資源簡(jiǎn)介

10.2 事件的相互獨(dú)立性
一、相互獨(dú)立事件的概念
如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．
二、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
1．如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立．
2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的乘積．
三、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
(1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的．
②求出每個(gè)事件的概率，再求積．
(2)使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的．
四、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
求解相互獨(dú)立事件的概率的具體步驟
(1)確定諸事件是否相互獨(dú)立；
(2)確定諸事件是否會(huì)同時(shí)發(fā)生；
(3)先確定每個(gè)事件的概率，再計(jì)算其積．
五、相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用
求較復(fù)雜事件的概率的一般步驟
(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示．
(2)理清事件之間的關(guān)系(兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立的)，列出關(guān)系式．
(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算．
(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．
考點(diǎn)一 相互獨(dú)立事件的判斷
【例1】(多選)(2021·全國(guó)專(zhuān)題練習(xí))下列各對(duì)事件中,不是相互獨(dú)立事件的有( )
A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)”
D．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在B中,甲 乙各射擊一次,“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對(duì)“乙射中9環(huán)”的概率沒(méi)有影響,二者是相互獨(dú)立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)“不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在D中,設(shè)“至少有1人射中目標(biāo)”為事件A,“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B,則,因此當(dāng)時(shí),,故A B不獨(dú)立,故選：ACD
【練1】(2020·全國(guó)專(zhuān)題練習(xí))下列各對(duì)事件中,不是相互獨(dú)立事件的有( )
A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)”
D．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在B中,甲 乙各射擊一次,“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對(duì)“乙射中9環(huán)”的概率沒(méi)有影響,二者是相互獨(dú)立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)“不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在D中,設(shè)“至少有1人射中目標(biāo)”為事件A,“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B,則,因此當(dāng)時(shí),,故A B不獨(dú)立,
故選：ACD
考點(diǎn)二 利用概率判斷互斥對(duì)立事件
【例2】(2021·山東泰安市)在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，發(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．與是互斥事件，也是對(duì)立事件
B．與是互斥事件，也是對(duì)立事件
C．與是互斥事件，但不是對(duì)立事件
D．與是互斥事件，也是對(duì)立事件
【答案】D
【解析】因?yàn)楸舜嘶コ獾氖录l(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，
所以與是互斥事件，但，所以與不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)；
與是互斥事件，但，所以與不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)；
與是互斥事件，且，所以也是對(duì)立事件，故C錯(cuò)；
與是互斥事件，且，
所以也是對(duì)立事件，故D正確.
故選：D.
【練2】(2021·湖南婁底市)下列命題：
①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由題意①中，根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確；②中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；③也不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；④也不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
考點(diǎn)三 相互獨(dú)立事件概率計(jì)算
【例3】(2021·山東菏澤市)甲 乙 丙三人獨(dú)立地去譯一個(gè)密碼,譯出的概率分別,,,則此密碼能被譯出的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用事件A,B,C分別表示甲 乙 丙三人能破譯出密碼,則,,,且.
∴此密碼能被譯出的概率為.故選：C
【練3】(2021·北京房山區(qū)·高一期末)暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.
【答案】
【解析】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對(duì)立事件
為“暑假期間兩人都未外出旅游”，則，
所以.
故答案為：.
課后練習(xí)
（2017·浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度，祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6 ， S6= ．
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：如圖所示，
單位圓的半徑為1，則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，
△AOB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
所以正六邊形ABCDEF的面積為
S6=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案為： ．
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出單位圓的內(nèi)接正六邊形的面積．
（2017·石嘴山模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有380粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為 ．
【答案】 0.38
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：正方形的面積S=1，設(shè)陰影部分的面積為S，
∵隨機(jī)撒1000粒豆子，有380粒落到陰影部分，
∴由幾何槪型的概率公式進(jìn)行估計(jì)得 ，
即S=0.38，
故答案為：0.38．
【分析】根據(jù)幾何槪型的概率意義，即可得到結(jié)論．
（2017高一上·邢臺(tái)期末）如圖，面積為10的矩形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在矩形中隨機(jī)撒一粒種子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 ，則陰影區(qū)域的面積為 ．
【答案】 6
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意， = ，
∴S陰影=10× =6，
故答案為6．
【分析】根據(jù)概率之比等于面積之比可得。
在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，用隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10000個(gè)點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2000個(gè)，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值為 ．
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意，∵在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10000個(gè)點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2000個(gè)，
∴概率P= ，
∵邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的面積為4，
∴不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值為 ．
故答案為：
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值．
如圖所示，分別以A，B，C為圓心，在△ABC內(nèi)作半徑為2的扇形（圖中的陰影部分），在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，如果點(diǎn)P落在陰影內(nèi)的概率為 ， 那么△ABC的面積是 ．
【答案】 6π
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是直角三角形的面積S，
陰影部分的面積S1=π22=2π．
點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P= ．
故S=6π，
故答案為：6π．
【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，先試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是三角形的面積S，然后求出陰影部分的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．
（2016高二上·昌吉期中）如圖所示，分別以A，B，C為圓心，在△ABC內(nèi)作半徑為2的扇形（圖中的陰影部分），在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，如果點(diǎn)P落在陰影內(nèi)的概率為 ，那么△ABC的面積是 ．
【答案】 6π
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是直角三角形的面積S，
陰影部分的面積S1= π22=2π．
點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P= = ．
故S=6π，
故答案為：6π．
【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，先試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是三角形的面積S，然后求出陰影部分的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．
（2017高二上·荊門(mén)期末）由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生2n個(gè)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x1 ， x2 ， …xn ， y1 ， y2 ， …yn ， 構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1 ， y1），（x2y2），…（xn ， yn）其中兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為 ．
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意，n對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，滿足 ，相應(yīng)平面區(qū)域面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足 且
面積為 ，所以 ，得π= ．
故答案為 ．
【分析】利用n對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，滿足 ，相應(yīng)平面區(qū)域面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足 且 ，面積為 ，結(jié)合面積比，即可得出結(jié)論．
（2017·桂林模擬）關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值：先請(qǐng)200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于1 的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來(lái)估計(jì)π的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56，那么可以估計(jì)π≈ ． （用分?jǐn)?shù)表示）
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意，200對(duì)都小于l的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1，
兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為 ﹣ ，
因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與l 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y） 的個(gè)數(shù)m=56，
所以 = ﹣ ，所以π= ．
故答案為： ．
【分析】由試驗(yàn)結(jié)果知200對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為 ﹣ ，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計(jì)π的值．
某公司為了了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶,根據(jù) 用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度的評(píng)分,得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表.A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖
B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表
滿意度評(píng)分分組 [50，60) [50，60) [50,60) [50,60) [50,60)
頻數(shù) 2 8 14 10 6
（1）（I）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖,并通過(guò)此圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分 散 程度.（不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可）
B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖
（2）（II）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,將用戶的滿意度評(píng)分分為三個(gè)等級(jí)：
滿意度評(píng)分 低于70分 70分到89分 不低于90分
滿意度等級(jí) 不滿意 滿意 非常滿意
估計(jì)那個(gè)地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大,說(shuō)明理由.
【答案】 （1）
通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散。
（2）A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，模擬方法估計(jì)概率
【解析】(I)通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散
（II）記CA表示事件A地區(qū)的用戶滿意度等級(jí)為“不滿意”；CB表示事件B地區(qū)的用戶滿意度等級(jí)為“不滿意”，由直方圖得P（CA）的估值為（0.01+0.02+0.03）X10=0.6，P（CB）的估值為（0.005+0.02）X10=0.25
所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.
【分析】本題考查主要內(nèi)容是頻率分布直方圖及應(yīng)用,注意在制作頻率分布直方圖或利用頻率分布直方圖估計(jì)概率時(shí)容易出現(xiàn)的一個(gè)錯(cuò)誤是誤將頻率當(dāng)作縱坐標(biāo)畫(huà)圖錯(cuò)誤或估計(jì)概率錯(cuò)誤,故提醒考生：頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)是頻率/組距,而不是頻率.
某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球的甲箱與裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)，求（1）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；（2）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。。
（1）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；
（2）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】 （1）
（2）說(shuō)法不正確；理由如下，由（1）知所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為。 A 1 a 1 A 2 , a 1 A 2 , a 2 A 1 , a 2 共四種，，所以中獎(jiǎng)的概率為 4 12 = 1 3 ，不中獎(jiǎng)的概率為 1 - 1 3 = 2 3 > 1 3 ,故這種說(shuō)法不正確
【考點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)，模擬方法估計(jì)概率，概率的應(yīng)用
【解析】（1）利用列舉法列出所有可能的結(jié)果即可；II在（1）中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然后利用古典概率公式計(jì)算即可得到其對(duì)應(yīng)的概率，中獎(jiǎng)概率大于不中獎(jiǎng)概率是錯(cuò)誤的；
所有可能的摸出結(jié)果是
（2）不正確，理由如下，由（1）知所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為。共四種，，所以中獎(jiǎng)的概率為 ， 不中獎(jiǎng)的概率為,故這種說(shuō)法不正確
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的．
2．樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無(wú)序的，如(1,2)(2,1)相同．
一份測(cè)試題包括6道選擇題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．如果一個(gè)學(xué)生對(duì)每一道題都隨機(jī)猜一個(gè)答案，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)該學(xué)生至少答對(duì)3道題的概率．
【答案】 解: 我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法來(lái)解決問(wèn)題．利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)．我們用0表示猜的選項(xiàng)正確，1,2,3表示猜的選項(xiàng)錯(cuò)誤，這樣可以體現(xiàn)猜對(duì)的概率是25%.因?yàn)楣膊?道題，所以每6個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．例如，產(chǎn)生25組隨機(jī)數(shù)：
330130　302220　133020　022011　313121　222330
231022　001003　213322　030032　100211　022210
231330　321202　031210　232111　210010　212020
230331　112000　102330　200313　303321　012033
321230
就相當(dāng)于做了25次試驗(yàn)，在每組數(shù)中，如果恰有3個(gè)或3個(gè)以上的數(shù)是0，則表示至少答對(duì)3道題，它們分別是001003,030032,210010,112000，即共有4組數(shù)，我們得到該同學(xué)6道選擇題至少答對(duì)3道題的概率近似為 ＝0.16.
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】利用隨機(jī)模擬方法，估計(jì)概率，即可得出答案。
用隨機(jī)模擬方法求函數(shù) 與x軸和直線x=1圍成的圖形的面積.
【答案】 解:如圖,陰影部分是函數(shù)y= 的圖象與x軸和直線x=1圍成的圖形.設(shè)陰影部分的面積為S.
隨機(jī)模擬的步驟:
⑴利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND;
⑵統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿足條件y< 的點(diǎn)(x,y)的個(gè)數(shù));
⑶計(jì)算頻率 ,即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值;
⑷直線x=1,y=1和x,y軸圍成的正方形面積是1,由幾何概型公式得點(diǎn)落在陰影部分的概率為 =S.
則S≈ ,即陰影部分面積的近似值為 .
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】根據(jù)隨機(jī)模擬的步驟，求出相應(yīng)的面積，即可得出結(jié)論。10.2 事件的相互獨(dú)立性
一、相互獨(dú)立事件的概念
如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．
二、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
1．如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立．
2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的乘積．
三、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
(1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的．
②求出每個(gè)事件的概率，再求積．
(2)使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的．
四、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
求解相互獨(dú)立事件的概率的具體步驟
(1)確定諸事件是否相互獨(dú)立；
(2)確定諸事件是否會(huì)同時(shí)發(fā)生；
(3)先確定每個(gè)事件的概率，再計(jì)算其積．
五、相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用
求較復(fù)雜事件的概率的一般步驟
(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示．
(2)理清事件之間的關(guān)系(兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立的)，列出關(guān)系式．
(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算．
(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．
考點(diǎn)一 相互獨(dú)立事件的判斷
【例1】(多選)(2021·全國(guó)專(zhuān)題練習(xí))下列各對(duì)事件中,不是相互獨(dú)立事件的有( )
A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)”
D．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”
【練1】(2020·全國(guó)專(zhuān)題練習(xí))下列各對(duì)事件中,不是相互獨(dú)立事件的有( )
A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)”
D．甲 乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”
考點(diǎn)二 利用概率判斷互斥對(duì)立事件
【例2】(2021·山東泰安市)在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，發(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．與是互斥事件，也是對(duì)立事件
B．與是互斥事件，也是對(duì)立事件
C．與是互斥事件，但不是對(duì)立事件
D．與是互斥事件，也是對(duì)立事件
【練2】(2021·湖南婁底市)下列命題：
①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考點(diǎn)三 相互獨(dú)立事件概率計(jì)算
【例3】(2021·山東菏澤市)甲 乙 丙三人獨(dú)立地去譯一個(gè)密碼,譯出的概率分別,,,則此密碼能被譯出的概率是( )
A． B． C． D．
【練3】(2021·北京房山區(qū)·高一期末)暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.
課后練習(xí)
（2017·浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度，祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6 ， S6= ．
（2017·石嘴山模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有380粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為 ．
（2017高一上·邢臺(tái)期末）如圖，面積為10的矩形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在矩形中隨機(jī)撒一粒種子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 ，則陰影區(qū)域的面積為 ．
在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，用隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10000個(gè)點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2000個(gè)，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值為 ．
如圖所示，分別以A，B，C為圓心，在△ABC內(nèi)作半徑為2的扇形（圖中的陰影部分），在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，如果點(diǎn)P落在陰影內(nèi)的概率為 ， 那么△ABC的面積是 ．
（2016高二上·昌吉期中）如圖所示，分別以A，B，C為圓心，在△ABC內(nèi)作半徑為2的扇形（圖中的陰影部分），在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，如果點(diǎn)P落在陰影內(nèi)的概率為 ，那么△ABC的面積是 ．
（2017高二上·荊門(mén)期末）由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生2n個(gè)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x1 ， x2 ， …xn ， y1 ， y2 ， …yn ， 構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1 ， y1），（x2y2），…（xn ， yn）其中兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為 ．
（2017·桂林模擬）關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值：先請(qǐng)200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于1 的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來(lái)估計(jì)π的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56，那么可以估計(jì)π≈ ． （用分?jǐn)?shù)表示）
某公司為了了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶,根據(jù) 用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度的評(píng)分,得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表.A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖
B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表
滿意度評(píng)分分組 [50，60) [50，60) [50,60) [50,60) [50,60)
頻數(shù) 2 8 14 10 6
（1）（I）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖,并通過(guò)此圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分 散 程度.（不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可）
B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖
（2）（II）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,將用戶的滿意度評(píng)分分為三個(gè)等級(jí)：
滿意度評(píng)分 低于70分 70分到89分 不低于90分
滿意度等級(jí) 不滿意 滿意 非常滿意
估計(jì)那個(gè)地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大,說(shuō)明理由.
某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球的甲箱與裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)，求（1）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；（2）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。。
（1）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；
（2）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。
一份測(cè)試題包括6道選擇題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．如果一個(gè)學(xué)生對(duì)每一道題都隨機(jī)猜一個(gè)答案，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)該學(xué)生至少答對(duì)3道題的概率．
用隨機(jī)模擬方法求函數(shù) 與x軸和直線x=1圍成的圖形的面積.
精講答案
【例1】
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在B中,甲 乙各射擊一次,“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對(duì)“乙射中9環(huán)”的概率沒(méi)有影響,二者是相互獨(dú)立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)“不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在D中,設(shè)“至少有1人射中目標(biāo)”為事件A,“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B,則,因此當(dāng)時(shí),,故A B不獨(dú)立,故選：ACD
【練1】
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在B中,甲 乙各射擊一次,“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對(duì)“乙射中9環(huán)”的概率沒(méi)有影響,二者是相互獨(dú)立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲 乙都射中目標(biāo)”與“甲 乙都沒(méi)有射中目標(biāo)“不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在D中,設(shè)“至少有1人射中目標(biāo)”為事件A,“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B,則,因此當(dāng)時(shí),,故A B不獨(dú)立,
故選：ACD
【例2】
【答案】D
【解析】因?yàn)楸舜嘶コ獾氖录l(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，
所以與是互斥事件，但，所以與不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)；
與是互斥事件，但，所以與不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)；
與是互斥事件，且，所以也是對(duì)立事件，故C錯(cuò)；
與是互斥事件，且，
所以也是對(duì)立事件，故D正確.
故選：D.
【練2】
【答案】A
【解析】由題意①中，根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確；②中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；③也不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；④也不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【例3】
【答案】C
【解析】用事件A,B,C分別表示甲 乙 丙三人能破譯出密碼,則,,,且.
∴此密碼能被譯出的概率為.故選：C
【練3】
【答案】
【解析】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對(duì)立事件
為“暑假期間兩人都未外出旅游”，則，
所以.
故答案為：.
練習(xí)答案
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：如圖所示，
單位圓的半徑為1，則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，
△AOB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
所以正六邊形ABCDEF的面積為
S6=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案為： ．
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出單位圓的內(nèi)接正六邊形的面積．
【答案】 0.38
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：正方形的面積S=1，設(shè)陰影部分的面積為S，
∵隨機(jī)撒1000粒豆子，有380粒落到陰影部分，
∴由幾何槪型的概率公式進(jìn)行估計(jì)得 ，
即S=0.38，
故答案為：0.38．
【分析】根據(jù)幾何槪型的概率意義，即可得到結(jié)論．
【答案】 6
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意， = ，
∴S陰影=10× =6，
故答案為6．
【分析】根據(jù)概率之比等于面積之比可得。
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意，∵在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10000個(gè)點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2000個(gè)，
∴概率P= ，
∵邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的面積為4，
∴不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值為 ．
故答案為：
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值．
【答案】 6π
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是直角三角形的面積S，
陰影部分的面積S1=π22=2π．
點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P= ．
故S=6π，
故答案為：6π．
【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，先試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是三角形的面積S，然后求出陰影部分的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．
【答案】 6π
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是直角三角形的面積S，
陰影部分的面積S1= π22=2π．
點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P= = ．
故S=6π，
故答案為：6π．
【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，先試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是三角形的面積S，然后求出陰影部分的面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意，n對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，滿足 ，相應(yīng)平面區(qū)域面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足 且
面積為 ，所以 ，得π= ．
故答案為 ．
【分析】利用n對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，滿足 ，相應(yīng)平面區(qū)域面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足 且 ，面積為 ，結(jié)合面積比，即可得出結(jié)論．
【答案】
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】解：由題意，200對(duì)都小于l的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1，
兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為 ﹣ ，
因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與l 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y） 的個(gè)數(shù)m=56，
所以 = ﹣ ，所以π= ．
故答案為： ．
【分析】由試驗(yàn)結(jié)果知200對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y），滿足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面積為 ﹣ ，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，二者相等即可估計(jì)π的值．
【答案】 （1）
通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散。
（2）A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，模擬方法估計(jì)概率
【解析】(I)通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散
（II）記CA表示事件A地區(qū)的用戶滿意度等級(jí)為“不滿意”；CB表示事件B地區(qū)的用戶滿意度等級(jí)為“不滿意”，由直方圖得P（CA）的估值為（0.01+0.02+0.03）X10=0.6，P（CB）的估值為（0.005+0.02）X10=0.25
所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.
【分析】本題考查主要內(nèi)容是頻率分布直方圖及應(yīng)用,注意在制作頻率分布直方圖或利用頻率分布直方圖估計(jì)概率時(shí)容易出現(xiàn)的一個(gè)錯(cuò)誤是誤將頻率當(dāng)作縱坐標(biāo)畫(huà)圖錯(cuò)誤或估計(jì)概率錯(cuò)誤,故提醒考生：頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)是頻率/組距,而不是頻率.
【答案】 （1）
（2）說(shuō)法不正確；理由如下，由（1）知所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為。 A 1 a 1 A 2 , a 1 A 2 , a 2 A 1 , a 2 共四種，，所以中獎(jiǎng)的概率為 4 12 = 1 3 ，不中獎(jiǎng)的概率為 1 - 1 3 = 2 3 > 1 3 ,故這種說(shuō)法不正確
【考點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)，模擬方法估計(jì)概率，概率的應(yīng)用
【解析】（1）利用列舉法列出所有可能的結(jié)果即可；II在（1）中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然后利用古典概率公式計(jì)算即可得到其對(duì)應(yīng)的概率，中獎(jiǎng)概率大于不中獎(jiǎng)概率是錯(cuò)誤的；
所有可能的摸出結(jié)果是
（2）不正確，理由如下，由（1）知所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為。共四種，，所以中獎(jiǎng)的概率為 ， 不中獎(jiǎng)的概率為,故這種說(shuō)法不正確
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的．
2．樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無(wú)序的，如(1,2)(2,1)相同．
【答案】 解: 我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法來(lái)解決問(wèn)題．利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)．我們用0表示猜的選項(xiàng)正確，1,2,3表示猜的選項(xiàng)錯(cuò)誤，這樣可以體現(xiàn)猜對(duì)的概率是25%.因?yàn)楣膊?道題，所以每6個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．例如，產(chǎn)生25組隨機(jī)數(shù)：
330130　302220　133020　022011　313121　222330
231022　001003　213322　030032　100211　022210
231330　321202　031210　232111　210010　212020
230331　112000　102330　200313　303321　012033
321230
就相當(dāng)于做了25次試驗(yàn)，在每組數(shù)中，如果恰有3個(gè)或3個(gè)以上的數(shù)是0，則表示至少答對(duì)3道題，它們分別是001003,030032,210010,112000，即共有4組數(shù)，我們得到該同學(xué)6道選擇題至少答對(duì)3道題的概率近似為 ＝0.16.
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】利用隨機(jī)模擬方法，估計(jì)概率，即可得出答案。
【答案】 解:如圖,陰影部分是函數(shù)y= 的圖象與x軸和直線x=1圍成的圖形.設(shè)陰影部分的面積為S.
隨機(jī)模擬的步驟:
⑴利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù),x1=RAND,y1=RAND;
⑵統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(滿足條件y< 的點(diǎn)(x,y)的個(gè)數(shù));
⑶計(jì)算頻率 ,即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值;
⑷直線x=1,y=1和x,y軸圍成的正方形面積是1,由幾何概型公式得點(diǎn)落在陰影部分的概率為 =S.
則S≈ ,即陰影部分面積的近似值為 .
【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率
【解析】根據(jù)隨機(jī)模擬的步驟，求出相應(yīng)的面積，即可得出結(jié)論。

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