資源簡介

§3.1 車輪為什么做成圓形
1．P為⊙O內與O不重合的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．點P到⊙O上任一點的距離都小于⊙O的半徑
B．⊙O上有兩點到點P的距離等于⊙O的半徑
C．⊙O上有兩點到點P的距離最小
D．⊙O上有兩點到點P的距離最大
2．若⊙A的半徑為5，點A的坐標為（3，4），點P的坐標為（5，8），則點P的位置為（ ）
A．在⊙A內 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不確定
3．兩個圓心為O的甲、乙兩圓，半徑分別為r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么點A在（ ）
A．甲圓內 B．乙圓外 C．甲圓外，乙圓內 D．甲圓內，乙圓外
4．以已知點O為圓心作圓，可以作（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
5．以已知點O為圓心，已知線段a為半徑作圓，可以作（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
6．已知⊙O的半徑為3．6cm，線段OA=cm，則點A與⊙O的位置關系是（ ）
A．A點在圓外 B．A點在⊙O上 C．A點在⊙O內 D． 不能確定
7．⊙O的半徑為5，圓心O的坐標為（0，0），點P的坐標為（4，2），則點P與⊙O的位置關系是（ ）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上
C．點P在⊙O外 D．點P在⊙O上或⊙O外
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB邊的中點，以C為圓心，4cm長為半徑作圓，則A、B、C、D四點中在圓內的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM為中線，以C為圓心，cm為半徑作圓，則A、B、C、M四點在圓外的有 ，在圓上的有 ，在圓內的有 ．
10．一點和⊙O上的最近點距離為4cm，最遠距離為9cm，則這圓的半徑是 cm．
11．圓上各點到圓心的距離都等于 ，到圓心的距離等于半徑的點都在 ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A為圓心，12cm為半徑作圓，則點C與⊙A的位置關系是 ．
13．⊙O的半徑是3cm，P是⊙O內一點，PO=1cm，則點P到⊙O上各點的最小距離是 ．
14．作圖說明：到已知點A的距離大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有點組成的圖形．
15．菱形的四邊中點是否在同一個圓上？如果在同一圓上，請找出它的圓心和半徑．
16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分別是AB和AC的中點．以B為圓心，以BC為半徑作⊙B，點A、C、D、E分別與⊙B有怎樣的位置關系？
17．已知：如圖，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A為圓心作圓，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍．
18．如圖，公路MN和公路PQ在P處交匯，且∠QPN=30°，點A處有一所中學，AP=160m．假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由；如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/時，那么學樣受影響的時間為多少秒？
19．在等腰三角形ABC中，B、C為定點，且AC=AB，D為BC的中點，以BC為直徑作⊙D，問：（1）頂角A等于多少度時，點A在⊙D上？（2）頂角A等于多少度時，點A在⊙D內部？（3）頂角A等于多少度時，點A在⊙D外部？
20．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M為AB的中點，以CD為直徑畫圓P，判斷點M與⊙P的位置關系．
§3.2 圓的對稱性（第一課時）
二、課內練習：
1、判斷：
⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.（ ）
⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.（ ）
⑶經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ）
⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）
2、已知：如圖,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.
圖中相等的線段有 .
圖中相等的劣弧有 .
3、已知：如圖，⊙O 中， AB為 弦，C 為 AB 的中點，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半徑OA.
4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.
5．儲油罐的截面如圖3-2-12所示，裝入一些油后，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度．
6． “五段彩虹展翅飛”，我省利用國債資金修建的，橫跨南渡江的瓊州大橋（如圖3-2-16）已于今年5月12日正式通車，該橋的兩邊均有五個紅色的圓拱，如圖（1）．最高的圓拱的跨度為110米，拱高為22米，如圖（2）那么這個圓拱所在圓的直徑為多少米？
三、課后練習：
1、已知，如圖在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，求證：AC＝BD
2、已知AB、CD為⊙O的弦,且AB⊥CD，AB將CD分成3cm和7cm兩部分，求：圓心O到弦AB的距離
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求證：
4、已知：⊙O半徑為6cm，弦AB與直徑CD垂直，且將CD分成1∶3兩部分,求：弦AB的長．
5、已知：AB為⊙O的直徑，CD為弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求證：AE＝BF
6、已知：△ABC內接于⊙O，邊AB過圓心O，OE是BC的垂直平分線，交⊙O于E、D兩點，求證：
7、已知：AB為⊙O的直徑，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，連結OE，OF
求證：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF
8、在⊙O中，弦AB∥EF，連結OE、OF交AB于C、D求證：AC＝DB
9、已知如圖等腰三角形ABC中，AB＝AC，半徑OB＝5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求ABC的長
10、已知：⊙O與⊙O＇相交于P、Q，過P點作直線交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇與AB平行求證：AB＝2OO＇
11、已知：AB為⊙O的直徑，CD為弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求證：EC＝DF
§3.2 圓的對稱性（第二課時）
　1、判斷題
　　（1）相等的圓心角所對弦相等　（　）
　　（2）相等的弦所對的弧相等　　（　）
　2、⊙O中，弦AB的長恰等于半徑，則弦AB所對圓心角是________度．
　　3、如圖，O為兩個同圓的圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，OE⊥AB，垂足為E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，則AB長度是___________．
　　A、6 cm　　B、8 cm　　C、7 cm　　D、7.5 cm
　　三、課后練習：
1．下列命題中，正確的有（ ）
A．圓只有一條對稱軸
B．圓的對稱軸不止一條，但只有有限條
C．圓有無數條對稱軸，每條直徑都是它的對稱軸
D．圓有無數條對稱軸，經過圓心的每條直線都是它的對稱軸
2．下列說法中，正確的是（ ）
A．等弦所對的弧相等 B．等弧所對的弦相等
C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等
3．下列命題中，不正確的是（ ）
A．圓是軸對稱圖形 B．圓是中心對稱圖形
C．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 D．以上都不對
4．半徑為R的圓中，垂直平分半徑的弦長等于（ ）
A．R B．R C．R D．2R
5．如圖1，半圓的直徑AB=4，O為圓心，半徑OE⊥AB，F為OE的中點，CD∥AB，則弦CD的長為（ ）
A．2 B． C． D．2
6．已知：如圖2，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為P，且AP=4cm，PD=2cm，則⊙O的半徑為（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
7．如圖3，同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么兩個同心圓的半徑之比為（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
8．半徑為R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若兩弦的弦心距分別為OE、OF，則OE：OF=（ ）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．0
9．在⊙O中，圓心角∠AOB=90°，點O到弦AB的距離為4，則⊙O的直徑的長為（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
10．如果兩條弦相等，那么（ ）
A．這兩條弦所對的弧相等 B．這兩條弦所對的圓心角相等
C．這兩條弦的弦心距相等 D．以上答案都不對
11．⊙O中若直徑為25cm，弦AB的弦心距為10cm，則弦AB的長為 ．
12．若圓的半徑為2cm，圓中的一條弦長2cm，則此弦中點到此弦所對劣弧的中點的距離為 ．
13．AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，則AB= ．
14．半徑為5的⊙O內有一點P，且OP=4，則過點P的最短的弦長是 ，最長的弦長是 ．
15．弓形的弦長6cm，高為1cm，則弓形所在圓的半徑為 cm．
16．在半徑為6cm的圓中，垂直平分半徑的弦長為 cm．
17．一條弦把圓分成1：3兩部分，則弦所對的圓心角為 ．
18．弦心距是弦的一半時，弦與直徑的比是 ，弦所對的圓心角是 ．
19．如圖4，AB、CD是⊙O的直徑OE⊥AB，OF⊥CD，則∠EOD ∠BOF， ，AC AE．
20．如圖5，AB為⊙O的弦，P是AB上一點，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半徑．
21．如圖6，已知以點O為公共圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓于C、D．
（1）求證：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圓環的面積．
22．⊙O的直徑為50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之間的距離．
23．如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？
24．已知一弓形的弦長為4，弓形所在的圓的半徑為7，求弓形的高．
25．如圖，已知⊙O1和⊙O2是等圓，直線CF順次交這兩個圓于C、D、E、F，且CF交O1O2于點M，，O1M和O2M相等嗎？為什么？
§3.2 圓的對稱性（第一課時）
學習目標:
經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程．理解圓的對稱性及相關知識．理解并掌握垂徑定理．
學習重點:
垂徑定理及其應用．
學習難點:
垂徑定理及其應用．
學習方法:
指導探索與自主探索相結合。
學習過程:
一、舉例：
【例1】判斷正誤：
（1）直徑是圓的對稱軸．
（2）平分弦的直徑垂直于弦．
【例2】若⊙O的半徑為5，弦AB長為8，求拱高．
【例3】如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的長．
【例4】如圖，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半徑長．
【例5】如圖1，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，EC和DF相等嗎？說明理由．
如圖2，若直線EF平移到與直徑AB相交于點P（P不與A、B重合），在其他條件不變的情況下，原結論是否改變？為什么？
如圖3，當EF∥AB時，情況又怎樣？
如圖4，CD為弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分別交直徑AB于E、F兩點，你能說明AE和BF為什么相等嗎？
二、課內練習：
1、判斷：
⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.（ ）
⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.（ ）
⑶經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ）
⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）
2、已知：如圖,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.
圖中相等的線段有 .
圖中相等的劣弧有 .
3、已知：如圖，⊙O 中， AB為 弦，C 為 AB 的中點，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半徑OA.
4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.
5．儲油罐的截面如圖3-2-12所示，裝入一些油后，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度．
6． “五段彩虹展翅飛”，我省利用國債資金修建的，橫跨南渡江的瓊州大橋（如圖3-2-16）已于今年5月12日正式通車，該橋的兩邊均有五個紅色的圓拱，如圖（1）．最高的圓拱的跨度為110米，拱高為22米，如圖（2）那么這個圓拱所在圓的直徑為 米．
三、課后練習：
1、已知，如圖在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，求證：AC＝BD
2、已知AB、CD為⊙O的弦,且AB⊥CD，AB將CD分成3cm和7cm兩部分，求：圓心O到弦AB的距離
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求證：
4、已知：⊙O半徑為6cm，弦AB與直徑CD垂直，且將CD分成1∶3兩部分,求：弦AB的長．
5、已知：AB為⊙O的直徑，CD為弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求證：AE＝BF
6、已知：△ABC內接于⊙O，邊AB過圓心O，OE是BC的垂直平分線，交⊙O于E、D兩點，求證，
7、已知：AB為⊙O的直徑，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，連結OE，OF求證：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF
8、在⊙O中，弦AB∥EF，連結OE、OF交AB于C、D求證：AC＝DB
9、已知如圖等腰三角形ABC中，AB＝AC，半徑OB＝5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求ABC的長
10、已知：⊙O與⊙O＇相交于P、Q，過P點作直線交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇與AB平行求證：AB＝2OO＇
11、已知：AB為⊙O的直徑，CD為弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求證：EC＝DF
§3.2 圓的對稱性（第二課時）
學習目標:
圓的旋轉不變性，圓心角、弧、弦之間相等關系定理．
學習重點:
圓心角、弧、弦之間關系定理．
學習難點:
“圓心角、弧、弦之間關系定理”中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明．
學習方法:
指導探索法.
學習過程:
一、例題講解：
【例1】已知A,B是⊙O上的兩點,∠AOB=1200,C是 的中點,試確定四邊形OACB的形狀,并說明理由.
【例2】如圖，AB、CD、EF都是⊙O的直徑，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？為什么？
【例3】如圖，弦DC、FE的延長線交于⊙O外一點P，直線PAB經過圓心O，請你根據現有圓形，添加一個適當的條件： ，使∠1=∠2．
二、課內練習：
　1、判斷題
　　（1）相等的圓心角所對弦相等　（　）
　　（2）相等的弦所對的弧相等　　（　）
　2、填空題
　　⊙O中，弦AB的長恰等于半徑，則弦AB所對圓心角是________度．
　　3、選擇題
　　如圖，O為兩個同圓的圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，OE⊥AB，垂足為E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，則AB長度是___________．
　　A、6 cm　　B、8 cm　　C、7 cm　　D、7.5 cm
　　4、選擇填空題
　　如圖2，過⊙O內一點P引兩條弦AB、CD，使AB＝CD，
　　求證：OP平分∠BPD．
　　證明：過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．
　　
A　OM⊥PB　　B　OM⊥AB　C　ON⊥CD　D　ON⊥PD
三、課后練習：
1．下列命題中，正確的有（ ）
A．圓只有一條對稱軸
B．圓的對稱軸不止一條，但只有有限條
C．圓有無數條對稱軸，每條直徑都是它的對稱軸
D．圓有無數條對稱軸，經過圓心的每條直線都是它的對稱軸
2．下列說法中，正確的是（ ）
A．等弦所對的弧相等 B．等弧所對的弦相等
C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等
3．下列命題中，不正確的是（ ）
A．圓是軸對稱圖形 B．圓是中心對稱圖形
C．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 D．以上都不對
4．半徑為R的圓中，垂直平分半徑的弦長等于（ ）
A．R B．R C．R D．2R
5．如圖1，半圓的直徑AB=4，O為圓心，半徑OE⊥AB，F為OE的中點，CD∥AB，則弦CD的長為（ ）
A．2 B． C． D．2
6．已知：如圖2，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為P，且AP=4cm，PD=2cm，則⊙O的半徑為（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
7．如圖3，同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么兩個同心圓的半徑之比為（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
8．半徑為R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若兩弦的弦心距分別為OE、OF，則OE：OF=（ ）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．0
9．在⊙O中，圓心角∠AOB=90°，點O到弦AB的距離為4，則⊙O的直徑的長為（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
10．如果兩條弦相等，那么（ ）
A．這兩條弦所對的弧相等 B．這兩條弦所對的圓心角相等
C．這兩條弦的弦心距相等 D．以上答案都不對
11．⊙O中若直徑為25cm，弦AB的弦心距為10cm，則弦AB的長為 ．
12．若圓的半徑為2cm，圓中的一條弦長2cm，則此弦中點到此弦所對劣弧的中點的距離為 ．
13．AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，則AB= ．
14．半徑為5的⊙O內有一點P，且OP=4，則過點P的最短的弦長是 ，最長的弦長是 ．
15．弓形的弦長6cm，高為1cm，則弓形所在圓的半徑為 cm．
16．在半徑為6cm的圓中，垂直平分半徑的弦長為 cm．
17．一條弦把圓分成1：3兩部分，則弦所對的圓心角為 ．
18．弦心距是弦的一半時，弦與直徑的比是 ，弦所對的圓心角是 ．
19．如圖4，AB、CD是⊙O的直徑OE⊥AB，OF⊥CD，則∠EOD ∠BOF， ，AC AE．
20．如圖5，AB為⊙O的弦，P是AB上一點，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半徑．
21．如圖6，已知以點O為公共圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓于C、D．
（1）求證：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圓環的面積．
22．⊙O的直徑為50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之間的距離．
23．如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？
24．已知一弓形的弦長為4，弓形所在的圓的半徑為7，求弓形的高．
25．如圖，已知⊙O1和⊙O2是等圓，直線CF順次交這兩個圓于C、D、E、F，且CF交O1O2于點M，，O1M和O2M相等嗎？為什么？
§3.3 圓周角和圓心角的關系（第一課時）
1、⊙O的弦AB等于半徑，那么弦AB所對的圓周角一定是（ ）．
　　（A）30°　（B）150°　（C）30°或150°　（D）)60°
　　2、△ABC中，∠B＝90°，以BC為直徑作圓交AC于E，若BC=12，AB=12 ，則 的度數為（ ）．
　　（A）60°　（B）80°　（C）100°　（D）)120°
　　3、如圖，△ABC是⊙O的內接等邊三角形，D是AB上一點，AB與CD交于E點，則圖中60°的角共有( )個．
　　（A）3　（B）4　（C）5　（D）6
　　4、如圖，△ABC內接于⊙O，∠OBC=25°，則∠A的度數為（ ）
　　（A）70°　（B）65°　（C）60°　（D）)50°
　　5、圓內接三角形三個內角所對的弧長為3:4:5，那么這個三角形內角的度數分別為________．
　　6、如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的長．
7、已知：如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，⊙O的直徑BD交AC于E，AF⊥BD于F，延長AF交BC于G．求證：
§3.3 圓周角和圓心角的關系（第二課時）
【例2】如圖，已知⊙O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長．
【例3】如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求證：AC⊥OD；
（2）求OD的長；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直徑．
【例5】如圖1，AB是半⊙O的直徑，過A、B兩點作半⊙O的弦，當兩弦交點恰好落在半⊙O上C點時，則有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如圖2，若兩弦交于點P在半⊙O內，則AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？請說明理由．
（2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長線交于P點，則AB2= ．參照（1）填寫相應結論，并證明你填寫結論的正確性．
二、練習：
1．在⊙O中，同弦所對的圓周角（ ）
A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．都不對
2．如圖，在⊙O中，弦AD=弦DC，則圖中相等的圓周角的對數是（ ）
A．5對 B．6對 C．7對 D．8對
3．下列說法正確的是（ ）
A．頂點在圓上的角是圓周角
B．兩邊都和圓相交的角是圓周角
C．圓心角是圓周角的2倍
D．圓周角度數等于它所對圓心角度數的一半
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．等弧所對圓周角相等 B．同弧所對圓周角相等
C．同圓中，相等的圓周角所對弧也相等． D．同圓中，等弦所對的圓周角相等
5．如圖4，AB是⊙O的直徑，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角．若∠BCD=25°，則∠AOD= ．
6．如圖5，⊙O直徑MN⊥AB于P，∠BMN=30°，則∠AON= ．
7．如圖6，AB是⊙O的直徑，=，∠A=25°，則∠BOD= ．
8．如圖7，A、B、C是⊙O上三點，∠BAC的平分線AM交BC于點D，交⊙O于點M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，則∠CBM= ，∠AMB= ．
9．⊙O中，若弦AB長2cm，弦心距為cm，則此弦所對的圓周角等于 ．
10．如圖8，⊙O中，兩條弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半徑．
11．如圖9，AB是⊙O的直徑，FB交⊙O于點G，FD⊥AB，垂足為D，FD交AG于E．求證：EF·DE=AE·EG．
12．如圖，AB是半圓的直徑，AC為弦，OD⊥AB，交AC于點D，垂足為O，⊙O的半徑為4，OD=3，求CD的長．
13．如圖，⊙O的弦AD⊥BC，垂足為E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的長；（2）AD的長．
14．如圖，在圓內接△ABC中，AB=AC，D是BC邊上一點．
（1）求證：AB2=AD·AE；
（2）當D為BC延長線上一點時，第（1）小題的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
15．如圖，已知BC為半圓的直徑，O為圓心，D是的中點，四邊形ABCD對角線AC、BD交于點E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下，求弦AB的長
．證明（1）：BC是直徑，D是弧AC的中點
故∠BAE=∠BDC=90，∠ABE=∠DBC=1/2∠ABC
故△ABE∽△DBC
(2)BC=5/2，CD=√5/2
故BD=√5
∠AEB=∠CED，∠BAE=∠BDC=90
故△ABE∽△CED∽△DBC
從而CE/BC=CD/BD
CE=5/4
sin∠AEB=sin∠CED=CD/CE=（√5/2）/（5/4）=2√5/5
(3)CD=√5/2,CE=5/4
DE=√5/4,BD=√5
BE=BD-DE=√5-√5/4=3√5/4
sin∠AEB=AB/BE=AB/(3√5/4)=2√5/5
AB=3/2
16．如圖，以△ABC的BC邊為直徑的半圓交AB于D，交AC于E，過E點作EF⊥BC，垂足為F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的長．
解：連BE
因為BC是直徑 所以∠BEC=90°，
在直角三角形ABE中，AE=2,AB=8,
由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=64-4=60,
解得BE=2√15，
設BF=5x,則FC=X,BC=6X
由射影定理，得， BE2=BF*BC, 即60=5x*6x 解得x=√2, 所以BC=6√2,
在直角三角形BEC中，由勾股定理，得， EC2=BC2-BE2=(6√2)22-60=12
解得EC=2√3
§3.3 圓周角和圓心角的關系（第一課時）
學習目標:
　　（1）理解圓周角的概念,掌握圓周角的兩個特征、定理的內容及簡單應用；
　　（2）繼續培養學生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力；
　　（3）滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的數學思想方法．
學習重點:
圓周角的概念和圓周角定理
學習難點:
圓周角定理的證明中由“一般到特殊”的數學思想方法和完全歸納法的數學思想．
學習方法:
指導探索法.
學習過程:
一、舉例：
1、已知⊙O中的弦AB長等于半徑，求弦AB所對的圓周角和圓心角的度數．
2、如圖，OA、OB、OC都是圓O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC
3、如圖，已知圓心角∠AOB=100°，求圓周角∠ACB、∠ADB的度數？
4、一條弦分圓為1：4兩部分，求這弦所對的圓周角的度數？
5、已知AB為⊙O的直徑，AC和AD為弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度數．
6、如圖，A、B、C、D、E是⊙O上的五個點，則圖中共有 個圓周角，分別是 ．
7、如圖，已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求證：△DOE是等邊三角形；（2）如圖3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，則①中結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由？
8、已知等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過O2，點C是上任一點（不與A、O2、B重合），連接BC并延長交⊙O2于D，連接AC、AD．求證： ．
（1）操作測量：圖a）供操作測量用，測量時可使用刻度尺或圓規將圖（a）補充完整，并觀察和度量AC、CD、AD三條線段的長短，通過觀察或度量說出三條線段之間存在怎樣的關系？
（2）猜想結論（求證部分），并證明你的猜想；（在補充完整的圖（a）中進行證明）
（3）如圖b），若C點是的中點，AC與O1O2相交于E點，連接O1C，O2C．求證：CE2=O1O2·EO2．
二、課外練習：
1、⊙O的弦AB等于半徑，那么弦AB所對的圓周角一定是（ ）．
　　（A）30°　（B）150°　（C）30°或150°　（D）)60°
　　2、△ABC中，∠B＝90°，以BC為直徑作圓交AC于E，若BC=12，AB=12 ，則 的度數為（ ）．
　　（A）60°　（B）80°　（C）100°　（D）)120°
　　3、如圖，△ABC是⊙O的內接等邊三角形，D是AB上一點，AB與CD交于E點，則圖中60°的角共有( )個．
　　（A）3　（B）4　（C）5　（D）6
　　4、如圖，△ABC內接于⊙O，∠OBC=25°，則∠A的度數為（ ）
　　（A）70°　（B）65°　（C）60°　（D）)50°
　　5、圓內接三角形三個內角所對的弧長為3:4:5，那么這個三角形內角的度數分別為__________．
　　6、如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的長．
7、已知：如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，⊙O的直徑BD交AC于E，AF⊥BD于F，延長AF交BC于G．求證：
§3.3 圓周角和圓心角的關系（第二課時）
學習目標:
　　掌握圓周角定理幾個推論的內容,會熟練運用推論解決問題.
學習重點:
圓周角定理幾個推論的應用.
學習難點:
理解幾個推論的”題設”和”結論”．
學習方法:
指導探索法.
學習過程:
一、舉例：
【例1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環形，根據圖形3-3-19所表示的情形，四個工件哪一個肯定是半圓環形？
【例2】如圖，已知⊙O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長．
【例3】如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求證：AC⊥OD；
（2）求OD的長；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直徑．
【例4】四邊形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如圖3-3-15，求BD的長．
【例5】如圖1，AB是半⊙O的直徑，過A、B兩點作半⊙O的弦，當兩弦交點恰好落在半⊙O上C點時，則有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如圖2，若兩弦交于點P在半⊙O內，則AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？請說明理由．
（2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長線交于P點，則AB2= ．參照（1）填寫相應結論，并證明你填寫結論的正確性．
二、練習：
1．在⊙O中，同弦所對的圓周角（ ）
A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．都不對
2．如圖，在⊙O中，弦AD=弦DC，則圖中相等的圓周角的對數是（ ）
A．5對 B．6對 C．7對 D．8對
3．下列說法正確的是（ ）
A．頂點在圓上的角是圓周角
B．兩邊都和圓相交的角是圓周角
C．圓心角是圓周角的2倍
D．圓周角度數等于它所對圓心角度數的一半
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．等弧所對圓周角相等 B．同弧所對圓周角相等
C．同圓中，相等的圓周角所對弧也相等． D．同圓中，等弦所對的圓周角相等
5．如圖4，AB是⊙O的直徑，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角．若∠BCD=25°，則∠AOD= ．
6．如圖5，⊙O直徑MN⊥AB于P，∠BMN=30°，則∠AON= ．
7．如圖6，AB是⊙O的直徑，=，∠A=25°，則∠BOD= ．
8．如圖7，A、B、C是⊙O上三點，∠BAC的平分線AM交BC于點D，交⊙O于點M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，則∠CBM= ，∠AMB= ．
9．⊙O中，若弦AB長2cm，弦心距為cm，則此弦所對的圓周角等于 ．
10．如圖8，⊙O中，兩條弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半徑．
11．如圖9，AB是⊙O的直徑，FB交⊙O于點G，FD⊥AB，垂足為D，FD交AG于E．求證：EF·DE=AE·EG．
12．如圖，AB是半圓的直徑，AC為弦，OD⊥AB，交AC于點D，垂足為O，⊙O的半徑為4，OD=3，求CD的長．
13．如圖，⊙O的弦AD⊥BC，垂足為E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的長；（2）AD的長．
14．如圖，在圓內接△ABC中，AB=AC，D是BC邊上一點．
（1）求證：AB2=AD·AE；
（2）當D為BC延長線上一點時，第（1）小題的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
15．如圖，已知BC為半圓的直徑，O為圓心，D是的中點，四邊形ABCD對角線AC、BD交于點E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下，求弦AB的長．
16．如圖，以△ABC的BC邊為直徑的半圓交AB于D，交AC于E，過E點作EF⊥BC，垂足為F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的長．
§3.6 圓和圓的位置關系
二、課內練習：
1．已知半徑為1厘米的兩圓外切，半徑為2厘米且和這兩圓都相切的圓共有 個．
2．三角形三邊長分別為5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三個頂點為圓心的三個圓兩兩外切，則此三個圓的半徑分別為 ．
3．兩圓的圓心坐標分別是（，0）和（0，1），它們的半徑分別是3和5，則這兩個圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．相交 C．外切 D．內切
三、課后練習：
1．以平面直角坐標系中的兩點O1（0，3）和O2（4，0）為圓心，以8和3為半徑的兩圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．外切 C．相離 D．相交
2．兩圓半徑之比為3：2，當此兩圓外切時，圓心距是10cm，那么，當此兩圓內切時，其圓心距為（ ）
A．大于2cm且小于6cm B．小于2cm
C．等于2cm D．非以上取值范圍
3．已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為6和3，O1、O2的坐標分別是（5，0）和（0，6），則兩圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．外切 C．內切 D．外離
4．R、r是兩圓的半徑（R＞r），d是兩圓的圓心距，若方程x2－2Rx＋r2=d（2r－d）有等根，則以R、r為半徑的兩圓的位置關系是（ ）
A．外切 B．內切 C．外離 D．相交
5．已知半徑分別為r和2r的兩圓相交，則這兩圓的圓心距d的取值范圍是（ ）
A．0＜d＜3r B．r＜d＜3r C．r＜d＜2r D．r≤d≤3r
6．下列說法正確的是（ ）
A．沒有公共點的兩圓叫兩圓外離 B．相切兩圓的圓心距必須經過切點
C．相交兩圓的交點關于連心線對稱
D．若⊙O1、⊙O2的半徑為R、r，圓心距為d，當兩圓同心時，R－r＞d
7．已知兩個等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，且⊙O1經過O2，則四邊形O1AO2B是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．半徑分別為1、2、3的三圓兩兩外切，則以這三個圓的圓心為頂點的三角形的形狀為（ ）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
9．半徑分別為1cm和2cm的兩圓外切，那么與這兩個圓都相切且半徑為3cm的圓的個數是（ ）
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
10．兩圓的半徑分別是方程x2－12x＋27=0的兩個根，圓心距為9，則兩圓的位置關系一定是 ．
11．已知兩圓外離，圓心距等于12，大圓的半徑是7，那么小圓的半徑所可能取的整數值是 ．
12．已知兩圓半徑的比為3：5，當兩圓內切時，圓心距為4cm，那么當此兩圓外切時，圓心距應為 ．
13．平面上兩圓的位置關系可以歸納為三類，即 、 和 ．
14．已知兩圓直徑為3＋r，3－r，若它們圓心距為r，則兩圓的位置關系是 ．
15．兩個半徑分別為6cm的圓，它們的圓心分別在另一個圓上，則其公弦的長是 ．
16．已知⊙O1和⊙O2相內切，且⊙O1的半徑6，兩圓的圓心距為3，則⊙O2的半徑為 ．
17．兩圓的半徑之比是5：3，外切時圓心距是32，那么當這兩個圓內切時，圓心距為 ．
18．在直角坐標系中，分別以點A（0，3）與點B（4，0）為圓心，以8與3為半徑作⊙A和⊙B，則這兩個圓的位置關系為 ．
【例1】 已知⊙A、⊙B相切，圓心距為10cm，其中⊙A的半徑為4cm，求⊙B的半徑．
【例2】 定圓O的半徑是4cm，動圓P的半徑是1cm．當兩圓相切時，點P與點O的距離是多少？點P可以在什么樣的線上移動？
【例3】 已知兩個圓互相內切，圓心距是2cm，如果一個圓的半徑是3cm，那么另一個圓的半徑是多少？
【例4】 已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和5，圓心距為3，則兩圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．內含 C．內切 D．外切
【例5】 如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點到地面的距離是 ．
3.1車輪為什么做成圓形3.3圓的對稱性圓周角和圓心角的關系3.3確定圓的條件
※學習目標：1．認識圓的軸對稱性和中心對稱性．2．探索并理解垂徑定理，探索并認識圓心角、弧、弦之間相等關系定理，探索并理解圓周角和圓心角關系定理．3．探索并了解點與圓的位置關系．
※知識要點：
1．圓的有關概念：
（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓，其中，定點為圓心，定長為半徑．
（2）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．
（3）圓周角：頂點在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點的角叫做圓周角．
（4）弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，大于半圓的弧稱為優弧，小于半圓的弧稱為劣弧．
（5）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑．
2．圓的有關性質：
（1）圓是軸對稱圖形；其對稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．
（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧．
（3）弧、弦、圓心角的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是直角；900的圓周角所對的弦是直徑．
(4) 圓心角與圓周角的關系．
同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的國心角的一半．
3．三角形的內心和外心
（1）確定圓的條件：不在同一直線上的三個點確定一個圓．
（2）三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）三角形的內心：和三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心
※例題精解：
【例1】（06揚州中考）如圖（1），已知AB是⊙O的直徑，弦BC=9，連結AC，D是圓周上一點，連結DB、DC，且，求⊙O的直徑AB的長。
【例2】（07沈陽中考）如圖，已知A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD、AD．（1）求證：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的長．

【例3】（07河池中考）如圖3，半圓O為△ABC的外接半圓，AC為直徑，D為上的一動點．
（1）問添加一個什么條件后，能使得？請說明理由；
（2）若AB∥OD，點D所在的位置應滿足什么條件？請說明理由；
（3）如圖4，在 （1）和（2）的條件下，四邊形AODB是什么特殊的四邊形？證明你的結論．
《精練》
※基礎達標
1．（06漳州中考）如圖，已知中，是直徑，是弦，，垂足為，
由這些條件可推出結論　　　　　　　　　（不添加輔助線，只寫出1個結論）．
2．（06福州中考）如圖2, AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不一定成立的是
A.CM=DM B. C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC
3．（07巴中中考）如圖3，是的外接圓，已知，則的大小為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（07金華中考）如圖，點都在上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（07南寧中考）如圖5，是圓的兩條弦，是圓的一條直徑，
且平分，下列結論中不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（07福州中考）如圖6，中，弦的長為cm，圓心到的距離為4cm，則的半徑長為（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．（07宜賓中考）已知：如圖7，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
8．（07賓州中考如圖8，是的直徑，是上的一點，若，，于點，則的長為（ ）
A． B． C． D．
9．（07煙臺中考）如圖，已知ＡＢ是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點P，若∠DPB=α，那么等于（ ） A．sinα B．COSα C．tanα D．
10．（07重慶中考）如圖10，⊙O的直徑CD過弦EF的中點G，∠EOD=40°,則∠DCF等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°
11．（07天津中考）已知，如圖與的度數之差為20°，弦AB與CD交于點E，∠CEB=60°，則∠CAB等于（ ）
A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°
12．（07隴南中考）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，AC是弦， AC=，∠AOC= （ ） A．120° B．1300 C．140° D．150°
13．（07聊城中考）如圖，內接于，，，則的半徑為（　　） A． B． C． D．
14．（07南通中考）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一點O為圓心的圓經過A、D兩點，且∠AOD＝90°，則圓心O到弦AD的距離是（ ）．
A、cm B、cm C、cm D、cm
15．（06漳州中考）已知內接于，于，如果，那么的度數為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
16．（07鄂爾多斯中考）下列說法正確的有（ ）
（1）如圖3（a），可以利用刻度尺和三角板測量圓形工件的直徑；
（2）如圖3（b），可以利用直角曲尺檢查工件是否為半圓形；
（3）如圖3（c），兩次使用丁字尺（所在直線垂直平分線段）可以找到圓形工件的圓心；
（4）如圖3（d），測傾器零刻度線和鉛垂線的夾角，就是從點看點時仰角的度數．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
※能力提高
17．（07無錫中考）如圖，是的弦，于，若，，則的半徑長為 ．

18．（07云南中考）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB垂直弦CD于點E，則在不添加輔助線的情況下，圖中與∠CDB相等的角是 （寫出一個即可）．
19．（07東營中考）如圖19，△ABC內接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，AD＝6，則BC等于 ．
20．（07威海中考）如圖，是的直徑，點都在上，若，則 o．
21．（07淮安中考）如圖21，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，∠BDC＝45°，∠BED＝95°，則∠C的度數為______。
22．（07南昌如圖，是的直徑，點是圓上兩點，，則
度．
23．（07山東中考）如圖23，ΔABC內接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC,BD為⊙O的直徑，AD=6，則BC等于_______________。
24．（07佛山中考）如圖，內接于是的直徑，，則 度．
25．（07成都中考）如圖，已知是的直徑，弦，，，那么的值是 ．
26．（07重慶中考）已知，如圖：AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC＝450。給出以下五個結論：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。其中正確結論的序號是 。
27．（07江西中考）如圖，點是上兩點，，點是上的動點（與不重合），連結，過點分別作于，于，則 ．
※探究創新
28．（07佛山中考）．如圖，是的外接圓，且，求的半徑．
29．（07棗莊中考） 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)請寫出五個不同類型的正確結論；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半徑．
30．（06漳州中考）如圖，已知是的直徑，是弦，過點作于，連結．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
§3.5 直線和圓的位置關系（第一課時）
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何位置關系？（1）r=2cm；（2）r=2．4cm（3）r=3cm．
【例2】已知：如圖，△ABC中，內切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度數．
解：連接IE、IF．
∵△ABC與⊙I切于E、F，∴IE⊥AC，IF⊥AB．
∴∠IEA=∠IFA=90°．∴∠A＋∠FIE=360°－90°－90°=180°．
∵∠FDE=∠FIE，∴2∠FDE＋∠A=180°．
∴∠A=180°－70°×2=40°．
點撥：作出過切點的半徑很重要，連接圓心和切點是最常用的輔助
二、練習：
1．下列直線是圓的切線的是（ ）
A．與圓有公共點的直線 B．到圓心的距離等于半徑的直線
C．到圓心距離大于半徑的直線 D．到圓心的距離小于半徑的直線
2．⊙O的半徑為R，直線ι和⊙O有公共點，若圓心到直線ι的距離是d，則d與R的大小關系是（ ）
A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R
3．當直線和圓有惟一公共點時，直線和圓的位置關系是 ，圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關系為 ．
4．已知⊙O的直徑為6，P為直線ι上一點，OP=3，那么直線與⊙O的位置關系
5．已知圓的直徑為13cm，圓心到直線ι的距離為6cm，那么直線ι和這個圓的公共點的個數是 ．
三、練習：
1．圓的一條弦與直徑相交成300角，且分直徑長1cm和5cm兩段，則這條弦的弦心距為_______ ，弦長_______ 。
2．如圖1，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切線，C為弧AB上任一點，∠ACB=1080，∠BAD=__________。
3．如圖2，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若BC= 6，EB=8，則EA= 。
4．如圖3，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，BC=3，E，D分別是AB，BC的中點，過E，D作⊙O，且與AB相切于E，那么⊙O的半徑OE的長為 。
5．如圖4，已知AB是⊙O的直徑，BC是和⊙O相切于點B的切線，⊙O的弦AD平行于OC，若OA＝2，且AD+OC=6，則CD=______________。
6．如圖5，PT是⊙O的切線，切點是T，M是⊙O內一點，PM及PM的延長線交⊙O于B，C，BM=BP＝2，PT＝，OM=3，那么⊙O的半徑為__________。
7．如圖6，△ABC的三邊AB、BC、CA分別切⊙O于D、E、F，AB=7，AC=5，AD=2，則BC=_______。
8．如圖7，AB、CD是兩條互相垂直的直徑，E是OD中點，延長AE交圓于F，AO=4厘米，則EF=_______厘米。
圖5 圖6 圖7
9．如果圓心O到直線l的距離等于半徑R，則直線l與圓的位置關系是（ ）
（A）相交 （B）相切 （C）相離 （D）相切或相交
10．如圖，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么
∠DOC的度數為（ ）
A、700 B、900 C、600 D、450
11．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，割線PBC過圓心O，∠ACP=300，OC=1cm，則PA的長為（ ）
（A）cm （B）cm （C）2cm （D）3cm
12．如圖，PA切⊙O于點A，PBC是⊙O的割線，如果PB=2，PC＝8，那么PA的長為（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）
13．如圖，已知A、B、C三點在⊙O上，且∠AOB＝1000，則∠ACB的度數為（ ）
（A） 2000 （B） 1000 （C）600 （D） 500
14．已知：如圖，AB、AC分別切⊙O于B、C，D是⊙O上一點，∠D=400，則∠A的度數等于 （ ）
（A）1400 （B）1200 （C） 1000 （D） 800
15．如圖，直線MN切⊙O于A，AB是⊙O的弦，∠MAB的平分線交⊙O于C，連結CB并延長交MN于N，如果AN=6，NB=4，那么弦AB的長是 （ ）
（A） （B）3 （C） 5 （D）
16．⊙O是△ABC的內切圓，∠ACB=900，∠BOC=1050，BC=20cm，則AC=（ ）
（A） 20cm (B) 20 (C)40cm (D) 15cm
三、如圖，已知：P為⊙O外一點，過P作⊙O的兩條割線，分別交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直徑，弧AC=弧DC，連結BD，AC，OC。
（1）求證：OC∥BD；
（2）如果PA=AO＝4，延長AC與BD的延長線交于E，求DE的長。
§3.5 直線和圓的位置關系（第二課時）
【例1】 如圖，已知⊙O中，AB是直徑，過B點作⊙O的切線BC，連結CO．若AD∥OC交⊙O于D．求證：CD是⊙O的切線．
證明：連接OD．
∵AD∥OC，∴∠COB=∠A，∠COD=∠ODA．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∴∠COD=∠COB．
∵OC=OC，OD=OB，∴△OCD≌△OCB．∴∠ODC=∠B．
∵BC是⊙O的切線，AB為直徑，∴∠B=90°．
∴∠ODC=90°．∴CD為⊙O的切線．
點撥：連結CD構造切線的判定定理的基本圖形．
【例2】 已知：如圖，同心圓O，大圓的弦AB=CD，且AB是小圓的切線，切點為E．求證：CD是小圓的切線．
證明：連接OE，作OF⊥CD于F．
∵AB切小圓于E，∴OE⊥AB．
∵O F⊥CD，AB=CD，∴OE=OF．∴CD是小圓O的切線．
點撥：證切線的兩種方法是：①作半徑，證垂直；②作垂直，證半徑．本題屬于②，前一個例題屬于①．
【例3】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半徑為3．
（1）當圓心O與C重合時，⊙O與AB的位置關系怎樣？
（2）若點O沿CA移動時，當OC為多少時？⊙C與AB相切？
解：（1）過C點作CH⊥AB于H，則由面積公式，得AB·CH=AC·BC．
∴CH===．∴圓心O到AB的距離d=．
∵d=＞3，∴AB與⊙O相離．
（2）如圖3-5-12，過點O作OE⊥AB于E，則OE=3．
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC．∴．
∴OA===．
∴OC=AC－OA=5－=．當OC=時，⊙O與AB相切．
點撥：學會用運動的觀點分析問題，并解決問題．
【例4】 如圖，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E為AB上一點，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關系？
解：過E作EF⊥CD于F．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠A=∠B=90°，
∴AE=EF=BE=AB．
∴以AB為直徑的圓的圓心為E．
∵EF為點E到CD的距離，且EF=AB，∴以AB為直徑的圓與CD邊相切．
點撥：在證明線與圓的位置關系時，通常是過圓心向直線作垂線段，再比較垂線段與半徑的大小即可
【例6】 設直線ι到⊙O的圓心的距離為d，半徑為R，并使x2－2x＋R=0，試由關于x的一元二次方程根的情況討論ι與⊙O的位置關系．
思維入門指導：據題意知，應首先求出判別式△，然后討論d與R的關系，從而確定ι與⊙O的位置關系．
解：△=（－2）2－4R=4d－4R，∴當△＞0，即4d－4R＞0，得d＞R時，ι與⊙O相離；
當△=0，即4d－4R=0，得d=R時，ι與⊙O相切；
當△＞0，即4d－4R＜0，得d＜R時，ι與⊙O相交．
點撥：（1）形數的等階轉換是確定直線與圓位置關系的重要方法；（2）一元二次方程根的情況和直線與圓的位置關系的綜合是一個創新．
【例7】 如圖3-5-15，AB是⊙O直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC，垂足為E．（1）求證：DE是圓O的切線。（2）若∠ABC為直角，其他條件不變，DE是圓O的切線嗎？。
二、練習：
1．若∠OAB=30°，OA=10cm，則以O為圓心，6cm為半徑的圓與射線AB的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長為（ ）
A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
3．⊙O內最長弦長為m，直線ι與⊙O相離，設點O到ι的距離為d，則d與m的關系是（ ）
A．d=m B．d＞m C．d＞ D．d＜
4．以三角形的一邊長為直徑的圓切三角形的另一邊，則該三角形為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
5．菱形對角線的交點為O，以O為圓心，以O到菱形一邊的距離為半徑的圓與其他幾邊的關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
6．⊙O的半徑為6，⊙O的一條弦AB為6，以3為半徑的同心圓與直線AB的位置關系是（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定
7．下列四邊形中一定有內切圓的是（ ）
A．直角梯形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形
8．已知△ABC的內切圓O與各邊相切于D、E、F，那么點O是△DEF的（ ）
A．三條中線交點 B．三條高的交點
C．三條角平分線交點 D．三條邊的垂直平分線的交點
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是多少？
解：分兩種情況：（1）以C為圓心，R為半徑的圓與斜邊AB相切，過點C作CD⊥AB于D，則CD=R．
由三角形的面積公式得AC·BC=R·AB．
∴R====2．4．
（2）以點C為圓心，R為半徑的圓與斜邊AB相交于一點，那么應滿足AC＜R≤BC，即3＜R≤4．
∴R的取值范圍是R=2．4或3＜R≤4．
12．如圖，直線ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？
可供選擇的地址有四處，如答圖3-5-2．
點撥：點O1、O2、O3、O4分別為中轉站地址，不要漏掉O2、O3、O4三處，該三處也符合建站要求．
14、如圖3-5-25，等邊三角形的面積為S，⊙O是它的外接圓，點P是的中點．
（1）試判斷過C所作的⊙O的切線與直線AB是否相交，并證明你的結論；
（2）設直線CP與AB相交于點D，過點B作BE⊥CD垂足為E，證明BE是⊙O的切線，并求△BDE的面積．

證明：（1）如答圖3-5-4，過點C作⊙O的切線CF與直線AB不相交，連接CO并延長交AB于M．∵⊙O是等邊三角形的外接圓，∴CM⊥AB．
∵CF是⊙O的切線，∴CM⊥CF．∴CF∥AB．∴CF與直線AB不相交．
（2）如答圖3-5-5，連接BO并延長交AC于N．
∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，度數為120°．
∵P為中點，∴度數為60°．∴∠BCP度數為30°．∴∠ACD=∠ACB＋∠BCP=90°．
∴AC⊥CD．∵BE⊥CD，∴BE∥AC．
∵⊙O為等邊三角形外接圓，∴BN⊥AC．∴BN⊥BE．
∴BE是⊙O切線，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=60°．
∴∠D=30°．∴∠D=∠BCP．∴BD=BC=BA．∴S△ACD=2S△ABC=2S．
∵△DBE∽△DAC，∴．∴S△BDE=S．
點撥：首先要正確的畫出圖形并標好相應的字母，（1）中由CF切⊙O于C，考慮連接OC，而OC又與AB垂直，則CF∥AB．

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