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二月數學每周好題精選（第2周）
1.設集合,則( )
A. B. C. D.
2.復數的虛部是( ).
A.i B. C. D.1
3.給出三個數，，，則它們的大小順序為( )
A. B. C. D.
4.設a為實數，函數的導函數是，且是偶函數，則曲線在原點處的切線方程為( )
A. B. C. D.
5.已知非零向量a，b滿足，且，則a與b的夾角為( )
A. B. C. D.
6.已知為銳角,且，則( )
A. B. C. D.
7.若關于x的不等式對任意恒成立，則正實數a的取值集合為( )
A. B. C. D.
8.已知拋物線的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（O為原點），則雙曲線的離心率為( )
A. B. C.2 D.
9.已知遞增等比數列的前n項和為，，，，，則( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10.（多選）如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長為的正方形，底面ABCD，，E、F分別為PD、AB的中點，過C、E、F的平面與PA交于點G，則( )
A．
B．
C．以P為球心，2為半徑的球面與底面的交線長為
D．四棱錐外接球體積為
11. （多選）在中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若,則角B的值為( )
A. B. C. D.
12. （多選）已知函數,下列說法正確的是( )
A.函數為偶函數
B.若,其中,則
C.函數在上單調遞增
D.若,則
13.過氧化氫（）是一種重要的化學品，工業用途廣泛，通過催化和直接合成目前被認為是一種最有潛力替代現有生產方法的綠色環保生產途徑.在自然界中，已知氧的同位素有17種，氫的同位素有3種，現有由，及，，五種原子中的幾種構成的過氧化氫分子，則分子種數最多為______________.
14.若，則的值為________.
15.圓與圓的交點為A，B，則弦AB的長為_____.
16.已知的內角所對的邊分別為滿足.
(1)求角B的大小;
(2)若,設的面積為S,滿足,求b的值.
17.設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，.
（1）求C的方程；
（2）設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為，.當取得最大值時，求直線AB的方程.
18.垃圾是人類日常生活和生產中產生的廢棄物，由于排出量大，成分復雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理.某市為調查產生的垃圾數量，采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進行了分析，得到樣本數據，其中和分別表示第i個縣城的人口(單位：萬人)和該縣年垃圾產生總量(單位：噸)，并計算得，.
（1）請用相關系數說明該組數據中y與x之間的關系可用線性回歸模型進行擬合；
（2）求y關于x的線性回歸方程；
（3）某科研機構研發了兩款垃圾處理機器，其中甲款機器每臺售價100萬元，乙款機器每臺售價80萬元，下表是以往兩款垃圾處理機器的使用年限統計表：
1年 2年 3年 4年 總計
甲款 5 20 15 10 50
乙款 15 20 10 5 50
根據以往經驗可知，某縣城每年可獲得政府支持的垃圾處理費用為50萬元，若僅考慮購買機器的成本和每臺機器的使用年限(使用年限均為整年)，以頻率估計概率，該縣城選擇購買一臺哪款垃圾處理機器更劃算
參考公式：相關系數，
對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：解不等式得.又,則集合.又,即,所以,集合,得,故選B.
2.答案：D
解析：，即復數的虛部是1，故選D.
3.答案：D
解析：，，，所以.故選D.
4.答案：A
解析：，，
又是偶函數，，即，，則，
所以曲線在原點處的切線方程為.故選A.
5.答案：B
解析：設向量a與b的夾角為，則由，得，，
.故選B.
6.答案：A
解析： 為銳角，.
由可得，
則，又，
故，故選A.
7.答案：C
解析：由題意可得對任意恒成立，
由，，可得，
當且僅當即時，取得等號，則，解得.
故選C.
8.答案：D
解析：如圖，由題意可知拋物線的焦點為，準線方程為，
，，又點A在直線上，
，，
雙曲線的離心率.故選D.
9.答案：C
解析：設等比數列的公比為q，且遞增，，
，，，，
，，，故選C.
10.答案：AC
解析：對于選項A，延長CF交DA延長線于點H，
連接EH交PA于點G，取AD中點M，
連接EM，所以，，，，所以選項A對；
對于選項B，因為F是HC中點，G是EH靠近點E的三等分點，所以選項B錯；
對于選項C，P為球心，2為半徑，，平面ABCD，A為截面圓心，交線是半徑為1的圓的，交線長為，所以選項C正確.
對于選項D，是正方體的一部分，體對角線長為3，體積為，所以選項D錯.
綜上選AC.
11.答案：BD
解析：根據余弦定理可知,代入，可得，即.因為，所以或.故選BD.
12.答案：ABD
解析：對于A,,所以函數為偶函數,故A正確;
對于B,若,其中,則,即,得,故B正確;
對于C,函數,由,解得,所以函數的定義域為,因此在上不具有單調性,故C錯誤;
對于D,因為,所以,所以,故,故D正確.故選ABD.
13.答案：18
解析：過氧化氫分子中有2個氧原子和2個氫原子，共4個原子.構成過氧化氫分子的氧原子可以從2種不同的氧原子中選出1種或2種，取法共有（種）；構成過氧化氫分子的氫原子可以從3種不同的氫原子中選出1種或2種，取法共有（種）.因此構成的過氧化氫分子的種數最多為.
14.答案：1
解析：當時,,當時,,
所以
.
15.答案：
解析：圓與圓聯立可得：
公共弦的方程為，
變形為，
故的圓心為，半徑為，
而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，
故弦AB的長為.故答案為.
16. 解析：本題考查同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式、三角形面積公式、正弦定理.
(1)由,得,
根據正弦定理,得.
因為,
所以,
所以.
因為,所以,所以,則.
(2)由,得.
又由正弦定理得,
所以,解得.
17. 解析：（1）當軸時，有，得，
所以拋物線C的方程為.
（2）如圖，根據（1）知，.
當軸時，易得，此時.
當MN的斜率存在時，設，，，，
則直線MN的方程為，
即，
即，
所以直線MN的方程為.
同理可得，直線AM的方程為，直線BN的方程為，直線AB的方程為.
因為在MN上，所以.
因為在AM，BN上，所以，，
所以，.
所以，，
所以直線AB的方程可化為，
所以，，
所以.
當時，，所以不符合題意.
當時，，，
當且僅當，，即時取等號，
此時取得最大值，直線AB的方程為.
18. 解析：（1）由題意知相關系數，
因為y與x的相關系數接近1，所以y與x之間具有較強的線性相關關系，可用線性回歸模型進行擬合.
（2），
，
所以.
（3）以頻率估計概率，購買一臺甲款垃圾處理機器節約政府支持的垃圾處理費用X（單位：萬元）的分布列為：
X -50 0 50 100
P 0.1 0.4 0.3 0.2
（萬元）.
購買一臺乙款垃圾處理機器節約政府支持的垃圾處理費用Y（單位：萬元）的分布列為：
Y -30 20 70 120
P 0.3 0.4 0.2 0.1
（萬元）.
因為，所以該縣城選擇購買一臺甲款垃圾處理機器更劃算.
2

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