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第6章 重難點專項突破
重難點突破一 豎直面內的圓周運動
1.豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
如圖，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，二者運動規律相同，現以甲圖為例.
(1)最低點動力學方程：FT1－mg＝m；所以FT1＝mg＋m
(2)最高點動力學方程：FT2＋mg＝m；所以FT2＝m－mg
(3)最高點的最小速度：由于繩不可能對球有向上的支持力，只能產生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，當FT2＝0時，v2最小，最小速度為v2＝.
討論：當v2＝時，拉力或壓力為零.
當v2>時，小球受向下的拉力或壓力.
當v2<時，小球不能到達最高點.
2.豎直面內圓周運動的輕桿(管)模型
如圖，細桿上固定的小球和光滑管形軌道內運動的小球在重力和桿(管道)的彈力作用下做圓周運動.
(1)最高點的最小速度
由于桿和管在最高點處能對小球產生向上的支持力，故小球恰能到達最高點的最小速度v＝0，此時小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通過最高點時，軌道對小球的彈力情況
①v>，桿或管的外側對球產生向下的拉力或彈力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F隨v 增大而增大；
②v＝，球在最高點只受重力，不受桿或管的作用力，F＝0，mg＝m；
③0二、圓周運動的臨界問題
物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態，分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的變化，找出臨界狀態.
通常碰到較多的是涉及如下三種力的作用：
(1)與繩的彈力有關的臨界條件：繩彈力恰好為0.
(2)與支持面彈力有關的臨界條件：支持力恰好為0.
(3)因靜摩擦力而產生的臨界問題：靜摩擦力達到最大值.
考點一：豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
【例1】如圖，輕繩拴著質量為m的物體，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，下列說法正確的是（ ）
A．小球過最高點時的最小速度是0
B．小球過最高點時，繩子拉力可以為零
C．若將輕繩換成輕桿，則小球過最高點時，輕桿對小球的作用力不可以與小球所受重力大小相等，方向相反
D．若將輕繩換成輕桿，則小球過最高點時的最小速度是
【變式練習】
1．如圖所示，長為L的輕繩一端系一質量為m的小球A，另一端固定于O點，當繩豎直時小球靜止。現給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內做圓周運動，且剛好能過最高點，重力加速度為g，則（　　）
A．小球過最高點時，速度可能為零
B．小球過最高點時，繩的拉力為mg
C．開始運動時，繩的拉力為m
D．小球過最高點時，速度大小為
2．如圖所示，細繩的一端固定在懸點O，細繩的另一端連接一個小球，小球繞O點在豎直平面內沿順時針方向做完整的圓周運動。當小球運動到最高點P時，突然剪斷細繩，則關于小球以后運動的大致軌跡，下列說法正確的是（不計空氣阻力）（　　）
A．小球的運動軌跡可能是1 B．小球的運動軌跡可能是2
C．小球的運動軌跡可能是3 D．小球沿著原來的運動軌跡運動到Q點后，再豎直向下運動
考點二：豎直面內圓周運動的輕桿(管)模型
【例2】如圖所示，內壁光滑的細圓管用輕桿固定在豎直平面內，其質量為0.22kg，半徑為0.5m。質量為0.1kg的小球，其直徑略小于細圓管的內徑，小球運動到圓管最高點時，桿對圓管的作用力為零，重力加速度的值取。則小球在最高點的速度大小為（ ）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
【變式練習】
1．一輕桿一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直平面內作半徑為R的圓周運動，如圖所示，則（　　）
A．小球過最高點時，桿所受彈力一定不為零
B．小球過最高點時的最小速度是
C．小球過最高點時，桿的彈力可以向上，此時桿對球的作用力一定不大于重力
D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
2．長為0.5m的輕桿繞O點在豎直平面內做圓周運動，另一端連著一個質量為1kg的小球。某時刻經過最高點時，桿的角速度，則（　　）
A．小球受到拉力為5N B．桿受到拉力為5N
C．小球受到壓力為5N D．桿受到壓力為5N
考點三：臨界問題
【例3】如圖所示裝置可繞豎直軸OO′轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，當細線AB沿水平方向繃直時，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球的質量m=1 kg，細線AC長L=0.5m，AB能承受的最大拉力為22.5N。（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若裝置勻速轉動，細線AB剛好被拉直成水平狀態，求此時的角速度ω1的大小；
（2）若裝置勻速轉動的角速度ω2=8rad/s，求細線AB和AC上的拉力大小TAB、TAC；
（3）若裝置勻速轉動的角速度ω3=15rad/s，求系統穩定轉動后細線AC上的拉力大小T'AC。
【變式練習】
1．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺以一定角速度ω勻速轉動。一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°。重力加速度的大小為g。
（1）若，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求。
（2）若，求小物塊受到的摩擦力大小和方向。
2．圖1是某游樂場中水上過山車的實物圖片，圖2是其原理示意圖。在原理圖中半徑為R=8m的圓形軌道固定在離水面高h=3.2m的水平平臺上，圓軌道與水平平臺相切于A點，A、B分別為圓形軌道的最低點和最高點。過山車（實際是一艘帶輪子的氣墊小船，可視作質點）高速行駛，先后會通過多個圓形軌道，然后從A點離開圓軌道而進入光滑的水平軌道AC，最后從C點水平飛出落入水中，整個過程刺激驚險，受到很多年輕人的喜愛。已知水面寬度為s=12m，假設運動中不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，結果可保留根號。
（1）若過山車恰好能通過圓形軌道的最高點B，則其在B點的速度為多大？
（2）為使過山車安全落入水中，則過山車在C點的最大速度為多少？
一、單選題
1．如圖所示，一輕桿一端固定一質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內做半徑為r的圓周運動。以下說法正確的是（　　）
A．小球過最高點時，桿受力不可以是零
B．小球過最高點時的最小速率為
C．小球過最高點時，桿對球的作用力可以豎直向上，此時球受到的重力一定大于桿對球的作用力
D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定豎直向下
2．如圖所示，懸線一端系一小球，另一端固定于點，在點正下方的點釘一個釘子，使懸線拉緊與豎直方向成一角度，然后由靜止釋放小球，當懸線碰到釘子時，下列說法正確的是（　　）
①小球的瞬時速度突然變大 ②小球的加速度突然變大
③小球所需的向心力突然變大 ④懸線所受的拉力突然變大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
3．如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為FT，小球在最高點的速度大小為v，其FT-v2圖像如圖乙所示，則（　　）
A．數據a與小球的質量無關
B．當地的重力加速度為
C．當v2＝c時，輕質繩的拉力大小為
D．當v2＝2b時，小球受到的拉力與重力大小相等
4．如圖所示，一個內壁光滑的彎管處于豎直平面內，其中管道半徑為R。現有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管內運動，小球通過最高點時的速率為v0，重力加速度為g，則下列說法中正確的是（　　）
A．若，則小球對管內上壁有壓力
B．若，則小球對管內下壁有壓力
C．若，則小球對管內下壁有壓力
D．不論v0多大，小球對管內下壁都有壓力
5．如圖所示，質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環內側做圓周運動。圓環半徑為R，小球半徑不計，小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時下列表述不正確的是（重力加速度為g）（　　）
A．小球對圓環的壓力大小等于mg
B．重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力
C．小球的線速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
6．火車轉彎時，如果鐵路彎道的內、外軌一樣高，則外軌對輪緣（如圖所示）擠壓的彈力F提供了火車轉彎的向心力（如圖中所示），但是靠這種辦法得到向心力，鐵軌和車輪極易受損。在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌（如圖所示），當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的側向擠壓，設此時的速度大小為v，重力加速度為g，以下說法中正確的是（　　）
A．該彎道的半徑
B．當火車質量改變時，規定的行駛速度也將改變
C．當火車速率小于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
D．分別按規定速度v和大于速度v行駛時，火車所受的支持力不相等
7．天花板下懸掛的輕質光滑小圓環P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉。一根輕繩穿過P，兩端分別連接質量為m1和m2的小球A、B（m1 ≠ m2）。設兩球同時做如圖所示的圓錐擺運動，且在任意時刻兩球均在同一水平面內，則（ ）
A．球A、B運動的周期之比等于m2：m1
B．兩球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距離之比等于m2：m1
D．球A、B運動的線速度之比等于m2：m1
8．如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，從B點脫離后做平拋運動，經過后又恰好垂直與傾角為的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑，小球可看作質點且其質量為，g取。則（　　）
A．小球經過管道的B點時，受到下管道的作用力的大小是
B．小球經過管道的B點時，受到上管道的作用力的大小是
C．小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是
D．小球在斜面上的相碰點C與B點的豎直距離是
二、多選題
9．如圖所示是飼養員在池塘堤壩邊緣投放顆粒狀魚飼料的示意圖，飼料顆粒從圓弧形滑道OA滑下，然后在滑道末端A點以水平速度v0拋出，落到傾角為θ的斜坡AB上或水面上，不計空氣阻力，則（　　）
A．若飼料顆粒在O點時的速度加倍，則其在O點對軌道的壓力變為原來的4倍
B．若飼料顆粒在A點時的速度加倍，則其在A點對軌道的壓力變為原來的4倍
C．若飼料顆粒不能落入水中，則以不同的v0水平拋出，落到坡面時的速度方向不同
D．若飼料顆粒能落入水中，平拋初速度v0越大，落水時速度方向與水平面的夾角越小
10．如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其圖像如圖乙所示，則（　　）
A．當地的重力加速度為
B．輕質繩長為
C．小球在最低點和最高點的拉力之差為5a
D．若把輕繩換成輕桿，則從最高點由靜止轉動的過程中桿始終對小球產生支持力
11．如圖所示，長0.5m的輕質細桿，一端固定有一個質量為3kg的小球，另一端由電動機帶動，使桿繞O在豎直平面內做勻速圓周運動，小球的速率為2m/s。取g=10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．小球通過最高點時，對桿的拉力大小是6N
B．小球通過最高點時，對桿的壓力大小是6N
C．小球通過最低點時，對桿的拉力大小是24N
D．小球通過最低點時，對桿的拉力大小是54N
三、解答題
12．如圖所示，一個質量為的滑板運動員，以的初速度從某一高臺的點水平飛出，恰好從圓軌道的點的切線方向進入圓弧（不計空氣阻力，進入圓弧時無機械能損失），最終滑板運動員剛好到達圓軌道的最高點D。已知圓弧的半徑，，g取，求：
（1）A距C點的高度和滑板運動員在D點的速度大小。
（2）若滑板運動員運動到圓弧軌道點C時的速度大小為則滑板運動員對軌道的壓力。
13．如圖所示裝置可繞豎直軸轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，當細線AB沿水平方向繃直時，細線AC與豎直方向的夾角。已知小球的質量m＝1kg，細線AC長L＝1m，（重力加速度取，sin37°＝0.6）
（1）若裝置勻速轉動時，細線AB剛好被拉直成水平狀態，求此時的角速度；（結果可用根號表示）
（2）若裝置勻速轉動的角速度，求細線AB和AC上的張力大小、。
14．如圖所示，半徑為R=0.5m的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺靜止不轉動時，將一個質量為2kg、可視為質點的小物塊放入陶罐內，小物塊恰能靜止于陶罐內壁的A點，且A點與陶罐球心O的連線與對稱軸OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則：
（1）當轉臺繞轉軸勻速轉動時，若物塊在陶罐中的A點與陶罐一起轉動且所受的摩擦力恰好為0，則轉臺轉動的角速度為多少？
（2）若轉臺轉動的角速度為，物塊仍在陶罐中的A點隨陶罐一起轉動，則陶罐給物塊的彈力和摩擦力大小為多少？
15．如圖所示，用一根長為l的細線，一端系一質量為m的小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角為θ。設小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T，重力加速度為g，求：
（1）若要小球剛好離開錐面，則此時小球的角速度為多大？
（2）細線的張力T與小球勻速轉動的角速度有關，請通過計算在圖中畫出在不同取值范圍的T-ω2的圖象（要求標明關鍵點的坐標）。
16．《水流星》是中國傳統民間雜技藝術，雜技演員用一根繩子兜著里面倒上水的兩個碗，迅速地旋轉著繩子做各種精彩表演，即使碗底朝上。碗里的水也不會灑出來。假設水的質量為m。繩子長度為2L，重力加速度為g，不計空氣阻力。繩子的長度遠遠大于碗口直徑，雜技演員手拿繩子的中點，讓碗在空中旋轉。
（1）如圖甲所示，兩碗在豎直平面內做圓周運動，若碗通過最高點時，水對碗的壓力大小等于mg，求碗通過最高點時的線速度大小；
（2）如圖甲所示，若兩只碗在豎直平面內做圓周運動，兩的線速度大小始終相等，當正上方碗內的水恰好不流出來時，求正下方碗內的水對碗的壓力大小；
（3）如圖乙所示，若兩只碗繞著同一點在水平面內做勻速圓周運動。已如繩與豎直方向的夾角為θ，求碗和水轉動的角速度大小。
第6章 重難點專項突破
重難點突破一 豎直面內的圓周運動
1.豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
如圖，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，二者運動規律相同，現以甲圖為例.
(1)最低點動力學方程：FT1－mg＝m；所以FT1＝mg＋m
(2)最高點動力學方程：FT2＋mg＝m；所以FT2＝m－mg
(3)最高點的最小速度：由于繩不可能對球有向上的支持力，只能產生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，當FT2＝0時，v2最小，最小速度為v2＝.
討論：當v2＝時，拉力或壓力為零.
當v2>時，小球受向下的拉力或壓力.
當v2<時，小球不能到達最高點.
2.豎直面內圓周運動的輕桿(管)模型
如圖，細桿上固定的小球和光滑管形軌道內運動的小球在重力和桿(管道)的彈力作用下做圓周運動.
(1)最高點的最小速度
由于桿和管在最高點處能對小球產生向上的支持力，故小球恰能到達最高點的最小速度v＝0，此時小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通過最高點時，軌道對小球的彈力情況
①v>，桿或管的外側對球產生向下的拉力或彈力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F隨v 增大而增大；
②v＝，球在最高點只受重力，不受桿或管的作用力，F＝0，mg＝m；
③0二、圓周運動的臨界問題
物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態，分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的變化，找出臨界狀態.
通常碰到較多的是涉及如下三種力的作用：
(1)與繩的彈力有關的臨界條件：繩彈力恰好為0.
(2)與支持面彈力有關的臨界條件：支持力恰好為0.
(3)因靜摩擦力而產生的臨界問題：靜摩擦力達到最大值.
考點一：豎直面內圓周運動的輕繩(過山車)模型
【例1】如圖，輕繩拴著質量為m的物體，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，下列說法正確的是（ ）
A．小球過最高點時的最小速度是0
B．小球過最高點時，繩子拉力可以為零
C．若將輕繩換成輕桿，則小球過最高點時，輕桿對小球的作用力不可以與小球所受重力大小相等，方向相反
D．若將輕繩換成輕桿，則小球過最高點時的最小速度是
【答案】B
【詳解】AB．因為繩子只能提供拉力，所以當小球到最高點時，至少有重力提供此時的向心力，此時繩子拉力為零，因此最小速度不可能為零，A錯誤，B正確；
CD．若將輕繩換成輕桿，小球過最高點時，輕桿可對小球產生豎直向上的彈力，若此時小球速度為零，所需向心力為零，由力的平衡可知此時輕桿對小球的作用力與小球所受重力大小相等，方向相反，此時向心力為零，得最小速度為零，CD錯誤。故選B。
【變式練習】
1．如圖所示，長為L的輕繩一端系一質量為m的小球A，另一端固定于O點，當繩豎直時小球靜止。現給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內做圓周運動，且剛好能過最高點，重力加速度為g，則（　　）
A．小球過最高點時，速度可能為零
B．小球過最高點時，繩的拉力為mg
C．開始運動時，繩的拉力為m
D．小球過最高點時，速度大小為
【答案】D
【詳解】ABD．小球剛好越過最高點，可知FT=0，根據牛頓第二定律得
mg=m
解得
v=
故AB錯誤，D正確；C．開始運動時，根據牛頓第二定律得
FT-mg=m
解得
FT=mg+m
故C錯誤。故選D。
2．如圖所示，細繩的一端固定在懸點O，細繩的另一端連接一個小球，小球繞O點在豎直平面內沿順時針方向做完整的圓周運動。當小球運動到最高點P時，突然剪斷細繩，則關于小球以后運動的大致軌跡，下列說法正確的是（不計空氣阻力）（　　）
A．小球的運動軌跡可能是1 B．小球的運動軌跡可能是2
C．小球的運動軌跡可能是3 D．小球沿著原來的運動軌跡運動到Q點后，再豎直向下運動
【答案】A
【詳解】小球經過P點時，速度最小值滿足
即
繩子斷裂后小球做平拋運動，則運動軌跡為拋物線，當下落到OQ水平線上時，根據
x=vt
解得
小球的運動軌跡可能是1。故選A。
考點二：豎直面內圓周運動的輕桿(管)模型
【例2】如圖所示，內壁光滑的細圓管用輕桿固定在豎直平面內，其質量為0.22kg，半徑為0.5m。質量為0.1kg的小球，其直徑略小于細圓管的內徑，小球運動到圓管最高點時，桿對圓管的作用力為零，重力加速度的值取。則小球在最高點的速度大小為（ ）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
【答案】B
【詳解】根據題意，對圓管受力分析，由平衡條件可知，小球在最高點給圓管豎直向上的作用力，大小等于圓管的重力，由牛頓第三定律可知，圓管給小球豎直向下的作用力，大小等于圓管的重力，在最高點，對小球，由牛頓第二定律有
代入數據解得
故選B。
【變式練習】
1．一輕桿一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直平面內作半徑為R的圓周運動，如圖所示，則（　　）
A．小球過最高點時，桿所受彈力一定不為零
B．小球過最高點時的最小速度是
C．小球過最高點時，桿的彈力可以向上，此時桿對球的作用力一定不大于重力
D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
【答案】C
【詳解】A．小球過最高點時，若只靠小球重力提供向心力時，桿所受彈力為零，故A錯誤；B．由于小球連接的輕桿，所以小球過最高點時的最小速度可以為零，故B錯誤；C．當小球過最高點，桿的彈力可以向上時，桿對小球的作用力反向向下，此時重力和桿的彈力的合力提供向心力，即
此時桿對球的作用力小于或者等于重力，故C正確；
D．當小球過最高點時的速度時，此時合外力提供向心力，即
此時桿對球的作用力與小球的重力方向相同，故D錯誤。故選C。
2．長為0.5m的輕桿繞O點在豎直平面內做圓周運動，另一端連著一個質量為1kg的小球。某時刻經過最高點時，桿的角速度，則（　　）
A．小球受到拉力為5N B．桿受到拉力為5N
C．小球受到壓力為5N D．桿受到壓力為5N
【答案】D
【詳解】小球在最高點時，對小球受力分析，受重力mg和桿的彈力FN作用，假定彈力豎直向下，由向心力公式得
且
聯立解得
負號表示豎直向上，故小球受到向上5N的支持力，桿受到向下5N的壓力。故選D。
考點三：臨界問題
【例3】如圖所示裝置可繞豎直軸OO′轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，當細線AB沿水平方向繃直時，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球的質量m=1 kg，細線AC長L=0.5m，AB能承受的最大拉力為22.5N。（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若裝置勻速轉動，細線AB剛好被拉直成水平狀態，求此時的角速度ω1的大小；
（2）若裝置勻速轉動的角速度ω2=8rad/s，求細線AB和AC上的拉力大小TAB、TAC；
（3）若裝置勻速轉動的角速度ω3=15rad/s，求系統穩定轉動后細線AC上的拉力大小T'AC。
【答案】（1）5rad/s；（2）12.5N；11.7N；（3）112.5N
【詳解】（1）細線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律有
解得
ω1＝5rad/s
（2）依題意
ω2＞ω1
細線AB有張力，由小球的受力情況及牛頓第二定律得
，
解得
，TAB=11.7N
（3）設AB細線能承受的最大拉力時的角速度為ω0，則有
，
解得
可知若裝置勻速轉動的角速度ω3=15rad/s，AB細線已斷，小球將上移，設細線AC與豎直方向夾角為，有
解得
TAC=112.5N
【變式練習】
1．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺以一定角速度ω勻速轉動。一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°。重力加速度的大小為g。
（1）若，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求。
（2）若，求小物塊受到的摩擦力大小和方向。
【答案】（1） ；（2），方向沿罐壁切線向下
【詳解】（1）當摩擦力為零時，支持力和重力的合力提供向心力，如圖所示
根據牛頓第二定律得
解得
（2）當時，物塊所受重力和支持力的合力不足以提供其做圓周運動的向心力，物塊相對罐壁有上滑的趨勢，摩擦力方向沿罐壁的切線向下，如圖所示
在水平方向上有
在豎直方向上有
聯立解得
2．圖1是某游樂場中水上過山車的實物圖片，圖2是其原理示意圖。在原理圖中半徑為R=8m的圓形軌道固定在離水面高h=3.2m的水平平臺上，圓軌道與水平平臺相切于A點，A、B分別為圓形軌道的最低點和最高點。過山車（實際是一艘帶輪子的氣墊小船，可視作質點）高速行駛，先后會通過多個圓形軌道，然后從A點離開圓軌道而進入光滑的水平軌道AC，最后從C點水平飛出落入水中，整個過程刺激驚險，受到很多年輕人的喜愛。已知水面寬度為s=12m，假設運動中不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，結果可保留根號。
（1）若過山車恰好能通過圓形軌道的最高點B，則其在B點的速度為多大？
（2）為使過山車安全落入水中，則過山車在C點的最大速度為多少？
【答案】（1）；（2）15m/s
【詳解】（1）過山車恰好過最高點時，只受重力，有
則
（2）離開C點后做平拋運動，由，解得運動時間為
故最大速度為
一、單選題
1．如圖所示，一輕桿一端固定一質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內做半徑為r的圓周運動。以下說法正確的是（　　）
A．小球過最高點時，桿受力不可以是零
B．小球過最高點時的最小速率為
C．小球過最高點時，桿對球的作用力可以豎直向上，此時球受到的重力一定大于桿對球的作用力
D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定豎直向下
【答案】C
【詳解】小球過最高點時,如果速度等于，則只由重力提供向心力
如果速度大于，則由重力和杠對小球豎直向下的拉力的合力提供向心力
如果速度小于，則由重力和杠對小球豎直向上的支持力的合力提供向心力，且重力大于支持力
所以小球通過最高點的最小臨界速度為0。故選C。
2．如圖所示，懸線一端系一小球，另一端固定于點，在點正下方的點釘一個釘子，使懸線拉緊與豎直方向成一角度，然后由靜止釋放小球，當懸線碰到釘子時，下列說法正確的是（　　）
①小球的瞬時速度突然變大 ②小球的加速度突然變大
③小球所需的向心力突然變大 ④懸線所受的拉力突然變大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【詳解】①速度變化需要一段時間，速度不會突變。故①錯誤；②小球做圓周運動，在最低點的加速度就是向心加速度
半徑突然變小，向心加速度變大。故②正確；③向心力為
F=ma
a變大，則向心力會突然變大。故③正確；④繩子的拉力為
可知拉力T會突然變大。故④正確。故選B。
3．如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為FT，小球在最高點的速度大小為v，其FT-v2圖像如圖乙所示，則（　　）
A．數據a與小球的質量無關
B．當地的重力加速度為
C．當v2＝c時，輕質繩的拉力大小為
D．當v2＝2b時，小球受到的拉力與重力大小相等
【答案】D
【詳解】AB．設繩長為R，由牛頓第二定律知小球在最高點滿足
即
由題圖乙知a＝mg，b＝gR
所以
故AB錯誤；CD．當v2＝c時，有
將g和R的值代入得
故C錯誤；D．當v2＝2b時，由
可得
FT2＝a＝mg
即拉力與重力大小相等，故D正確。故選D。
4．如圖所示，一個內壁光滑的彎管處于豎直平面內，其中管道半徑為R。現有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管內運動，小球通過最高點時的速率為v0，重力加速度為g，則下列說法中正確的是（　　）
A．若，則小球對管內上壁有壓力
B．若，則小球對管內下壁有壓力
C．若，則小球對管內下壁有壓力
D．不論v0多大，小球對管內下壁都有壓力
【答案】C
【詳解】A．在最高點，只有重力提供向心力時，有
解得
此時小球對管內壁無壓力，故A錯誤；B．若
則有
此時小球受向下的壓力，這表明小球對管內上壁有壓力，故B錯誤；CD．若
則有
此時小球受向上的支持力，表明小球對管內下壁有壓力，故C正確，D錯誤。故選C。
5．如圖所示，質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環內側做圓周運動。圓環半徑為R，小球半徑不計，小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時下列表述不正確的是（重力加速度為g）（　　）
A．小球對圓環的壓力大小等于mg
B．重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力
C．小球的線速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
【答案】A
【詳解】A．因為小球經過圓環內側最高點時剛好不脫離圓環，故在最高點時小球對圓環的壓力為零，A錯誤，符合題意；BCD．小球經過圓環內側最高點時，只受重力作用，即重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力，則有
mg＝m＝ma
即
v＝
a＝g
BCD正確，不符合題意。故選A。
6．火車轉彎時，如果鐵路彎道的內、外軌一樣高，則外軌對輪緣（如圖所示）擠壓的彈力F提供了火車轉彎的向心力（如圖中所示），但是靠這種辦法得到向心力，鐵軌和車輪極易受損。在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌（如圖所示），當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的側向擠壓，設此時的速度大小為v，重力加速度為g，以下說法中正確的是（　　）
A．該彎道的半徑
B．當火車質量改變時，規定的行駛速度也將改變
C．當火車速率小于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
D．分別按規定速度v和大于速度v行駛時，火車所受的支持力不相等
【答案】D
【詳解】A．當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的側向擠壓，有
解得
A錯誤；
B．根據 ，可知，規定的行駛速度與火車的質量無關，B錯誤；
C．當火車速率小于v時，火車有向心運動的趨勢，則對內軌有擠壓，C錯誤；D．按規定速度行駛時，支持力為
則支持力大于重力，大于速度v行駛時，外軌給火車垂直軌道向內的力，由豎直方向的平衡條件可知，火車所受的支持力大于，故D正確。故選D。
7．天花板下懸掛的輕質光滑小圓環P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉。一根輕繩穿過P，兩端分別連接質量為m1和m2的小球A、B（m1 ≠ m2）。設兩球同時做如圖所示的圓錐擺運動，且在任意時刻兩球均在同一水平面內，則（ ）
A．球A、B運動的周期之比等于m2：m1
B．兩球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距離之比等于m2：m1
D．球A、B運動的線速度之比等于m2：m1
【答案】C
【詳解】A．對其中一個小球受力分析，其受到重力和繩的拉力FT，繩中拉力在豎直方向的分力與重力平衡，設輕繩與豎直方向的夾角為θ，則有
FTcosθ = mg
拉力在水平方向上的分力提供向心力，設該小球到P的距離為l，則有
解得周期為
因為任意時刻兩球均在同一水平面內，h相等，所以兩球運動的周期相等，A錯誤；B．小球的向心加速度
兩球做圓周運動半徑r不相等，所以兩球向心加速度大小也不相等，B錯誤；C．連接兩球的繩的張力FT相等，由于向心力為
Fn = FTsinθ = mω2lsinθ
則有
故m與l成反比，C正確；D．小球線速度v = ωlsinθ，結合選項C有
D錯誤。故選C。
8．如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內徑的小球，小球在管道內做圓周運動，從B點脫離后做平拋運動，經過后又恰好垂直與傾角為的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑，小球可看作質點且其質量為，g取。則（　　）
A．小球經過管道的B點時，受到下管道的作用力的大小是
B．小球經過管道的B點時，受到上管道的作用力的大小是
C．小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是
D．小球在斜面上的相碰點C與B點的豎直距離是
【答案】A
【詳解】AB．小球到達斜面時豎直分速度為
因為小球垂直撞在斜面上，則
解得小球經過B點的速度
在B點，根據牛頓第二定律得
解得軌道對小球的作用力
可知軌道對小球的作用力方向向上，大小為1N，即小球經過管道的B點時，受到下管道的作用力的大小是，故A正確，B錯誤；
C．小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離為
故C錯誤；
D．小球在斜面上的相碰點C與B點的豎直距離為
故D錯誤。故選A。
二、多選題
9．如圖所示是飼養員在池塘堤壩邊緣投放顆粒狀魚飼料的示意圖，飼料顆粒從圓弧形滑道OA滑下，然后在滑道末端A點以水平速度v0拋出，落到傾角為θ的斜坡AB上或水面上，不計空氣阻力，則（　　）
A．若飼料顆粒在O點時的速度加倍，則其在O點對軌道的壓力變為原來的4倍
B．若飼料顆粒在A點時的速度加倍，則其在A點對軌道的壓力變為原來的4倍
C．若飼料顆粒不能落入水中，則以不同的v0水平拋出，落到坡面時的速度方向不同
D．若飼料顆粒能落入水中，平拋初速度v0越大，落水時速度方向與水平面的夾角越小
【答案】AD
【詳解】A．在O點，根據
解得在O點對軌道的壓力
可知，若飼料顆粒在O點時的速度加倍，則其在O點對軌道的壓力變為原來的4倍，A正確；B．在A點，根據
解得在O點對軌道的壓力
可知，若飼料顆粒在A點時的速度加倍，則其在A點對軌道的壓力小于原來的4倍，B錯誤；
C．令落到坡上的速度與水平方向夾角為，則有
解得
可知，若飼料顆粒不能落人水中，則以不同的v0水平拋出，落到坡面時的速度方向相同，C錯誤；
D．令落水時速度方向與水平面的夾角為，坡面高度為h，則有
解得
可知，若飼料顆粒能落入水中，平拋初速度v0越大，落水時速度方向與水平面的夾角越小，D正確。故選AD。
10．如圖甲所示，用一輕質繩拴著一質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力），小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其圖像如圖乙所示，則（　　）
A．當地的重力加速度為
B．輕質繩長為
C．小球在最低點和最高點的拉力之差為5a
D．若把輕繩換成輕桿，則從最高點由靜止轉動的過程中桿始終對小球產生支持力
【答案】AB
【詳解】AB．在最高點時，繩對小球的拉力和重力的合力提供向心力，則得
化簡得
①
由圖像知，時，，圖像的斜率，則得
得繩長
當時，，由①得
解得
故A正確，B正確；
C．只要，繩子的拉力大于0，根據牛頓第二定律得有最高點：
②
最低點：
③
從最高點到最低點的過程中，根據機械能守恒定律得
④
聯立②③④解得
即小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為，故C錯誤；D．若把輕繩換成輕桿，則從最高點由靜止轉過的過程中開始時桿對小球的作用力為支持力；當轉過后，小球的向心力必定由桿的拉力提供，所以可知，在小球從最高點由靜止轉過的過程中，桿對小球的作用力開始時是支持力，然后是拉力，故D錯誤。故選AB。
11．如圖所示，長0.5m的輕質細桿，一端固定有一個質量為3kg的小球，另一端由電動機帶動，使桿繞O在豎直平面內做勻速圓周運動，小球的速率為2m/s。取g=10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．小球通過最高點時，對桿的拉力大小是6N
B．小球通過最高點時，對桿的壓力大小是6N
C．小球通過最低點時，對桿的拉力大小是24N
D．小球通過最低點時，對桿的拉力大小是54N
【答案】BD
【詳解】AB．設在最高點桿子表現為拉力，則有
代入數據得
F=-6N
則桿子表現為推力，大小為6N。根據牛頓第三定律可知小球對桿子表現為壓力，大小為6N，選項A錯誤，B正確；CD．在最低點，桿子表現為拉力，有
代入數據得
F=54N
根據牛頓第三定律可知小球通過最低點時，對桿的拉力大小是54N，選項C錯誤，D正確。故選BD。
三、解答題
12．如圖所示，一個質量為的滑板運動員，以的初速度從某一高臺的點水平飛出，恰好從圓軌道的點的切線方向進入圓弧（不計空氣阻力，進入圓弧時無機械能損失），最終滑板運動員剛好到達圓軌道的最高點D。已知圓弧的半徑，，g取，求：
（1）A距C點的高度和滑板運動員在D點的速度大小。
（2）若滑板運動員運動到圓弧軌道點C時的速度大小為則滑板運動員對軌道的壓力。
【答案】（1），；（2）
【詳解】（1）運動員在A、B點之間做平拋運動，設B點處運動員的豎直分速度為，則有
解得
運動員在豎直方向上做自由落體運動，則有
解得
又
所以A距C點的高度為
運動員在D點時重力恰好提供向心力，即
解得
（2）運動員在圓弧軌道C點時，重力和支持力的合力提供向心力，即
解得
根據牛頓第三定律可知，運動員對軌道的壓力為
13．如圖所示裝置可繞豎直軸轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，當細線AB沿水平方向繃直時，細線AC與豎直方向的夾角。已知小球的質量m＝1kg，細線AC長L＝1m，（重力加速度取，sin37°＝0.6）
（1）若裝置勻速轉動時，細線AB剛好被拉直成水平狀態，求此時的角速度；（結果可用根號表示）
（2）若裝置勻速轉動的角速度，求細線AB和AC上的張力大小、。
【答案】（1）；（2），。
【詳解】（1）當細線剛好被拉直時，細線的拉力為零，細線AC的拉力和重力的合力提供向心力，則有
代入數據解得
（2）若裝置勻速轉動的角速度，則兩根繩均有張力，豎直方向上有
水平方向上有
代入數據解得
14．如圖所示，半徑為R=0.5m的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺靜止不轉動時，將一個質量為2kg、可視為質點的小物塊放入陶罐內，小物塊恰能靜止于陶罐內壁的A點，且A點與陶罐球心O的連線與對稱軸OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則：
（1）當轉臺繞轉軸勻速轉動時，若物塊在陶罐中的A點與陶罐一起轉動且所受的摩擦力恰好為0，則轉臺轉動的角速度為多少？
（2）若轉臺轉動的角速度為，物塊仍在陶罐中的A點隨陶罐一起轉動，則陶罐給物塊的彈力和摩擦力大小為多少？
【答案】（1）5rad/s；（2）26.8N，2.4N
【詳解】（1）若物塊在陶罐中的A點與陶罐一起轉動且所受的摩擦力恰好為0，對物塊分析有
圓周運動半徑
r=Rsinθ
解得
ω0=5rad/s
（2）當轉臺的角速度為時，由于該角速度大于5rad/s，則物塊有向外滑的趨勢，摩擦力方向向內，則有
，
解得
N=26.8N，f=2.4N
15．如圖所示，用一根長為l的細線，一端系一質量為m的小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角為θ。設小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T，重力加速度為g，求：
（1）若要小球剛好離開錐面，則此時小球的角速度為多大？
（2）細線的張力T與小球勻速轉動的角速度有關，請通過計算在圖中畫出在不同取值范圍的T-ω2的圖象（要求標明關鍵點的坐標）。
【答案】（1）；（2）見解析
【詳解】（1）若要小球剛好離開錐面，則小球受到重力和細線拉力如圖所示。小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平。
在水平方向運用牛頓第二定律及向心力公式得
解得
（2）當時
當時，小球受三個力：重力、支持力、拉力。根據牛頓第二定律有
水平方向有
豎直方向有
聯立解得
顯然是線性關系
當，小球恰離開錐面，則
當時，球離開錐面，繩子與豎直方向的夾角為，則
得
即也是線性關系;因此畫出圖象如圖所示
16．《水流星》是中國傳統民間雜技藝術，雜技演員用一根繩子兜著里面倒上水的兩個碗，迅速地旋轉著繩子做各種精彩表演，即使碗底朝上。碗里的水也不會灑出來。假設水的質量為m。繩子長度為2L，重力加速度為g，不計空氣阻力。繩子的長度遠遠大于碗口直徑，雜技演員手拿繩子的中點，讓碗在空中旋轉。
（1）如圖甲所示，兩碗在豎直平面內做圓周運動，若碗通過最高點時，水對碗的壓力大小等于mg，求碗通過最高點時的線速度大小；
（2）如圖甲所示，若兩只碗在豎直平面內做圓周運動，兩的線速度大小始終相等，當正上方碗內的水恰好不流出來時，求正下方碗內的水對碗的壓力大小；
（3）如圖乙所示，若兩只碗繞著同一點在水平面內做勻速圓周運動。已如繩與豎直方向的夾角為θ，求碗和水轉動的角速度大小。
【答案】（1）；（2）2mg，方向豎直向下；（3）
【詳解】（1）由題意可知
解得
（2）重力提供向心力，速度為v0，則
設最低點碗對水的支持力為F2，則
解得
由牛頓第三定律可知，水對碗的壓力為2mg，方向豎直向下；（3）設碗的質量為M，繩子的拉力為F，豎直方向有
水平方向上
聯立解得

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