資源簡介

2014屆廣東高考理科數學沖刺提分訓練
已知函數，的最大值是1，其圖像經過點
．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
2. 設函數.
（1）若是函數的一個零點，求的值；
（2）若是函數的一個極值點，求的值.
3. 在中，內角所對的邊長分別是, 已知，.
（1）求的值；
（2）若為的中點，求的長.
4. 一緝私艇發現在方位角（從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角）45°方向，距離15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小時的速度沿方位角為105°的方向逃竄．若緝私艇的速度為35 海里/小時，緝私艇沿方位角為45°+α的方向追去，若要在最短時間內追上該走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求緝私艇追上走私船所需的時間．
5. 某網站用“10分制”調查一社區人們的幸福度.現從調查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉)：
（1）指出這組數據的眾數和中位數；
（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；
（3）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區(人數很多)任選3人，記表示抽到“極幸福”的人數，求的分布列及數學期望．
6.汽車是碳排放量比較大的行業之一．歐盟規定，從2012年開始，將對排放量超過
的型新車進行懲罰．某檢測單位對甲、乙兩類型品牌車各抽取輛進行
排放量檢測，記錄如下(單位：).
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
160
經測算發現，乙品牌車排放量的平均值為．
（1）從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛不符合排放量的概率是多少？
（2）若，試比較甲、乙兩類品牌車排放量的穩定性．
7．隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為．
（1）求的分布列；
（2）求1件產品的平均利潤（即的數學期望）；
（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
8．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面，，分別為的中點．
（1）求證：；
（2）求與平面所成的角的正弦值．
9．一個三棱錐的三視圖、直觀圖如圖．
（1）求三棱錐的體積；
（2）求點C到平面SAB的距離；
（3）求二面角的余弦值．
10．如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面
和圓所在的平面互相垂直，且，．
（1）求證：平面；
（2）設的中點為，求證：平面；
（3）設平面將幾何體分成的兩個錐體
的體積分別為，，求．
11.已知等比數列的公比，，且、、成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
12.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度 （單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0 ；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數．
(1)當時，求函數的表達式；
(2)當車流密度為多大時，車流量可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）. (車流量為單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）
13．某地區有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，
第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝．
（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？
（2）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率
為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？
（精確到１立方米, ）
14. 已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點
是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓：
．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為．是否為定值？請說明理由．
15. 如圖，長為m＋1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且＝m．
（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設過點Q(，0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點．
試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點P的坐標；
若不存在，請說明理由．
16.已知數列的前項和的平均數為
（1）求的通項公式；
（2）設，試判斷并說明的符號；
（3）設函數，是否存在最大的實數? 當時，對于一切非零自然數，都有
17. 數列滿足，且時，，
求數列的通項公式；
設數列的前項和為，求證對任意的正整數都有
18. 設，函數， ，．
（1）當時，求函數的值域；
（2）試討論函數的單調性．
19.已知函數的圖像在點處的切線方程為.
（1）用表示出；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：.
20.如圖,已知直線及曲線上的點的橫坐標為().從曲線上的點作直線平行于軸，交直線作直線平行于軸，交曲線的橫坐標構成數列.
(1)試求的關系;
(2)若曲線的平行于直線的切線的切點恰好介于點之間
(不與重合),求的取值范圍;
(3)若,求數列的通項公式.
21. 已知函數的導函數是, 對任意兩個不相等
的正數, 證明: (1)當時, ;
(2)當時, .
22. 對于函數，若存在∈R，使成立，則稱為的不動點．
如果函數＝有且僅有兩個不動點0和2．
（1）試求b、c滿足的關系式；
（2）若c＝2時，各項不為零的數列{an}滿足4Sn·＝1，
求證：＜＜；
（3）在(2)的條件下, 設bn＝－，為數列{bn}的前n項和，
求證：．

23.已知定義在上的單調函數，存在實數，使得對于任意實數，總有恒成立．
（1）求的值；
（2）若，且對任意正整數，有，
記，比較與的大小關系，并給出證明．
24. 已知函數，設在點N*）處的切線在軸上的截距為，數列滿足：N*）．
（1）求數列的通項公式；
（2）在數列中，僅當時，取最小值，求的取值范圍；
（3）令函數，數列滿足：，N*），
求證：對于一切的正整數，都滿足：．
參考答案
解：（1）依題意有，則，將點代入得，
而，，，故.
（2）依題意有，而，
，
.
2. 解：（1）是函數的一個零點, ∴ , 從而.
∴
（2）, 是函數的一個極值點
∴, 從而.
∴.
3. 解：（1）且，∴．
∴
．
（2）由（1）可得．
由正弦定理得，即，解得．
在中，， ，∴．
4. 解：（1）設緝私艇追上走私船所需的時間為t小時，
則有|BC|＝25t，|AB|＝35t，
且∠CAB＝α，∠ACB＝120°，
根據正弦定理得： ，
即， ∴ sinα＝．
（2）在△ABC中由余弦定理得：|AB|2＝|AC|2＋|BC|2－2|AC||BC|cos∠ACB，
即 （35t）2＝152＋（25t）2－2·15·25t·cos120°，即24t2―15t―9＝0，
解之得：t=1或t=－（舍）
故緝私艇追上走私船需要1個小時的時間．
5.解：（1）眾數：8.6；中位數：8.75
（2）設表示所取3人中有個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件，則
（3）的可能取值為0、1、2、3.高…考.資.源+網 高.考.資.源+網
；
；
的分布列為
21世紀教育網
所以.
另解：的可能取值為0、1、2、3.高..考.資., 則，.
的分布列為

所以=.
6. 解：（1）從被檢測的輛甲類品牌車中任取輛，共有種不同的排放量結果：
()；()；()；()；()；
()；()；()；()；().
設“至少有一輛不符合排放量”為事件，則事件包含以下種不同的結果：
()；()；()；()；()；()；().
所以，. 答：至少有一輛不符合排放量的概率為
（2）由題可知，，.

，
令，，，
，

，，∴乙類品牌車碳排放量的穩定性好.
7．解（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
，
故的分布列為：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為
依題意，，即，解得 所以三等品率最多為.
8．（1）解法1：∵是的中點，，∴．
∵平面，所以．
又，，∴，．
又，∴平面．
∵平面，∴．
解法2：如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，
可得，．
因為?，所以．
（2）因為?．
所以 ，又，所以 平面，
因此 的余角即是與平面所成的角．
因為 ．
所以與平面所成的角的正弦值為．
9. 解： （1）由正視圖、俯視圖知；
由正視圖、側視圖知，點B在平面SAC上的正投影為AC的中點D，則，
平面，；
由俯視圖、側視圖知，點S在平面ABC上的正投影為DC的中點O，
則，平面，．如圖．
（1）三棱錐的體積．
解法一：
以O為原點，OA為軸，過O且平行于BD的直線為軸，OS為軸，建立如圖空間直角坐標系，可求，，
設是平面SAB的一個法向量，則
，取，
（2）可知，設點C到平面SAB的距離為，
則．
（3）可知是平面ABC一個法向量，故，
二面角的余弦值為．
解法二：
（2）可求，，
，
△SAB的面積，
設點C到平面SAB的距離為，
由三棱錐的體積，
得．
（3）作于H，作交AB于E，則，
連接SE，因OE是SE在底面ABC內的射影，而，故，
為二面角的平面角．
△ABC中，易求，
由△ABC的面積，，，
△AEO與△AHC相似，相似比為AO：AC=3：4，故，
中，，
故，二面角的余弦值為．
10.（1）證明： 平面平面,,
平面平面=，
平面，
平面，，
為圓的直徑，， 平面．
（2）設的中點為，則，又，
則，為平行四邊形，
，又平面，平面， 平面．
（3）過點作于，平面平面，
平面，，
平面，
，
．
11.解：（1）因為、、成等差數列，
所以，即.
因為，，所以，即.
因為，所以.所以.
所以數列的通項公式為.
（2）因為，所以.
所以
當時，
；
當時，
.
綜上所述，
12. 解:(1)由題意，當時，當時，設
由已知得解得..
(2)依題意得
當時，為增函數，故.
當時，時，取最大值.
答：車流密度為100時，車流量達到最大值3333.
13.解：（1）設植樹年后可將荒山全部綠化，記第年初植樹量為，
依題意知數列是首項，公差的等差數列，
則, 即
∵ ∴
∴到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化．
（2）2002年初木材量為，到2009年底木材量增加為,
2003年初木材量為，到2009年底木材量增加為,……
2009年初木材量為，到2009年底木材量增加為.
則到2009年底木材總量
----------①
---------②
②-①得
∴ｍ2
答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2
14. 解：（1）∵拋物線的焦點為，
∴雙曲線的焦點為、，
設在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，
∴，又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得，
，∴， ∴雙曲線的方程為：．
（2）為定值．下面給出說明．
設圓的方程為：， ∵圓與直線相切，
∴圓的半徑為，故圓：.
顯然當直線的斜率不存在時不符合題意，
設的方程為，即，
設的方程為，即，
∴點到直線的距離為，點到直線的距離為，
∴直線被圓截得的弦長，
直線被圓截得的弦長，
∴， 故為定值．

15. 解：（1）設A、B、M的坐標分別為(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，則
x＋y＝(m＋1)2， ①
由＝m，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
∴∴ ②
將②代入①，得
(m＋1)2x2＋()2y2＝(m＋1)2，
化簡即得點M的軌跡Γ的方程為x2＋＝1（m＞0）．
當0＜m＜1時，軌跡Γ是焦點在x軸上的橢圓；
當m＝1時，軌跡Γ是以原點為圓心，半徑為1的圓；
當m＞1時，軌跡Γ是焦點在y軸上的橢圓．
（2）依題意，設直線CD的方程為x＝ty＋，
由消去x并化簡整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則
y1＋y2＝－，y1y2＝－． ③
假設在x軸上存在定點P(a，0)，使PQ平分∠CPD，
則直線PC、PD的傾斜角互補，
∴kPC＋kPD＝0，即＋＝0，
∵x1＝ty1＋，x2＝ty2＋，∴＋＝0，
化簡，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
將③代入④，得－－＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式對?t∈R都成立，∴a＝2．
故在x軸上存在定點P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由題意，，兩式相減得，而，
（2），
(3)由（2）知是數列的最小項.
當時，對于一切非零自然數，都有,
即，即，
解得或，取.
17. 解：（1），則 則
（2） 由于，因此，
又
所以從第二項開始放縮：
因此
18.解:（1），
當時，，即時，最小值為2．
當時，，在上單調遞增，所以．
所以時，的值域為．
（2）依題意得
①若，當時，，遞減，當時，，遞增．
②若，當時，令，解得，
當時，，遞減，當時，，遞增．
當時，，遞增．
③若，當時，，遞減．
當時，解得，
當時，，遞增，
當時，，遞減．
④，對任意，，在上遞減．
綜上所述，當時，在或上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在，上單調遞減；
當時，在上單調遞減．
19. 解：（1）則有.
（2）由（1）得
令,
①當時，.若，是減函數，∴ ，即故在不恒成立.
②當時，.若，是增函數，∴，
即故時.綜上所述，的取值范圍是.
（3）由（2）知，當時，有.令，則 即當時，總有令，則 .將上述個不等式累加得整理得
20.解:(1)因為點的坐標為,的坐標為,
所以點的坐標為,則故的關系為
設切點為,則得,所以
解不等式得.
.
的取值范圍是
(3) 由得,即,故
,
所以數列是以2為公比,首項為的等比數列, 即解得,
數列的通項公式為.
21. 略解：（1）
.
，
而,
又,得,
又,得,由于,故.
所以.
所以.
（2），故
，
下面證明：成立.
法1：.
令，則，
可知.即.
法2：即
由于.
令，則，可知.
故成立.
22. 解： (1)設
∴
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．
當n ≥ 2時，2 Sn -1＝an－1－……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
當n＝1時，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，則a2＝1與an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．
∴要證不等式，只要證 ，即證 ，
只要證 ，即證 ．
考慮證不等式(x＞0) . (**)
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴＝， ＝，
∵x＞0， ∴＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時，．
令則(**)式成立，∴＜＜，
(3)由(2)知bn＝，則Tn＝．
在中，令n＝1，2，3，，2008，并將各式相加，
得，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．
23.解:（1）令，得，
……①，
令得．
……②
由①、②，得．
為單調函數，．
（2）由（1）得
，，
，．
又．
．
.
．
.
24.解:（1） ，則，
得，即，
∴數列是首項為2、公差為1的等差數列，∴，即.
（2），∴函數在點N*）處的切線方程為：
，令，得．
，僅當時取得最小值，
只需，解得，故的取值范圍為．
（3），故，
，故，則，即．
∴
=．
又，
故．

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