資源簡介

高中數學公式及知識點速記
一、函數、導數
1、函數的單調性
(1)設 x1、x2 [a,b], x1 x2 那么
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b]上是增函數；
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b]上是減函數.
(2)設函數 y f (x)在某個區間內可導，若 f (x) 0，則 f (x) 為增函數；若 f (x) 0，則 f (x) 為減
函數.
2、函數的奇偶性
對于定義域內任意的 x ，都有 f ( x) f (x) ，則 f (x) 是偶函數；
對于定義域內任意的 x ，都有 f ( x) f (x)，則 f (x) 是奇函數。
奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于 y軸對稱。
3、函數 y f (x)在點 x0 處的導數的幾何意義
函數 y f (x)在點 x0 處的導數是曲線 y f (x)在 P(x0 , f (x0 )) 處的切線的斜率 f (x0 ) ，相應的切線方
程是 y y 0 f (x0 )(x x0 ) .
b 4ac b2 b 4ac b2 1
*二次函數： （1）頂點坐標為 ( , )；（2）焦點的坐標為 ( , )
2a 4a 2a 4a
4、幾種常見函數的導數
C ' n ' n 1 ' '① 0；② (x ) nx ； ③ (sin x) cos x ；④ (cos x) sin x ；
x ' 1 1
⑤ (a ) a
x ln a x ' x；⑥ (e ) e ； ⑦ (log a x)
' ；⑧ (ln x) '
x ln a x
5、導數的運算法則
' '
' ' ' ' ' ' u ' u v uv
（1） (u v) u v . （2） (uv) u v uv . （3） ( ) (v 0) .
v v2
6、會用導數求單調區間、極值、最值
7、求函數 y f x 的極值的方法是：解方程 f x 0．當 f x0 0 時：
(1) 如果在 x0 附近的左側 f x 0，右側 f x 0，那么 f x0 是極大值；
(2) 如果在 x 附近的左側 f x 0，右側 f 0 x 0，那么 f x0 是極小值．
指數函數、對數函數
分數指數冪
m
(1)a n n am （ a 0,m,n N

，且n 1）.
m
1 1
(2)a n （ a 0,m,n N ，且n 1）.
m n
n a
m
a
根式的性質
n n
（1）當n 為奇數時， a a ；
a,a 0
n n n當 為偶數時， a | a | .
a,a 0
有理指數冪的運算性質
第 1 頁（共 10 頁）
(1) ar as ar s (a 0, r, s Q) .
r s rs
(2) (a ) a (a 0, r, s Q) .
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .
p
注： 若 a＞0，p是一個無理數，則 a 表示一個確定的實數．上述有理指數冪的運算性質，對于無理數
指數冪都適用.
.指數式與對數式的互化式: log N b ab N (a 0,a 1, N 0) . a
log N
.對數的換底公式 : log N m (a a 0 ,且a 1,m 0,且m 1, N 0).
logm a
loga N 對數恒等式：a N (a 0 ,且a 1, N 0).
n n推論 log m b log (a b a 0 ,且a 1, N 0). a m
常見的函數圖象
y y y y
y
x y=log xy=a a
k<0 k>0 a<0 2 1
y=x+ 0x
o x o x -1 o x 0a>1
1 o x
a>0 1 1-2
y=kx+b a>1
y=ax2+bx+c o x
二、三角函數、三角變換、解三角形、平面向量
8、同角三角函數的基本關系式
sin2
sin
cos2 1， tan = .
cos
9、正弦、余弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）
k 的正弦、余弦，等于 的同名函數，前面加上把 看成銳角時該函數的符號；

k 的正弦、余弦，等于 的余名函數，前面加上把 看成銳角時該函數的符號。
2
1 sin 2k sin ， cos 2k cos ， tan 2k tan k ．
2 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
3 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
4 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
口訣：函數名稱不變，符號看象限．

5 sin cos ， cos sin ． 6 sin cos ， cos sin ．
2 2 2 2
口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．
10、和角與差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
第 2 頁（共 10 頁）
tan tan
tan( ) .
1 tan tan
11、二倍角公式
sin 2 sin cos .
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
2 tan
tan 2 .
1 tan2
2 2 1 cos 2 2cos 1 cos 2 , cos ;
2
公式變形：
1 cos 2
2sin 2 1 cos 2 ,sin 2 ;
2
12、 函數 y sin( x )的圖象變換
①的圖象上所有點向左（右）平移 個單位長度，得到函數 y sin x 的圖象；再將函數 y sin x
1
的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數 y sin x 的圖象；

再將函數 y sin x 的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 倍（橫坐標不變），得到函數
y sin x 的圖象．
1
②數 y sin x 的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數


y sin x 的圖象；再將函數 y sin x 的圖象上所有點向左（右）平移 個單位長度，得到函數

y sin x 的圖象；再將函數 y sin x 的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 倍
（橫坐標不變），得到函數 y sin x 的圖象．
13. 正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：
函
性 數 y sin x y cos x y tan x
質
圖象

定義域 R R x x k ,k
2
值域 1,1 1,1 R

最值 當 x 2k k 當 x 2k k 時， 既無最大值也無最小值
2
第 3 頁（共 10 頁）
時 ， ymax 1 ； 當 ymax 1；當 x 2k

x 2k k 時， ymin 1．
2
k 時， ymin 1．
周期性 2 2
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數

在 2k , 2k 2 2

在 2k , 2k k 上是增

k 上是增函數；在 在 k ,k
2 2單調性 函數；在 2k , 2k
3
2k , 2k k 上是增函數．
2 2 k 上是減函數．
k 上是減函數．
對稱中心 k ,0 k
對稱中心 k ,0 k k
2 對稱中心 ,0 k
對稱性 2
對稱軸 x k k
2
對稱軸 x k k 無對稱軸
14、輔助角公式
b
y asin x bcos x a 2 b2 sin(x ) 其中 tan
a
a b c
15.正弦定理 ： 2R（R為 ABC外接圓的半徑）.
sin A sin B sin C
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC a :b :c sin A : sin B : sinC
16.余弦定理
a2 b2 c2 2bccos A b2; c2 a2 2cacos B c2 2; a b2 2abcosC .
17.面積定理
1 1 1
（1） S aha bh ch （hb c a、hb、hc 分別表示 a、b、c邊上的高）.
2 2 2
1 1 1
（2） S absinC bcsin A ca sin B .
2 2 2
18、三角形內角和定理
在△ABC中，有 A B C C (A B)
C A B
2C 2 2(A B) .
2 2 2
19、 a 與b 的數量積(或內積)
a b | a | | b | cos
第 4 頁（共 10 頁）
20、平面向量的坐標運算
(1)設 A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ,則 AB OB OA (x2 x1, y2 y . 1)
(2)設 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，則a b = x1x2 y1 y2 .
(3)設 a = (x, y)，則 a x2 y 2
21、兩向量的夾角公式
設 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，且b 0，則
a b x x y y
cos 1 2 1 2 ( a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ) ).
| a | | b | x2 2 21 y1 x2 y
2
2
22、向量的平行與垂直
設 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，且b 0
a // b b a x1 y2 x2 y1 0 .
a b(a 0) a b 0 x1 x2 y1y2 0 .
*平面向量的坐標運算
(1)設a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，則a +b = (x1 x2 , y1 y2 ) .
(2)設a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，則a -b = (x1 x2 , y1 y2 ) .
(3)設 A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ,則 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) .
(4)設a = (x, y), R ，則 a = ( x, y) .
(5)設a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，則a·b = x1x2 y1y2 .
三、數列
23、數列的通項公式與前 n 項的和的關系
s1, n 1
an ( 數列{an}的前 n項的和為 sn a1 a2 an ).
sn sn 1,n 2
24、等差數列的通項公式
an a1 (n 1)d dn a1 d(n N
*) ；
25、等差數列其前 n項和公式為
n(a
s 1
an ) n(n 1) d 1
n na
2
1 d n (a1 d )n .
2 2 2 2
26、等比數列的通項公式
a
an a1q
n 1 1 qn (n N *) ；
q
27、等比數列前 n項的和公式為
a n1(1 q ) a1 anq
,q 1 ,q 1
sn 1 q 或 s 1 qn .

na1,q 1

na1,q 1
四、不等式
x y
28、 xy 。必須滿足一正（ x, y 都是正數）、二定（ xy是定值或者 x y是定值）、三相等（ x y
2
第 5 頁（共 10 頁）
時等號成立）才可以使用該不等式）
（1）若積 xy是定值 p ，則當 x y 時和 x y有最小值2 p ；
1 2
（2）若和 x y是定值 s ，則當 x y 時積 xy有最大值 s .
4
五、解析幾何
29、直線的五種方程
（1）點斜式 y y1 k(x x1) (直線 l 過點P1(x1, y1)，且斜率為 k )．
（2）斜截式 y kx b (b為直線 l 在 y軸上的截距).
y y x x
（3）兩點式 1 1 ( y1 y2 )(P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 ) ( x1 x2 )).
y2 y1 x2 x1
x y
(4)截距式 1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b 0 )
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同時為 0).
30、兩條直線的平行和垂直
若 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2
① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;
② l1 l2 k . 1k2 1
31、平面兩點間的距離公式
d (x2 x1)
2 (y2 y1)
2
(A (x1, y1) ，B (xA,B 2 , y2 ) ).
32、點到直線的距離
| Ax By C |
d 0 0 (點P(x0 , y0 ) ,直線 l ： Ax By C 0 ).
A2 B2
33、 圓的三種方程
（1）圓的標準方程 (x a)
2 (y b)2 r 2 .
2 2 2 2
（2）圓的一般方程 x y Dx Ey F 0 (D E 4F ＞0).
x a r cos
（3）圓的參數方程 .
y b r sin
P(x , y ) (x a)2 (y b)2 r 2* 點與圓的位置關系：點 0 0 與圓 的位置關系有三種
若 d (a x )
2
0 (b y
2
0 ) ，則d r 點P 在圓外;d r 點 P 在圓上;d r 點P 在圓內.
34、直線與圓的位置關系
2 2 2
直線 Ax By C 0與圓 (x a) (y b) r 的位置關系有三種:
d r 相離 0;
d r 相切 0 ;
d r 相交 0 2 2. 弦長=2 r d
Aa Bb C
其中d .
A2 B 2
35、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標準方程、幾何性質
x2 y2 c b2 x acos 2 2 2
橢圓： 1(a b 0) ，a c b ，離心率e 1 <1，參數方程是 .
a2 b2 a a2 y bsin
x 2 y 2 c b
雙曲線： 1 2 2 2(a>0,b>0)，c a b ，離心率e 1，漸近線方程是 y x .
a 2 b 2 a a
第 6 頁（共 10 頁）
2 p p
拋物線： y 2 px ，焦點 ( ,0) ,準線 x 。拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離.
2 2
36、雙曲線的方程與漸近線方程的關系
x 2 y 2 x2 y2 b
(1）若雙曲線方程為 1 漸近線方程： 0 .
2 2 a2 2
y x
a b b a
x y x 2 y 2b
(2)若漸近線方程為 y x 0 雙曲線可設為 .
a a b a
2 b2
x 2 y 2 x 2 y 2
(3)若雙曲線與 1有公共漸近線，可設為 （ 0，焦點在 x 軸上， 0，
a 2 b 2 a 2 b2
焦點在 y 軸上）.
2
37、拋物線 y 2 px 的焦半徑公式
2 p
拋物線 y 2 px( p 0)焦半徑 | PF | x0 .（拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離。）
2
p p
38、過拋物線焦點的弦長 AB x1 x2 x1 x2 p .
2 2
六、立體幾何
39.證明直線與直線的平行的思考途徑 42．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉化為判定共面二直線無交點； （1）轉化為相交垂直；
（2）轉化為二直線同與第三條直線平行； （2）轉化為線面垂直；
（3）轉化為線面平行； （3）轉化為線與另一線的射影垂直；
（4）轉化為線面垂直； （4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.
（5）轉化為面面平行. 43．證明直線與平面垂直的思考途徑
40．證明直線與平面的平行的思考途徑 （1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；
（1）轉化為直線與平面無公共點； （2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
（2）轉化為線線平行； （3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；
（3）轉化為面面平行. （4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面。
41.證明平面與平面平行的思考途徑 44．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉化為判定二平面無公共點； （1）轉化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉化為線面平行； （2）轉化為線面垂直；
（3）轉化為線面垂直.
45、柱體、椎體、球體的側面積、表面積、體積計算公式
2
圓柱側面積= 2 rl，表面積= 2 rl 2 r
2
圓椎側面積= rl ，表面積= rl r
1
V Sh （ S 是柱體的底面積、h是柱體的高）. 柱體
3
1
V錐體 Sh （ S 是錐體的底面積、h是錐體的高）.
3
4 3
球的半徑是R ，則其體積V R ,其表面積 S 4 R2 ．
3
2 2 2
46、若點 A (x1, y1, z1) ，點 B (x2 , y2 , z2 ) ，則d = | AB | AB AB (x2 x1) (y2 y1) (z2 z1) A,B
47、點到平面距離的計算（定義法、等體積法）
48、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質：側棱平行且相等，與底面垂直。
正棱錐的性質：側棱相等，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。
第 7 頁（共 10 頁）
七、概率統計
49、平均數、方差、標準差的計算
x1 x x 1平均數: x 2 n 方差: s 2 [(x x)2 (x x)2 (x x)21 2 n ]
n n
1
s [(x x)2 (x 2標準差: 1 2 x) (xn x)
2 ]
n
50、回歸直線方程 （了解即可）
n n
xi x yi y xi yi nx y
b i 1 i 1
y a bx，其中 n n 2 .經過（ x ， y ）點。 xi x x
2 nx 2
i
i 1 i 1

a y bx
2 n(ac bd )
2
51、獨立性檢驗 K （了解即可）
(a b)(c d)(a c)(b d)
52、古典概型的計算（必須要用列．舉．法．、列．表．法．、樹．狀．圖．的方法把所有基本事件表示出來，不重復、不遺
漏）
八、復數
53、復數的除法運算
a bi (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i
.
c di (c di)(c di) c 2 d 2
2
54、復數 z a bi的模 | z |= | a bi |= a b
2
.
55、復數的相等：a bi c di a c,b d .（a,b,c,d R）
2 2
56、復數 z a bi的模（或絕對值） | z |= | a bi |= a b .
57、復數的四則運算法則
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ;
ac bd bc ad
(4) (a bi) (c di) i(c di 0) .
c2 d 2 c2 d 2
58、復數的乘法的運算律
對于任何 z1, z2 , z3 C ，有
交換律: z1 z2 z2 z1 .
結合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) .
分配律: z1 (z2 z3) z1 z2 z1 z3 .
九、參數方程、極坐標化成直角坐標
2 x 2 y 2
cos x
55、 y
sin y tan (x 0)
x
十、命題、充要條件
充要條件（記 p 表示條件， q 表示結論）
第 8 頁（共 10 頁）
（1）充分條件：若 p q，則 p 是 q 充分條件.
（2）必要條件：若q p，則 p 是q 必要條件.
（3）充要條件：若 p q，且q p，則 p 是 q 充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
56.真值表 原命題 互 逆 逆命題
若p則q 互 若q則p ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 為 否
真 真 假 真 真 互 逆 互
真 假 假 真 假 否 逆 否為
假 真 真 真 假 否互
否命題 逆否命題假 假 真 假 假
若┐p則┐q 互 逆 若┐q則┐p
十一、直線與平面的位置關系
空間點、直線、平面之間的位置關系
三個公理：
（1）公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內
（2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
（3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
空間中直線與直線之間的位置關系
1 空間的兩條直線有如下三種關系：
相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；
共面直線
平行直線：同一平面內，沒有公共點；
異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。
2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
4 注意點：
① a'與 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置來確定，與 O 的選擇無關，為簡便，點 O 一般取在兩直
線中的一條上；

② 兩條異面直線所成的角θ∈ ( 0 , 2
) ；
③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a⊥b；
④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。
空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系
1、直線與平面有三種位置關系：
（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點
（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點
（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點
直線、平面平行的判定及其性質
第 9 頁（共 10 頁）
直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡記為：線線平行，則線面平行。
平面與平面平行的判定
1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。
直線與平面、平面與平面平行的性質
1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行則線線平行。
2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
直線、平面垂直的判定及其性質
直線與平面垂直的判定
1、定義：如果直線 L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L與平面α互相垂直，記作 L⊥α，
直線 L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線 L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點 P叫做垂
足。
2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
直線與平面、平面與平面垂直的性質
1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
2 性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。
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