素。
（1）物體受力的作用。
（2）物體在力的方向上發生了位移。
3. 功的公式。
（1）力F與位移l同向時，W＝Fl。
（2）力F與位移l夾角為α時，W＝Flcosα。
其中F、l、α分別為力的大小、位移的大小和力與位移方向的夾角。
4. 功的單位。
在國際單位制中，功的單位是焦耳，簡稱焦，符號是J。1 J等于1 N的力使物體在力的方向上發生1 m的位移時所做的功，即1 J＝1 N·m。
5. 功是標量。
功有正負之分，但是功只有大小，沒有方向。
二、功的正負
1. 功的正負不表示大小，只表示做功的力是阻力還是動力。
2. 功的正負的判斷
α的取值 cos α 功的正負 物理意義
0≤α< cos α>0 W>0，力做正功 做功的力是動力
α＝ cos α＝0 W＝0，力不做功 力既不是動力，也不是阻力
<α≤π cos α<0 W<0，力做負功 做功的力是阻力
三、總功的兩種求解思路
由合力與分力的等效替代關系知，合力與分力做功也是可以等效替代的，因此計算總功的方法有兩種：
1. 先求物體所受的合外力，再根據公式W合＝F合lcos α求合外力的功。
2. 先根據W＝Flcosα，求每個分力做的功W1，W2，…，Wn，再根據W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各個分力做功的代數和。
1. 如圖所示，一子彈以水平速度射入放置在光滑水平面上原來靜止的木塊，并留在木塊當中，在此過程中子彈鉆入木塊的深度為d，木塊的位移為l，木塊與子彈間的摩擦力大小為F，則（　　）
A. F對木塊做功為Fl
B. F對木塊做功為F（l＋d）
C. F對子彈做功為－Fd
D. F對子彈做功為－F（l＋d）
【答案】AD
【解析】木塊的位移為l，由W＝Flcosα得，F對木塊做功為Fl，子彈的位移為l＋d，木塊對子彈的摩擦力的方向與位移方向相反，故木塊對子彈的摩擦力做負功，W＝－F（l＋d）。故A、D正確。
2. 如圖所示，A、B疊放著，A用繩系在固定的墻上，用力F將B拉著右移。用FT、FAB和FBA分別表示繩子的拉力、A對B的摩擦力和B對A的摩擦力，則下列敘述中正確的是（　　）
A. F做正功，FAB做負功，FBA做正功，FT不做功
B. F和FBA做正功，FAB和FT做負功
C. F做正功，其他力都不做功
D. F做正功，FAB做負功，FBA和FT都不做功
【答案】D
【解析】力F與物體B的位移同向，故F做正功；FAB與物體B的位移反向，故FAB做負功；FBA作用在A上，A靜止不動，故FBA不做功；繩子的拉力FT作用在A和墻上，二者均靜止不動，故FT不做功。綜上所述，D正確。
如圖甲所示，在風洞實驗室里，一根足夠長的細桿水平固定，某金屬小球穿在細桿上靜止于細桿左端，現有水平向右的風力F作用于小球上，風力F隨時間t變化的F－t圖象如圖乙所示，小球沿細桿運動的v－t圖象如圖丙所示，取g＝10 m/s2，試求：在0～5 s內風力所做的功。
【答案】18 J
【解析】由題圖丙可知0～2 s為加速階段，a＝＝m/s2＝1m/s2
0～2s內的位移：x1＝at＝×1×4m＝2 m，
2 s～5s內的位移：x2＝vt2＝2×3m＝6 m，
則風力做功為W＝F1x1＋F2x2＝18J。
1. 功的計算公式：W＝Flcosα。其中α為力F和位移l之間的夾角。
2. 功的正負：（1）0≤α<時，力做正功
（2）α＝時，力不做功
（3）<α≤π時，力做負功
3. 總功的求解：（1）先求物體所受的合外力，再根據公式W合＝F合lcos α求合外力的功。
（2）先求每個分力做的功，再根據W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各個分力做功的代數和。
（答題時間：30分鐘）
1. 質量為m＝20 kg的物體，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直線運動。0～2 s內F與運動方向相反，2～4 s內F與運動方向相同，物體的v－t圖象如圖所示，g取10 m/s2，則（　　）
A. 拉力F的大小為100 N
B. 物體在4 s時拉力的瞬時功率為120 W
C. 4 s內拉力所做的功為480 J
D. 4 s內物體克服摩擦力做的功為320 J
2. 如圖所示，質量為m的物體P放在光滑的傾角為θ的斜面體上，同時用力F向右推斜面體，使P與斜面體保持相對靜止。在前進的水平位移為l的過程中，斜面體對P做功為（　　）
A. Fl B. mgsinθ·l C. mgcosθ·l D. mgtanθ·l
3. 一滑塊在水平地面上沿直線滑行，t＝0時其速度為1 m/s。從此刻開始在滑塊運動方向上再施加一水平作用力F，力F和滑塊的速度v隨時間的變化規律分別如圖（甲）和（乙）所示。設在第1秒內、第2秒內、第3秒內力F對滑塊做的功分別為W1、W2、W3，則以下關系式正確的是 （　　）
A. W1＝W2＝W3 B. W1C. W14.（多選）如圖所示，一恒力F通過一動滑輪拉物體沿光滑水平面前進了s，在運動過程中，F與水平方向保持θ角，則拉力F對物體做的功為（　　）
A. Fscosθ B. 2Fscosθ
C. Fs（1＋cosθ） D. 2Fscos2
5.（多選）如圖所示，勁度系數為k的輕彈簧的一端固定在墻上，另一端與置于水平面上的質量為m的物體接觸（未連接），彈簧水平且無形變。用水平力F緩慢推動物體，在彈性限度內彈簧長度被壓縮了x0，此時物體靜止。撤去F后，物體開始向左運動，運動的最大距離為4x0。物體與水平面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。則（　　）
A. 撤去F后，物體先做勻加速運動，再做勻減速運動
B. 撤去F后，物體剛運動時的加速度為－μg
C. 物體做勻減速運動的時間為2
D. 物體開始向左運動到速度最大的過程中克服摩擦力做的功為μmg（x0－）
6. 一物體在運動中受水平拉力F的作用，已知F隨運動距離x的變化情況如圖所示，則在這個運動過程中F做的功為（　　）
A. 4 J B. 18 J C. 20 J D. 22 J
7. 如圖所示，用沿斜面向上、大小為800 N的力F，將質量為100 kg的物體沿傾角為37°的固定斜面由底端勻速地拉到頂端，斜面長L＝5 m，物體與斜面間的動摩擦因數為0.25。求這一過程中：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
（1）物體的重力所做的功；
（2）摩擦力所做的功；
（3）物體所受各力的合力所做的功。
1.【答案】B
【解析】由圖象可得：0～2 s內物體做勻減速直線運動，加速度大小為：a1＝＝ m/s2＝5 m/s2，勻減速過程有F＋Ff＝ma1。勻加速過程加速度大小為a2＝＝m/s2＝1 m/s2，有F－Ff＝ma2，解得Ff＝40 N，F＝60 N，故A錯誤。物體在4 s時拉力的瞬時功率為P＝Fv＝60×2 W＝120 W，故B正確。4 s內物體通過的位移為x＝（×2×10－×2×2）m＝8 m，拉力做功為W＝－Fx＝－480 J，故C錯誤。4 s內物體通過的路程為s＝（×2×10＋×2×2） m＝12 m，摩擦力做功為Wf＝－Ffs＝－40×12 J＝－480 J，故D錯誤。
2.【答案】D
【解析】斜面對P的作用力垂直于斜面，其豎直分量為mg，所以水平分量為mgtanθ，做功為水平分量的力乘以水平位移。
3.【答案】B
【解析】解析：由v-t圖像可知，物體在第1秒內的位移為x1=0.5m、第2秒內的位移為x2=0.5m、第3秒內的位移為x3=1m；故第1秒內、第2秒內、第3秒內力F對滑塊做的功分別為W1=F1x1=0.5J、W2=F2x2=1.5J、W3=F3x3=2J。故有W14.【答案】CD
【解析】對F的端點分析，F的作用力沿F的方向移動了，由題意可知，當物體向右移動s時，力的作用點沿力方向移動s的同時也會隨滑輪向右移動s，則力的作用點的合位移如圖所示，則s合＝2scos，則F對物體做功W＝Fs合cos＝2Fscos2由數學知識可知：2Fscos2＝Fs（1＋cosθ）。
5.【答案】BD
【解析】撤去F后，在物體離開彈簧的過程中，彈簧彈力是變力，物體先做變加速運動，離開彈簧之后做勻減速運動，故A錯；剛開始時，由kx0－μmg＝ma可知B正確；離開彈簧之后做勻減速運動，減速時間滿足3x0＝a1t2，a1＝μg則t＝，C錯；速度最大時合力為零，此時彈簧彈力F＝μmg＝kx，x＝，所以物體開始向左運動到速度最大的過程中克服摩擦力做的功為Wf＝μmg（x0－x）＝μmg（x0－），D正確。
6.【答案】B
【解析】方法一　由圖可知F在整個過程中做功分為三個小過程，分別做功為
W1＝2×2 J＝4 J，W2＝－1×2 J＝－2 J
W3＝4×4 J＝16 J，
所以W＝W1＋W2＋W3＝4 J＋（－2）J＋16 J＝18 J。
方法二　F－x圖象中圖線與x軸所圍成的面積表示做功的多少，x軸上方為正功，下方為負功，總功取三部分的代數和，即（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，B正確。
7.【答案】（1）－3 000 J　（2）－1 000 J　（3）0
【解析】物體受力情況如圖所示
（1）WG＝－mgLsinθ＝－3 000 J
（2）Ff＝μFN＝μmgcosθ
Wf＝－FfL＝－μmgcosθ·L
＝－1 000 J
（3）解法一：WF＝FL＝4 000 J
W＝WF＋WG＋Wf＝0
解法二：物體做勻速運動，F合＝0
故W＝0。
功率及機車啟動問題
重難點 題型 分值
重點 功率的意義及計算 選擇 計算 8-10分
難點 機車啟動問題的分析及應用
一、功率
1. 定義：功W與完成這些功所用時間t的比值。
2. 公式：P＝單位：瓦特，簡稱瓦，符號W。
3. 意義：功率是表示物體做功快慢的物理量。
4. 功率是標量。
5. 額定功率和實際功率
（1）額定功率：機械允許長時間正常工作時的最大功率。發動機銘牌上的功率指的就是額定功率。
（2）實際功率：機械實際工作時的輸出功率。發動機的實際功率不能長時間大于額定功率，否則會損壞機械。
二、功率與速度
1. 功率與速度關系式：P＝Fv（F與v方向相同）。
2. 應用：由功率速度關系知，汽車、火車等交通工具和各種起重機械，當發動機的功率P一定時，牽引力F與速度v成反比，要增大牽引力，就要減小速度。
三、機車的兩種啟動方式
1. P＝Fv三個量的制約關系：
定值 各量間的關系 應用
P一定 F與v成反比 汽車上坡時，要增大牽引力，應換低速擋減小速度
v一定 F與P成正比 汽車上坡時，要使速度不變，應加大油門，增大輸出功率，獲得較大牽引力
F一定 v與P成正比 汽車在平直高速路上，加大油門增大輸出功率，可以提高速度
2. 兩種啟動方式的過程分析
以額定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖和 v－t圖
OA段 過程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變P＝Fv↑直到P額＝Fv1
運動性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t0＝
AB段 過程分析 F＝F阻 a＝0 F阻＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動性質 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速運動
BC段 F＝F阻 a＝0 F阻＝，以vm做勻速直線運動
3. 機車啟動問題中幾個物理量的求法
（1）機車的最大速度vm的求法，機車達到勻速前進時速度最大，此時牽引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。
（2）勻加速啟動持續時間的求法，牽引力F＝ma＋Ff，勻加速的最后速度vm′＝，時間t＝。
（3）瞬時加速度的求法，據F＝求出牽引力，則加速度a＝。
在水平路面上運動的汽車的額定功率為100 kW，質量為10 t，設阻力恒定，且為車重的0.1倍（g取10 m/s2），求：
（1）若汽車以不變的額定功率從靜止啟動，汽車的加速度如何變化？
（2）當汽車的加速度為2 m/s2時，速度為多大？
（3）汽車在運動過程中所能達到的最大速度的大小。
【答案】（1）逐漸減小 （2）m/s （3）10 m/s
【解析】（1）汽車以不變的額定功率從靜止啟動，v變大，由P＝Fv知，牽引力F減小，根據牛頓第二定律F－Ff＝ma知，汽車的加速度減小。
（2）由F－Ff＝ma1①
P＝Fv1②
聯立①②代入數據得：v1＝m/s
（3）當汽車速度達到最大時，a2＝0，F2＝Ff，P＝P額，故
vmax＝＝m/s＝10 m/s。
放在粗糙水平地面上的物體受到水平拉力的作用，在0～6 s內其速度與時間的圖象和該拉力的功率與時間的圖象如圖所示。下列說法正確的是（　　）
A. 物體的質量為kg
B. 滑動摩擦力的大小為5 N
C. 0～6 s內物體的位移大小為40 m
D. 0～6 s內拉力做的功為20 J
【答案】A
【解析】在2～6s內，Ff＝F＝N；當P＝30 W時，v＝6 m/s，得到牽引力為：F1＝＝N＝5 N；0～2s內物體的加速度為：a＝＝m/s2＝3m/s2，根據F－Ff＝ma可知：m＝kg＝kg，A正確；在2～6 s內，v＝6 m/s，P＝10 W，物體做勻速直線運動，F＝Ff，則滑動摩擦力為：Ff＝N，B錯誤；0～6 s內物體的位移大小等于v－t圖象中圖象與坐標軸所包圍的面積，為：x＝（×2×6＋4×6）m＝30 m，C錯誤； 0～2 s內物體的加速度為：a＝＝m/s2＝3m/s2，由圖可知，當P＝30W時，v＝6m/s，牽引力F1＝5 N，在0～2s內物體位移為x1＝6m，則拉力做的功為：W1＝F1x1＝5×6J＝30 J，2～6s內拉力做的功為：W2＝Pt＝10×4J＝40 J，0～6s內拉力做的總功為：W＝（30＋40）J＝70 J，D錯誤。
1. 功率：（1）平均功率：P＝
（2）瞬時功率：P=Fvm=P額/F阻
2. 兩種啟動方式的過程分析
以額定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖和 v－t圖
OA段 過程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變P＝Fv↑直到P額＝Fv1
運動性質 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t0＝
AB段 過程分析 F＝F阻 a＝0 F阻＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動性質 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速運動
BC段 F＝F阻 a＝0 F阻＝，以vm做勻速直線運動
（答題時間：30分鐘）
1. 水平面上一質量為m的物體，在水平力F作用下開始加速運動，力F的功率P保持恒定，運動過程所受的阻力Ff大小不變，物體速度最終達到穩定值vm，F作用過程物體的速度v的倒數與加速度a的關系圖象如圖所示，僅在已知功率P的情況下，根據圖象所給的信息（　　）
A. 可求出m，Ff和vm
B. 不能求出m
C. 不能求出Ff
D. 可求出加速運動時間
2. 起重機將質量為m的貨物由靜止開始以加速度a勻加速提升，在t時間內上升h高度，設在t時間內起重機對貨物的拉力做的功為W、平均功率為，則（　　）
A. W＝mah
B. W＝mgh
C. ＝
D. ＝
3. 一輛質量為m的轎車，在平直公路上運行，啟動階段轎車牽引力保持不變，而后以額定功率繼續行駛，經過一定時間，其速度由零增大到最大值vm，若所受阻力恒為Ff。則關于轎車的速度v、加速度a、牽引力F、功率P的圖象正確的是（　　）
A. B.
C. D.
4. 如圖所示為某汽車在平直公路上啟動時發動機功率P隨時間t變化的圖象，P0為發動機的額定功率。已知在t2時刻汽車的速度已經達到最大vm，汽車所受阻力不變。由此可得（　　）
A. 在t3時刻，汽車速度一定等于vm
B. 在t1～t2時間內，汽車一定做勻速運動
C. 在t2～t3時間內，汽車一定做勻速運動
D. 在發動機功率達到額定功率前，汽車一定做勻加速運動
5. 質量為m＝5.0×106kg的列車以恒定不變的功率由靜止沿平直軌道加速行駛，當速度增大到v1＝2 m/s時，加速度a1＝0.9 m/s2，當速度增大到v2＝10 m/s時，加速度a2＝0.1 m/s2，如果列車所受阻力大小不變，求：
（1）列車所受阻力是多少？
（2）在該功率下列車的最大速度是多少？
6. 質量為2 000 kg、額定功率為80 kW的汽車，在平直公路上行駛中的最大速度為20 m/s。若汽車從靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小為2 m/s2，運動中的阻力不變。求：
（1）汽車所受阻力的大小；
（2）3 s末汽車的瞬時功率；
（3）汽車做勻加速運動的時間；
（4）汽車在勻加速運動中牽引力所做的功；
1.【答案】A
【解析】當加速度為零時，物體做勻速運動，此時的牽引力等于阻力，速度為最大值；由功率的計算公式可得P＝Fv，而F－Ff＝ma，聯立可得＝a＋，由圖象可得斜率為，因此可求出m、Ff和vm，故A正確；物體做變加速運動，加速運動的時間不可求，故D錯誤。
2.【答案】D
【解析】對貨物進行受力分析，貨物受重力和起重機對貨物的拉力F，根據牛頓第二定律得：F－mg＝ma，解得：F＝m（a＋g），上升h高度，起重機對貨物拉力做功W＝Fh＝m（a＋g）h，故A、B錯誤；由于貨物做勻加速運動，平均速度等于過程中的中間時刻速度，所以在t時間內的平均速度為＝at，起重機對貨物拉力做功平均功率為＝F＝ma（a＋g）t，故C錯誤，D正確。
3.【答案】ACD
【解析】由于啟動階段轎車受到的牽引力不變，加速度不變，所以轎車在開始階段做勻加速運動，當實際功率達到額定功率時，功率不增加了，再增加速度，就須減小牽引力，當牽引力減小到等于阻力時，加速度等于零，速度達到最大值vm＝＝，所以A、C、D正確，B錯誤。
4.【答案】AC
【解析】已知在t2時刻汽車的速度已經達到最大vm，此后汽車做勻速直線運動，速度不變，所以在t3時刻，汽車速度一定等于vm，故A正確；0～t1時間內汽車的功率均勻增加，汽車所受阻力不變，牽引力不變，汽車做勻加速直線運動；汽車的功率在t1時刻達到額定功率，根據P＝Fv，速度繼續增大，牽引力減小，加速度減小，則在t1～t2時間內汽車做加速度減小的加速運動，故B錯誤；在t2～t3時間內，汽車已達到最大速度，且功率保持不變，汽車一定做勻速直線運動，故C正確；由此分析知，在發動機功率達到額定功率前，汽車先做勻加速運動，后做加速度減小的變加速運動，故D錯誤。
5.【答案】（1）5.0×105N　（2）20 m/s
【解析】（1）設列車恒定不變的功率為P，大小不變的阻力為Ff，當列車速度增大到v1＝2 m/s時，P＝F1v1①
由牛頓第二定律可得：F1－Ff＝ma1②
當列車速度增大到v2＝10 m/s時，P＝F2v2③
由牛頓第二定律可得：F2－Ff＝ma2④
將①、③分別代入②、④聯立方程可解得：
P＝1.0×107W，Ff＝5.0×105N
（2）該功率下列車以最大速度行駛時，牽引力等于阻力，有P＝Fvm＝Ffvm
解得vm＝＝20 m/s。
6.【答案】（1）4 000 N　 （2）4.8×104W　 （3）5 s　 （4）2×105J
【解析】（1）以最大速度行駛時，根據P＝Fv，得F＝4 000 N。而此時牽引力和阻力大小相等。
（2）3 s時的速度v＝at＝6m/s，而牽引力由F－Ff＝ma得F＝8 000 N，故此時的功率為P＝Fv＝4.8×104W。
（3）設勻加速運動的時間為t，則t時刻的速度為v＝at，這時汽車的功率為額定功率。由P＝Fv，將F＝8 000 N和v＝at代入得t＝5 s。
（4）勻加速運動階段牽引力為恒力，牽引力所做的功W＝Fl＝Fat2＝8000××2×52J＝2×105J

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