資源簡介

10.3 頻率與概率
一、頻率的穩定性
1．一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
知識點二 游戲公平性的判斷
游戲規則公平的判斷標準
在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的，這就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等．例如：體育比賽中決定發球權的方法應該保證比賽雙方先發球的概率相等，這樣才是公平的；每個人購買彩票中獎的概率應該是相等的，這樣才是公平的；抽簽決定某項事務時，任何一支簽被抽到的概率也是相等的，這樣才是公平的等等．
三、用隨機模擬估計概率
1．利用隨機模擬試驗，只適用于試驗結果是有限個的情形．
2．利用隨機模擬試驗，關鍵是建立好適當的模型．
3．利用隨機模擬的方法估算概率的步驟：一是建立概率模型；二是進行模擬試驗；三是統計計算，隨著模擬的數量的不斷增加，模擬結果就越來越接近概率．
(1)試驗的基本結果是等可能的時，樣本空間即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個樣本點．
(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數．
考法一 頻率與概率的概念區分
【例1】(2021·全國高一課時練習)下列說法正確的有(　　)
①概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值；
②一次試驗中不同的基本事件不可能同時發生；
③任意事件A發生的概率P(A)總滿足0④若事件A的概率趨近于0，即P(A)→0，則事件A是不可能事件.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解析】頻率是較少數據統計的結果，是一種具體的趨勢和規律．在大量重復試驗時，頻率具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增加，這種擺動幅度越來越小，這個常數叫做這個事件的概率．
∴隨機事件A的概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值．∴①正確．
∵基本事件的特點是任意兩個基本事件是互斥的，∴一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發生．∴②正確．
∵必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A發生的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1，∴③錯誤．
若事件A的概率趨近于0，則事件A是小概率事件，∴④錯誤
∴說法正確的有兩個，故選C．
【練1】(2021·全國單元測試)下列說法正確的有(　　)
①隨機事件A的概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值．
②一次試驗中不同的基本事件不可能同時發生．
③任意事件A發生的概率總滿足.
④若事件A的概率為0，則A是不可能事件．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解析】不可能事件的概率為0，但概率為0的事件不一定是不可能事件，如幾何概率中“單點”的長度、面積、體積都是0，但不是不可能事件，∴④不對；拋擲一枚骰子出現1點和出現2點是不同的基本事件，在同一次試驗中，不可能同時發生，故②正確；任意事件A發生的概率P(A)滿足，∴③錯誤；又①正確．∴選C.
考法二 概率的計算
【例2】(2021·全國高一課時練習)今年第一季度在某婦幼醫院出生的男、女嬰人數統計表(單位：人)如表：
月份性別 一 二 三 總計
男嬰 22 19 23 64
女嬰 18 20 21 59
總計 40 39 44 123
則今年第一季度該醫院男嬰的出生頻率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據題意：第一季度的男嬰數為64，嬰兒總數為123，
故該醫院生男嬰的出生頻率為.故選：D.
【練2】(2020·全國高一課時練習)2020年新型冠狀病毒席卷全球，美國是疫情最嚴重的國家，截止2020年6月8日美國確診病例約為200萬人，經過隨機抽樣，從感染人群中抽取1000人進行調查，按照年齡得到如下頻數分布表：
年齡(歲)
頻數 50 a 320 300 80
(Ⅰ)求a的值及這1000例感染人員的年齡的平均數；(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)
(Ⅱ)用頻率估計概率，求感染人群中年齡不小于60歲的概率.
【答案】(Ⅰ)，平均數為52.2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由題意知，
∴，
年齡平均數.
(Ⅱ)1000人中年齡不小于60歲的人有380人，
所以年齡不小于60歲的頻率為，
用頻率估計概率，所以感染人群中年齡不小于60歲的概率為.
考法三 生活中的概率
【例3】(2021·全國高一課時練習)(多選題)張明與李華兩人做游戲,則下列游戲規則中公平的是( )
A．拋擲一枚質地均勻的骰子,向上的點數為奇數則張明獲勝,向上的點數為偶數則李華獲勝
B．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則李華獲勝
C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則李華獲勝
D．張明 李華兩人各寫一個數字6或8,兩人寫的數字相同則張明獲勝,否則李華獲勝
【答案】ACD
【解析】選項A中,向上的點數為奇數與向上的點數為偶數的概率相等,A符合題意;
選項B中,張明獲勝的概率是,而李華獲勝的概率是,故游戲規則不公平,B不符合題意;選項C中,撲克牌是紅色與撲克牌是黑色的概率相等,C符合題意;
選項D中,兩人寫的數字相同與兩人寫的數字不同的概率相等,D符合題意.
故選：ACD
【練3】(2021·全國高一課時練習)一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規定事件A發生則甲獲勝，事件B發生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發生的概率是否相等.
在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結論？為什么？
【答案】支持甲對游戲公平性的判斷，理由見解析
【解析】：當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；
當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7，
根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的.因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.
考法四 隨機模擬
【例4】(2021·全國高一課時練習)用計算機隨機模擬擲骰子的試驗,估計出現點的概率,則下列步驟中不正確的是( )
A．用計算機的隨機函數產生個不同的到之間的取整數值的隨機數,如果,我們認為出現點.
B．我們通常用計數器記錄做了多少次擲骰子試驗,用計數器記錄其中有多少次出現點,置,.
C．每做一次試驗,若出現點,則的值加,即,否則的值保持不變.
D．程序結束,出現點的頻率作為數率的近似值.
【答案】A
【解析】計算器隨機函數或計算機隨機函數產生的是到之間的整數(包括),共個整數.故選: A.
【練4】(2021·河南)農歷正月初一是春節，俗稱“過年”，是我國最隆重、最熱鬧的傳統節日.家家戶戶張貼春聯，歡度春節，其中“?！弊质潜夭豢缮俚姆叫未郝?如圖，該方形春聯為邊長是的正方形，為了估算“?！弊值拿娣e，隨機在正方形內撒100顆大豆，假設大豆落在正方形內每個點的概率相同，如果落在“?！弊滞獾挠?5顆，則“?！弊值拿娣e約為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設“福”字的面積為，
根據幾何概型可知，解得.故選：B.
課后練習
1.（2018高二上·南寧月考）分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區域所示，若向該正方形內隨機投一點，則該點落在陰影區域的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考點】模擬方法估計概率
【解析】設正方形的邊長為 ，那么圖中陰影的面積應為 ，而正方形的面積是 ，所以若向該正方形內隨機投一點，則該點落在陰影區域的概率為 ，
故答案為：B.
【分析】則點落在陰影區域的概率為： 圖中陰影的面積/正方形的面積。
2.（2018高二下·甘肅期末）“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲1000個點，己知恰有400個點落在陰影部分，據此可估計陰影部分的面積是（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D. 15
【答案】 C
【考點】模擬方法估計概率
【解析】設陰影部分的面積是s，由題意得 ，
故答案為：C.
【分析】結合幾何概率的計算公式，陰影部分的面積所占比大致等于隨機點的概率，即可得出答案。
3.（2017高二下·夏縣期末）某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規定猜中者為勝，如果你在該游戲中，猜得珠子從口3出來，那么你取勝的概率為（ ）
A. B. C. D. 都不對
【答案】 A
【考點】模擬方法估計概率
【解析】所求的概率為 ,故選A.
【分析】分析可得從A到3總共有5個岔口，每一岔口走法的概率都是 ， 而從A到3總共有C52=10種走法，計算可得答案．
4.下列關于用轉盤進行隨機模擬的說法中正確的是( )
A. 旋轉的次數的多少不會影響估計的結果 B. 旋轉的次數越多，估計的結果越精確
C. 旋轉時可以按規律旋轉 D. 轉盤的半徑越大，估計的結果越精確
【答案】 B
【考點】模擬方法估計概率
【解析】旋轉時要無規律旋轉，否則估計的結果與實際有較大的誤差，所以C不正確；轉盤的半徑與估計的結果無關，所以D不正確；旋轉的次數越多，估計的結果越精確，所以A不正確．
故答案為：B
【分析】利用旋轉時要無規律旋轉，轉盤的半徑與估計的結果無關，旋轉的次數越多，估計的結果越精確，分別判斷，即可得出結論。
5.（2019·凌源模擬）如圖，在直角坐標系 中，過坐標原點 作曲線 的切線，切點為 ，過點 分別作 軸的垂線，垂足分別為 ，向矩形 中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考點】模擬方法估計概率
【解析】設切點 ，
所以切線方程 ，又因為過原點
所以 解得
所以點P
因為 與 軸在 圍成的面積是
則陰影部分的面積為
而矩形 的面積為
故向矩形 中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為
故答案為：A
【分析】由題意，利用模擬方法根據題中數據可得所求概率 .
生活在湖邊的漁民為了方便而快速地知道湖中有多少條魚，常用一種稱為“標記后再捕”的方法．先從湖中隨意捕捉一定數量的魚，例如1 000條魚，在每條魚的身上作記號后又放回湖中；隔了一定時間后，再從湖中捕捉一定數量的魚，例如300條魚，查看其中有多少條有標記的魚，假設有20條有標記，估計湖中魚的總數．
【答案】 解：設湖中魚大約由x條，
則有 = ，
得x=15000條，
經檢驗x=15000是方程的解．
答：湖中魚大約有15000條．
【考點】模擬方法估計概率
【解析】第二次捕撈魚共300條，有20條做了記號，即有記號的魚占到總數的 ， 然后根據一共1000條做了記號，來估算總數．
用計算機模擬方法估計：從區間（0，1）內任取兩個數，這兩個數的和大于的概率．
【答案】 解：區間（0，1）內任取兩個實數記為（x，y），則點對應的平面區域為下圖所示的正方形，
其中滿足兩個實數的和大于 ， 即x+y＞的平面區域如下圖中橘色部分所示：
其中正方形面積S=1，陰影部分面積S=1﹣ =
∴從區間（0，1）內任取兩個數，這兩個數的和大于的概率為=0.875
【考點】模擬方法估計概率
【解析】在區間（0，1）內任取兩個實數，確定該基本事件對應的平面區域的大小，再求了滿足條件兩個實數的和大于對應的平面區域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．
8. （2016高一下·衡陽期中）設O為坐標原點，點P的坐標（x﹣2，x﹣y）
（1）在一個盒子中，放有標號為1，2，3的三張卡片，現從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標號分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用計算機隨機在[0，3]上先后取兩個數分別記為x，y，求P點在第一象限的概率．
【答案】 （1）解：記抽到的卡片標號為（x，y），所有的情況分別為，
（x，y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
P（x﹣2，x﹣y） （﹣1，0） （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （0，1） （0，0） （0，﹣1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP| 1 1 0 1 1
共9種．由表格可知|OP|的最大值為
設事件A為“|OP|取到最大值”，則滿足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）兩種情況，
∴
（2）解：設事件B為“P點在第一象限”
若 ，其所表示的區域面積為3×3=9，
由題意可得事件B滿足 ，
即如圖所示的陰影部分，
其區域面積為
∴
【考點】等可能事件的概率，模擬方法估計概率
【解析】（1）記先后抽到的兩張卡片的標號為（x，y），列出所有情形，然后分別求出|OP|的值，從而得到最大值；（2）求出點P落在第一象限所構成區域的面積，然后求出基本事件空間所表示的區域的面積，計算出二者的比值即可．
10. （2018高二下·牡丹江月考）如圖，面積為 的正方形 中有一個不規則的圖形 ，可按下面方法估計 的面積：在正方形 中隨機投擲 個點，若 個點中有 個點落入 中，則 的面積的估計值為 ，假設正方形 的邊長為2， 的面積為1，并向正方形 中隨機投擲 個點，以 表示落入 中的點的數目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估計 的面積時， 的面積的估計值與實際值之差在區間 內的概率．
附表：
【答案】 解：（I） （II）依題意所求概率為 ，
【考點】模擬方法估計概率
【解析】（I）X服從二項分布， EX=np;（II）有題意可得242511. 為了了解某校高一學生體能情況，抽取200位同學進行1分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后畫出頻率分布直方圖（如圖所示），請回答下列問題：
（1）次數在100～110之間的頻率是多少？
（2）若次數在110以上為達標，試估計該校全體高一學生的達標率是多少？
（3）根據頻率分布直方圖估計，學生跳繩次數的平均數是多少？
【答案】 （1）∵第二組面積為0.02×10=0.2，
∴次數在100～110之間的頻率是0.2．
∵第二小組頻數為12；
（2）∵次數在110以上（含110次）為達標，
∴高一學生的達標率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的學生達標．
（3）根據頻率分布直方圖估計，學生跳繩次數的平均數是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考點】模擬方法估計概率
【解析】（1）根據第二組小矩形的面積，做出第二組的頻率．
（2）從頻率分步直方圖中看出次數子啊110以上的頻數，用頻數除以樣本容量得到達標率，進而估計高一全體學生的達標率．
（3）將每組的組中值乘以該組的頻率即可求出學生跳繩次數的平均數．
12. 某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球A1, A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎。
（1）用球的標號列出所有可能的摸出結果；
（2）有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由。
【答案】 （1）{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
（2）說法不正確
【考點】模擬方法估計概率
【解析】(I)利用列舉法列出所有可能的結果即可: (II)在(I)中摸出的2個球都是紅球的結果數，然后利用古典概率公式計算即可得到其對應的概率，中獎概率大于不中獎概率是錯誤的，試題解析:(I)所有可能的摸出結果是:
{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
(II)不正確, 理由如下，由(I)知，所有可能的摸出結果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結果為{A1 ， a1},{A1, a2}，{A2, a1}, {A2, a2},共4種，所以中獎的概率為,不中獎的概率為1-=>
這種說法不正確.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的．
2．樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同．
13. （2012·北京）近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）；
“廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
廚余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；
（3）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．當數據a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值（結論不要求證明），并求此時s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 為數據x1 ， x2 ， …，xn的平均數）
【答案】 （1）解：由題意可知：廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故廚余垃圾投放正確的概率為
（2）解：由題意可知：生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放錯誤的概率為
（3）解：由題意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均數為200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2 ， 因此有當a=600，b=0，c=0時，有s2=80000
【考點】極差、方差與標準差，模擬方法估計概率
【解析】（1）廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故可求廚余垃圾投放正確的概率；（2）生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放錯誤的概率；（3）計算方差可得 = ，因此有當a=600，b=0，c=0時，有s2=80000．10.3 頻率與概率
一、頻率的穩定性
1．一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．
知識點二 游戲公平性的判斷
游戲規則公平的判斷標準
在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的，這就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等．例如：體育比賽中決定發球權的方法應該保證比賽雙方先發球的概率相等，這樣才是公平的；每個人購買彩票中獎的概率應該是相等的，這樣才是公平的；抽簽決定某項事務時，任何一支簽被抽到的概率也是相等的，這樣才是公平的等等．
三、用隨機模擬估計概率
1．利用隨機模擬試驗，只適用于試驗結果是有限個的情形．
2．利用隨機模擬試驗，關鍵是建立好適當的模型．
3．利用隨機模擬的方法估算概率的步驟：一是建立概率模型；二是進行模擬試驗；三是統計計算，隨著模擬的數量的不斷增加，模擬結果就越來越接近概率．
(1)試驗的基本結果是等可能的時，樣本空間即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個樣本點．
(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數．
考法一 頻率與概率的概念區分
【例1】(2021·全國高一課時練習)下列說法正確的有(　　)
①概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值；
②一次試驗中不同的基本事件不可能同時發生；
③任意事件A發生的概率P(A)總滿足0④若事件A的概率趨近于0，即P(A)→0，則事件A是不可能事件.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【練1】(2021·全國單元測試)下列說法正確的有(　　)
①隨機事件A的概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值．
②一次試驗中不同的基本事件不可能同時發生．
③任意事件A發生的概率總滿足.
④若事件A的概率為0，則A是不可能事件．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
考法二 概率的計算
【例2】(2021·全國高一課時練習)今年第一季度在某婦幼醫院出生的男、女嬰人數統計表(單位：人)如表：
月份性別 一 二 三 總計
男嬰 22 19 23 64
女嬰 18 20 21 59
總計 40 39 44 123
則今年第一季度該醫院男嬰的出生頻率是( )
A． B． C． D．
【練2】(2020·全國高一課時練習)2020年新型冠狀病毒席卷全球，美國是疫情最嚴重的國家，截止2020年6月8日美國確診病例約為200萬人，經過隨機抽樣，從感染人群中抽取1000人進行調查，按照年齡得到如下頻數分布表：
年齡(歲)
頻數 50 a 320 300 80
(Ⅰ)求a的值及這1000例感染人員的年齡的平均數；(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)
(Ⅱ)用頻率估計概率，求感染人群中年齡不小于60歲的概率.
考法三 生活中的概率
【例3】(2021·全國高一課時練習)(多選題)張明與李華兩人做游戲,則下列游戲規則中公平的是( )
A．拋擲一枚質地均勻的骰子,向上的點數為奇數則張明獲勝,向上的點數為偶數則李華獲勝
B．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則李華獲勝
C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則李華獲勝
D．張明 李華兩人各寫一個數字6或8,兩人寫的數字相同則張明獲勝,否則李華獲勝
【練3】(2021·全國高一課時練習)一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規定事件A發生則甲獲勝，事件B發生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發生的概率是否相等.
在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結論？為什么？
考法四 隨機模擬
【例4】(2021·全國高一課時練習)用計算機隨機模擬擲骰子的試驗,估計出現點的概率,則下列步驟中不正確的是( )
A．用計算機的隨機函數產生個不同的到之間的取整數值的隨機數,如果,我們認為出現點.
B．我們通常用計數器記錄做了多少次擲骰子試驗,用計數器記錄其中有多少次出現點,置,.
C．每做一次試驗,若出現點,則的值加,即,否則的值保持不變.
D．程序結束,出現點的頻率作為數率的近似值.
【練4】(2021·河南)農歷正月初一是春節，俗稱“過年”，是我國最隆重、最熱鬧的傳統節日.家家戶戶張貼春聯，歡度春節，其中“?！弊质潜夭豢缮俚姆叫未郝?如圖，該方形春聯為邊長是的正方形，為了估算“福”字的面積，隨機在正方形內撒100顆大豆，假設大豆落在正方形內每個點的概率相同，如果落在“福”字外的有65顆，則“?！弊值拿娣e約為( )
A． B． C． D．
課后練習
1.（2018高二上·南寧月考）分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區域所示，若向該正方形內隨機投一點，則該點落在陰影區域的概率為（ ）
A. B. C. D.
2.（2018高二下·甘肅期末）“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲1000個點，己知恰有400個點落在陰影部分，據此可估計陰影部分的面積是（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D. 15
3.（2017高二下·夏縣期末）某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規定猜中者為勝，如果你在該游戲中，猜得珠子從口3出來，那么你取勝的概率為（ ）
A. B. C. D. 都不對
4.下列關于用轉盤進行隨機模擬的說法中正確的是( )
A. 旋轉的次數的多少不會影響估計的結果 B. 旋轉的次數越多，估計的結果越精確
C. 旋轉時可以按規律旋轉 D. 轉盤的半徑越大，估計的結果越精確
5.（2019·凌源模擬）如圖，在直角坐標系 中，過坐標原點 作曲線 的切線，切點為 ，過點 分別作 軸的垂線，垂足分別為 ，向矩形 中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（ ）
A. B. C. D.
生活在湖邊的漁民為了方便而快速地知道湖中有多少條魚，常用一種稱為“標記后再捕”的方法．先從湖中隨意捕捉一定數量的魚，例如1 000條魚，在每條魚的身上作記號后又放回湖中；隔了一定時間后，再從湖中捕捉一定數量的魚，例如300條魚，查看其中有多少條有標記的魚，假設有20條有標記，估計湖中魚的總數．
用計算機模擬方法估計：從區間（0，1）內任取兩個數，這兩個數的和大于的概率．
8. （2016高一下·衡陽期中）設O為坐標原點，點P的坐標（x﹣2，x﹣y）
（1）在一個盒子中，放有標號為1，2，3的三張卡片，現從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標號分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用計算機隨機在[0，3]上先后取兩個數分別記為x，y，求P點在第一象限的概率．
9. （2018高二下·牡丹江月考）如圖，面積為 的正方形 中有一個不規則的圖形 ，可按下面方法估計 的面積：在正方形 中隨機投擲 個點，若 個點中有 個點落入 中，則 的面積的估計值為 ，假設正方形 的邊長為2， 的面積為1，并向正方形 中隨機投擲 個點，以 表示落入 中的點的數目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估計 的面積時， 的面積的估計值與實際值之差在區間 內的概率．
附表：
10. 為了了解某校高一學生體能情況，抽取200位同學進行1分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后畫出頻率分布直方圖（如圖所示），請回答下列問題：
（1）次數在100～110之間的頻率是多少？
（2）若次數在110以上為達標，試估計該校全體高一學生的達標率是多少？
（3）根據頻率分布直方圖估計，學生跳繩次數的平均數是多少？
11. 某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球A1, A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎。
（1）用球的標號列出所有可能的摸出結果；
（2）有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由。
12.（2012·北京）近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）；
“廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
廚余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；
（3）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．當數據a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值（結論不要求證明），并求此時s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 為數據x1 ， x2 ， …，xn的平均數）
精講答案
【例1】
【答案】C
【解析】頻率是較少數據統計的結果，是一種具體的趨勢和規律．在大量重復試驗時，頻率具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增加，這種擺動幅度越來越小，這個常數叫做這個事件的概率．
∴隨機事件A的概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值．∴①正確．
∵基本事件的特點是任意兩個基本事件是互斥的，∴一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發生．∴②正確．
∵必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A發生的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1，∴③錯誤．
若事件A的概率趨近于0，則事件A是小概率事件，∴④錯誤
∴說法正確的有兩個，故選C．
【練1】
【答案】C
【解析】不可能事件的概率為0，但概率為0的事件不一定是不可能事件，如幾何概率中“單點”的長度、面積、體積都是0，但不是不可能事件，∴④不對；拋擲一枚骰子出現1點和出現2點是不同的基本事件，在同一次試驗中，不可能同時發生，故②正確；任意事件A發生的概率P(A)滿足，∴③錯誤；又①正確．∴選C.
【例2】
【答案】D
【解析】根據題意：第一季度的男嬰數為64，嬰兒總數為123，
故該醫院生男嬰的出生頻率為.故選：D.
【練2】
【答案】(Ⅰ)，平均數為52.2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由題意知，
∴，
年齡平均數.
(Ⅱ)1000人中年齡不小于60歲的人有380人，
所以年齡不小于60歲的頻率為，
用頻率估計概率，所以感染人群中年齡不小于60歲的概率為.
【例3】
【答案】ACD
【解析】選項A中,向上的點數為奇數與向上的點數為偶數的概率相等,A符合題意;
選項B中,張明獲勝的概率是,而李華獲勝的概率是,故游戲規則不公平,B不符合題意;選項C中,撲克牌是紅色與撲克牌是黑色的概率相等,C符合題意;
選項D中,兩人寫的數字相同與兩人寫的數字不同的概率相等,D符合題意.
故選：ACD
【練3】
【答案】支持甲對游戲公平性的判斷，理由見解析
【解析】：當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；
當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7，
根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的.因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.
【例4】
【答案】A
【解析】計算器隨機函數或計算機隨機函數產生的是到之間的整數(包括),共個整數.故選: A.
【練4】
【答案】B
【解析】設“?！弊值拿娣e為，
根據幾何概型可知，解得.故選：B.
練習答案
【答案】 B
【考點】模擬方法估計概率
【解析】設正方形的邊長為 ，那么圖中陰影的面積應為 ，而正方形的面積是 ，所以若向該正方形內隨機投一點，則該點落在陰影區域的概率為 ，
故答案為：B.
【分析】則點落在陰影區域的概率為： 圖中陰影的面積/正方形的面積。
【答案】 C
【考點】模擬方法估計概率
【解析】設陰影部分的面積是s，由題意得 ，
故答案為：C.
【分析】結合幾何概率的計算公式，陰影部分的面積所占比大致等于隨機點的概率，即可得出答案。
【答案】 A
【考點】模擬方法估計概率
【解析】所求的概率為 ,故選A.
【分析】分析可得從A到3總共有5個岔口，每一岔口走法的概率都是 ， 而從A到3總共有C52=10種走法，計算可得答案．
【答案】 B
【考點】模擬方法估計概率
【解析】旋轉時要無規律旋轉，否則估計的結果與實際有較大的誤差，所以C不正確；轉盤的半徑與估計的結果無關，所以D不正確；旋轉的次數越多，估計的結果越精確，所以A不正確．
故答案為：B
【分析】利用旋轉時要無規律旋轉，轉盤的半徑與估計的結果無關，旋轉的次數越多，估計的結果越精確，分別判斷，即可得出結論。
【答案】 A
【考點】模擬方法估計概率
【解析】設切點 ，
所以切線方程 ，又因為過原點
所以 解得
所以點P
因為 與 軸在 圍成的面積是
則陰影部分的面積為
而矩形 的面積為
故向矩形 中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為
故答案為：A
【分析】由題意，利用模擬方法根據題中數據可得所求概率 .
【答案】 解：設湖中魚大約由x條，
則有 = ，
得x=15000條，
經檢驗x=15000是方程的解．
答：湖中魚大約有15000條．
【考點】模擬方法估計概率
【解析】第二次捕撈魚共300條，有20條做了記號，即有記號的魚占到總數的 ， 然后根據一共1000條做了記號，來估算總數．
【答案】 解：區間（0，1）內任取兩個實數記為（x，y），則點對應的平面區域為下圖所示的正方形，
其中滿足兩個實數的和大于 ， 即x+y＞的平面區域如下圖中橘色部分所示：
其中正方形面積S=1，陰影部分面積S=1﹣ =
∴從區間（0，1）內任取兩個數，這兩個數的和大于的概率為=0.875
【考點】模擬方法估計概率
【解析】在區間（0，1）內任取兩個實數，確定該基本事件對應的平面區域的大小，再求了滿足條件兩個實數的和大于對應的平面區域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．
【答案】 （1）解：記抽到的卡片標號為（x，y），所有的情況分別為，
（x，y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
P（x﹣2，x﹣y） （﹣1，0） （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （0，1） （0，0） （0，﹣1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP| 1 1 0 1 1
共9種．由表格可知|OP|的最大值為
設事件A為“|OP|取到最大值”，則滿足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）兩種情況，
∴
（2）解：設事件B為“P點在第一象限”
若 ，其所表示的區域面積為3×3=9，
由題意可得事件B滿足 ，
即如圖所示的陰影部分，
其區域面積為
∴
【考點】等可能事件的概率，模擬方法估計概率
【解析】（1）記先后抽到的兩張卡片的標號為（x，y），列出所有情形，然后分別求出|OP|的值，從而得到最大值；（2）求出點P落在第一象限所構成區域的面積，然后求出基本事件空間所表示的區域的面積，計算出二者的比值即可．
【答案】 解：（I） （II）依題意所求概率為 ，
【考點】模擬方法估計概率
【解析】（I）X服從二項分布， EX=np;（II）有題意可得2425【答案】 （1）∵第二組面積為0.02×10=0.2，
∴次數在100～110之間的頻率是0.2．
∵第二小組頻數為12；
（2）∵次數在110以上（含110次）為達標，
∴高一學生的達標率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的學生達標．
（3）根據頻率分布直方圖估計，學生跳繩次數的平均數是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考點】模擬方法估計概率
【解析】（1）根據第二組小矩形的面積，做出第二組的頻率．
（2）從頻率分步直方圖中看出次數子啊110以上的頻數，用頻數除以樣本容量得到達標率，進而估計高一全體學生的達標率．
（3）將每組的組中值乘以該組的頻率即可求出學生跳繩次數的平均數．
【答案】 （1）{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
（2）說法不正確
【考點】模擬方法估計概率
【解析】(I)利用列舉法列出所有可能的結果即可: (II)在(I)中摸出的2個球都是紅球的結果數，然后利用古典概率公式計算即可得到其對應的概率，中獎概率大于不中獎概率是錯誤的，試題解析:(I)所有可能的摸出結果是:
{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
(II)不正確, 理由如下，由(I)知，所有可能的摸出結果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結果為{A1 ， a1},{A1, a2}，{A2, a1}, {A2, a2},共4種，所以中獎的概率為,不中獎的概率為1-=>
這種說法不正確.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的．
2．樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同．
【答案】 （1）解：由題意可知：廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故廚余垃圾投放正確的概率為
（2）解：由題意可知：生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放錯誤的概率為
（3）解：由題意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均數為200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2 ， 因此有當a=600，b=0，c=0時，有s2=80000
【考點】極差、方差與標準差，模擬方法估計概率
【解析】（1）廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故可求廚余垃圾投放正確的概率；（2）生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放錯誤的概率；（3）計算方差可得 = ，因此有當a=600，b=0，c=0時，有s2=80000．

展開更多......

收起↑