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函數(shù)與方程的思想
函數(shù)思想是一種通過(guò)構(gòu)造函數(shù)從而應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解題的思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛。深刻理解函數(shù)的具體特性，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)和妙用函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；方程的思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，就是分析數(shù)學(xué)中的變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或構(gòu)造方程，通過(guò)解方程（組），或運(yùn)用方程性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題解決。函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0，通過(guò)方程進(jìn)行研究。
一、運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式相互轉(zhuǎn)化的觀(guān)點(diǎn)解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題
問(wèn)題1、已知函數(shù) 且，（1）求f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性，并予以證明；（3）當(dāng)時(shí)，求使f(x)>0的x的取值范圍。
這是大綱人教版高一課本上一道參考例題，解答過(guò)程此處不再重復(fù)。類(lèi)似的看下面問(wèn)題。
演變1、已知函數(shù)f(x)=logm，(1)若f(x)的定義域?yàn)椋郐粒拢荩é拢睛粒?），判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性，并加以說(shuō)明；(2)當(dāng)0＜m＜1時(shí)，使f(x)的值域?yàn)椋踠ogm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定義域區(qū)間為［α,β］(β＞α＞0)是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由。
∴， 即，
，即α,β為方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的兩個(gè)根，
∴ ， ∴0＜m＜，故當(dāng)0＜m＜時(shí)，滿(mǎn)足題意條件的定義域區(qū)間［α,β］存在。
點(diǎn)評(píng)：本題包含了函數(shù)的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義判斷法，單調(diào)性的應(yīng)用，方程根的分布，不等式組解法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。
演變2、設(shè)，，是函數(shù)的反函數(shù)圖象上不同的三點(diǎn)，若有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：由已知可得，，又成等差數(shù)列，，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)實(shí)根的條件，即。
當(dāng)，即，亦即時(shí)，，滿(mǎn)足滿(mǎn)足條件。
（2）當(dāng)，即時(shí)，。，即滿(mǎn)足條件，
故有，解得。又當(dāng)時(shí)，P，Q，R三點(diǎn)重合，，所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍或。
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用方程的觀(guān)點(diǎn)解決問(wèn)題要注意從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)入手，抓住一個(gè)關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個(gè)主變量（常稱(chēng)主元）的方程，然后具體研究這個(gè)方程。
演變3、已知f（x）=lg，且f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，總有f（x）－f（）=lgx。?
（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
原方程f（x）=lg（m+x）可化為 ，即，
令g（x）=－x==。
①當(dāng)x＞0時(shí)，+（1+x）≥2（x=－1時(shí)取等號(hào)），∴g（x）≤3－2；?
②當(dāng)x＜－1時(shí)，（－）+［－（x+1）］≥2（x=－－1時(shí)取等號(hào)），∴g（x）≥3+2 ，?
故方程g（x）=m的解集為時(shí)，m的取值范圍為（3－2，3+2）。
點(diǎn)評(píng)： （1）聯(lián)立方程，運(yùn)用方程思想求解參數(shù)，是求參數(shù)常用的基本方法。?
（2）將m的取值看作函數(shù)g（x），運(yùn)用函數(shù)思想求值域是確定參數(shù)m的取值范圍的關(guān)鍵，其次要注意求補(bǔ)集思想的運(yùn)用。一般地，函數(shù)g（x）的值域?yàn)镈，則方程g（x）=m有解的充要條件是m∈D，解集是的充要條件是m∈CRD。
二、構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問(wèn)題。
問(wèn)題2、畫(huà)函數(shù)圖象。
這是大綱人教版高一課本上一道復(fù)習(xí)參考題，圖象如圖1。
演變4、討論方程的解的個(gè)數(shù)。
解：設(shè)，，作出函數(shù)圖象,如圖2，兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程解的個(gè)數(shù)。故當(dāng)或時(shí)，方程有兩解；當(dāng)時(shí)，方程有三解；當(dāng)時(shí)，方程有四解。
演變5、已知二次函數(shù)（0<θ≤）。若二次方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根和，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．?
解： 設(shè)x=2sinθ，則f（x）=ax2+2x－2a－1， 由0<θ≤，
則－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程ax2+2x－2a－1=0，
在區(qū)間［－1,2］上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由y=f（x）的圖象（如圖3所示），
得等價(jià)不等式組：
，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為?［-3，］。
點(diǎn)評(píng)：本題將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問(wèn)題，根據(jù)圖象得出等價(jià)的不等式組，
體現(xiàn)了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，直觀(guān)明了．
演變6、已知整系數(shù)二次方程在中有兩個(gè)不同的解，求最小正整數(shù)m。
解：設(shè)，有兩根，則f(x)可表示為，而f(x)為整系數(shù)函數(shù)，
故 ……………………（1），
………………（2），
由得 …………（3），
而 …………（4），同理…………（5）。
點(diǎn)評(píng)：題中除未知數(shù)外含三個(gè)字母，且均為整數(shù)，按常規(guī)列出：，再根據(jù)，進(jìn)行分析，但這種解法十分麻煩。本題解法思路開(kāi)拓，不生搬硬套，這是現(xiàn)行高考的基本要求。
演變7、對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱(chēng)x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)。（1）若a=1,b=–2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線(xiàn)y=kx+對(duì)稱(chēng)，求b的最小值。
解 （1）當(dāng)a=1,b=–2時(shí)，f(x)=x2–x–3，由題意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3，故當(dāng)a=1,b=–2時(shí)，f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為–1,3。
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有兩相異實(shí)根，∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立。 于是Δ′=(4a)2–16a＜0，解得0＜a＜1，故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0＜a＜1。
（3）由題意A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線(xiàn)y=x上，設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)，又∵A、B關(guān)于y=kx+對(duì)稱(chēng)，
∴k=–1 設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x′,y′)，∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的兩個(gè)根，∴x′=y′=。又點(diǎn)M在直線(xiàn)上，有，即。
∵a＞0，∴2a+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)2a=，即a=∈(0,1)時(shí)取等號(hào)，故b≥–，得b最小值–。
點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了將曲線(xiàn)交點(diǎn)或函數(shù)值域等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題解決。
演變8、已知拋物線(xiàn)，（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，求曲線(xiàn)上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；（2） 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，,求曲線(xiàn)上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d，寫(xiě)出d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式。
解：(1) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y)，則，，所以，
，因此，當(dāng)x=0時(shí)，, 此時(shí)，y=0。所以 ,點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)。
點(diǎn)評(píng)；這是一道圓錐曲線(xiàn)與二次函數(shù)最值相結(jié)合的題型。對(duì)于圓錐曲線(xiàn)上的一些動(dòng)點(diǎn)，在其變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線(xiàn)段的長(zhǎng)度及a,b,c之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，從而利用函數(shù)關(guān)系來(lái)解決。解這類(lèi)問(wèn)題往往先設(shè)出曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題。

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