資源簡(jiǎn)介

5.2運(yùn)動(dòng)的合成與分解
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
掌握運(yùn)動(dòng)的合成與分解基本解題思路
用運(yùn)動(dòng)的合成與分解解決小船過河問題
用運(yùn)動(dòng)的合成與分解解決關(guān)聯(lián)速度問題
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】
小船過河問題
關(guān)聯(lián)速度問題
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】
1. 船過河問題
2. 關(guān)聯(lián)速度問題
【新授內(nèi)容】
知識(shí)點(diǎn)一：運(yùn)動(dòng)的合成與分解
蠟塊實(shí)驗(yàn)
1.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象
蠟塊既向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，又由于玻璃管的移動(dòng)向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，以黑板為參考系，我們看到蠟塊是向右上方做勻速直線運(yùn)動(dòng)的。
2.實(shí)驗(yàn)分析
(1)建立坐標(biāo)系：以蠟塊開始勻速運(yùn)動(dòng)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立平面直角坐標(biāo)系。
(2)蠟塊運(yùn)動(dòng)的軌跡：設(shè)蠟塊向右、向上的速度大小分別為vx、vy，經(jīng)時(shí)間t，蠟塊的位置坐標(biāo)為x=vxt，y=vyt。
蠟塊運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為y=x，可知蠟塊的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線。
蠟塊的位移大小為OP=，位移與水平夾角θ的正切值為tanθ=。
蠟塊的速度大小為v=，速度與水平夾角θ的正切值為tanθ=。
合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有以下性質(zhì)
獨(dú)立性 一個(gè)物體同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，其中的任一個(gè)分運(yùn)動(dòng)并不會(huì)因?yàn)橛辛硗獾姆诌\(yùn)動(dòng)的存在而有所改變。即各分運(yùn)動(dòng)是互相獨(dú)立的、互不影響的
等時(shí)性 各個(gè)分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)總是同時(shí)開始，同時(shí)結(jié)束，經(jīng)歷的時(shí)間相等。不是同時(shí)發(fā)生的運(yùn)動(dòng)不能進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成
等效性 各分運(yùn)動(dòng)合成起來和合運(yùn)動(dòng)效果相同，即分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)可以“等效替代”
同體性 合運(yùn)動(dòng)和它的分運(yùn)動(dòng)必須對(duì)應(yīng)同一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，一個(gè)物體的合運(yùn)動(dòng)不能分解為另一個(gè)物體的分運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)的合成與分解
由分運(yùn)動(dòng)求和運(yùn)動(dòng)的過程叫作運(yùn)動(dòng)的合成，由合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)的過程叫作運(yùn)動(dòng)的分解
合運(yùn)動(dòng)的判斷：
分運(yùn)動(dòng) 合運(yùn)動(dòng)
勻速直線運(yùn)動(dòng)+勻速直線運(yùn)動(dòng) 勻速直線運(yùn)動(dòng)
勻速直線運(yùn)動(dòng)+勻加速直線運(yùn)動(dòng) 勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
勻加速直線運(yùn)動(dòng)+勻加速直線運(yùn)動(dòng) 若合加速與和合速度共線，則做直線運(yùn)動(dòng)，即= 若合加速度和合速度不共線，則做曲線運(yùn)動(dòng)
【例題1】關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成與分解，下列說法正確的是（ ）
A．兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，則它們的合運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)
B．合運(yùn)動(dòng)的速度一定比分運(yùn)動(dòng)的速度大
C．合運(yùn)動(dòng)的位移一定比分運(yùn)動(dòng)的位移大
D．合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
【答案】D
【詳解】A．兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)不一定是直線運(yùn)動(dòng)，如平拋運(yùn)動(dòng)。故A錯(cuò)誤。
B．根據(jù)平行四邊形定則知，合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能與分速度相等。故B錯(cuò)誤。
C．根據(jù)平行四邊形定則知，合位移可能比分位移大,可能比分位移小，可能與分位移相等。故C錯(cuò)誤。
D．分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，故D正確。
故選D。
【點(diǎn)睛】理解好矢量的平行四邊形定則。
【例題2】某物體在水平面上運(yùn)動(dòng)，以物體運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，x、y方向的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖所示，則該物體的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，由圖可知，時(shí)間內(nèi)，物體在軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間內(nèi)，物體在軸方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則時(shí)內(nèi)，圖像為向上彎曲的曲線，時(shí)間內(nèi)，物體在軸方向上，也做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則圖像為向上傾斜的直線。
故選D。
知識(shí)點(diǎn)二：小船過河運(yùn)動(dòng)
最短時(shí)間過河：
最短位移過河
①v船>v水： ②v船【例題3】小船勻速橫渡一條河流，水流速度的大小，船在靜水中的速度大小，第一次船頭垂直對(duì)岸方向航行時(shí)，在出發(fā)后到達(dá)對(duì)岸下游60m處；第二次船頭保持與河岸成角向上游航行時(shí)，小船恰好經(jīng)過時(shí)間t1能垂直河岸到達(dá)正對(duì)岸，已知=0.8，=0.6，求：
(1)求船在靜水中的速度大小v2；
(2)求第二次過河的時(shí)間t1；
(3)若上游大暴雨，導(dǎo)致水流速度增大到10m/s時(shí)，求小船到達(dá)河對(duì)岸的最短位移x及所用時(shí)間時(shí)間t2。
【答案】(1)； (2)；(3)，
【詳解】(1)第二次到達(dá)正對(duì)岸，有
第一次航行時(shí)，有
解得
(2)第一次過河時(shí)，河寬為
第二次過河時(shí)間為
(3)由于船速小于水速，所以船無法到達(dá)正對(duì)岸，設(shè)船頭與上游河岸的夾角為 ，則當(dāng)
時(shí)，小船到達(dá)對(duì)岸的位移最小，所用的時(shí)間為
最小位移為
知識(shí)點(diǎn)三：關(guān)聯(lián)速度
1．關(guān)聯(lián)速度問題特點(diǎn)
①繩(桿)物關(guān)聯(lián)問題：兩物體通過繩(桿)相牽連，當(dāng)兩物體都發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體的速度往往不相等，但因繩(桿)的長(zhǎng)度是不變的，因此兩物體的速度沿繩(桿)方向的分速度大小是相等的。
②桿點(diǎn)(面)關(guān)聯(lián)問題：桿的一端和一個(gè)物體的某點(diǎn)(面)接觸，兩物體通過繩(桿)相牽連，當(dāng)兩物體都發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體的速度往往不相等，但因二者始終接觸，因此兩物體的速度沿桿方向的分速度大小是相等的。
2．思路及常見模型
①分析思路
②常見模型
【例題4】如圖所示，某人用繩通過定滑輪拉小船，設(shè)人勻速拉繩的速度為v0，繩某時(shí)刻與水平方向夾角為α，則小船的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)及此時(shí)刻小船水平速度vx為（　　）
A．小船做變速運(yùn)動(dòng)，vx＝
B．小船做變速運(yùn)動(dòng)，vx＝v0cosα
C．小船做勻速直線運(yùn)動(dòng)，vx＝v0cosα
D．小船做勻速直線運(yùn)動(dòng)，vx＝v0cosα
【答案】A
【詳解】小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是水平向左的運(yùn)動(dòng)，它的速度vx可以產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使繩子OP段縮短；二是使OP段繩與豎直方向的夾角減小．所以小船的速度vx應(yīng)有沿OP繩指向O的分速度v0和垂直O(jiān)P的分速度v1，由運(yùn)動(dòng)的分解可求得
α角逐漸變大，可得vx是逐漸變大的，所以小船做的是變速運(yùn)動(dòng)。
故選A。
【例題5】如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)直輕桿AB在墻角沿豎直墻和水平地面滑動(dòng)，當(dāng)AB桿和墻的夾角為時(shí)，桿的A端沿墻下滑的速度大小為，B端沿地面的速度大小為，則、的關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】將A點(diǎn)的速度分解為沿桿子方向和垂直于桿子方向，在沿桿子方向上的分速度為
v1∥=v1cosθ
將B點(diǎn)的速度分解為沿桿子方向和垂直于桿子方向，在沿桿子方向上的分速度
v2∥=v2sinθ
由于
v1∥=v2∥
所以
v1=v2tanθ
故C正確ABD錯(cuò)誤。
故選C。
【訓(xùn)練檢測(cè)】
1.如圖所示，一玻璃管中注滿清水，水中放一軟木塞（軟木塞的直徑略小于玻璃管的直徑，輕重大小適宜，使它在水中能勻速上浮）。將玻璃管的開口端用膠塞塞緊（圖甲）。現(xiàn)將玻璃管倒置（圖乙），在軟木塞上升的同時(shí)，將玻璃管水平向右加速移動(dòng)，觀察軟木塞的運(yùn)動(dòng)，將會(huì)看到它斜向右上方運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間，玻璃管移至圖丁所示位置，軟木塞恰好運(yùn)動(dòng)到玻璃管的頂端，在下圖的四個(gè)圖像中，能正確反映軟木塞運(yùn)動(dòng)軌跡的是（　　）
A．B．C． D．
2.質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上做曲線運(yùn)動(dòng)，在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像如圖所示，下列說法中正確的是（ ）
A．質(zhì)點(diǎn)的初速度大小為5m/s
B．質(zhì)點(diǎn)所受合外力為8N，做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
C．2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移大小為10m
D．2s末質(zhì)點(diǎn)速度大小為10m/s
3.一條小河寬，一條小船最快能40s到達(dá)對(duì)岸，若要到達(dá)正對(duì)岸，則需要50s。若小船船頭斜向下游，與河岸方向成，船在靜水中速度大小不變，，，則下列說法正確的（　　）
A．小船到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間為45s B．水流速度為3.0m/s
C．小船到達(dá)對(duì)岸位置與出發(fā)點(diǎn)間的距離約467m D．船在靜水中速度大小4.0m/s
故選B。
4.一輪船的船頭始終指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向?qū)Π缎旭偅畡蛩倭鲃?dòng)，則關(guān)于輪船通過的路程、渡河經(jīng)歷的時(shí)間與水流速度的關(guān)系，下列說法正確的是（　　）
A．水流速度越大，路程越長(zhǎng)，時(shí)間越長(zhǎng)
B．水流速度越大，路程越短，時(shí)間越短
C．渡河時(shí)間與水流速度無關(guān)
D．路程與水流速度無關(guān)
（多選）5.如圖，小船在靜水中的速度為，當(dāng)小船在A處，船頭與上游河岸夾角過河，經(jīng)過一段時(shí)間正好到達(dá)正對(duì)岸B處。已知河寬，小船在靜水中速度大小不變，水流的速度不變，則下列說法中正確的（　　）
A．河中水流速度為
B．小船的渡河時(shí)間為
C．小船最短的渡河時(shí)間為30s
D．若小船在渡河過程中，水流速度突然增大，則小船渡河時(shí)間不變
（多選）6.如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時(shí)開始渡河，河寬，、分別是甲、乙兩船的出發(fā)點(diǎn)，兩船頭與河岸均成角，甲船船頭恰好對(duì)準(zhǔn)點(diǎn)的正對(duì)岸點(diǎn)，經(jīng)過一段時(shí)間乙船恰好到達(dá)點(diǎn)，如果劃船速度均為，且兩船相遇不影響各自的航行。下列判斷正確的是（　　）
A．水流方向向左，大小為
B．兩船同時(shí)到達(dá)河對(duì)岸，花費(fèi)時(shí)間均為
C．甲船水平位移為
D．甲乙兩船會(huì)在上某點(diǎn)相遇
（多選）7.如圖所示，一條小河寬，河中各處水的流速均勻，且水速的大小為，O點(diǎn)為岸邊一點(diǎn)，A為O點(diǎn)正對(duì)岸的一點(diǎn)。一只小船（可視為質(zhì)點(diǎn)）從O點(diǎn)保持船頭始終與岸成的角勻速駛向?qū)Π叮陟o水中的速度大小為。下列說法正確的（　　）
A．船到達(dá)對(duì)岸的位置在A點(diǎn)
B．船到達(dá).對(duì)岸的位置離A點(diǎn)50m遠(yuǎn)
C．船過河需要50s的時(shí)間
D．若水流速增大，其他條件不變，則船過河時(shí)間將不變
8．如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)直輕桿兩端分別固定小球A和B，豎直放置，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。由于微小的擾動(dòng)，A球沿豎直光滑槽向下運(yùn)動(dòng)，B球沿水平光滑槽向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時(shí)（圖中未標(biāo)出），關(guān)于兩球速度vA和vB的關(guān)系，下列說法正確的是（　　）
A．若，則A、B兩球的速度大小相等
B．若，則A、B兩球的速度大小相等
C．
D．
9．如圖所示的機(jī)械裝置可以將圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。連桿AB、OB可繞圖中A、B、O三處的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿OB在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)可通過連桿AB使滑塊在水平橫桿上左右滑動(dòng)。已知OB桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，當(dāng)連桿AB與水平方向夾角為α，AB桿與OB桿的夾角為β時(shí)，滑塊的水平速度大小為（　　）
A． B．
C． D．
10．A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現(xiàn)物體B以的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示，當(dāng)繩被拉成與水平面夾角分別是、時(shí)。物體A的運(yùn)動(dòng)速度為（繩始終有拉力）（　　）
A． B． C． D．
（多選）11．如圖所示，人在岸上用跨過光滑定滑輪的輕繩拉船，已知船的質(zhì)量為m，船受到水的阻力恒為Ff，當(dāng)輕繩與水面的夾角為θ時(shí)，船的速度為v，人的拉力大小為F，則此時(shí)（　　）
A．人拉輕繩行走的速度大小為vcos θ
B．人拉輕繩行走的速度大小為
C．船的加速度大小為
D．船的加速度大小為
【訓(xùn)練檢測(cè)答案】
1.【答案】C
【詳解】根據(jù)題意可知，軟木塞在豎直方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則軟木塞在豎直方向上相等時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離相等，軟木塞在水平方向上做加速運(yùn)動(dòng)，則軟木塞在水平方向上，相等時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離越來越大。
故選C。
2.【答案】A
【詳解】A．由x方向的速度圖像可知，初速度為
由y方向的位移圖像可知在y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為
由平行四邊形定則可知，質(zhì)點(diǎn)的初速度為
A正確；
B．由x方向的速度圖像可知，在x方向的加速度為
x方向所受合力
由y方向的位移圖像可知在y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)
y方向所受合力
Fy=0
所以質(zhì)點(diǎn)的合力
由于質(zhì)點(diǎn)的初速度方向與合外力方向不在一條直線上，所以質(zhì)點(diǎn)做勻加速曲運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；
C．2s內(nèi)x軸方向的位移為
y軸方向的位移為
所以質(zhì)點(diǎn)在2s末內(nèi)的位移為
C錯(cuò)誤；
D．2s末x軸方向的速度為
y軸方向的速度為
所以質(zhì)點(diǎn)在2s末的速度為
D錯(cuò)誤。
故選A。
3.【答案】B
【詳解】BD．當(dāng)船頭垂直河岸到達(dá)河岸，小船用時(shí)最短，則船靜水中速度大小為
若要到達(dá)正對(duì)岸，船的合速度為
解得水流速度為
故B正確，D錯(cuò)誤;
A．若小船船頭斜向下游，與河岸方向成，小船到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間為
故A錯(cuò)誤；
C．小船到達(dá)對(duì)岸位置沿河岸方向的位移為
小船到達(dá)對(duì)岸位置與出發(fā)點(diǎn)間的距離約為
故C錯(cuò)誤。
4.【答案】C
【詳解】因?yàn)榇怪庇诤影斗较虻乃俣炔蛔儯创俨蛔儯O(shè)兩側(cè)河岸間距為。則渡河時(shí)間
而水流方向是垂直于這個(gè)方向的，在這個(gè)方向上沒有分速度，所以不論水速多大，渡河時(shí)間不變；水速越大，則水流方向的位移就越大。根據(jù)路程
可知，水流速度越大，路程越長(zhǎng)。
故選C。
5.【答案】BD
【詳解】A．由題意知，船頭垂直河岸渡河，其渡河時(shí)間最短，船頭應(yīng)朝上游，與上游河岸方向成角，則
解得河水流速為
故A錯(cuò)誤；
B．小船的渡河時(shí)間為
故B正確；
C．小船以最短時(shí)間渡河，船頭應(yīng)垂直對(duì)岸，則
故C錯(cuò)誤；
D．渡河時(shí)間與水流速度無關(guān)，若小船在渡河過程中，僅水流速度突然增大，則小船渡河時(shí)間不變，故D正確。
故選BD。
6.【答案】BD
【詳解】A．以乙船為研究對(duì)象，如果水流方向向左，則如圖1所示
則船的合速度方向?yàn)樽笮毕蛏希豢赡軙?huì)到達(dá)P點(diǎn)，則說明水流方向一定向右，且依題意乙船的合速度垂直對(duì)岸，則船向左的分速度與水流速度相抵消，可得
故A錯(cuò)誤；
B．兩船在與垂直水流方向上的速度均為，且河寬均為d，則兩船同時(shí)到達(dá)河對(duì)岸，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，可知花費(fèi)時(shí)間均為
故B正確；
C．以甲船為研究對(duì)象，水流方向向右，則如圖2所示
則船在水平方向上的速度為
則甲船水平位移為
故C錯(cuò)誤；
D．甲乙兩船在縱向上的速度均為，且這也是乙的合速度，而甲船還有橫向速度，相當(dāng)于兩船在縱向上相對(duì)靜止，而橫向上甲船以的水平速度靠近乙船，所以甲乙兩船會(huì)在PN上某點(diǎn)相遇，故D正確。
故選BD。
7.【答案】AD
【詳解】ABC．沿垂直河岸方向滿足
沿河岸方向滿足
聯(lián)立解得
即船垂直到達(dá)河對(duì)岸A點(diǎn)，故A正確，BC錯(cuò)誤；
D．船過河時(shí)間與水流速度無關(guān)，故水流速增大時(shí)，其他條件不變，船過河時(shí)間不變，故D正確。
故選AD。
8.【答案】C
【詳解】當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，如圖所示
沿桿方向兩分速度大小相等，則
即
當(dāng)
時(shí)，可得
故選C。
9.【答案】D
【詳解】設(shè)滑塊的水平速度大小為v，A點(diǎn)的速度的方向沿水平方向，如圖將A點(diǎn)的速度分解
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，沿桿方向的分速度
vA分=vcosα
B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，實(shí)際速度是圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度，如圖設(shè)B的線速度為v′則：
vB分=v′cosθ=v′cos(β 90°)=v′sinβ
v′=ωL
又二者沿桿方向的分速度是相等的，即
vA分=vB分
聯(lián)立可得
v=
故選D
10【答案】B
【詳解】將A物體的速度沿著繩子方向與垂直繩子方向進(jìn)行分解，則有沿著繩子方向的速度大小為；將B物體的速度沿著繩子方向與垂直繩子方向進(jìn)行分解，則有沿著繩子方向的速度大小為。由于沿著繩子方向速度大小相等，故有
所以物體A的運(yùn)動(dòng)速度為
故選B。
【答案】AC
【詳解】AB．船運(yùn)動(dòng)的速度是沿繩子收縮方向的速度和垂直繩子方向速度的合速度，如圖所示
根據(jù)平行四邊形定則有
則人拉繩行走的速度為，故B錯(cuò)誤，A正確；
CD．對(duì)小船受力分析，如圖所示
根據(jù)牛頓第二定律有
船的加速度大小為
故D錯(cuò)誤，C正確。
故選AC。

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