資源簡介

8.5 空間直線、平面的平行
一、基本事實4
文字語言：平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言：
符號語言：直線a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用：證明兩條直線平行
說明：基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性
解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．
二、空間等角定理
1．定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
2.推論：如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．
三、等角定理的應用
等角定理的結論是兩個角相等或互補，在實際應用時一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．
四、直線與平面平行的判定定理
文字語言：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號語言：a α，b α，a∥b a∥α
圖形語言：
利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實4等．
五、直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號語言：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
圖形語言：
線面平行的性質(zhì)定理和判定定理經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得到線線平行．
六、平面與平面平行的判定定理
平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 α∥β
圖形語言
兩個平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法．解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行．
七、平面與平面平行的性質(zhì)定理的應用
兩個平面平行的性質(zhì)定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語言
利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟
(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條．
(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出)．
(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上．
(4)由定理得出結論．
八、行問題的綜合應用
(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行．
(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．
考點一 線面平行
【例1】(2020·陜西西安市·高一期末)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，為的中點，，．求證：平面；
【答案】詳見解析
【解析】如圖所示：
連接與交于點O，連接OD，
因為O，D為中點，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
【練1】(2021·全國高一課時練習)如圖所示，已知正方體中，，分別是它們所在線段的中點，則滿足平面的圖形為( )
A．① B．①② C．② D．①②③
【答案】C
【解析】①中，平移至，知與面只有一個交點，則與面不平行；
②中，在正方體中，，分別是它們所在線段的中點，則易知，而平面，平面，故平面；
③中，同①平移至，知與面只有一個交點，則與面不平行；
故選：C．
考點二 面面平行
【例2】(2021·全國高一專題練習)下列四個正方體圖形中，A，B，C為正方體所在棱的中點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】B中，可證AB∥DE，BC∥DF，故可以證明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故選B．
【練2】(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直線a與平面，能使的充分條件是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
【解析】對①，若，垂直于同一個平面的兩個平面可以相交，故①錯誤；
對②，若，則，平面的平行具有傳遞性，故②正確；
對③，若，平行于同一直線的兩平面可以相交，故③錯誤；
對④，，垂直于同一直線的兩平面平行，故④正確.
綜上：②④正確，
故選：D.
考法三 平行的綜合運用
【例3】(2021·全國高一)已知直線a，b和平面，下列命題中正確的是( )
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則或
【答案】D
【解析】對于A，若，，則或a與b異面；所以A錯；
對于B，若，，則或a與b相交或a與b異面；所以B錯；
對于C，若，，則或，所以C錯；
對于D，因為，所以在內(nèi)存在直線c使得，因為，所以，因為，所以或，
當時，因為，，所以，故D正確；
故選：D．
【練3】(2020·全國高一課時練習)(多選題)在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：
其中推斷正確的序號是( )
A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1；
C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1
【答案】AC
【解析】在正方體中，，，分別是，，的中點，
，，，
平面，平面，平面，故A正確；
，與平面相交，與平面相交，故B錯誤；
，，分別是，，的中點，
，平面，平面，
平面，故C正確；
與平面相交，平面與平面相交，故D錯誤．
故選：AC．
考點四 線面、面面平行的性質(zhì)
【例4】(2020·全國高一課時練習)在如圖所示的幾何體中，、、分別是、、的中點，．求證：平面．
【答案】證明見解析
【解析】證明：已知，分別是和的中點，再取的中點，
則，又，，
而平面，平面．
同理，，而平面，平面．
，
平面平面，
平面，平面.
【練4】(2021·陜西省黃陵縣中學高一期末)如圖，梯形中，，E是的中點，過和點E的平面與交于點F.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
課后練習
（2021·貴州模擬）如圖， ， ， ， 分別是直三棱柱的頂點或所在棱的中點，則在下列圖形中 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 D
【考點】棱柱的結構特征，直線與平面平行的性質(zhì)
【解析】解：對于A，若 ，可得 ， ， ， 四點共面，則直線 ， 共面，
這與 ， 異面矛盾，所以A中的兩直線不平行；
由異面直線的定義可得B，C中的兩直線 ， 為異面直線；
由 ， 為中點，可得 ，且 ，則四邊形 為平行四邊形，
D中的兩直線為平行直線.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)題意由三棱柱的幾何性質(zhì)結合線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義對選項逐一判斷即可得出答案。
（2021·馬鞍山模擬）我國的古代醫(yī)學著作《神農(nóng)本草經(jīng)》中最早記錄了蜜蜂蜂巢的藥用功效.蜜蜂的蜂巢是由數(shù)千個蜂房組成的，如圖是一個蜂房的結構示意圖，它的幾何結構是正六棱柱形，其一端是正六邊形開口，另一端則由三個全等的菱形組成.經(jīng)過測量，某蜂巢一個蜂房的正六邊形的邊長約為 ，菱形邊長約為 ，則該菱形較小角的余弦值約為（ ）(參考數(shù)據(jù)： ， )
A. 0.333 B. 0.4
C. 0.5 D. 0.667
【答案】 A
【考點】直線與平面平行的性質(zhì)，與二面角有關的立體幾何綜合題，余弦定理
【解析】如圖所示：
且 ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，
在 中， ，
所以菱形較小角的余弦值為0.333.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)題意結合棱柱的幾何性質(zhì)得出線線平行以及邊之間的關系，再由三角形中的計算關系結合余弦定理代入數(shù)值計算出結果即可。
（2021高三上·河南月考）設 ， 是兩個不重合的平面， ， 是兩條直線，下列命題中，真命題是（ ）
A. 若 ， ，則
B. 若 ， ，則
C. 若 ， ，則
D. 若 ， ， ，則
【答案】 C
【考點】空間中直線與平面之間的位置關系，平面與平面之間的位置關系
【解析】在正方體中分別取平面和直線進行驗證：
對于A：如圖示，所取的直線m、n和平面 滿足 ， ，但是 .A不符合題意；
對于B：如圖示，所取的直線m和平面 滿足 ， ，但是 相交.B不符合題意；
對于C：
因為 ，過m的一個平面 ，則 .
因為 ，所以 .
又 ，所以 .
C符合題意.
對于D：如圖示，所取的直線m、n和平面 滿足 ， ， ，但是 .D不符合題意；
故答案為：C
【分析】根據(jù)題意由平面與直線、平面與平面的位置關系，對選項逐一判斷即可得出答案。
（2021高一下·房山期末）設 ， 是兩個不同的平面， ， 是兩條不同的直線， ， ，則“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】 C
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，平面與平面平行的判定
【解析】解： ，若 ，則 ，
又 ， ；
反之， ，若 ，則 ，
又 ， ．
可得 ， ，則“ ”是“ ”的充分必要條件．
故答案為：C．
【分析】 由 ， , m//n，可得 ；反之,由 ， ， ,可得m//n,再由充分必要條件的判定得答案.
（2021高二下·湖北開學考）已知直線l在平面 外，且 是直線l的方向向量， 是平面 的法向量，則直線l與平面 的位置關系為 .
【答案】 平行
【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系，直線與平面平行的判定
【解析】因為 ，
且直線l在平面 外，
所以直線l與平面 平行.
故答案為：平行.
【分析】利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關系結合數(shù)量積的坐標表示，再利用直線l在平面 外，從而推出直線l與平面 平行。
（2021高一下·延慶期末）在空間中，兩條平行直線是指 ， 并且沒有公共點的兩條直線.
【答案】 在同一平面內(nèi)
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系
【解析】根于定義：在空間中，兩條平行直線是指在同一平面內(nèi)，并且沒有公共點的兩條直線.
故答案為：在同一平面內(nèi).
【分析】根據(jù)空間中兩條平行線的定義可得答案。
（2021高二上·碭山月考）已知兩個平面 ， 的法向量分別是 和 ，若 ，則 .
【答案】 8
【考點】向量的共線定理，平面與平面平行的判定
【解析】解：∵
∴
∴存在實數(shù)k，使得
∴ ， 解得
∴x+y=8
故答案為：8
【分析】根據(jù)平面與平面平行的的判定，結合向量平行的充要條件求解即可.
已知 在平面 內(nèi)， ， 平面 ，則直線 與 的位置關系是________.
【答案】 垂直
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系
【解析】 平面 ， 平面 ， ,
在 中， ， ，
且 ，
平面 ， 平面 ，
。
故答案為：垂直.
【分析】利用線面垂直的定義證出線線垂直，即 ,在 中，因為 ， 所以 ，再利用線線垂直證出線面垂直，即 平面 ，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，從而判斷出直線 與 的位置關系。
（2021高一下·常州期末）如圖，在棱長為 的正方體 中，點 分別是棱 的中點，則由點 確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于 .
【答案】
【考點】直線與平面平行的性質(zhì)
【解析】分別取 中點 ， 中點 ， 中點 ，
可得出過 ， ， 三點的平面截正方體所得截而為正六邊形 ，
則正六邊形的邊長 ，
故截面多邊形的面積等于 .
故答案為： .
【分析】 分別取AD中點P，CC1中點M，AA1中點N，可得出過E，F(xiàn)，G三點的平面截正方體所得截面為正六邊形EFMGPN，由此能求出過E，F(xiàn)，G三點的平面截正方體所得截面面積.
（2021高二上·浦東新期中）平面內(nèi)兩直線有三種位置關系：相交，平行與重合．已知兩個相交平面 與兩直線 ，又知 在 內(nèi)的射影為 ，在 內(nèi)的射影為 ．試寫出 與 滿足的條件，使之一定能成為 是異面直線的充分條件
【答案】 s1∥s2 ， 并且t1與t2相交（t1∥t2 ， 并且s1與s2相交）
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系
【解析】作圖易得“能成為 是異面直線的充分條件”的是“s1∥s2 ， 并且t1與t2相”交或“t1∥t2 ， 并且s1與s2相交”．
【分析】 由已知條件即可得出當兩直線在一個平面內(nèi)的射影是兩條平行線，在另一個相交面內(nèi)的射影是兩條相交直線時，由此即可得到這兩條直線一定是異面直線，結合充分和必要條件的定義即可得出答案。
（2021高一下·通州期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，點E，F(xiàn)分別是PD，BC的中點．
（1）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（2）在線段PC上確定一點G，使平面EFG∥平面PAB，并給出證明；
（3）求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距離．
【答案】 （1） 平面 ， 平面 ，故 .
正方形 ，故 ， ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 .
（2） 為 中點， 為 中點， 為 中點，故 ， ，即 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，且 ，故平面 平面 .
（3） 為 中點，連接 ，則 ，
平面 ， 平面 ，故 ， ，
故 平面 ，故 為二面角 的平面角.
， ， .
作 于 ， 平面 ， 平面 ，故 ，
， ，故 平面 ，D到平面PAC的距離為 .
中，根據(jù)面積法： .
【考點】平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題，點、線、面間的距離計算
【解析】(1)利用PD平面ABCD得出PD⊥BC，ABCD是正方形得出CD⊥BC，即證BC⊥平面PCD，平面PBC平面PCD；
(2)取PC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，得出平面EFG//平面PAB；利用平面與平面平行的判定定理證明即可；
(3)連接BD交AC于點O，連接PO，∠POD是二面角P-AC-D的平面角，求出sin∠POD，過點D作DN⊥PO，交PO于點N，DN是點D到平面PAC的距離，利用等面積法求出DN.
（2021·江西模擬）如圖， 是 的直徑，動點P在 所在平面上的射影恰是 上的動點C， ，D是 的中點， 與 交于點E，F(xiàn)是 上的一個動點．
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）若F為 的中點， ，求直線 與平面 所成角的余弦值．
【答案】 （1）解：因為 平面 ，所以 ，
所以 ．因為D，O分別為 的中點，
所以點E為 的重心，所以 ，即
（2）解：如圖所示建立空間直角坐標系．
∴ ．
∵ ．
∴
設平面 的法向量為
，∴ 令 ，∴
直線 與平面 所成角的余弦值為
【考點】直線與平面平行的判定，直線與平面平行的性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積運算，用空間向量求直線與平面的夾角
【分析】(1)根據(jù)題意已知條件由線面平行的性質(zhì)定理即可得到線線平行，進而得到再由中點以及重心的定義即可得出答案。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量的坐標；結合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到直線 與平面 所成角的余弦值 。
（2021高一下·紹興期末）如圖，在長方體 中， ， ．
（Ⅰ）求長方體的表面積；
（Ⅱ）若 是棱 的中點，求四棱錐 的體積．
【答案】 解：（Ⅰ）因為 ， ，
又 ，
所以 ，
所以，長方體的表面積為 ．
（Ⅱ）因為 平面 ，
所以 到平面 的距離等于 到平面 的距離，
所以四棱錐 的體積為
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的性質(zhì)
【解析】（Ⅰ）根據(jù)長方體的表面積公式直接求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，結合棱錐的體積公式求解即可.
（2021·成都模擬）已知四棱錐 及其三視圖如圖所示，其底面 是正方形，且平面 平面 ，當 、 分別是棱 、 的中點時，連接 、 ．
（1）證明：直線 平面 ；
（2）求直線 與平面 所成角的正弦值．
【答案】 （1）證明：由三視圖可知， ， ， ，
即 ， ， ， .
因為四邊形 為正方形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
取 的中點為 ，連接 、 ，
由 、 分別是 、 中點，則 且 ，
由 為 的中點，則 且 ，所以， 且 ，
所以四邊形 為平行四邊形，則 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面
（2）解：以點 為坐標原點， 、 所在直線分別為 、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，其中 、 、 、 、 ，
設平面 的法向量 ， ， ，
由 ，令 ，則 ， ，可得 ，
由 ，則 ，
因此，直線 與平面 所成角的正弦值為
【考點】直線與平面平行的判定，空間向量的數(shù)量積運算，用空間向量求直線與平面的夾角
【解析】 (1)根據(jù)題意結合三視圖的性質(zhì)即可得出該幾何體的形狀，結合三角形的幾何性質(zhì)由面面垂直的性質(zhì)定理即可得出線面垂直，再中點的性質(zhì)得出線線平行結合線面平行的判定定理即可得證出結論。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面PAB法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面PAB的法向量的坐標，結合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此即可得到到直線 與平面 所成角的正弦值 。
（2021·攀枝花模擬）如圖，三棱錐 中， 面 ，△ 為正三角形，點 在棱 上，且 ， 、 分別是棱 、 的中點，直線 與直線 交于點 ，直線 與直線 交于點 ， ， ．
（1）求證： ；
（2）求幾何體 的體積．
【答案】 （1）證明：∵ 、 分別是棱 、 的中點，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，則
（2）解：∵△ 為正三角形，且邊長為6， 面 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ， 到 的距離為 ，
則 ，
到平面 的距離為 到平面 距離的一半，為 ．
∴ ，
則
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定
【解析】(1)由已知可得 ， 得到//平面BCDE，再由直線與平面平行的性質(zhì)得到DE//BC;
(2)首先根據(jù)題意求出三棱錐P-ABC的體積，再由等體積法求出的體積，然后作差可得幾何體的體積.8.5 空間直線、平面的平行
一、基本事實4
文字語言：平行于同一條直線的兩條直線平行
圖形語言：
符號語言：直線a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用：證明兩條直線平行
說明：基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性
解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．
二、空間等角定理
1．定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
符號語言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
2.推論：如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．
三、等角定理的應用
等角定理的結論是兩個角相等或互補，在實際應用時一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．
四、直線與平面平行的判定定理
文字語言：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號語言：a α，b α，a∥b a∥α
圖形語言：
利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實4等．
五、直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號語言：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
圖形語言：
線面平行的性質(zhì)定理和判定定理經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得到線線平行．
六、平面與平面平行的判定定理
平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 α∥β
圖形語言
兩個平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法．解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行．
七、平面與平面平行的性質(zhì)定理的應用
兩個平面平行的性質(zhì)定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語言
利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟
(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條．
(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出)．
(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上．
(4)由定理得出結論．
八、行問題的綜合應用
(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行．
(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．
考點一 線面平行
【例1】(2020·陜西西安市·高一期末)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，為的中點，，．求證：平面；
【練1】(2021·全國高一課時練習)如圖所示，已知正方體中，，分別是它們所在線段的中點，則滿足平面的圖形為( )
A．① B．①② C．② D．①②③
考點二 面面平行
【例2】(2021·全國高一專題練習)下列四個正方體圖形中，A，B，C為正方體所在棱的中點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是
A． B． C． D．
【練2】(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直線a與平面，能使的充分條件是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
考法三 平行的綜合運用
【例3】(2021·全國高一)已知直線a，b和平面，下列命題中正確的是( )
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則或
【練3】(2020·全國高一課時練習)(多選題)在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：
其中推斷正確的序號是( )
A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1；
C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1
考點四 線面、面面平行的性質(zhì)
【例4】(2020·全國高一課時練習)在如圖所示的幾何體中，、、分別是、、的中點，．求證：平面．
【練4】(2021·陜西省黃陵縣中學高一期末)如圖，梯形中，，E是的中點，過和點E的平面與交于點F.求證：.
課后練習
（2021·貴州模擬）如圖， ， ， ， 分別是直三棱柱的頂點或所在棱的中點，則在下列圖形中 的是（ ）
A. B.
C. D.
（2021·馬鞍山模擬）我國的古代醫(yī)學著作《神農(nóng)本草經(jīng)》中最早記錄了蜜蜂蜂巢的藥用功效.蜜蜂的蜂巢是由數(shù)千個蜂房組成的，如圖是一個蜂房的結構示意圖，它的幾何結構是正六棱柱形，其一端是正六邊形開口，另一端則由三個全等的菱形組成.經(jīng)過測量，某蜂巢一個蜂房的正六邊形的邊長約為 ，菱形邊長約為 ，則該菱形較小角的余弦值約為（ ）(參考數(shù)據(jù)： ， )
A. 0.333 B. 0.4
C. 0.5 D. 0.667
（2021高三上·河南月考）設 ， 是兩個不重合的平面， ， 是兩條直線，下列命題中，真命題是（ ）
A. 若 ， ，則
B. 若 ， ，則
C. 若 ， ，則
D. 若 ， ， ，則
（2021高一下·房山期末）設 ， 是兩個不同的平面， ， 是兩條不同的直線， ， ，則“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
（2021高二下·湖北開學考）已知直線l在平面 外，且 是直線l的方向向量， 是平面 的法向量，則直線l與平面 的位置關系為 .
（2021高一下·延慶期末）在空間中，兩條平行直線是指 ， 并且沒有公共點的兩條直線.
（2021高二上·碭山月考）已知兩個平面 ， 的法向量分別是 和 ，若 ，則 .
已知 在平面 內(nèi)， ， 平面 ，則直線 與 的位置關系是________.
（2021高一下·常州期末）如圖，在棱長為 的正方體 中，點 分別是棱 的中點，則由點 確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于 .
（2021高二上·浦東新期中）平面內(nèi)兩直線有三種位置關系：相交，平行與重合．已知兩個相交平面 與兩直線 ，又知 在 內(nèi)的射影為 ，在 內(nèi)的射影為 ．試寫出 與 滿足的條件，使之一定能成為 是異面直線的充分條件
（2021高一下·通州期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，點E，F(xiàn)分別是PD，BC的中點．
（1）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（2）在線段PC上確定一點G，使平面EFG∥平面PAB，并給出證明；
（3）求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距離．
（2021·江西模擬）如圖， 是 的直徑，動點P在 所在平面上的射影恰是 上的動點C， ，D是 的中點， 與 交于點E，F(xiàn)是 上的一個動點．
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）若F為 的中點， ，求直線 與平面 所成角的余弦值．
（2021高一下·紹興期末）如圖，在長方體 中， ， ．
（Ⅰ）求長方體的表面積；
（Ⅱ）若 是棱 的中點，求四棱錐 的體積．
（2021·成都模擬）已知四棱錐 及其三視圖如圖所示，其底面 是正方形，且平面 平面 ，當 、 分別是棱 、 的中點時，連接 、 ．
（1）證明：直線 平面 ；
（2）求直線 與平面 所成角的正弦值．
（2021·攀枝花模擬）如圖，三棱錐 中， 面 ，△ 為正三角形，點 在棱 上，且 ， 、 分別是棱 、 的中點，直線 與直線 交于點 ，直線 與直線 交于點 ， ， ．
（1）求證： ；
（2）求幾何體 的體積．
精講答案
【例1】
【答案】詳見解析
【解析】如圖所示：
連接與交于點O，連接OD，
因為O，D為中點，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
【練1】
【答案】C
【解析】①中，平移至，知與面只有一個交點，則與面不平行；
②中，在正方體中，，分別是它們所在線段的中點，則易知，而平面，平面，故平面；
③中，同①平移至，知與面只有一個交點，則與面不平行；
故選：C．
【例2】
【答案】B
【解析】B中，可證AB∥DE，BC∥DF，故可以證明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故選B．
【練2】
【答案】D
【解析】對①，若，垂直于同一個平面的兩個平面可以相交，故①錯誤；
對②，若，則，平面的平行具有傳遞性，故②正確；
對③，若，平行于同一直線的兩平面可以相交，故③錯誤；
對④，，垂直于同一直線的兩平面平行，故④正確.
綜上：②④正確，
故選：D.
【例3】
【答案】D
【解析】對于A，若，，則或a與b異面；所以A錯；
對于B，若，，則或a與b相交或a與b異面；所以B錯；
對于C，若，，則或，所以C錯；
對于D，因為，所以在內(nèi)存在直線c使得，因為，所以，因為，所以或，
當時，因為，，所以，故D正確；
故選：D．
【練3】
【答案】AC
【解析】在正方體中，，，分別是，，的中點，
，，，
平面，平面，平面，故A正確；
，與平面相交，與平面相交，故B錯誤；
，，分別是，，的中點，
，平面，平面，
平面，故C正確；
與平面相交，平面與平面相交，故D錯誤．
故選：AC．
【例4】
【答案】證明見解析
【解析】證明：已知，分別是和的中點，再取的中點，
則，又，，
而平面，平面．
同理，，而平面，平面．
，
平面平面，
平面，平面.
【練4】
【答案】證明見解析
【解析】∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
練習答案
【答案】 D
【考點】棱柱的結構特征，直線與平面平行的性質(zhì)
【解析】解：對于A，若 ，可得 ， ， ， 四點共面，則直線 ， 共面，
這與 ， 異面矛盾，所以A中的兩直線不平行；
由異面直線的定義可得B，C中的兩直線 ， 為異面直線；
由 ， 為中點，可得 ，且 ，則四邊形 為平行四邊形，
D中的兩直線為平行直線.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)題意由三棱柱的幾何性質(zhì)結合線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義對選項逐一判斷即可得出答案。
【答案】 A
【考點】直線與平面平行的性質(zhì)，與二面角有關的立體幾何綜合題，余弦定理
【解析】如圖所示：
且 ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，
在 中， ，
所以菱形較小角的余弦值為0.333.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)題意結合棱柱的幾何性質(zhì)得出線線平行以及邊之間的關系，再由三角形中的計算關系結合余弦定理代入數(shù)值計算出結果即可。
【答案】 C
【考點】空間中直線與平面之間的位置關系，平面與平面之間的位置關系
【解析】在正方體中分別取平面和直線進行驗證：
對于A：如圖示，所取的直線m、n和平面 滿足 ， ，但是 .A不符合題意；
對于B：如圖示，所取的直線m和平面 滿足 ， ，但是 相交.B不符合題意；
對于C：
因為 ，過m的一個平面 ，則 .
因為 ，所以 .
又 ，所以 .
C符合題意.
對于D：如圖示，所取的直線m、n和平面 滿足 ， ， ，但是 .D不符合題意；
故答案為：C
【分析】根據(jù)題意由平面與直線、平面與平面的位置關系，對選項逐一判斷即可得出答案。
【答案】 C
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，平面與平面平行的判定
【解析】解： ，若 ，則 ，
又 ， ；
反之， ，若 ，則 ，
又 ， ．
可得 ， ，則“ ”是“ ”的充分必要條件．
故答案為：C．
【分析】 由 ， , m//n，可得 ；反之,由 ， ， ,可得m//n,再由充分必要條件的判定得答案.
【答案】 平行
【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系，直線與平面平行的判定
【解析】因為 ，
且直線l在平面 外，
所以直線l與平面 平行.
故答案為：平行.
【分析】利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關系結合數(shù)量積的坐標表示，再利用直線l在平面 外，從而推出直線l與平面 平行。
【答案】 在同一平面內(nèi)
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系
【解析】根于定義：在空間中，兩條平行直線是指在同一平面內(nèi)，并且沒有公共點的兩條直線.
故答案為：在同一平面內(nèi).
【分析】根據(jù)空間中兩條平行線的定義可得答案。
【答案】 8
【考點】向量的共線定理，平面與平面平行的判定
【解析】解：∵
∴
∴存在實數(shù)k，使得
∴ ， 解得
∴x+y=8
故答案為：8
【分析】根據(jù)平面與平面平行的的判定，結合向量平行的充要條件求解即可.
【答案】 垂直
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系
【解析】 平面 ， 平面 ， ,
在 中， ， ，
且 ，
平面 ， 平面 ，
。
故答案為：垂直.
【分析】利用線面垂直的定義證出線線垂直，即 ,在 中，因為 ， 所以 ，再利用線線垂直證出線面垂直，即 平面 ，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，從而判斷出直線 與 的位置關系。
【答案】
【考點】直線與平面平行的性質(zhì)
【解析】分別取 中點 ， 中點 ， 中點 ，
可得出過 ， ， 三點的平面截正方體所得截而為正六邊形 ，
則正六邊形的邊長 ，
故截面多邊形的面積等于 .
故答案為： .
【分析】 分別取AD中點P，CC1中點M，AA1中點N，可得出過E，F(xiàn)，G三點的平面截正方體所得截面為正六邊形EFMGPN，由此能求出過E，F(xiàn)，G三點的平面截正方體所得截面面積.
【答案】 s1∥s2 ， 并且t1與t2相交（t1∥t2 ， 并且s1與s2相交）
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系
【解析】作圖易得“能成為 是異面直線的充分條件”的是“s1∥s2 ， 并且t1與t2相”交或“t1∥t2 ， 并且s1與s2相交”．
【分析】 由已知條件即可得出當兩直線在一個平面內(nèi)的射影是兩條平行線，在另一個相交面內(nèi)的射影是兩條相交直線時，由此即可得到這兩條直線一定是異面直線，結合充分和必要條件的定義即可得出答案。
【答案】 （1） 平面 ， 平面 ，故 .
正方形 ，故 ， ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 .
（2） 為 中點， 為 中點， 為 中點，故 ， ，即 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，且 ，故平面 平面 .
（3） 為 中點，連接 ，則 ，
平面 ， 平面 ，故 ， ，
故 平面 ，故 為二面角 的平面角.
， ， .
作 于 ， 平面 ， 平面 ，故 ，
， ，故 平面 ，D到平面PAC的距離為 .
中，根據(jù)面積法： .
【考點】平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題，點、線、面間的距離計算
【解析】(1)利用PD平面ABCD得出PD⊥BC，ABCD是正方形得出CD⊥BC，即證BC⊥平面PCD，平面PBC平面PCD；
(2)取PC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，得出平面EFG//平面PAB；利用平面與平面平行的判定定理證明即可；
(3)連接BD交AC于點O，連接PO，∠POD是二面角P-AC-D的平面角，求出sin∠POD，過點D作DN⊥PO，交PO于點N，DN是點D到平面PAC的距離，利用等面積法求出DN.
【答案】 （1）解：因為 平面 ，所以 ，
所以 ．因為D，O分別為 的中點，
所以點E為 的重心，所以 ，即
（2）解：如圖所示建立空間直角坐標系．
∴ ．
∵ ．
∴
設平面 的法向量為
，∴ 令 ，∴
直線 與平面 所成角的余弦值為
【考點】直線與平面平行的判定，直線與平面平行的性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積運算，用空間向量求直線與平面的夾角
【分析】(1)根據(jù)題意已知條件由線面平行的性質(zhì)定理即可得到線線平行，進而得到再由中點以及重心的定義即可得出答案。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量的坐標；結合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到直線 與平面 所成角的余弦值 。
【答案】 解：（Ⅰ）因為 ， ，
又 ，
所以 ，
所以，長方體的表面積為 ．
（Ⅱ）因為 平面 ，
所以 到平面 的距離等于 到平面 的距離，
所以四棱錐 的體積為
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的性質(zhì)
【解析】（Ⅰ）根據(jù)長方體的表面積公式直接求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，結合棱錐的體積公式求解即可.
【答案】 （1）證明：由三視圖可知， ， ， ，
即 ， ， ， .
因為四邊形 為正方形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
取 的中點為 ，連接 、 ，
由 、 分別是 、 中點，則 且 ，
由 為 的中點，則 且 ，所以， 且 ，
所以四邊形 為平行四邊形，則 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面
（2）解：以點 為坐標原點， 、 所在直線分別為 、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，其中 、 、 、 、 ，
設平面 的法向量 ， ， ，
由 ，令 ，則 ， ，可得 ，
由 ，則 ，
因此，直線 與平面 所成角的正弦值為
【考點】直線與平面平行的判定，空間向量的數(shù)量積運算，用空間向量求直線與平面的夾角
【解析】 (1)根據(jù)題意結合三視圖的性質(zhì)即可得出該幾何體的形狀，結合三角形的幾何性質(zhì)由面面垂直的性質(zhì)定理即可得出線面垂直，再中點的性質(zhì)得出線線平行結合線面平行的判定定理即可得證出結論。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面PAB法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面PAB的法向量的坐標，結合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此即可得到到直線 與平面 所成角的正弦值 。
【答案】 （1）證明：∵ 、 分別是棱 、 的中點，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，則
（2）解：∵△ 為正三角形，且邊長為6， 面 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ， 到 的距離為 ，
則 ，
到平面 的距離為 到平面 距離的一半，為 ．
∴ ，
則
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定
【解析】(1)由已知可得 ， 得到//平面BCDE，再由直線與平面平行的性質(zhì)得到DE//BC;
(2)首先根據(jù)題意求出三棱錐P-ABC的體積，再由等體積法求出的體積，然后作差可得幾何體的體積.

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