資源簡介

8.6 空間直線、平面的垂直
一、異面直線所成的角
1．已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角α叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
2．空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
注意點(diǎn)：
(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點(diǎn)O的位置選取無關(guān)．
(2)兩條異面直線所成的角θ∈.
(3)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(dòng)(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．
求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟
(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角．
(2)證：證明作出的角就是要求的角．
(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二證三計(jì)算”來概括．同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.
二、直線與直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作a⊥b.
注意點(diǎn)：
(1)當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，異面直線a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．
要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角．若能證明這個(gè)角是直角，即得到兩直線垂直．
三、直線與平面垂直的定義
1．直線與平面垂直的定義及畫法
定義 如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關(guān)概念 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
2.過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．
反思感悟　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事．
四、直線與平面垂直的判定定理
文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
圖形語言：
證明線面垂直的方法
(1)由線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時(shí)需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．
(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
五、直線與平面所成的角
直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對應(yīng)圖形
斜線 一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA
斜足 斜線和平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)A
射影 過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO 規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°
取值范圍 設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°
求直線與平面所成的角的步驟
(1)作(找)——作(找)出直線和平面所成的角．
(2)證——證明所作或找到的角就是所求的角．
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形)．
(4)答．
六、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
注意點(diǎn)：
(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．
(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中平行與垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了垂直與平行關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．
證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．
(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．
七、二面角的概念
二面角
1．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．
2．畫法：
3．記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角，如圖．
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步驟
八、平面與平面垂直的定義和判定
1．平面與平面垂直的定義
(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直，記作：α⊥β.
(2)畫法：
2．面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．
證明平面與平面垂直的方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角．
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．
九、平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
符號語言：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
圖形語言：
反思感悟　利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)
(1)兩個(gè)平面垂直．
(2)直線必須在其中一個(gè)平內(nèi)．
(3)直線必須垂直于它們的交線．
考點(diǎn)一 線面垂直
【例1】(2021·陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末)如圖所示，為的直徑，C為上一點(diǎn)，平面，于E，于F.求證：平面.
【答案】證明見解析
【解析】證明：為⊙O的直徑，C為⊙O上點(diǎn)，所以
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>又,所以 面
又平面，則
又，，所以平面
又平面，所以
又因?yàn)椋?br/>所以平面
【練1】(2021·海原縣第一中學(xué)高一期末)如圖，已知⊙O所在平面，AB為⊙O的直徑，C是圓周上的任意一點(diǎn)，過A作于E．求證：平面PBC．
【答案】證明見解析.
【解析】證明：由AB是⊙O的直徑，
得.
又⊙O所在平面
⊙O所在平面內(nèi)
所以，又，
所以面PAC，面PAC.
所以，又，，
所以平面PBC．
考點(diǎn)二 線線垂直
【例2】(2020·全國專題練習(xí))如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形， ，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，且平面
(1)證明：；
(2)若，求三棱柱的高.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)證明：由題意
且 ,
,所以,
又側(cè)面， ,又與交于點(diǎn) ，所以,平面
又因?yàn)?平面,所以．
(2)在矩形中，由平面幾何知識可知
∵，∴，
∴
設(shè)三棱柱的高為，即三棱錐的高為
又，由得
，∴
【練2】(2020·陜西西安市·西安一中高一月考)如圖1，四棱錐的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中點(diǎn)，已知四棱錐的側(cè)視圖，如圖2所示.
(1)證明：；
(2)求棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】解：(1)由側(cè)視圖可知，，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
又因?yàn)锳BCD是正方形，所以.
而，PD，平面PCD，
所以平面PCD.
因?yàn)槠矫鍼CD，所以.
又是等腰三角形，M是PC的中點(diǎn)，所以，
而，PC，平面PBC，
所以平面PBC，
而平面PBC，所以.
.
考點(diǎn)三 面面垂直
【例3】(2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高一期末)如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，為與的交點(diǎn)，為棱上一點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)若平面，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
底面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
(2)如下圖所示，連接，
四邊形為正方形，且，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
平面，平面，且，
的面積為，
所以，.
【練3】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是半圓弧CD上異于C，D的點(diǎn).
(1)證明：平面平面BMC；
(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得平面PBD？說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析.
【解析】證明：(1)由題意可知，平面平面CDM，
又∵平面平面，，平面ABCD，
∴平面CDM，
又平面CDM，∴，
又由圓的性質(zhì)知，
∵，平面AMD，平面AMD，
∴平面AMD，
∵平面BMC，∴平面平面；
(2)存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，平面PBD.
理由如下：連接DB與AC交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，
連接PO，則PO是三角形AMC的中位線，
∴，
∵平面PBD，平面PBD，
∴平面PBD.
考點(diǎn)四 空間距離
【例4】(2020·全國專題練習(xí))在棱長為的正方體中求出下列距離：
(1)點(diǎn)到面的距離；
(2)線段到面的距離；
(3)點(diǎn)到面的距離；
(4)到平面的距離.
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)因?yàn)檎襟w，則平面，
所以點(diǎn)到面的距離為邊長；
(2)因?yàn)槠矫妫移矫妫?br/>所以線段到面的距離為；
(3)因?yàn)槠矫妫?br/>所以點(diǎn)到面的距離為面對角線的AC的，即；
(4)設(shè)到平面的距離為h，三棱錐的體積為V，
在中，，則的面積為，
利用等體積法可得：，
所以
【練4】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))正方體的棱長為1，則點(diǎn)到平面的距離為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是,如圖，
易知,
因?yàn)?br/>所以，
由，
所以，解得：
故選：D
考點(diǎn)五 線線角
【例5】(2021·廣西河池市·高一期末)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連，相交于點(diǎn)，連、，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，
由平面，可得，
則，，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，．
故選：D.
【練5】(2021·河南駐馬店市·高一期末)在底面為正方形的四棱錐中，底面，，則異面直線與所成的角為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樗睦忮F中，底面，，
所以PA=AD，又底面為正方形，所以四棱錐可擴(kuò)充為正方體，如圖示：
連結(jié)PE、BE，，則PE∥AC，所以∠EPB(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角.
而△EPB為正三角形，所以∠EPB=.故選：.
考點(diǎn)六 線面角
【例6】(2021·河南高一期末)在三棱柱中，，，且，則直線與平面所成的角的大小為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是與平面所成的角，即與平面所成的角是，
∵棱柱中，∴與平面所成的角的大小為，
故選：A．
【練6】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn).
(1)證明：BC面PAC；
(2)若PA=AC=1，AB=2，求直線PB與平面PAC所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】證明：(1)為圓O直徑
∠ACB=90°即AC⊥BC
PA⊥面ABC，PA⊥BC
ACPA=A
BC⊥面PAC.
(2)BC⊥面PAC，
∠BPC為PB與平面PAC所成的角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，tan∠BPC=.
故直線PB與平面PAC所成角的正切值為.
考點(diǎn)七 面面角
【例7】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，三棱臺的下底面是正三角形，，則二面角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】三棱臺中，，且，
則，又，且,
所以平面，
所以為的二面角，
因?yàn)闉榈冗吶切危?br/>所以.
故選：C
【練7】(2021·河南高一期末)如圖，在長方體中，底面是正方形，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面；
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．
【解析】(1)證明：設(shè)，連接，則是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，
∴，又平面，平面，
∴平面．
(2)平面，平面，∴，同理，又正方形中，
，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面；
(3)∵平面，平面，∴，
∴是二面角的平面角，
由已知，而，分別是中點(diǎn)，
∴，∴．
即二面角的大小為．
課后練習(xí)
（2021高一下·長沙期末）設(shè)m，n為兩條不同的直線，α為平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.m⊥n，m∥α n⊥α
B.m⊥n，m⊥α n∥α
C.m∥n，m⊥α n⊥α
D.m∥n，m∥α=n∥α
【答案】 C
【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定
【解析】解：對于A，若 m⊥n，m∥α n⊥α 或 ， 故A錯(cuò)誤；
對于B， m⊥n，m⊥α n∥α 或 ， 故B錯(cuò)誤；
對于C，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理易知C正確；
對于D， m∥n，m∥α=n∥α 或 ， 故D錯(cuò)誤；
故答案為：C
【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可判斷ABD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可判斷C.
（2021高二下·二道期末）已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，則m∥n B. 若m⊥α，n α，則m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，則n∥α D. 若m∥α，m⊥n，則n⊥α
【答案】 B
【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】解：對于A， 若m∥α，n∥α ，則 m∥n或 m，n相交或m，n異面，故A錯(cuò)誤；
對于B，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，易證B正確；
對于C， 若m⊥α，m⊥n，則n∥α或 ， 故C錯(cuò)誤；
對于D， 若m∥α，m⊥n，則n⊥α 或 ， 故D錯(cuò)誤；
故答案為：B
【分析】根據(jù)直線間的位置關(guān)系可判斷A，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷B，根據(jù)直線與平面間的關(guān)系可判斷D.
3.（2021高一下·寧波期末）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（ ）．
①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．
A. ①② B. ③④
C. ②③ D. ①④
【答案】 C
【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，平面與平面之間的位置關(guān)系，平面與平面平行的性質(zhì)，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】解：對于①， 垂直于同一直線的兩條直線平行或相交或異面，故①錯(cuò)誤；
對于②，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得， 垂直于同一平面的兩條直線平行，故②正確；
對于③，由平面與平面平行的性質(zhì)定理得， 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故③正確；
對于④， 垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故④錯(cuò)誤.
故答案為：C
【分析】根據(jù)直線與直線間的關(guān)系可判斷①，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷②，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理可判斷③，根據(jù)平面與平面間的關(guān)系可判斷④.
（2021高二下·麗水期末）已知直線 ， ， 和平面 ， ，則 是 的（ ）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】 B
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】由 ， ，不明確 是否相交，所以不能推出
若 ，則直線 垂直平面 中任意一條直線，故
所以 是 的必要不充分條件
故答案為：B
【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系以及充分條件、必要條件的定義，即可得出答案。
（2021高三上·五華月考）東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱．如圖，在A點(diǎn)測得：塔在北偏東30°的點(diǎn)D處，塔頂C的仰角為30°，且B點(diǎn)在北偏東60°．AB相距80（單位：m），在B點(diǎn)測得塔在北偏西60°，則塔的高度CD約為（ ）m.
A. 69 B. 40
C. 35 D. 23
【答案】 B
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)，解三角形
【解析】如圖，根據(jù)題意，圖中 平面ABD, ,
中， ，
又 平面ABD ， 是直角三角形
中，
，B符合題意，ACD不符合題意
故答案為：B.
【分析】由已知條件結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，結(jié)合三角形的幾何計(jì)算關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算出邊的大小，再由勾股定理結(jié)合三角形幾何三角形的就是關(guān)系，計(jì)算出結(jié)果即可。
（2020高二上·農(nóng)安期末）設(shè)平面 與向量 垂直，平面 與向量 垂直，則平面 與 的位置關(guān)系是________．
【答案】 垂直
【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，平面與平面垂直的判定
【解析】因?yàn)? ， ，
所以 ，
所以 ，
因?yàn)槠矫? 與向量 垂直，平面 與向量 垂直，
所以 。
故答案為：垂直。
【分析】利用已知條件結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0，從而證出 ， 因?yàn)槠矫? 與向量 垂直，平面 與向量 垂直，所以 。
（2021·佛山模擬）已知四棱錐 的頂點(diǎn)都在球O上， ， ， ， ， ，平面 平面 ，且 ，則球O的體積為 ．
【答案】
【考點(diǎn)】球的體積和表面積，球內(nèi)接多面體，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】取AC中點(diǎn)O，AD中點(diǎn)H，連接OH，OB，OD，PH，如圖所示：
因?yàn)? ， ， ， ， ，
所以 ，即 ，
，即 ，
又O為AC中點(diǎn)，
所以O(shè)到A，B，C，D的距離相等.
因?yàn)槠矫? 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因?yàn)镺，H，分別為AC，AD中點(diǎn)，
所以 ，即 平面 ，
又 ，
所以O(shè)到P，A，D的距離相等，
所以O(shè)為四棱錐 外接球的球心，
在 中， ,
所以球O的體積 .
故答案為：
【分析】 由題意作出圖形，取AC的中點(diǎn)O，證明O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，求出半徑，再由球的體積公式求解即可。
（2021高二上·浦東新期中）三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在 垂直.
【答案】 平面上的射影
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，兩條直線垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】解：由三垂線定理得：平面上的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也與這條斜線垂直；
由三垂線定理的逆定理得：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它與這條斜線在平面上的射影垂直；
所以平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的射影垂直，
故答案為：平面上的射影.
【分析】 利用三垂線定理和三垂線定理的逆定理，即可得出答案。
（2021高二上·浦東新期中）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面上的 直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.
【答案】 兩條相交
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定
【解析】解：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.
故答案為：兩條相交
【分析】由線面垂直的判定定理，即可得出答案。
（2020·廣元模擬）給出下列命題：
①同時(shí)垂直于一條直線的兩個(gè)平面互相平行﹔
②一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直；
③設(shè) 為平面，若 ，則 ；
④設(shè) 為平面，若 ，則 ．
其中所有正確命題的序號為 ．
【答案】 ①②④
【考點(diǎn)】平面與平面平行的判定，平面與平面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性質(zhì)
【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知命題①正確；
由線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)知命題②正確；
由下圖知命題③不正確；
由面面平行的性質(zhì)知命題④正確．
故答案為：①②④.
【分析】 直接利用面面垂直和面面平行的判定和性質(zhì)判定①②③④的結(jié)論．
（2021·珠海模擬）正方體 的棱長為2，點(diǎn) 為平面 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)， ，則 長度的最小值為 .
【答案】
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定
【解析】在正方體 中，連接B1D1交A1C1于點(diǎn)O ， 則B1D1⊥A1C1 ， 而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， 即B1D1⊥AA1 ， 如圖：
從而有B1O⊥平面A1B1C1D1 ， 連OE ， Rt△B1OE中， ，而 ，則 ，
所以點(diǎn)E在平面ACC1A1內(nèi)的以O(shè)為圓心， 為半徑的矩形ACC1A1內(nèi)的半圓上，
而點(diǎn)A及半圓弧在半圓O的直徑A1C1同側(cè)，且點(diǎn)A在半圓弧外，則有 .
故答案為：
【分析】連接B1D1交A1C1于點(diǎn)O，由線面垂直判定得B1O⊥平面 ，易求得所以點(diǎn)E在平面ACC1A1內(nèi)的以O(shè)為圓心， 為半徑的矩形ACC1A1內(nèi)的半圓上，易得 長度的最小值。
（2021·安陽模擬）如圖，在梯形 中， ， ， ，四邊形 是矩形.
（1）求證： ；
（2）若 ，且 ，求 與平面 所成角的正弦值.
【答案】 （1）解：在等腰梯形 中， ， ，又 ，即 ，所以 ，且 ，
，即 .
又 四邊形 是矩形， .
又 ， 平面 ，又 平面 ， .
（2）解：由條件可知 兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè) ，則 ，
， .
設(shè)平面 的法向量 ，
則有 ，
令 ，得 ， ，
平面 的一個(gè)法向量為 ，設(shè)直線 與平面 所成角為
又 ， ，
與平面 所成角的正弦值為 .
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)，用空間向量求直線與平面的夾角
【解析】 (1) 利用邊角關(guān)系先證明∠BCA=90°，即AC⊥BC，結(jié)合AC⊥EC，可證AC⊥平面ECB，從而證明AC⊥EB；
（Ⅱ）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面FBD的法向量，由向量的夾角公式求解即可．
（2021高二上·山東月考）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ， ， ，
（1）若 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）若 與平面 垂直，求 和 的值.
【答案】 （1）解： ， ，
因?yàn)? ，故存在實(shí)數(shù) ，使得 ，
即 ，故 ，解得
點(diǎn) 的坐標(biāo)為
（2）解：因?yàn)? 與平面 垂直，所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，即
解得
【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】 (1)利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，從而求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）利用 與平面 垂直結(jié)合線面垂直證出線線垂直，所以 ， ，再利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，從而求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，從而求出m,n的值。
（2021高二下·南充期末）如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長為2的正方形， .
（1）證明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】 （1）證明：因?yàn)? 為正方形，所以 ，
因?yàn)? ，所以 ，
又因?yàn)? ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
因?yàn)? 為正方形，所以 ，
因?yàn)? ，所以 ，
又因?yàn)? ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 .
（2）以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 ， ， 分別為
軸， 軸， 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，
則 ， ， ， ， ，
， ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
由 ，得
令 ，得 ，
由（1）知 平面 ， 平面 ，
所以 ，因?yàn)? 為正方形，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
所以 是平面 的一個(gè)法向量，
所以 ，
故二面角 的正弦值為 ..
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，用空間向量求平面間的夾角
【解析】 (1)根據(jù)題意由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，再由正方形的幾何性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面的法向量的坐標(biāo)，同理即可求出平面的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式由此得到二面角 的正弦值。8.6 空間直線、平面的垂直
一、異面直線所成的角
1．已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角α叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
2．空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
注意點(diǎn)：
(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點(diǎn)O的位置選取無關(guān)．
(2)兩條異面直線所成的角θ∈.
(3)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(dòng)(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．
求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟
(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角．
(2)證：證明作出的角就是要求的角．
(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二證三計(jì)算”來概括．同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.
二、直線與直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作a⊥b.
注意點(diǎn)：
(1)當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，異面直線a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．
要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角．若能證明這個(gè)角是直角，即得到兩直線垂直．
三、直線與平面垂直的定義
1．直線與平面垂直的定義及畫法
定義 如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關(guān)概念 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
2.過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．
反思感悟　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事．
四、直線與平面垂直的判定定理
文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
圖形語言：
證明線面垂直的方法
(1)由線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用)；②判定定理(最常用)，要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線(有時(shí)需要作輔助線)，使它們與所給直線垂直．
(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
五、直線與平面所成的角
直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對應(yīng)圖形
斜線 一條直線與一個(gè)平面相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA
斜足 斜線和平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)A
射影 過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO 規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°
取值范圍 設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°
求直線與平面所成的角的步驟
(1)作(找)——作(找)出直線和平面所成的角．
(2)證——證明所作或找到的角就是所求的角．
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形)．
(4)答．
六、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
注意點(diǎn)：
(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．
(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中平行與垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了垂直與平行關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．
證明線線平行的常用方法
(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．
(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．
七、二面角的概念
二面角
1．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．
2．畫法：
3．記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角，如圖．
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步驟
八、平面與平面垂直的定義和判定
1．平面與平面垂直的定義
(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直，記作：α⊥β.
(2)畫法：
2．面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．
證明平面與平面垂直的方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角．
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．
九、平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
符號語言：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
圖形語言：
反思感悟　利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)
(1)兩個(gè)平面垂直．
(2)直線必須在其中一個(gè)平內(nèi)．
(3)直線必須垂直于它們的交線．
考點(diǎn)一 線面垂直
【例1】(2021·陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末)如圖所示，為的直徑，C為上一點(diǎn)，平面，于E，于F.求證：平面.
【練1】(2021·海原縣第一中學(xué)高一期末)如圖，已知⊙O所在平面，AB為⊙O的直徑，C是圓周上的任意一點(diǎn)，過A作于E．求證：平面PBC．
考點(diǎn)二 線線垂直
【例2】(2020·全國專題練習(xí))如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形， ，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，且平面
(1)證明：；
(2)若，求三棱柱的高.
【練2】(2020·陜西西安市·西安一中高一月考)如圖1，四棱錐的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中點(diǎn)，已知四棱錐的側(cè)視圖，如圖2所示.
(1)證明：；
(2)求棱錐的體積.
考點(diǎn)三 面面垂直
【例3】(2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高一期末)如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，為與的交點(diǎn)，為棱上一點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)若平面，求三棱錐的體積.
【練3】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是半圓弧CD上異于C，D的點(diǎn).
(1)證明：平面平面BMC；
(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得平面PBD？說明理由.
考點(diǎn)四 空間距離
【例4】(2020·全國專題練習(xí))在棱長為的正方體中求出下列距離：
(1)點(diǎn)到面的距離；
(2)線段到面的距離；
(3)點(diǎn)到面的距離；
(4)到平面的距離.
【練4】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))正方體的棱長為1，則點(diǎn)到平面的距離為( )
A． B． C． D．
考點(diǎn)五 線線角
【例5】(2021·廣西河池市·高一期末)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為( )．
A． B． C． D．
【練5】(2021·河南駐馬店市·高一期末)在底面為正方形的四棱錐中，底面，，則異面直線與所成的角為( )
A． B． C． D．
考點(diǎn)六 線面角
【例6】(2021·河南高一期末)在三棱柱中，，，且，則直線與平面所成的角的大小為(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【練6】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn).
(1)證明：BC面PAC；
(2)若PA=AC=1，AB=2，求直線PB與平面PAC所成角的正切值.
考點(diǎn)七 面面角
【例7】(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖，三棱臺的下底面是正三角形，，則二面角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【練7】(2021·河南高一期末)如圖，在長方體中，底面是正方形，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面；
(3)求二面角的大小.
課后練習(xí)
（2021高一下·長沙期末）設(shè)m，n為兩條不同的直線，α為平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.m⊥n，m∥α n⊥α
B.m⊥n，m⊥α n∥α
C.m∥n，m⊥α n⊥α
D.m∥n，m∥α=n∥α
（2021高二下·二道期末）已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，則m∥n B. 若m⊥α，n α，則m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，則n∥α D. 若m∥α，m⊥n，則n⊥α
3.（2021高一下·寧波期末）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（ ）．
①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．
A. ①② B. ③④
C. ②③ D. ①④
（2021高二下·麗水期末）已知直線 ， ， 和平面 ， ，則 是 的（ ）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
（2021高三上·五華月考）東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱．如圖，在A點(diǎn)測得：塔在北偏東30°的點(diǎn)D處，塔頂C的仰角為30°，且B點(diǎn)在北偏東60°．AB相距80（單位：m），在B點(diǎn)測得塔在北偏西60°，則塔的高度CD約為（ ）m.
A. 69 B. 40
C. 35 D. 23
（2020高二上·農(nóng)安期末）設(shè)平面 與向量 垂直，平面 與向量 垂直，則平面 與 的位置關(guān)系是________．
（2021·佛山模擬）已知四棱錐 的頂點(diǎn)都在球O上， ， ， ， ， ，平面 平面 ，且 ，則球O的體積為 ．
（2021高二上·浦東新期中）三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在 垂直.
（2021高二上·浦東新期中）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面上的 直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.
（2020·廣元模擬）給出下列命題：
①同時(shí)垂直于一條直線的兩個(gè)平面互相平行﹔
②一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直；
③設(shè) 為平面，若 ，則 ；
④設(shè) 為平面，若 ，則 ．
其中所有正確命題的序號為 ．
（2021·珠海模擬）正方體 的棱長為2，點(diǎn) 為平面 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)， ，則 長度的最小值為 .
（2021·安陽模擬）如圖，在梯形 中， ， ， ，四邊形 是矩形.
（1）求證： ；
（2）若 ，且 ，求 與平面 所成角的正弦值.
（2021高二上·山東月考）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ， ， ，
（1）若 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）若 與平面 垂直，求 和 的值.
（2021高二下·南充期末）如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長為2的正方形， .
（1）證明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
精講答案
【例1】
【答案】證明見解析
【解析】證明：為⊙O的直徑，C為⊙O上點(diǎn)，所以
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>又,所以 面
又平面，則
又，，所以平面
又平面，所以
又因?yàn)椋?br/>所以平面
【練1】
【答案】證明見解析.
【解析】證明：由AB是⊙O的直徑，
得.
又⊙O所在平面
⊙O所在平面內(nèi)
所以，又，
所以面PAC，面PAC.
所以，又，，
所以平面PBC．
【例2】
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)證明：由題意
且 ,
,所以,
又側(cè)面， ,又與交于點(diǎn) ，所以,平面
又因?yàn)?平面,所以．
(2)在矩形中，由平面幾何知識可知
∵，∴，
∴
設(shè)三棱柱的高為，即三棱錐的高為
又，由得
，∴
【練2】
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】解：(1)由側(cè)視圖可知，，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
又因?yàn)锳BCD是正方形，所以.
而，PD，平面PCD，
所以平面PCD.
因?yàn)槠矫鍼CD，所以.
又是等腰三角形，M是PC的中點(diǎn)，所以，
而，PC，平面PBC，
所以平面PBC，
而平面PBC，所以.
.
【例3】
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
底面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
(2)如下圖所示，連接，
四邊形為正方形，且，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
平面，平面，且，
的面積為，
所以，.
【練3】
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析.
【解析】證明：(1)由題意可知，平面平面CDM，
又∵平面平面，，平面ABCD，
∴平面CDM，
又平面CDM，∴，
又由圓的性質(zhì)知，
∵，平面AMD，平面AMD，
∴平面AMD，
∵平面BMC，∴平面平面；
(2)存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，平面PBD.
理由如下：連接DB與AC交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，
連接PO，則PO是三角形AMC的中位線，
∴，
∵平面PBD，平面PBD，
∴平面PBD.
【例4】
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)因?yàn)檎襟w，則平面，
所以點(diǎn)到面的距離為邊長；
(2)因?yàn)槠矫妫移矫妫?br/>所以線段到面的距離為；
(3)因?yàn)槠矫妫?br/>所以點(diǎn)到面的距離為面對角線的AC的，即；
(4)設(shè)到平面的距離為h，三棱錐的體積為V，
在中，，則的面積為，
利用等體積法可得：，
所以
【練4】
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是,如圖，
易知,
因?yàn)?br/>所以，
由，
所以，解得：
故選：D
【例5】
【答案】D
【解析】連，相交于點(diǎn)，連、，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，
由平面，可得，
則，，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，．
故選：D.
【練5】
【答案】B
【解析】因?yàn)樗睦忮F中，底面，，
所以PA=AD，又底面為正方形，所以四棱錐可擴(kuò)充為正方體，如圖示：
連結(jié)PE、BE，，則PE∥AC，所以∠EPB(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角.
而△EPB為正三角形，所以∠EPB=.故選：.
【例6】
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是與平面所成的角，即與平面所成的角是，
∵棱柱中，∴與平面所成的角的大小為，
故選：A．
【練6】
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】證明：(1)為圓O直徑
∠ACB=90°即AC⊥BC
PA⊥面ABC，PA⊥BC
ACPA=A
BC⊥面PAC.
(2)BC⊥面PAC，
∠BPC為PB與平面PAC所成的角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，tan∠BPC=.
故直線PB與平面PAC所成角的正切值為.
【例7】
【答案】C
【解析】三棱臺中，，且，
則，又，且,
所以平面，
所以為的二面角，
因?yàn)闉榈冗吶切危?br/>所以.
故選：C
【練7】
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．
【解析】(1)證明：設(shè)，連接，則是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，
∴，又平面，平面，
∴平面．
(2)平面，平面，∴，同理，又正方形中，
，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面；
(3)∵平面，平面，∴，
∴是二面角的平面角，
由已知，而，分別是中點(diǎn)，
∴，∴．
即二面角的大小為．
練習(xí)答案
【答案】 C
【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定
【解析】解：對于A，若 m⊥n，m∥α n⊥α 或 ， 故A錯(cuò)誤；
對于B， m⊥n，m⊥α n∥α 或 ， 故B錯(cuò)誤；
對于C，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理易知C正確；
對于D， m∥n，m∥α=n∥α 或 ， 故D錯(cuò)誤；
故答案為：C
【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可判斷ABD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可判斷C.
【答案】 B
【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】解：對于A， 若m∥α，n∥α ，則 m∥n或 m，n相交或m，n異面，故A錯(cuò)誤；
對于B，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，易證B正確；
對于C， 若m⊥α，m⊥n，則n∥α或 ， 故C錯(cuò)誤；
對于D， 若m∥α，m⊥n，則n⊥α 或 ， 故D錯(cuò)誤；
故答案為：B
【分析】根據(jù)直線間的位置關(guān)系可判斷A，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷B，根據(jù)直線與平面間的關(guān)系可判斷D.
【答案】 C
【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，平面與平面之間的位置關(guān)系，平面與平面平行的性質(zhì)，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】解：對于①， 垂直于同一直線的兩條直線平行或相交或異面，故①錯(cuò)誤；
對于②，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得， 垂直于同一平面的兩條直線平行，故②正確；
對于③，由平面與平面平行的性質(zhì)定理得， 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故③正確；
對于④， 垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故④錯(cuò)誤.
故答案為：C
【分析】根據(jù)直線與直線間的關(guān)系可判斷①，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷②，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理可判斷③，根據(jù)平面與平面間的關(guān)系可判斷④.
【答案】 B
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】由 ， ，不明確 是否相交，所以不能推出
若 ，則直線 垂直平面 中任意一條直線，故
所以 是 的必要不充分條件
故答案為：B
【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系以及充分條件、必要條件的定義，即可得出答案。
【答案】 B
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)，解三角形
【解析】如圖，根據(jù)題意，圖中 平面ABD, ,
中， ，
又 平面ABD ， 是直角三角形
中，
，B符合題意，ACD不符合題意
故答案為：B.
【分析】由已知條件結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，結(jié)合三角形的幾何計(jì)算關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算出邊的大小，再由勾股定理結(jié)合三角形幾何三角形的就是關(guān)系，計(jì)算出結(jié)果即可。
【答案】 垂直
【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，平面與平面垂直的判定
【解析】因?yàn)? ， ，
所以 ，
所以 ，
因?yàn)槠矫? 與向量 垂直，平面 與向量 垂直，
所以 。
故答案為：垂直。
【分析】利用已知條件結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0，從而證出 ， 因?yàn)槠矫? 與向量 垂直，平面 與向量 垂直，所以 。
【答案】
【考點(diǎn)】球的體積和表面積，球內(nèi)接多面體，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】取AC中點(diǎn)O，AD中點(diǎn)H，連接OH，OB，OD，PH，如圖所示：
因?yàn)? ， ， ， ， ，
所以 ，即 ，
，即 ，
又O為AC中點(diǎn)，
所以O(shè)到A，B，C，D的距離相等.
因?yàn)槠矫? 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因?yàn)镺，H，分別為AC，AD中點(diǎn)，
所以 ，即 平面 ，
又 ，
所以O(shè)到P，A，D的距離相等，
所以O(shè)為四棱錐 外接球的球心，
在 中， ,
所以球O的體積 .
故答案為：
【分析】 由題意作出圖形，取AC的中點(diǎn)O，證明O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，求出半徑，再由球的體積公式求解即可。
【答案】 平面上的射影
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，兩條直線垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】解：由三垂線定理得：平面上的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也與這條斜線垂直；
由三垂線定理的逆定理得：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它與這條斜線在平面上的射影垂直；
所以平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的射影垂直，
故答案為：平面上的射影.
【分析】 利用三垂線定理和三垂線定理的逆定理，即可得出答案。
【答案】 兩條相交
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定
【解析】解：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.
故答案為：兩條相交
【分析】由線面垂直的判定定理，即可得出答案。
【答案】 ①②④
【考點(diǎn)】平面與平面平行的判定，平面與平面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性質(zhì)
【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知命題①正確；
由線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)知命題②正確；
由下圖知命題③不正確；
由面面平行的性質(zhì)知命題④正確．
故答案為：①②④.
【分析】 直接利用面面垂直和面面平行的判定和性質(zhì)判定①②③④的結(jié)論．
【答案】
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定
【解析】在正方體 中，連接B1D1交A1C1于點(diǎn)O ， 則B1D1⊥A1C1 ， 而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， 即B1D1⊥AA1 ， 如圖：
從而有B1O⊥平面A1B1C1D1 ， 連OE ， Rt△B1OE中， ，而 ，則 ，
所以點(diǎn)E在平面ACC1A1內(nèi)的以O(shè)為圓心， 為半徑的矩形ACC1A1內(nèi)的半圓上，
而點(diǎn)A及半圓弧在半圓O的直徑A1C1同側(cè)，且點(diǎn)A在半圓弧外，則有 .
故答案為：
【分析】連接B1D1交A1C1于點(diǎn)O，由線面垂直判定得B1O⊥平面 ，易求得所以點(diǎn)E在平面ACC1A1內(nèi)的以O(shè)為圓心， 為半徑的矩形ACC1A1內(nèi)的半圓上，易得 長度的最小值。
【答案】 （1）解：在等腰梯形 中， ， ，又 ，即 ，所以 ，且 ，
，即 .
又 四邊形 是矩形， .
又 ， 平面 ，又 平面 ， .
（2）解：由條件可知 兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè) ，則 ，
， .
設(shè)平面 的法向量 ，
則有 ，
令 ，得 ， ，
平面 的一個(gè)法向量為 ，設(shè)直線 與平面 所成角為
又 ， ，
與平面 所成角的正弦值為 .
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)，用空間向量求直線與平面的夾角
【解析】 (1) 利用邊角關(guān)系先證明∠BCA=90°，即AC⊥BC，結(jié)合AC⊥EC，可證AC⊥平面ECB，從而證明AC⊥EB；
（Ⅱ）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面FBD的法向量，由向量的夾角公式求解即可．
【答案】 （1）解： ， ，
因?yàn)? ，故存在實(shí)數(shù) ，使得 ，
即 ，故 ，解得
點(diǎn) 的坐標(biāo)為
（2）解：因?yàn)? 與平面 垂直，所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，即
解得
【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，直線與平面垂直的性質(zhì)
【解析】 (1)利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，從而求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）利用 與平面 垂直結(jié)合線面垂直證出線線垂直，所以 ， ，再利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，從而求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，從而求出m,n的值。
【答案】 （1）證明：因?yàn)? 為正方形，所以 ，
因?yàn)? ，所以 ，
又因?yàn)? ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
因?yàn)? 為正方形，所以 ，
因?yàn)? ，所以 ，
又因?yàn)? ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 .
（2）以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 ， ， 分別為
軸， 軸， 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，
則 ， ， ， ， ，
， ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
由 ，得
令 ，得 ，
由（1）知 平面 ， 平面 ，
所以 ，因?yàn)? 為正方形，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
所以 是平面 的一個(gè)法向量，
所以 ，
故二面角 的正弦值為 ..
【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，用空間向量求平面間的夾角
【解析】 (1)根據(jù)題意由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，再由正方形的幾何性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面的法向量的坐標(biāo)，同理即可求出平面的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式由此得到二面角 的正弦值。

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