資源簡介

第10講 杠桿
10.1 學習提要
簡單機械可以改變力的大小和方向，是人們在生產活動中達到省力、方便的目的。
一根硬棒，在力的作用下如果能夠繞著固定點轉動，這根硬棒就叫杠桿，如圖10-1所示，用硬棒撬動大石塊。杠桿是在特定條件下的總名稱，硬棒并不一定是直棒，可直可彎，任何形狀都可以。
10.1.1 支點、力臂、動力、阻力
1. 支點
杠桿繞著轉動的固定點，叫做支點。當有力作用在杠桿上時，杠桿繞其轉動。對杠桿本身而言，這一點是固定的。
當物體體積較大時，支點不再是一個點，而成為一個轉動軸，比如我們抬起木板時，以其與地面的接觸線為轉動軸。
2. 力臂
從支點到力的作用線的距離，叫做力臂，用字母L表示。力臂并不一定是杠桿上某一段長度，力臂的大小與其在杠桿上的作用點和動力與阻力的方向都有關。
如圖10-2所示，在力F1（或F2或F3）的作用下，硬棒OA處于水平位置靜止，同樣作用于A點的三個力F1、F2、F3，其方向不同，對應的力臂也不同。在圖10-2中，力F1的力臂是L1，力F2的力臂是L2，力F3的力臂是L3。
3. 動力和阻力
許多場合下，動力和阻力不能絕對區分，我們可設其中一個力為動力，則另一個力為阻力，這樣的設定并不影響我們的研究。對于一個杠桿而言，動力和阻力對于使杠桿轉動作用的方向總是相反的，即若阻力使杠桿順時針旋轉時，動力就必須使杠桿逆時針旋轉，杠桿才能平衡。
當杠桿受到兩個以上的力的作用時，按使杠桿轉動方向區分動力和阻力較為方便。
10.1.2 杠桿的平衡
通常情況下，杠桿是在平衡或非常衡的情況下使用的。所謂杠桿平衡，并非指杠桿一定處于水平位置而靜止，而是指杠桿在力的作用下保持靜止狀態或勻速轉動狀態。
10.1.3 杠桿平衡的條件
杠桿是否平衡由動力、動力臂、阻力、阻力臂的關系決定，我們由大量實驗得出杠桿平衡條件是“動力×動力臂=阻力×阻力臂”，即
F1 L1=F2 L2 或 F1/F2=L2/L1
當杠桿受到多個力的作用而處于平衡狀態時，則所有動力與動力臂乘積的和等于所有阻力與阻力臂乘積的和。
10.1.4 杠桿應用的實例
1. 省力杠桿
動力臂大于阻力臂的杠桿，他雖然省力，但要多移動距離，如圖10-3所示。例如剪鐵片的剪刀、開瓶蓋的起子、撬石頭的硬棒等都是省力杠桿。
2. 費力杠桿
動力臂小于阻力臂的杠桿。它雖然費力，但可以少移動距離。比如鑷子、理發用的剪刀、釣魚竿等都是費力杠桿。
3. 等臂杠桿
動力臂等于阻力臂的杠桿。它既不省力，也不省距離。例如天平的橫梁、公園里的摩天輪等都是等臂杠桿，小孩子玩的蹺蹺板我們一般也認為是等臂杠桿。
10.2 難點解釋
10.2.1 杠桿模型的建立
在實際中由于各種各樣的杠桿其具體的形狀不同，因此在畫示意圖時，要從實際的情景中確定出“標準化”的杠桿，然后才能進行分析。
如圖10-4所示，生活中常見的鋼絲鉗就可以看成是由左右兩個杠桿組合而成的工具，以此鋼絲鉗的右邊把手為例進行分析：鋼絲對鉗口的阻力F2的方向向左，手對把手的動力F1的方向也向左，這個杠桿的模型就是圖10-4（c）的省力杠桿。
10.2.2 力臂實質的理解
力臂的實質，，從數學的角度來看，就是點到直線的距離，當力的作用線正好與杠桿垂直時，力臂在杠桿上，當力的作用線不與杠桿垂直時，力臂不在杠桿上。
注意：對于杠桿是省力杠桿還是費力杠桿的分析，關鍵點取決于動力臂和阻力臂的大小對比，而不是取決于用眼睛直接看到的支點某測的杠桿的長短對比，這一點是引起同學們對題意理解錯誤的最常見原因之一。
10.3 例題解析
10.3.1 關于力臂的畫法
例1 如圖10-5（a）所示，杠桿OA在力F1、F2的作用下處于靜止狀態，L2是力F2的力臂。在圖中畫出力F1的力臂L1和力F2的示意圖。
【點撥】力臂與力總是垂直的。要畫力臂，首先要找到支點O，然后由支點O作力的作用線的垂線。而要做力F2的示意圖，關鍵要過力臂L2的端點作L2的垂線，且注意力的作用點是在杠桿上。
【答案】如圖10-5（b）所示
【反思】關鍵點一：作與力臂L2相垂直的作用線（虛線），并做出直角符號（提醒自己是在做到O點距離為L2的直線）。
關鍵點二：以虛線與杠桿的交點處為起點（提示自己力的作用點在杠桿上）。
關鍵點三：因F1使杠桿順時針旋轉，則F2使杠桿逆時針旋轉，則從交點起沿虛線向上畫力的示意圖。
10.3.2 關于生活中實際的工具與杠桿抽象模型的對照
例2 如圖10-6所示的幾種使用杠桿的實例中，屬于費力杠桿的是____________、____________、_______________（選填字母）。
【點撥】找出實例中的每一個杠桿的支點，即該杠桿可以繞那一點轉動，然后再找動力和阻力，再判斷動力臂和阻力臂的大小，只有動力臂小于阻力臂的杠桿，才是費力杠桿。
本題中的鑷子和火鉗均為兩個杠桿組成的組合式杠桿機械，因為是對稱性的杠桿，研究時我們只研究其中一個杠桿即可。
獨輪車實例中，前輪為支點，所以工人的手提供動力F1，砂石的重力為阻力F2，顯然L1>L2，這是一個省力杠桿。
鑷子實例中，鑷根為支點，人手提供動力F1，物體阻礙鑷尖合攏的力為阻力F2，顯然L1腳踏板實例中，腳跟處為支點，腳掌提供動力F1，向上的拉桿阻礙踏板向下移動為阻力F2，顯然L1扳頭實例中，扳頭左方與瓶蓋上方接觸處為支點，手提供動力F1，瓶蓋阻礙扳頭下方的小鉤向上移動為阻力F2，顯然L1>L2，這是一個省力杠桿。
火鉗實例與鑷子實例很相似，只是支點在兩個鉗刃的交叉處，這是一個費力杠桿。
【答案】（b）（c）（e）
【反思】在省力杠桿中，動力作用點所移動的距離都比阻力作用點移動的距離大；而在費力杠桿中，動力作用點所移動的距離都比阻力作用點移動的距離小。這個特點，也可以用來區分省力杠桿和費力杠桿。同學們不妨一試。
杠桿平衡條件的應用練習
例3如圖10-7所示，一根長40cm的輕質杠桿，它的一端可以繞固定點轉動，另一端A用線豎直向上拉著，在離A點12cm的B點掛一個質量為200g的鉤碼。當杠桿在水平位置平衡時，線的拉力是多大？
【點撥】在例1我們學會辨認杠桿的五要素，學會畫出杠桿的利力臂的基礎上，本題中加入了公式的計算。只要足夠細心，認清動力、動力臂、阻力、阻力臂，直接代入公式即可得到本題的答案。
【解析】阻力大小等于鉤碼的重力G，方向豎直向下，因杠桿為水平放置，可以看出阻力臂恰好為OB段的長度，又因為拉力的方向是豎直向上的，所以動力臂為OA段的長度，再來求動力F的大小。
根據杠桿平衡條件可知，
F OA=G OB
F×40cm=0.2kg×9.8N/kg×（40cm-12cm）
F=1.372N
【答案】拉力為1.372N。
【反思】本題中有兩點應引起同學們注意：一是已知物體的質量，而參與計算的物理量卻是物體的重力，要用G=mg公式進行計算后方可代入式中；二是阻力臂OB的長度也要進行計算后方可得到。
10.3.4 力臂變化對杠桿平衡的影響
例4 一根均勻的木棒，可繞O點自由轉動，現在A端施加一個與OA方向垂直的力F，使木棒繞O點轉動，由位置I，到位置II，再到位置III，如圖10-8（a）所示，則F的大小將（ ）
A.逐漸變大 B.逐漸變小 C.先變大再變小 D.先變小再變大
【點撥】因為力F始終與OA垂直，所以在杠桿旋轉的過程中，力F的力臂始終是不變的，且杠桿受到的阻力為桿重也不變，所以在杠桿轉動過程中，阻力的力臂如何變化是分析問題的關鍵點。
【解析】由圖10-8（b）所示，阻力的力臂由位置I到位置II是變大，到III的位置再變小，由杠桿的平衡條件F1×L1=F2×L2可知，要想使等式保持成立，也就是說要使杠桿保持平衡，則力F的變化要先變大再變小。
【答案】C
【反思】在動態的杠桿試題中，杠桿上的幾個物理量有時會發生變化，尤其是力臂的變化，初學者極不容易分析清楚，在分析時，要根據杠桿的平衡條件“動力×動力臂=阻力×阻力臂”，先分析其中哪幾個量是不變的，然后根據某個變化量（如本題中的阻力臂L2）的變化情況，確定要判斷的另一個物理量。
10.3.5 杠桿平衡的一題多解
例5 如圖10-9（a）所示，一根粗細均勻的硬棒AB被懸掛起來，已知AB=8AO，當在一處懸掛120牛的重物G時，杠桿恰好平衡，則杠桿自身的重力為________N。
【點撥】由于要考慮硬棒本身的重力，且支點又不在硬棒的端點，所以本題有不同的考慮和解法。
【解析一】若木棒AB總重為G木，總長度為L木。將OA作為一段硬棒，其重心在OA中心，OA重力為1/8G，力臂為1/16L。將OB作為一段硬棒，其重心在OB的中心，OB重力為7/8G，力臂為7/16L。如圖10-9（b）所示，由杠桿平衡條件可知：
G左 L左=G右 L右+F OA
7/8G木×7/16L木=1/8G木×L木+G×7/8L木
則G木=1/3G
【解析二】分析如圖10-9（c）所示。
主要思路是因支點相鄰兩格的作用相互抵消，不予考慮。
右端所掛物體的重力G只與最左邊的6格木棒重力作用相平衡，則
6/8G木×4/8L木=G×1/8L木
G木=1/3G
【解析三】如果將木棒看成一個整體，則這個整體的重力作用是使杠桿沿逆時針方向轉動，而外力G的作用是使杠桿沿順時針的方向轉動。分析如圖10-9（d）所示。
G木 3/8L木=G 1/8L木
則G木=1/3G
G木=1/3G=1/3 120N=20N
【答案】40N
【反思】局部和整體的分析方法在物理學中是最基本的，而且是常用的方法，在力學的分析中，多個物體受力和一個物體受多個力時，我們常常采用這種方法。從結果上來看，局部和整體的方法是等效的，不存在孰優孰劣的問題，只是從過程上來看，整體法解題往往較為簡練。
A 卷
__________________________叫做杠桿，這個固定點叫做_________；促使杠桿轉動的力叫做__________，阻礙杠桿轉動的力叫做__________，這兩個力對于使杠桿向哪個方向轉動的作用是__________（選填“相同”或“相反”）的；____________叫做力臂。
杠桿的平衡狀態是指杠桿處于_________或_________________狀態，杠桿的平衡條件是_____________________，數學表達式為_____________________。
動力臂為阻力臂4倍的杠桿是__________杠桿（選填“省力”或“費力”）。若該杠桿受到的阻力為20N，則當動力為__________N時，杠桿處于平衡狀態。
如圖10-10所示，輕質杠桿OA可繞O點轉動，OA=0.3m，OB=0.2m。A點處掛一個質量為2kg的物體G，B點處加一個豎直向上的力F，杠桿在水平位置平衡，則物體G的重力大小為__________N，力F大小為___________N。
如圖10-11所示，火車上有出售食品的手推車。若貨物在車內擺放均勻，當前輪遇到障礙物A時，售貨員向下按扶手，這時手推車可看作___________，支點是________點；當后輪遇到障礙物時，售貨員向上提扶手，這時支點是__________點，此時用力比向下按時____________（選填“省力”或“費力”）。
在圖10-12所示的簡單機械中，屬于費力杠桿的是（ ）
在圖10-13所示的各杠桿中，肯定不能使杠桿在水平位置的是（ ）
下列關于杠桿的說法中，正確的是（ ）
杠桿一定是直的
杠桿一定有支點
杠桿的支點可以不在杠桿上
杠桿的長度等于動力臂與阻力臂之和
在圖10-14中，O為支點，若分別在右端施加力F1、F2、F3和F4，其中力臂最長的力是（ ）
如圖10-15所示的裝置，AO=BO，A點掛一重200N的物體G，在B點施加一豎直向下的200N，則曲桿（ ）
保持平衡
順時針旋轉
逆時針旋轉
無法確定
把重4N和6N的A、B兩個物體分別掛在杠桿的兩端，當杠桿平衡時，兩個力臂之比為（ ）
2：3
3：2
5：2
5：3
某杠桿的動力臂是27cm，阻力臂是9cm，動力是30N，則阻力是（ ）
90N
10N
7.5N
22.5N
如圖10-16所示，已知物體重G=14N，AO=8cm，AB=20cm，當杠桿平衡時，拉力F的大小為（ ）
4N
5.6N
19.6N
35N
如圖10-17所示，杠桿已經平衡，下面各種做法中不會破壞杠桿平衡的是（ ）
兩邊各加一個砝碼
左邊向右移動2小格，右邊向左移動3小格
左邊向右移動3小格，右邊向左移動2小格
左邊加1個砝碼，并且向右移動3小格
如圖10-18所示，杠桿的質量可以忽略不計，如果OB與OA長度的比為2:3，在點A、B的鉤上都掛上重物，已知點B掛300N的砝碼時，杠桿處于靜止平衡狀態。此時如果在A、B兩端各增掛100N的砝碼，杠桿將（ ）
順時針轉動
逆時針轉動
靜止不動
無法判斷
在圖10-19中，杠桿OA在力F1、F2的作用下處于靜止狀態，請根據圖（a）、（b）、（c）中給出的力，分別畫出力F1和F2的力臂L1、L2，或者根據給出的力臂，畫出力的示意圖。
在圖10-20中，O是杠桿OAB的支點，請畫出能使杠桿平衡的最小的力F1及其力臂L。
在做“研究杠桿平衡的條件”實驗時，所用的器材有：帶刻度的杠桿、鐵架臺、鉤碼、細線（彈簧夾）和__________等。實驗前，首先把杠桿的中點支在支架上，調節__________，使杠桿在水平位置平衡。實驗中需要測定的物理量有________、_________、__________、_____________，實驗的結論是____________________。在圖10-21中，每一個鉤碼質量均相同，杠桿已平衡，如在支點左側的鉤碼下加掛一個相同的鉤碼，支點右側的鉤碼一起向右一格，則這時杠桿____________平衡（選填“能”或“不能”）。
如圖10-22所示，物體G重60N，O為支點，OB=10cm，AB=20cm，要使杠桿在水平位置平衡，在A點至少要加多少牛的動力？。
20. 一條扁擔長1.5m，前端掛200N重的貨物，后端掛300N重的貨物，欲使擔子在肩上恰好平衡，肩膀應離扁擔的前端多遠？
B 卷
對于杠桿而言，可以將其分為三種：
省力杠桿，F1__________F2，L1__________L2（選填“>”、“<”或“=”），特點是 省__________但費__________，實例有_________、__________等；
費力杠桿，F1__________F2，L1__________L2（選填“>”、“<”或“=”），特點是 省__________但費__________，實例有_________、__________等；
等臂杠桿，F1__________F2，L1__________L2（選填“>”、“<”或“=”），特點是 既不__________也不__________，實例有_________、__________等。
大人和小孩玩蹺蹺板，小孩要把大人翹起來，大人離轉動軸距離應__________些，小孩離轉動軸距離應__________些（選填“遠”或“近”），為了容易拉門，門的拉手應安在門的_________門軸處（選填“靠近”或“遠離”）。
將下列機械用相應的代號填入空格內，其中等臂杠桿為__________；省力杠桿為___________；費力杠桿為____________。
（a）抽水機手柄；（b）鍘刀；（c）鑷子；（d）開啤酒瓶的扳手；（e）拔鐵釘時的榔頭；（f）天平；（g）釣魚竿；（h）掃地的掃帚；（i）夾菜用的筷子；（j）鐵皮剪刀；（k）理發剪刀；（l）普通剪刀；（m）手推獨輪車。
已知杠桿動力臂跟阻力臂之比為10:3，用12N的動力能撬動__________N的重物。撬動過程中，動力作用點移動距離與阻力作用點移動距離之比是_____________。
在圖10-23中，O為支點，物體均重12N，要使圖（a）中杠桿平衡，在A點最小應加_____________N的力，方向_________；要使圖（b）中杠桿平衡，在B點最小應加_____________N的力，方向____________。
甲、乙兩人分坐在蹺蹺板的兩邊，蹺蹺板向甲方下傾，可以確定（ ）
A. 甲體重大于乙體重
B. 甲距支點的距離大于乙距支點的距離
C. 甲體重×甲距支點距離>乙體重×乙距支點的距離
D. 條件不足，無法確定
下列說法正確的是（ ）
杠桿的長度就是動力臂與阻力臂之和
杠桿的支點不一定在杠桿上
使用杠桿不一定省力，也不一定省距離
杠桿的支點一定在動力作用點與阻力作用點之間
若某根均勻圓木被豎直懸掛起來，用一個始終豎直向上的力將它從圖10-24所示的狀態拉至水平狀態，所用的力的大小將（ ）
一直變小
一直變大
先變大再變小
不變
如圖10-25所示，人的前臂可視為杠桿，當曲肘將課本向上舉起時，下列說法中正確的是（ ）
前臂是省力杠桿，阻力臂變大
前臂是省力杠桿，阻力臂變小
前臂是費力杠桿，阻力臂變大
前臂是費力杠桿，阻力臂變小
在圖10-26中，已知物體A重24N，AC=8cm，AB=20cm，CD=12cm，當杠桿平衡時，拉力F為（ ）
16N
9.6N
6.86N
24N
水平地面上放置一根2m長的均勻的圓木，當從一端用150N的力剛好將其抬起時，這根圓木的重力是（ ）
75N
150N
300N
不知阻力臂，無法計算
水平地面上放置一根2m長的不均勻的圓木，當從一端用150N的力剛好將其抬起時，又從另一端剛好用210N的力才將其抬起，則這根圓木重力為（ ）
300N
360N
420N
不知阻力臂，無法計算
杠桿的基本形狀如圖10-27所示，請在以下各圖中的B點標出F2的方向。
畫出圖10-28的各圖中F1和F2的力臂L1和L2。
請在圖10-29的各圖中B點畫出所用的力，使圖（a）、圖（b）、圖（c）所示的杠桿分別成為省力杠桿、費力杠桿和等臂杠桿。
如圖10-30所示，杠桿AB處于平衡狀態，力F1為5N。請在B點做出使杠桿平衡的最小的力的圖示。
請在圖10-31中作出三個不同方向的對杠桿不起作用的力（可以嘗試在不同位置）。
如圖10-32所示，當用力推動一個車輪過一個小障礙物（或是一個球過障礙物）時，如何用力是最省力的？在圖10-30中畫出示意圖。
如圖10-33所示，一根均勻木尺放在水平桌面上，它的一端伸到桌面的外面，伸到桌面外面那部分的長度是木尺的1/4，在木尺末端的B點加一個作用力F，當力F=3N時，木尺的另一端A開始向上翹起，那么木尺受到的重力為多少？
如圖10-34所示，秤砣的質量為1kg，秤桿和秤盤的總質量為0.5kg，定盤星到提鈕的距離為2cm，秤盤到提鈕的距離為10cm，若有人換了一個質量為0.8kg的秤砣，售出2.5kg的物品，物品的實際質量是多少？
參考答案：
A 卷
1.在力的作用下可以繞固定點轉動的硬棒，支點，動力，阻力，相反，支點到力的作用線的距離
2. 靜止，勻速轉動，杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂，F1×L1=F2×L2
3.省力，5
4. 19.6,29.4
5. 杠桿，C，B，省力
6. B 7. C 8. B 9. C 10. C
11. B 12. A 13. A 14. C 15. A
16. 見圖 17.見圖
18.彈簧測力計，平衡螺母，動力，動力臂，阻力，阻力臂，杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂，能
19.20N 20. 0.9m
B 卷
1.（1）<，>，力，距離，撬棒，剪鐵皮剪刀；（2）>，<，距離，力，釣魚竿，理發剪刀；（3）=，=，省力，省距，摩天輪，天平
2. 近，遠，遠離
3. （f），（a）（b）（d）（e）（j）（m），（c）（g）（h）（i）（k）
4. 40,10:3
5. 36，豎直向上，4，豎直向下
6.C 7. C 8. D 9.D 10.A 11.C 12. B
13. 圖略 14. 圖略 15. 見圖
16. 見圖 17. 見圖 18. 見圖
19. 3N
20.m=1.95kg
(
15
)

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