資源簡介

10.1 隨機事件與概率
一、有限樣本空間
定義：
樣本點：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點用ω表示樣本點
樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，用Ω表示樣本空間
有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
二、隨機事件
隨機事件 我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生
必然事件 Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件
不可能事件 空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生．我們稱 為不可能事件
三、隨機事件的含義
解答此類題目，應先理解事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規律，才能確定隨機事件的含義．
四、事件的關系
一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B A(或A B)
相等關系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等A＝B
五、事件的運算
并事件(或和事件)：一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)
交事件(或積事件)：一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)
六、互斥事件與對立事件
1．互斥事件
定義 一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
含義 A與B不能同時發生
符號表示 A∩B＝
圖形表示
2.對立事件
定義 一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立事件，事件A的對立事件記為
含義 A與B有且僅有一個發生
符號表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
圖形表示
辨析互斥事件與對立事件的思路
(1)從發生的角度看
①在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能同時發生．
②兩個對立事件必有一個發生，但不可能同時發生，即兩事件對立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對立．對立事件是互斥事件的一個特例．
(2)從事件個數的角度看
互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件．
七、古典概型的定義
一般地，若試驗E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
八、古典概型概率的計算
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
九、較復雜的古典概型的概率計算
在求概率時，若事件可以表示成有序數對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數．故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，更方便．
十、列舉法解決古典概型問題
解題時要注意是“有放回抽取”還是“無放回抽取”，若是“有放回抽取”，則在每次抽取之前，產品種類及個數都不發生變化，因此某件新產品被抽到的概率也不變；若是“無放回抽取”(假設每次抽取的結果都可知)，則在每次抽取之前，所剩產品種類及個數都在發生變化，因此某件產品被抽到的概率也在不斷變化．
十、 概率與統計相結合
概率與統計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決，解決此類題目的步驟主要有：
第一步：根據題目要求求出數據(有的用到分層隨機抽樣、有的用到頻率分布直方圖等知識)；
第二步：列出樣本空間，計算樣本空間包含的樣本點個數；
第三步：找出所求事件包含的樣本點個數；
第四步：根據古典概型概率計算公式求解；
第五步：明確規范地表述結論．
十二 概率的綜合應用
應用古典概型的概率公式求事件的概率時，首先應判斷本試驗是不是古典概型，然后再正確地找出試驗的樣本空間包含的樣本點個數及事件A包含的樣本點個數，最后代入公式求出概率．
十三、概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
十四、對立事件概率公式的應用
對立事件也是比較重要的事件，利用對立事件的概率公式求解時，必須準確判斷兩個事件確實是對立事件時才能應用．
考點一 有限樣本空間與隨機事件
【例1】(2021·全國高一)給出下列四個命題：
①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；
②“當x為某一實數時，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”是隨機事件．
其中正確命題的個數是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】對于①，三個球全部放入兩個盒子，有兩種情況：1+2和3+0，故必有一個盒子有一個以上的球，所以該事件是必然事件，①正確；
對于②，x=0時x2=0，所以該事件不是不可能事件，②錯誤；
對于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以該事件是隨機事件，③錯誤；
對于④，“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”，發生與否是隨機的，所以該事件是隨機事件，④正確．故正確命題有2個.故選：C．
【練1】(2020·全國高一課時練習)下列事件是必然事件的是( )
A．連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面向上
B．異性電荷相互吸引
C．在標準大氣壓下，水在1℃時結冰
D．任意擲一枚骰子朝上的點數是偶數
【答案】B
【解析】四個選項都是隨機事件，根據定義只有B選項是一定會發生的，是必然事件.故選：B.
考點二 事件的關系與運算
【例2】(2020·全國高一課時練習)盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球.設事件“1個紅球和2個白球”，事件“2個紅球和1個白球”，事件“至少有1個紅球”，事件“既有紅球又有白球”，則：
(1)事件與事件是什么關系？
(2)事件與事件的交事件與事件是什么關系？
【答案】(1).(2)事件與事件的交事件與事件相等.
【解析】(1)對于事件,可能的結果為1個紅球和2個白球或2個紅球和1個白球,故.
(2)對于事件,可能的結果為1個紅球和2個白球,2個紅球和1個白球或3個紅球,故,所以事件與事件的交事件與事件相等.
【練2】(2020·全國高一課時練習)在試驗“連續拋擲一枚硬幣3次，觀察落地后正面、反面出現的情況”中，設事件A表示隨機事件“第一次出現正面”，事件B表示隨機事件“3次出現同一面”，事件C表示隨機事件“至少1次出現正面”.
(1)試用樣本點表示事件，，，；
(2)試用樣本點表示事件，，，；
(3)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件.
【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)A與B不互斥，A與C不互斥，B與C不互斥
【解析】用H代表“出現正面”,用T代表“出現反面”.
,
,,
.
(1),,
,
.
(2),,
,.
(3),,
,∴A與B不互斥,A與C不互斥,B與C不互斥.
考點三 互斥與對立
【例3】(多選)(2020·全國高一課時練習)袋中有紅球3個，白球2個，黑球1個，從中任取2個，則互斥的兩個事件是( )
A．至少有一個白球與都是白球
B．恰有一個紅球與白、黑球各一個
C．至少一個白球與至多有一個紅球
D．至少有一個紅球與兩個白球
【答案】BD
【解析】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，
在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一個紅球和白、黑球各一個不能同時發生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一個白球與至多有一個紅球，能同時發生，故C不成立；
在D中，至少有一個紅球與兩個白球兩個事件不能同時發生，是互斥事件，故D成立；
故選：BD.
【練3】(2020·全國高一課時練習)袋內分別有紅 白 黑球3，2，1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是( )
A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅 黑球各一個
【答案】D
【解析】對于A，“至少有一個白球”說明有白球，白球的個數可能為1或2，而“都是白球”說明兩個全是白球，這兩個事件可以同時發生，故A不是互斥的；
對于B，當兩球一個白球一個紅球時，“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”均發生，故不互斥；
對于C，“恰有一個白球”，表示黑球個數為0或1，這與“一個白球一個黑球”不互斥；
對于D，“至少一個白球”發生時，“紅 黑球各一個”不會發生，故互斥，但不對立，
故選：D
考點四 古典概型
【例4】(2020·全國高一課時練習)在一次語文考試的閱卷過程中，兩位老師對一篇作文打出的分數都是兩位的正整數，且十位數字都是，則兩位老師打出的分數之差的絕對值小于或等于的概率為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用表示兩位老師的打分，則的所有可能情況有種.
當時，可取，，共種；
當，，，，，，，時，的取值均有種；
當時，可取，，共種；
綜上可得兩位老師打出的分數之差的絕對值小于或等于的情況有種，
由古典概型的概率公式可得所求概率故選：C.
【練4】(2020·全國高一課時練習)某袋中有編號為1，2，3， 4，5，6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲先從袋中摸出一個球，有6種可能的結果，
乙再從袋中摸出一個球，有6種可能的結果
如果按(甲，乙)方法得出總共的結果為：36個
甲、乙兩人所摸出球的編號不同的結果為30個
甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是，
故選：A．
考點五 概率的基本性質
【例5】(2020·全國高一課時練習)老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指( )
A．老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂
B．老師在講的10道題中，李峰能聽懂8道
C．李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%
D．以上解釋都不對
【答案】C
【解析】概率的意義就是事件發生的可能性大小，即李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%.故選：C
【練5】(2020·吳起高級中學)氣象臺預報“本市明天降雨概率是70%”，下列說法正確的是( )
A．本市明天將有70%的地區降雨 B．本市有天將有70%的時間降雨
C．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不帶雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】氣象臺預報“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區面積和降水時間無關,所以A,B錯誤.
降水概率是事件發生的可能,不是一定會發生的事情,所以D錯誤.
而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大,所以C正確.
故選:C.
課后練習
（2021·順德模擬）射擊運動中，一次射擊最多能得10環，下圖統計了某射擊運動員50次射擊命中環數不少于8環的頻數，用頻率估計概率，則該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考點】頻率分布直方圖，互斥事件的概率加法公式，n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
【解析】解：用頻率估計概率，則該運動員每次射擊命中10環的概率為 ，命中9環的概率為 ，命中8環的概率為 ，
該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環包含4種情況：
①三次10環，概率為： ；
②二次10環一次9環，概率為 ；
③二次10環一次8環，概率為 ；
④一次10環二次9環，概率為 ；
該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環的概率是：
．
故答案為：C．
【分析】 根據題意即可得出：該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環包含4種情況：①三次10環，②二次10環一次9環，③二次10環一次8環，④一次10環二次9環，由此能求出該運動員在3次獨立的射擊中，結合概率的加法公式，代入數值計算出結果即可。
（2021·千陽模擬）在古裝電視劇《知否》中，甲、乙兩人進行一種投壺比賽，比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，三場比賽得籌數最多者獲勝．假設甲投中“有初”的概率為 ，投中“貫耳”的概率為 ，投中“散射”的概率為 ，投中“雙耳”的概率為 ，投中“依竿”的概率為 ，乙的投擲水平與甲相同，且甲、乙投擲相互獨立．比賽第一場，兩人平局；第二場，甲投了個“貫耳”，乙投了個“雙耳”，則三場比賽結束時，甲獲勝的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】解：由題意知，第二場結束時，甲比乙少“兩籌”,沒有投中得分的概率為 ，
若甲獲勝，則在第三場甲要比乙多“三籌”，
所以在第三場：乙沒有投中得分，甲投中“貫耳”或“散射”或“雙耳”或“依竿”時，甲才能獲勝，獲勝的概率為 ，
乙投中“有初”，甲投中“散射”或“雙耳”或“依竿"時，甲才能獲勝，獲勝的概率為 ， ,
乙投中“貫耳”或“散射”或“雙耳”，甲投中“依竿”時，甲才能獲勝，獲勝的概率為
三場比賽結束時，甲獲勝的概率為
故答案為：D
【分析】根據相互獨立事件，以及互斥事件的概率直接求解即可.
（2021高一下·南開期末）某校在“創新素質實踐行”活動中組織學生進行社會調查，并對學生的調查報告進行了評比，下面是將某年級60篇學生調查報告進行整理，分成5組畫出的頻率分布直方圖（如圖）．已知從左至右4個小組的頻率分別為0.05，0.15，0.35，0.30，那么在這次評比中被評為優秀的調查報告有（分數大于或等于80分為優秀且分數為整數）（ ）．
A.18篇
B.24篇
C.25篇
D.27篇
【答案】 D
【考點】頻率分布直方圖，概率的基本性質
【解析】根據頻率分布直方圖，得出分數大于80分的頻率為1-(0.05+0.15+0.35)=0.45，
所以被評為優秀的調查報告有60×0.45=27篇。
故答案為：D
【分析】利用已知條件結合頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再結合頻率之和等于1，從而求出分數大于80分的頻率，再利用頻數等于頻率乘以樣本容量的公式，從而求出被評為優秀的調查報告的篇數。
（2021高二下·哈爾濱月考）下列敘述錯誤的是（ ）
A. 互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件
B. 甲 乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為 ，甲獲勝的概率是 ，則甲不輸的概率為
C. 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件
D. 在5件產品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率為
【答案】 C
【考點】互斥事件與對立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】對于A選項：互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，它可以同時不發生，對立事件是必有一個發生的互斥事件，A正確，不符合題意；
對于B選項：甲不輸的事件是下成和棋的事件與甲獲勝的事件和，它們互斥，則甲不輸的概率為 ，B正確，不符合題意；
對于C選項：由給定條件知，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事件都含有一紅一黑的兩個球這一基本事件，即它們不互斥，C錯誤，符合題意；
對于D選項：5件產品中任取兩件有10個基本事件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對立事件為“恰兩件一等品”，有3個基本事件，從而所求概率為 ，D正確，不符合題意.
故答案為：C
【分析】根據題意由互斥事件和對立事件的定義即可判斷出選項A正確；由互斥事件的概率公式計算出結果由此判斷出選項B正確；由互斥事件的定義即可判斷出選項C錯誤；由對立事件的概率定義即可判斷出乘除D正確，由此得出答案。
（2021·深圳模擬）某工廠有四條流水線生產同一種產品，這四條流水線的產量分別占總產量的0.20，0.25，0.3，0.25這四條流水線的合格率依次為0.95，0.96，0.97，0.98，現在從出廠產品中任取一件，則恰好抽到不合格的概率是 .
【答案】 0.034
【考點】互斥事件的概率加法公式
【解析】解：根據互斥事件的概率得，所求概率為
0.20×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034
故答案為：0.034
【分析】根據互斥事件的概率公式直接求解即可.
（2021高二下·朝陽期末）為了喚起全民對睡眠重要性的認識，國際精神衛生組織于2001年發起了一項全球性的活動——將每年的3月54日定為“世界睡眠日”.現從某中學初一至高三學生中隨機抽取部分學生進行睡眠質量調查，采用睡眠質量指數量表統計結果如下：
性別 人數 睡眠質量好 睡眠質量一般 睡眠質量差
男 220 99 90 31
女 250 50 120 80
合計 470 149 210 111
假設所有學生睡眠質量的程度是相互獨立的.以調查結果的頻率估計概率，現從該中學男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質量好的概率是 .
【答案】 0.47
【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】從該中學男生中隨機抽取1人，這個人睡眠質量好的概率為 ，
從該中學女生中隨機抽取1人，這個人睡眠質量好的概率為 ，
因此，該中學男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質量好的概率是 .
故答案為：0.47.
【分析】根據相互獨立的概率公式求解，即可得出答案。
（2020高二上·贛縣期末）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是 ，甲獲勝的概率是 ，則乙獲勝的概率是________．
【答案】
【考點】互斥事件與對立事件
【解析】因為事件“乙獲勝”與事件“兩人下和棋或甲獲勝”互為對立事件，所以乙獲勝的概率 ．
故答案為：
【分析】根據乙獲勝與兩人下和棋或甲獲對立，可得乙獲勝概率等于1減去兩個人合棋的概率，再減去甲獲勝的概率。
（2021高二下·西青期末）某一大型購物廣場有“喜茶”和"滬上阿姨”兩家奶茶店，某人第一天隨機地選擇一家奶茶店購買奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.7；如果第一天去"滬上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.6．則某人第二天去“喜茶”店購買奶茶的概率 ．
【答案】 0.65
【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】某人第二天去“喜茶”店購買奶茶有兩種情況：
第一種情況：第一天選擇去“喜茶”店，第二天選擇去“喜茶”，其概率為： ；
第二種情況：第一天選擇去“滬上阿姨”店，第二天選擇去“喜茶”，其概率為： ；
所以某人第二天去“喜茶”店購買奶茶的概率為 ，
故答案為：0.65.
【分析】由概率公式結合已知條件代入數值計算出結果即可。
（2021高一下·深圳期末）甲、乙、丙三名射擊運動員中靶概率分別為0.8、0.9、0.7，每人各射擊一次，三人中靶與否互不影響，則三人中至少有一人中靶的概率為
【答案】 0.994
【考點】互斥事件與對立事件，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】解：由題意得，甲乙丙三人都不中靶的概率為(1-0.8)(1-0.9)(1-0.7)=0.006，
則甲乙丙三人中至少有一人中靶的概率為P=1-0.006=0.994
故答案為：0.994
【分析】根據獨立事件與對立事件的概率求法直接求解即可
（2021高二下·開封期末）某蔬菜批發商分別在甲、乙兩市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元．現統計該蔬菜在甲、乙兩市場以往100個銷售周期的市場需求量，制成如下頻數分布條形圖．
以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設批發商在下個銷售周期購進 噸該蔬菜，在甲、乙兩市場同時銷售，以 （單位：噸）表示下個銷售周期兩市場的總需求量， （單位：元）表示下個銷售周期兩市場的銷售總利潤．
（1）當 時，求 與 的函數解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；
（2）以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷 與 應選用哪一個．
【答案】 （1）由題意得，當 ， ，
當 ， ，
所以
由題意得，一個銷售周期內甲市場需求量為8，9，10的概率分別為0.3，0.4，0.3，乙市場需求量為8，9，10的概率分別為0.2，0.5，0.3，
記銷售的利潤不少于8900元的事件為 ，
當 ， ，
當 ， ，解得 ，
所以 ，
由題意得， ， ，
所以 ．
（2）因為 ， ，可得
①當 時，
②當 時，
因為 ，所以應選 ．
【考點】頻率分布直方圖，互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量的期望與方差
【解析】 (2)首先分2段求出T與X的函數關系式，再利用函數的解析式求得概率；
(2)計算兩個期望比較大小，由此即可得出結論。
（2021·海淀期中）每年的4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”.為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數據分成 ， ， ， ， ， ， ， ， 九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求 的值；
（2）為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在 ， ， 三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記日平均閱讀時間在 內的學生人數為 ，求 的分布列；
（3）以調查結果的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取20名學生，用“ ”表示這20名學生中恰有 名學生日平均閱讀時間在 (單位：小時)內的概率，其中 .當 最大時，寫出 的值.(只需寫出結論)
【答案】 （1）解：由概率和為1得： ，
解得： .
（2）解：由分層抽樣性質知，從閱讀時間在 中抽取5人，從閱讀時間在 中抽取4人，從閱讀時間在 中抽取1人，
從該10人中抽取3人，則 的可能取值為0,1,2,3，
， ，
， ，
則 的分布列為
0 1 2 3
（3）解：學生日平均閱讀時間在 的概率 ，則 ，
當 時， 最大.
【考點】概率的基本性質，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差
【解析】(1)根據題意由概率的性質即可求出a的值。
(2)根據題意由分層抽樣的定義即可求出X的取值，結合概率公式計算出結果由此得到X的分布列即可。
(3)根據題意由題意求出P的值，再把數值代入到函數計算出結果即可。
（2021高一下·龍巖期末）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為 乙每輪猜對的概率為 ．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．已知每輪甲、乙同時猜錯的概率為 ，恰有一人猜錯的概率為 .
（1）求 和 ；
（2）若 ，求“星隊”在兩輪活動中猜對 個成語的概率．
【答案】 （1）解：設M表示事件“每輪甲、乙同時猜錯”；N表示事件“恰有一人猜錯”，
，
，
或 ；
（2） 由（1）可知 ，
設 表示事件“甲在兩輪中猜對 個成語”，
表示事件“乙在兩輪中猜對 個成語”， ，
表示“星隊”在兩輪活動中猜對成語的個數”，
由于兩輪猜的結果相互獨立，
所以
，
所以“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為 .
【考點】概率的基本性質，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】(1)由概率的公式結合概率的性質計算出結果即可。
(2)根據題意即可得出 ， 設出事件由已知條件即可得出X的取值，結合獨立事件的概率公式計算出結果即可。
（2021·南平模擬）某地區位于甲 乙兩條河流的交匯處，夏季多雨，根據統計資料預測，今年汛期甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.2（假設兩河流發生洪水與否互不影響），今年夏季該地區某工地有許多大型設備，為保護設備，有以下3種方案：方案一：不采取措施，當一條河流發生洪水時，設備將受損，損失30000元.當兩河流同時發生洪水時，設備將受損，損失60000元.方案二：修建保護圍墻，建設費為4000元，但圍墻只能抵御一條河流發生的洪水，當兩河流同時發生洪水時，設備將受損，損失60000元.方案三：修建保護大壩，建設費為9000元，能夠抵御住兩河流同時發生洪水.
（1）求今年甲 乙兩河流至少有一條發生洪水的概率；
（2）從花費的角度考慮，試比較哪一種方案更好，說明理由.
【答案】 （1）解：由題意，甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.2，
則甲 乙兩條河流均不發生洪水的概率為 ，
所以今年甲 乙兩河流至少有一條發生洪水的概率為
（2）解：設損失費為 .
方案一： 的可能取化為30000，60000，0.
，
，
，
所以 元；
方案二：建圍墻，需要花費4000元，但圍墻只能抵御一條河流發生的洪水，
當兩河流同時發生洪水時，設備將受損，損失60000元，
兩條河流都發生洪水的概率 ，
所以該方案中 元；
方案三：修建保護大壩，建設費為9000元，設備不會受損，方案中的花費為9000元，
因為方案二中損失費用的期望即平均費用最少，所以方案二最好.
【考點】互斥事件與對立事件，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差
【解析】 (1)根據題意先計算出甲、乙兩條河流均不發生洪水的概率，再利用對立事件的概率公式即可求解；
(2)由已知條件即可設損失費為X，分別求出三種方案中的E(X)，E(X)最小值，比較之后即可得出哪個方案最好，從而得出答案。10.1 隨機事件與概率
一、有限樣本空間
定義：
樣本點：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點用ω表示樣本點
樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，用Ω表示樣本空間
有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
二、隨機事件
隨機事件 我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生
必然事件 Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件
不可能事件 空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生．我們稱 為不可能事件
三、隨機事件的含義
解答此類題目，應先理解事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規律，才能確定隨機事件的含義．
四、事件的關系
一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B A(或A B)
相等關系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等A＝B
五、事件的運算
并事件(或和事件)：一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)
交事件(或積事件)：一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)
六、互斥事件與對立事件
1．互斥事件
定義 一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
含義 A與B不能同時發生
符號表示 A∩B＝
圖形表示
2.對立事件
定義 一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立事件，事件A的對立事件記為
含義 A與B有且僅有一個發生
符號表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
圖形表示
辨析互斥事件與對立事件的思路
(1)從發生的角度看
①在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能同時發生．
②兩個對立事件必有一個發生，但不可能同時發生，即兩事件對立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對立．對立事件是互斥事件的一個特例．
(2)從事件個數的角度看
互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件．
七、古典概型的定義
一般地，若試驗E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
八、古典概型概率的計算
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
九、較復雜的古典概型的概率計算
在求概率時，若事件可以表示成有序數對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數．故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，更方便．
十、列舉法解決古典概型問題
解題時要注意是“有放回抽取”還是“無放回抽取”，若是“有放回抽取”，則在每次抽取之前，產品種類及個數都不發生變化，因此某件新產品被抽到的概率也不變；若是“無放回抽取”(假設每次抽取的結果都可知)，則在每次抽取之前，所剩產品種類及個數都在發生變化，因此某件產品被抽到的概率也在不斷變化．
十、 概率與統計相結合
概率與統計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決，解決此類題目的步驟主要有：
第一步：根據題目要求求出數據(有的用到分層隨機抽樣、有的用到頻率分布直方圖等知識)；
第二步：列出樣本空間，計算樣本空間包含的樣本點個數；
第三步：找出所求事件包含的樣本點個數；
第四步：根據古典概型概率計算公式求解；
第五步：明確規范地表述結論．
十二 概率的綜合應用
應用古典概型的概率公式求事件的概率時，首先應判斷本試驗是不是古典概型，然后再正確地找出試驗的樣本空間包含的樣本點個數及事件A包含的樣本點個數，最后代入公式求出概率．
十三、概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性質3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性質6　設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
十四、對立事件概率公式的應用
對立事件也是比較重要的事件，利用對立事件的概率公式求解時，必須準確判斷兩個事件確實是對立事件時才能應用．
考點一 有限樣本空間與隨機事件
【例1】(2021·全國高一)給出下列四個命題：
①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；
②“當x為某一實數時，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”是隨機事件．
其中正確命題的個數是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【練1】(2020·全國高一課時練習)下列事件是必然事件的是( )
A．連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面向上
B．異性電荷相互吸引
C．在標準大氣壓下，水在1℃時結冰
D．任意擲一枚骰子朝上的點數是偶數
考點二 事件的關系與運算
【例2】(2020·全國高一課時練習)盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球.設事件“1個紅球和2個白球”，事件“2個紅球和1個白球”，事件“至少有1個紅球”，事件“既有紅球又有白球”，則：
(1)事件與事件是什么關系？
(2)事件與事件的交事件與事件是什么關系？
【練2】(2020·全國高一課時練習)在試驗“連續拋擲一枚硬幣3次，觀察落地后正面、反面出現的情況”中，設事件A表示隨機事件“第一次出現正面”，事件B表示隨機事件“3次出現同一面”，事件C表示隨機事件“至少1次出現正面”.
(1)試用樣本點表示事件，，，；
(2)試用樣本點表示事件，，，；
(3)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件.
考點三 互斥與對立
【例3】(多選)(2020·全國高一課時練習)袋中有紅球3個，白球2個，黑球1個，從中任取2個，則互斥的兩個事件是( )
A．至少有一個白球與都是白球
B．恰有一個紅球與白、黑球各一個
C．至少一個白球與至多有一個紅球
D．至少有一個紅球與兩個白球
【練3】(2020·全國高一課時練習)袋內分別有紅 白 黑球3，2，1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是( )
A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅 黑球各一個
考點四 古典概型
【例4】(2020·全國高一課時練習)在一次語文考試的閱卷過程中，兩位老師對一篇作文打出的分數都是兩位的正整數，且十位數字都是，則兩位老師打出的分數之差的絕對值小于或等于的概率為( )
A． B． C． D．
【練4】(2020·全國高一課時練習)某袋中有編號為1，2，3， 4，5，6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是( )
A． B． C． D．
考點五 概率的基本性質
【例5】(2020·全國高一課時練習)老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指( )
A．老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂
B．老師在講的10道題中，李峰能聽懂8道
C．李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%
D．以上解釋都不對
【練5】(2020·吳起高級中學)氣象臺預報“本市明天降雨概率是70%”，下列說法正確的是( )
A．本市明天將有70%的地區降雨 B．本市有天將有70%的時間降雨
C．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不帶雨具肯定要淋雨
課后練習
（2021·順德模擬）射擊運動中，一次射擊最多能得10環，下圖統計了某射擊運動員50次射擊命中環數不少于8環的頻數，用頻率估計概率，則該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環的概率是（ ）
A. B. C. D.
（2021·千陽模擬）在古裝電視劇《知否》中，甲、乙兩人進行一種投壺比賽，比賽投中得分情況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，三場比賽得籌數最多者獲勝．假設甲投中“有初”的概率為 ，投中“貫耳”的概率為 ，投中“散射”的概率為 ，投中“雙耳”的概率為 ，投中“依竿”的概率為 ，乙的投擲水平與甲相同，且甲、乙投擲相互獨立．比賽第一場，兩人平局；第二場，甲投了個“貫耳”，乙投了個“雙耳”，則三場比賽結束時，甲獲勝的概率為（ ）
A. B. C. D.
（2021高一下·南開期末）某校在“創新素質實踐行”活動中組織學生進行社會調查，并對學生的調查報告進行了評比，下面是將某年級60篇學生調查報告進行整理，分成5組畫出的頻率分布直方圖（如圖）．已知從左至右4個小組的頻率分別為0.05，0.15，0.35，0.30，那么在這次評比中被評為優秀的調查報告有（分數大于或等于80分為優秀且分數為整數）（ ）．
A.18篇
B.24篇
C.25篇
D.27篇
（2021高二下·哈爾濱月考）下列敘述錯誤的是（ ）
A. 互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件
B. 甲 乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為 ，甲獲勝的概率是 ，則甲不輸的概率為
C. 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件
D. 在5件產品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率為
（2021·深圳模擬）某工廠有四條流水線生產同一種產品，這四條流水線的產量分別占總產量的0.20，0.25，0.3，0.25這四條流水線的合格率依次為0.95，0.96，0.97，0.98，現在從出廠產品中任取一件，則恰好抽到不合格的概率是 .
（2021高二下·朝陽期末）為了喚起全民對睡眠重要性的認識，國際精神衛生組織于2001年發起了一項全球性的活動——將每年的3月54日定為“世界睡眠日”.現從某中學初一至高三學生中隨機抽取部分學生進行睡眠質量調查，采用睡眠質量指數量表統計結果如下：
性別 人數 睡眠質量好 睡眠質量一般 睡眠質量差
男 220 99 90 31
女 250 50 120 80
合計 470 149 210 111
假設所有學生睡眠質量的程度是相互獨立的.以調查結果的頻率估計概率，現從該中學男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質量好的概率是 .
（2020高二上·贛縣期末）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是 ，甲獲勝的概率是 ，則乙獲勝的概率是________．
（2021高二下·西青期末）某一大型購物廣場有“喜茶”和"滬上阿姨”兩家奶茶店，某人第一天隨機地選擇一家奶茶店購買奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.7；如果第一天去"滬上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.6．則某人第二天去“喜茶”店購買奶茶的概率 ．
（2021高一下·深圳期末）甲、乙、丙三名射擊運動員中靶概率分別為0.8、0.9、0.7，每人各射擊一次，三人中靶與否互不影響，則三人中至少有一人中靶的概率為
（2021高二下·開封期末）某蔬菜批發商分別在甲、乙兩市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元．現統計該蔬菜在甲、乙兩市場以往100個銷售周期的市場需求量，制成如下頻數分布條形圖．
以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設批發商在下個銷售周期購進 噸該蔬菜，在甲、乙兩市場同時銷售，以 （單位：噸）表示下個銷售周期兩市場的總需求量， （單位：元）表示下個銷售周期兩市場的銷售總利潤．
（1）當 時，求 與 的函數解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；
（2）以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷 與 應選用哪一個．
（2021·海淀期中）每年的4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”.為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數據分成 ， ， ， ， ， ， ， ， 九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求 的值；
（2）為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在 ， ， 三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記日平均閱讀時間在 內的學生人數為 ，求 的分布列；
（3）以調查結果的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取20名學生，用“ ”表示這20名學生中恰有 名學生日平均閱讀時間在 (單位：小時)內的概率，其中 .當 最大時，寫出 的值.(只需寫出結論)
（2021高一下·龍巖期末）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為 乙每輪猜對的概率為 ．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．已知每輪甲、乙同時猜錯的概率為 ，恰有一人猜錯的概率為 .
（1）求 和 ；
（2）若 ，求“星隊”在兩輪活動中猜對 個成語的概率．
（2021·南平模擬）某地區位于甲 乙兩條河流的交匯處，夏季多雨，根據統計資料預測，今年汛期甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.2（假設兩河流發生洪水與否互不影響），今年夏季該地區某工地有許多大型設備，為保護設備，有以下3種方案：方案一：不采取措施，當一條河流發生洪水時，設備將受損，損失30000元.當兩河流同時發生洪水時，設備將受損，損失60000元.方案二：修建保護圍墻，建設費為4000元，但圍墻只能抵御一條河流發生的洪水，當兩河流同時發生洪水時，設備將受損，損失60000元.方案三：修建保護大壩，建設費為9000元，能夠抵御住兩河流同時發生洪水.
（1）求今年甲 乙兩河流至少有一條發生洪水的概率；
（2）從花費的角度考慮，試比較哪一種方案更好，說明理由.
精講答案
【例1】
【答案】C
【解析】對于①，三個球全部放入兩個盒子，有兩種情況：1+2和3+0，故必有一個盒子有一個以上的球，所以該事件是必然事件，①正確；
對于②，x=0時x2=0，所以該事件不是不可能事件，②錯誤；
對于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以該事件是隨機事件，③錯誤；
對于④，“從100個燈泡(含有10個次品)中取出5個，5個全是次品”，發生與否是隨機的，所以該事件是隨機事件，④正確．故正確命題有2個.故選：C．
【練1】
【答案】B
【解析】四個選項都是隨機事件，根據定義只有B選項是一定會發生的，是必然事件.故選：B.
【例2】
【答案】(1).(2)事件與事件的交事件與事件相等.
【解析】(1)對于事件,可能的結果為1個紅球和2個白球或2個紅球和1個白球,故.
(2)對于事件,可能的結果為1個紅球和2個白球,2個紅球和1個白球或3個紅球,故,所以事件與事件的交事件與事件相等.
【練2】
【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)A與B不互斥，A與C不互斥，B與C不互斥
【解析】用H代表“出現正面”,用T代表“出現反面”.
,
,,
.
(1),,
,
.
(2),,
,.
(3),,
,∴A與B不互斥,A與C不互斥,B與C不互斥.
【例3】
【答案】BD
【解析】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，
在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一個紅球和白、黑球各一個不能同時發生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一個白球與至多有一個紅球，能同時發生，故C不成立；
在D中，至少有一個紅球與兩個白球兩個事件不能同時發生，是互斥事件，故D成立；
故選：BD.
【練3】
【答案】D
【解析】對于A，“至少有一個白球”說明有白球，白球的個數可能為1或2，而“都是白球”說明兩個全是白球，這兩個事件可以同時發生，故A不是互斥的；
對于B，當兩球一個白球一個紅球時，“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”均發生，故不互斥；
對于C，“恰有一個白球”，表示黑球個數為0或1，這與“一個白球一個黑球”不互斥；
對于D，“至少一個白球”發生時，“紅 黑球各一個”不會發生，故互斥，但不對立，
故選：D
【例4】
【答案】C
【解析】用表示兩位老師的打分，則的所有可能情況有種.
當時，可取，，共種；
當，，，，，，，時，的取值均有種；
當時，可取，，共種；
綜上可得兩位老師打出的分數之差的絕對值小于或等于的情況有種，
由古典概型的概率公式可得所求概率故選：C.
【練4】
【答案】A
【解析】甲先從袋中摸出一個球，有6種可能的結果，
乙再從袋中摸出一個球，有6種可能的結果
如果按(甲，乙)方法得出總共的結果為：36個
甲、乙兩人所摸出球的編號不同的結果為30個
甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是，
故選：A．
【例5】
【答案】C
【解析】概率的意義就是事件發生的可能性大小，即李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%.故選：C
【練5】
【答案】C
【解析】氣象臺預報“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區面積和降水時間無關,所以A,B錯誤.
降水概率是事件發生的可能,不是一定會發生的事情,所以D錯誤.
而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大,所以C正確.
故選:C.
練習答案
【答案】 C
【考點】頻率分布直方圖，互斥事件的概率加法公式，n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
【解析】解：用頻率估計概率，則該運動員每次射擊命中10環的概率為 ，命中9環的概率為 ，命中8環的概率為 ，
該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環包含4種情況：
①三次10環，概率為： ；
②二次10環一次9環，概率為 ；
③二次10環一次8環，概率為 ；
④一次10環二次9環，概率為 ；
該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環的概率是：
．
故答案為：C．
【分析】 根據題意即可得出：該運動員在3次獨立的射擊中，總環數不少于28環包含4種情況：①三次10環，②二次10環一次9環，③二次10環一次8環，④一次10環二次9環，由此能求出該運動員在3次獨立的射擊中，結合概率的加法公式，代入數值計算出結果即可。
【答案】 D
【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】解：由題意知，第二場結束時，甲比乙少“兩籌”,沒有投中得分的概率為 ，
若甲獲勝，則在第三場甲要比乙多“三籌”，
所以在第三場：乙沒有投中得分，甲投中“貫耳”或“散射”或“雙耳”或“依竿”時，甲才能獲勝，獲勝的概率為 ，
乙投中“有初”，甲投中“散射”或“雙耳”或“依竿"時，甲才能獲勝，獲勝的概率為 ， ,
乙投中“貫耳”或“散射”或“雙耳”，甲投中“依竿”時，甲才能獲勝，獲勝的概率為
三場比賽結束時，甲獲勝的概率為
故答案為：D
【分析】根據相互獨立事件，以及互斥事件的概率直接求解即可.
【答案】 D
【考點】頻率分布直方圖，概率的基本性質
【解析】根據頻率分布直方圖，得出分數大于80分的頻率為1-(0.05+0.15+0.35)=0.45，
所以被評為優秀的調查報告有60×0.45=27篇。
故答案為：D
【分析】利用已知條件結合頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再結合頻率之和等于1，從而求出分數大于80分的頻率，再利用頻數等于頻率乘以樣本容量的公式，從而求出被評為優秀的調查報告的篇數。
【答案】 C
【考點】互斥事件與對立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】對于A選項：互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，它可以同時不發生，對立事件是必有一個發生的互斥事件，A正確，不符合題意；
對于B選項：甲不輸的事件是下成和棋的事件與甲獲勝的事件和，它們互斥，則甲不輸的概率為 ，B正確，不符合題意；
對于C選項：由給定條件知，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事件都含有一紅一黑的兩個球這一基本事件，即它們不互斥，C錯誤，符合題意；
對于D選項：5件產品中任取兩件有10個基本事件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對立事件為“恰兩件一等品”，有3個基本事件，從而所求概率為 ，D正確，不符合題意.
故答案為：C
【分析】根據題意由互斥事件和對立事件的定義即可判斷出選項A正確；由互斥事件的概率公式計算出結果由此判斷出選項B正確；由互斥事件的定義即可判斷出選項C錯誤；由對立事件的概率定義即可判斷出乘除D正確，由此得出答案。
【答案】 0.034
【考點】互斥事件的概率加法公式
【解析】解：根據互斥事件的概率得，所求概率為
0.20×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034
故答案為：0.034
【分析】根據互斥事件的概率公式直接求解即可.
【答案】 0.47
【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】從該中學男生中隨機抽取1人，這個人睡眠質量好的概率為 ，
從該中學女生中隨機抽取1人，這個人睡眠質量好的概率為 ，
因此，該中學男生和女生各隨機抽取1人，二人中恰有一人睡眠質量好的概率是 .
故答案為：0.47.
【分析】根據相互獨立的概率公式求解，即可得出答案。
【答案】
【考點】互斥事件與對立事件
【解析】因為事件“乙獲勝”與事件“兩人下和棋或甲獲勝”互為對立事件，所以乙獲勝的概率 ．
故答案為：
【分析】根據乙獲勝與兩人下和棋或甲獲對立，可得乙獲勝概率等于1減去兩個人合棋的概率，再減去甲獲勝的概率。
【答案】 0.65
【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】某人第二天去“喜茶”店購買奶茶有兩種情況：
第一種情況：第一天選擇去“喜茶”店，第二天選擇去“喜茶”，其概率為： ；
第二種情況：第一天選擇去“滬上阿姨”店，第二天選擇去“喜茶”，其概率為： ；
所以某人第二天去“喜茶”店購買奶茶的概率為 ，
故答案為：0.65.
【分析】由概率公式結合已知條件代入數值計算出結果即可。
【答案】 0.994
【考點】互斥事件與對立事件，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】解：由題意得，甲乙丙三人都不中靶的概率為(1-0.8)(1-0.9)(1-0.7)=0.006，
則甲乙丙三人中至少有一人中靶的概率為P=1-0.006=0.994
故答案為：0.994
【分析】根據獨立事件與對立事件的概率求法直接求解即可
【答案】 （1）由題意得，當 ， ，
當 ， ，
所以
由題意得，一個銷售周期內甲市場需求量為8，9，10的概率分別為0.3，0.4，0.3，乙市場需求量為8，9，10的概率分別為0.2，0.5，0.3，
記銷售的利潤不少于8900元的事件為 ，
當 ， ，
當 ， ，解得 ，
所以 ，
由題意得， ， ，
所以 ．
（2）因為 ， ，可得
①當 時，
②當 時，
因為 ，所以應選 ．
【考點】頻率分布直方圖，互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量的期望與方差
【解析】 (2)首先分2段求出T與X的函數關系式，再利用函數的解析式求得概率；
(2)計算兩個期望比較大小，由此即可得出結論。
【答案】 （1）解：由概率和為1得： ，
解得： .
（2）解：由分層抽樣性質知，從閱讀時間在 中抽取5人，從閱讀時間在 中抽取4人，從閱讀時間在 中抽取1人，
從該10人中抽取3人，則 的可能取值為0,1,2,3，
， ，
， ，
則 的分布列為
0 1 2 3
（3）解：學生日平均閱讀時間在 的概率 ，則 ，
當 時， 最大.
【考點】概率的基本性質，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差
【解析】(1)根據題意由概率的性質即可求出a的值。
(2)根據題意由分層抽樣的定義即可求出X的取值，結合概率公式計算出結果由此得到X的分布列即可。
(3)根據題意由題意求出P的值，再把數值代入到函數計算出結果即可。
【答案】 （1）解：設M表示事件“每輪甲、乙同時猜錯”；N表示事件“恰有一人猜錯”，
，
，
或 ；
（2） 由（1）可知 ，
設 表示事件“甲在兩輪中猜對 個成語”，
表示事件“乙在兩輪中猜對 個成語”， ，
表示“星隊”在兩輪活動中猜對成語的個數”，
由于兩輪猜的結果相互獨立，
所以
，
所以“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為 .
【考點】概率的基本性質，相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】(1)由概率的公式結合概率的性質計算出結果即可。
(2)根據題意即可得出 ， 設出事件由已知條件即可得出X的取值，結合獨立事件的概率公式計算出結果即可。
【答案】 （1）解：由題意，甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.2，
則甲 乙兩條河流均不發生洪水的概率為 ，
所以今年甲 乙兩河流至少有一條發生洪水的概率為
（2）解：設損失費為 .
方案一： 的可能取化為30000，60000，0.
，
，
，
所以 元；
方案二：建圍墻，需要花費4000元，但圍墻只能抵御一條河流發生的洪水，
當兩河流同時發生洪水時，設備將受損，損失60000元，
兩條河流都發生洪水的概率 ，
所以該方案中 元；
方案三：修建保護大壩，建設費為9000元，設備不會受損，方案中的花費為9000元，
因為方案二中損失費用的期望即平均費用最少，所以方案二最好.
【考點】互斥事件與對立事件，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差
【解析】 (1)根據題意先計算出甲、乙兩條河流均不發生洪水的概率，再利用對立事件的概率公式即可求解；
(2)由已知條件即可設損失費為X，分別求出三種方案中的E(X)，E(X)最小值，比較之后即可得出哪個方案最好，從而得出答案。

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