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二月數學每周好題精選（第3周）
1.滿足條件的集合M的個數是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.若，則( )
A. B. C. D.
3.已知，，，則a，b，c的大小關系為( )
A. B. C. D.
4.若函數的圖象在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，則實數a的值為( )
A. B. C. D.
5.已知，則等于( )
A. B. C. D.
6.若，，且，則的最小值為( )
A.2 B. C. D.
7.如圖,在棱長為1的正方體中,為的中點,則直線與平面的夾角為( )
A. B. C. D.
8.若O是內的一點，且，則O是的( )
A.重心 B.垂心 C.內心 D.外心
9.拋物線的焦點為F，其準線與雙曲線的漸近線相交于A、B兩點，若的周長為，則( )
A.2 B. C.8 D.4
10.（多選）設是單調的等比數列的前n項和,若,則( )
A. B.公比為 C.為常數 D.為等比數列
11. （多選）已知函數,函數的圖像由的圖像向右平移個單位長度得到,則下列關于函數的說法不正確的有( )
A.的圖像關于直線對稱 B.的圖像關于點對稱
C.在上單調遞增 D.在上單調遞減
12. （多選）已知函數是定義在R上的奇函數，且時，，則下列結論正確的是( )
A.的解集為 B.當時，
C.有且只有兩個零點 D.，，
13.甲乙丙丁戊5名同學排成一列，若甲不站在排頭，乙和丙相鄰，則不同的排列方法有______種.
14.已知的展開式中含有項的系數是54，則__________.
15.在三棱錐中，點P在底面的射影是的外心，，，，則該三棱錐外接球的體積為____________.
16.已知數列為等比數列，設其前n項和為，公比，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前n項和為，求數列的前n項和.
17.某市為爭創“文明城市”，現對城市的主要路口進行“文明騎車”的道路監管，為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同地區隨機抽取了200名市民對該項目進行評分，繪制如下頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并計算這200名市民評分的平均值；
(2)用頻率作為概率的估計值，現從該城市市民中隨機抽取4人進一步了解情況，用X表示抽到的評分在90分以上的人數，求X的分布列及數學期望.
18.設函數.
(1)討論的單調性.
(2)若有最大值，求的最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：滿足條件的集合M至少含有3個元素1，2，3，且是集合的真子集，所以集合或或或或或或，共7個.故選C.
2.答案：A
解析：第一步化簡z，，
第二步：根據共軛復數的概念求解.故選A.
3.答案：A
解析：，，，.故選A.
4.答案：D
解析：由題意得，則，函數的圖象在點處的切線方程為.令，得；令，得，則切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，解得.
故選D.
5.答案：D
解析：由得，所以，故選D.
6.答案：C
解析：
，
當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選C.
7.答案：B
解析：以點為原點,分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,
則,,.
設平面的一個法向量.則即令，則，，平面BDE的一個法向量為.，.又，，直線與平面BDE的夾角為.故選B.
8.答案：A
解析：是以為鄰邊的平行四邊形的對角線，且過AB的中點，設AB的中點為D，則.
又D為AB的中點，C，O，D三點共線，為的重心. 故選A.
9.答案：A
解析：雙曲線的漸近線方程為，拋物線的準線方程為，設A在x軸上方，則，，，.又的周長為，
，.故選A.
10.答案：CD
解析：設等比數列的公比為q.由數列為等比數列,,得,又,所以,因此A項錯誤.又,所以,解得或.若,則,顯然不滿足數列是單調數列,因此B項錯誤.
由上述可知,則,所以,則,因此C項正確.因為,所以是首項為,公比為的等比數列,因此D項正確.故選CD.
11.答案：ACD
解析：由題意可知，不是的最大值也不是最小值，則直線不是圖像的對稱軸,故A不正確.，則點是圖像的一個對稱中心，故B正確.由,，解得.當時,函數在上單調遞增，而，故C不正確.同理可得函數在上單調遞減，而，故D不正確.選ACD.
12.答案：ABD
解析：當時，的解集為，的解集為，由為奇函數可知選項A正確；當時，，選項B正確；當時，為的零點，因為是定義在R上的奇函數，所以，，故有且只有三個零點，選項C錯誤；當時，，故在上單調遞增，所以，，所以，選項D正確.故選ABD.
13.答案：36
解析：（1）將丁戊排成一排，有種，
（2）把乙丙捆綁有種，再插入丁戊所成排的3個空中有種，
（3）在第2步成排的后3個空中任選一個空，將甲插入有種，
所以，不同排列方法數有種.故答案為36.
14.答案：4
解析：的展開式的通項為.由題意知，即，解得或（舍）.
15.答案：
解析：設的外心為，連接，則球心O在上，連接，則為外接圓的半徑r，連接OA，設外接球的半徑為R，則.在中，由正弦定理得，解得，即.在中，，在中，，即，解得，所以外接球的體積.
16.答案：(1).
(2)前n項和為.
解析：(1)因為，，所以.
，兩式相除得，解得，，
故數列的通項公式.
(2)由(1)得，則，
故，則，
所以數列的前n項和為.
17.答案：(1)；平均分為80.70分.
(2)分布列見解析，數學期望為1.
解析：(1)由頻率分布直方圖知，
，
由，解得，
(分).
(2)評分在90分以上的頻率為0.25，用頻率作為概率的估計值，現從該城市中隨機抽取4人可以看成二項分布，
X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P
.
18.答案：(1)函數的定義域為，，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，令，得，
令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.
(2)由(1)知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
所以
所以，所以，
令，則，所以在上單調遞減，
在上單調遞增，所以，所以的最小值為.
2

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