資源簡介

分類討論思想專題

考情分析
分類討論思想是高考試題中不可缺少的一種數學思想，其本質上是“化整為零，積零為整”的解題策略．在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，逐類進行研究和解決，達到解決整個問題的目的，這一思想方法，稱為“分類討論的思想”．?
高考試題中有關分類討論的題型有選擇題、填空題和解答題；從難度看，有容易題、中檔題、較難題和難題；從在題解中的地位看，有的僅為其中的一個環(huán)節(jié)，但該環(huán)節(jié)對整個解題的成敗卻起著舉足輕重的作用，有的處于核心的位置。若“想不到、不會用”這種數學思想，題解從一開始就將陷入困境。高考中出現(xiàn)的有關分類討論的試題類型主要有：1、全國和各地的高考試卷中有關分類討論的問題年年出現(xiàn)，且在選擇、填空和解答題中都有，在全卷總分中將占到１０％左右的份額；2、在有關分類討論試題中，一級分類問題居多，二級及二級以上分類的問題較少，但分類討論這一步在整個題解中卻居于重要位置，甚至核心的地位，能否熟練地進行分類討論對于解題的成功，乃至數學高考成績是否優(yōu)秀起著十分關鍵的作用；3、有關分類討論的試題，其難度一般不會太大；4、有關分類討論的試題涉及的知識面較寬，首先與函數、方程、不等式相結合，還可能與數列、向量、直線、圓、圓錐曲線、排列組合、二項式定理、導數及其應用、空間圖形等內容相結合.。
真題精講
例1、關于的方程，給出下列四個命題：
①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根； ②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根； ④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.
其中假命題的個數是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析：本題中含有參變量k以及絕對值符號，不同取值會導致問題的結論有多種情況或多種不同結果．
解：據題意可令①，則方程化為②，作出函數的圖象，結合函數的圖象可知：（1）當t=0或t>1時方程①有2個不等的根；（2）當0點評：本題蘊含一種重要的數學思想——分類討論思想。它是發(fā)展
學生抽象能力和邏輯思維能力、學習數學思想方法的很好的內容．
高考逐漸從結論性考察轉軌為思想方法性考察。
例2、在約束條件下，
當時，的最大值的變化范圍是( )
A. B. C. D.
分析：本題主要考查不等式知識以及探索和論證存在性問題的能力
解決本題依據不等式的分析法轉化，放縮、解簡單的分式不等式；
靈活運用分類討論的思想 即對參數s分類討論，從而獲得答案
解：由交點為
，(1)當時可行域
是四邊形OABC，圖1，此時，(2)當時，可行域是
△OA，圖2，此時，，故選D.
例3、如圖，平面中兩條直線和
相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到
直線和的距離，則稱有序非負實數對（，）是點M的
“距離坐標”．已知常數≥0，≥0，給出下列命題：
①若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的點
有且僅有1個；
②若＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為（，）的
點有且僅有2個；
③若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是 （ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
分析：題設中已將p,q按取值不同劃分，依據題意一一解之即可。
為（，）的點可以在直線l1或直線l2上，例如（p，q）=(0，1)，則點M在直線l2上，且到O點距離為1，這樣的點有2個，命題②正確；
③若≠0，則p≠0，q≠0，“距離坐標”為（，）的點在兩條直線相交而成的四個區(qū)域內，這樣的點有且僅有4個，正確。
上述命題中，正確命題的個數是3個，選D.
例4、已知函數（Ⅰ）當a=2時，求使f（x）＝x成立的x的集合；（Ⅱ）求函數y＝f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
解：（Ⅰ）由題意，，當時，由，解得或；
當時，由，解得。綜上，所求解集為；
(Ⅱ)設此最小值為。①當時，在區(qū)間[1，2]上，，
因為，，則是區(qū)間[1，2]上的增函數，所以。②當時，在區(qū)間[1，2]上，，由知 。③當時，在區(qū)間[1，2]上，，
若，在區(qū)間（1，2）上，，則是區(qū)間[1，2]上的增函數，所以。
若，則，當時，，則是區(qū)間[1，]上的增函數，
點評：本題是系數與參數有關的的函數的一個綜合性分步設問的問題，要求我們根據給出的信息給予應用達到研究函數性質的目的，主要考查學生的學習能力、應用能力、分類討論等基本素質.它把函數、方程、導函數等知識有機地融合在一起，從而使學生可以從不同角度出發(fā)去尋求答案，給學生更大的空間。
例5、設函數，（Ⅰ）證明：的導數；（Ⅱ）若對所有 都有，求a的取值范圍。
解：（I）f(x)的導數。由于，故. （當且僅當x=0時，等號成立。）
（II）令g(x)=f(x)-ax, 則 .
（i）若 , 當x>0時，, 故g(x)在上為增函數。所以， 時，, 即。
（ii）若a>2 ，方程正根為 ,此時 ，若 ，則，故g(x)在該區(qū)間上為減函數。所以，時， ，即，與題設矛盾。
綜上，滿足條件a的取值范圍是。
點評：分類討論思想方法把受多種交叉限制的問題劃分成幾個局部問題，在每一局部問題中，原先“不確定因素”不在影響問題解決。當這些局部問題解決完時，整個問題也隨之解決。分類討論問題涉及面廣、綜合性強，在高考中，從未間斷對這一思想的考查。分類討論能使我們全面考慮問題，使解題過程縝密、嚴謹，但要注意做到有根據、不重復、不遺漏．
例6、 已知橢圓的左、右焦點分別為，．過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為．
（Ⅰ）設點的坐標為，證明：；
（Ⅱ）求四邊形的面積的最小值．
分析：設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但要考慮個別情形：當直線與x軸垂直時，直線無斜率，當直線與x軸平行時，直線斜率為0。
證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，．
（Ⅱ）（?。┊數男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．設，，
則，，
；因為與相交于點，且的斜率為，所以，．四邊形的面積
．當時，上式取等號．
（ⅱ）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積．綜上，四邊形的面積的最小值為．
點評：有關分類討論的試題涉及的知識面較寬，首先與函數、方程、不等式相結合，還可能與數列、向量、直線、圓、圓錐曲線、排列組合、二項式定理、導數及其應用、空間圖形等內容相結合.。08年高考試卷中必將體現(xiàn)分類討論思想。
真題速解
例1、已知函數，則的值域是（ ）
(A). (B). (C). (D).
例2、）5名乒乓球隊員中,有2名老隊員和3名新隊員?，F(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員,且1、2號中至少有1名新隊員的排法有_______種.(以數作答)
分析：對于 “至少”型組合問題用隔板法，并注意合理分類，特殊元素或特殊位置應優(yōu)先考慮。
解：1老2新有種，2老1新有種，故 種。
例3、（2006年全國卷I）設集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有 ( )
A． B． C． D．
分析：有些排列組合問題情境復雜，層次多，視角廣，這就需要我們在分析問題時，選擇恰當的切入點，從一個不同的側面，把原問題變幾個小問題．分而治之．
解： 集合A、B中分別可以有元素個數為（1，1）；（1，2）、（1、3）；（1、4）；（2、1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（4，1），則相應的選法種數有=10種； =10種； =5種； =1種； =10種； =5種； =1種； =5種； =1種； =1種；總計有，選B.
例4、）的展開式中整理后的常數項為 .
分析：寫出二項展開式通項公式，再寫出的通項公式對x次冪中變量k , r的取值進行討論即可求解。
解：通項公式,其中k滿足0≤k≤5，k∈N，的通項公式為,其中0≤r≤5-k,r∈N,令5-2r-k=0,得k+2r=5,則k=1,r=2;k=3,r=1;k=5,r=0，當k=1,r=2時,得展開式中項為;當k=3,r=1時, 得展開式中項為;當k=5,r=0時，得展開式中項為,綜上的展開式中整理后的常數項為。
例5、已知函數f（x）=（a，b為常數）且方程f（x）－x+12=0有兩個實數根為x1=3，x2=4．（1）求函數f（x）的解析式；?（2）設k＞1，解關于x的不等式f（x）＜．?
解：（1）將x1=3，x2=4代入－x+12=0，得，解方程得 ，
∴f（x）=－x（x≠2）．?
（2）不等式f（x）＜，即－x＜，即＞0，?
∴（x－2）（x－1）（x－k）＞0?。①當1＜k＜2時，解集為（1，k）∪（2，+∞）；?
②當k=2時，不等式為（x－2）2（x－1）＞0解集為（1，2）∪（2，+∞）；?
③當k＞2時，解集為（1，2）∪（k，+∞）．?
【評析】 本題主要考查分式不等式，含參不等式的解法等基礎知識，考查分類整合思想的運用能力。一般的，含有參數的問題，如果由于所含參數值的不同而使所得的結果不同，或因對不同的參數值要采用不同的處理方法，這時就需要根據參數的不同取值情況進行分類討論。
14年高考預測與復習策略
高考試題重點是考查運用知識分析問題的方法和解決問題的能力，高考命題中盡量避免刻板、繁難和偏怪的試題，避免死記硬背的內容和繁瑣的計算，力圖在一張考卷中考查學生在試題難度降低的情況下，如何應用高中階段接觸到的數學思想和數學方法解決問題，如何更好的體現(xiàn)邏輯思維能力、推理分析能力和空間想象能力，在具體的考試試卷中的表現(xiàn)就是試題難度在進一步的下降，強調數學思想和數學方法。
分類討論思想是以概念的劃分，集合的分類為基礎的解題思想，是一種邏輯劃分的思想方法。分類討論的實質是“化整為零、積零為整”。分類的基本原則是正確，不重不漏，合理，便于討論。對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結經驗。有關分類討論的試題涉及的知識面較寬，首先與函數、方程、不等式相結合，還可能與數列、向量、直線、圓、圓錐曲線、排列組合、二項式定理、導數及其應用、空間圖形等內容相結合.。13年高考試題必將體現(xiàn)分類討論思想，且在選擇、填空和解答題中都有，在全卷總分中將占到１０％以上的份額。
如果對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應分類討論。引起分類討論原因，通常有以下幾種：①涉及的數學概念是分類定義的（如|x|的定義，P點分線段的比等）；②公式、定理、性質或運算法則的應用范圍受到限制；③幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定；④求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；⑤數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導致不同結果．?
分類討論的一般步驟是：（1）確定討論對象和確定研究的全域；（2）進行科學分類（按照某一確定的標準在比較的基礎上分類），“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結果．分類時，應不重復，不遺漏；（3）逐類討論；（4）歸納小結，整合得出結論．
另外，數學中的一些結論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應注意挖掘這些個別情形進行分類討論。常見的“個別”情形主要有以下幾例：（1）“方程有實數解”轉化為時忽略了個別情形：當a=0時，方程有解不能轉化為△≥0；（2）等比數列的前項和公式中有個別情形：時，公式不再成立，而是。 設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但有個別情形：當直線與x軸垂直時，直線無斜率，應另行考慮。(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設直線方程為，但有個別情形：a=0時，就不能如此設，應另行考慮。
對2014年數學科的備考建議：回歸教材、回歸通法、強調能力。
熱身訓練
1、曲線與曲線的 （ ）
(A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)準線相同
2、若函數在其定義域內有極值點，則a的取值為
3、已知 a>0, 則 值域為___________.
4、已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點的截面面積的最大值為（ ）
A. B. C. D. 以上均不對
5、從0到9這10個數字中任取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個數不能被3整除的概率為 （ ） A． B. C D
6、函數的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側，則實數m的取值范圍為（ ） A. B. C. D.
7、設，方程表示什么曲線？
8、若圓柱的側面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是______________。
9、已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點，且其實軸比橢圓的長軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。
10、解關于x的不等式:.
熱身訓練答案
3、解： 當a>1時，原式== 1 ；當04、解：當時，最大截面就是軸截面，其面積為； 當時，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為。 可見，最大截面積為，故選（D）。
5、解：含0的三位數個數有C·C·A=144，不含0的三位數個數有A=504.所有三位數個數共有144+504=648.把1～9分為三類：第一類是除以3余1的有1，4，7；第二類是除以3余2的有2，5,8.第三類是能被3整除的有3，6，9.不含有0且能被3整除的三位數個數有（C·C·C+ C+C+C）·A=180.含有0且能被3整除的三位數個數有（C·C+C）C·A= 48.故能被3整除的三位數有180+48=228.設此事件為A，則P（A）=，故不能被3整除的概率為1-P（A）=. 故選B項.
6、解：當時，滿足題意。
當時，再分兩種情況，由題意得
，解得 或。
綜上可知，， 故選（B）。
7、 解：（1）當k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示直線；
（2）當k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線；當且時，方程變?yōu)椤?br/> （i）當k<4時，方程表示雙曲線；（ii）當4 （iii）當k=6時，方程表示圓；（iv）當6 （v）當k>8時，方程表示雙曲線。
8、解：若長為4的邊作為圓柱底`面圓周的展開圖，，則；若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則。
9、解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點在x軸上，可設它們方程分別為
，依題意
且，所以兩曲線方程為。
（2）若焦點在y軸上，則可設橢圓方程為，
雙曲線方程為，依題意有
且， 所以兩曲線方程為，。
10、解：解對數不等式時，需要利用對數函數的單調性，把不等式轉化為不含對數符號的不等式。而對數函數的單調性因底數a的取值不同而不同，故需對a進行分類討論。
解：若a>1，則原不等式等價于；若01時，原不等式解集；當 0備用題
1、一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（ ）
A. B.
C. D.
解：設該直線在x軸，y軸上的截距均為a, 當a=0時，直線過原點，此時直線方程為； 當時，設直線方程為，方程為。
2、設函數（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）若函數f（x）的極小值大于0，求k的取值范圍.
解：（1）當k=0時，f（x）= -3x2+1，∴f（x）的單調增區(qū)間為.當，∴f（x）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）當k=0時，函數f（x）不存在極小值。當k>0時，由（1）得由條件k>0，所以k的取值范圍為（2，+∞）。
3、
解：（1）當a=0時，原不等式化為 ,.
(2) 當時，原不等式化為. (i)當a<0時，原不等式化為; ,,所以不等式的解為 或 。(ii) 若a>0時，原不等式化為。
(a) 當a>1時，，不等式解為 ，(b) 當a=1時， ，不等式解為 。(c) 當0綜上所述，得原不等式的解集為：當a<0時，不等式的解為；當a=0時，解集為；當01時，不等式解為。
4、 某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？
分析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有C63種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進行分類：
（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。
解：

5、．已知{an}是首項為2，公比為的等比數列，Sn為它的前n項和
（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然數c和k，使得成立
解 （1）由Sn=4(1–），得 ，(n∈N*)；
（2）要使，只要，因為，
所以，(k∈N*)，故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）。
因為Sk+1＞Sk，(k∈N*) ① ，所以Sk–2≥S1–2=1
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3
當c=2時，因為S1=2，所以當k=1時，c＜Sk不成立，從而①不成立
當k≥2時，因為，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得
Sk–2＜Sk+1–2，故當k≥2時，Sk–2＞c，從而①不成立
當c=3時，因為S1=2，S2=3，所以當k=1，k=2時，c＜Sk不成立，從而①不成立?
因為，又Sk–2＜Sk+1–2，所以當k≥3時，Sk–2＞c，從而①成立
綜上所述，不存在自然數c,k,使成立
6、設，為橢圓的兩個焦點，Ｐ是橢圓上的一點，已知Ｐ、、是一個直角三角形的三個頂點，且，求的值．
分析：本題主要考查橢圓的定義和勾股定理．首先應確定直角頂點，然后分情況討論．
解：由已知，，根據直角的不同位置，分兩種情況：
（１）若Ｐ是直角頂點，則，即，化簡得，解之得，，或（舍），　∴，得＝２。
（２）若是直角頂點，則，即，
解得，，　　∴，得＝。
評注：本題沒有給出直角頂點是哪一個，因此，需分情況討論．這是根據圖形的形狀進行討論的，此外還有根據元素性質，位置變化等情況分類的．
專題練習
一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上．
1．已知數列{an}滿足：a1＝m(m為正整數)，an＋1＝若a6＝1，則m所有可能的取值為(　　)
A．4或5　　　　　　　　 B．4或32[來源:學科網ZXXK]
C．5或32 D．4,5或32
解析：若a5為偶數，則a6＝＝1，即a5＝2.
若a4為偶數，則a5＝＝2，∴a4＝4；[來源:學科網]
若a4為奇數，則有a4＝(舍)．
若a3為偶數，則有a3＝8；若a3為奇數，則a3＝1.
若a2為偶數，則a2＝16或2；
若a2為奇數，則a2＝0(舍)或a2＝(舍)．
若a1為偶數，則a1＝32或4；
若a1為奇數，有a1＝5或a1＝(舍)．
若a5為奇數，有1＝3a5＋1；所以a5＝0，不成立．
綜上可知a1＝4或5或32.
答案：D
點評：本題考查了分類討論的應用，要注意數列中的條件是an為奇數或偶數，而不是n為奇數或偶數．
2．已知二次函數f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－3,2]上的最大值為4，則a等于(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.或－3
解析：當a<0時，在x∈[－3,2]上，當x＝－1時取得最大值，得a＝－3；
當a>0時，在x∈[－3,2]上，當x＝2時取得最大值，得a＝.
答案：D
3．對一切實數，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：本題是不等式恒成立問題，可以構造函數，把函數轉化為y＝x＋型，通過求解函數的最值得到結論．由不等式x2＋a|x|＋1≥0對一切實數恒成立．①當x＝0時，則1≥0，顯然成立；②當x≠0時，可得不等式a≥－|x|－對x≠0的一切實數成立．令f(x)＝－|x|－＝－≤－2.當且僅當|x|＝1時，“＝”成立．
∴f(x)max＝－2，故a≥f(x)max＝－2.
答案：B
4．0(ax)2的解集中的整數恰有3個，則(　　)
A．－1C．1解析：(x－b)2－(ax)2>0，(x－b－ax)(x－b＋ax)>0.
即[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0. ①
令x1＝，x2＝.
∵0當1－a>0時，若0若－1當1－a<0時，即a>1時，需x1＝<－2，a＋1>b>－2(1－a)，∴a<3.
綜上，1答案：C
5．已知a＝(－1，－2)，b＝(1，λ)．若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(　　)
A. B.
C.∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：∵〈a，b〉為鈍角，∴a·b<0，即有λ>－.又當λ＝2時，a與b反向．故選C.
答案：C
6．對任意兩實數a，b定義運算“*”如下，a*b＝則函數f(x)＝log (3x－2)*log2x的值域為(　　)
A．(－∞，0] B．[log2，0]
C．[log2，＋∞) D．R
解析：根據題目給出的情境，得f(x)＝log (3x－2)*log2x＝log2*log2x＝由于y＝log2x的圖象在定義域上為增函數，可得f(x)的值域為(－∞，0]．故選A.
答案：A
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．
7．若函數f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，則實數a的取值范圍為________．
(2)當函數g(t)在(0，＋∞)上存在一個零點，另一個零點在(－∞，0)時，實數a應滿足g(0)＝a＋1<0，解得a<－1.
(3)當函數g(t)的一個零點是0時，g(0)＝a＋1，a＝－1，此時可求得函數g(t)的另一個零點是1，符合題目要求．綜合(1)(2)(3)知a的取值范圍是a≤2－2.
答案：a≤2－2
8．連擲兩次骰子得到的點數為m和n，記向量a＝(m，n)，與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈(0，]的概率是________．
解析：∵m>0，n>0，
∴a＝(m，n)與b＝(1，－1)不可能同向．
∴夾角θ≠0.∴θ∈(0，]?a·b≥0，∴m≥n.
當m＝6時，n＝6,5,4,3,2,1；
當m＝5時，n＝5,4,3,2,1；
當m＝4時，n＝4,3,2,1；
當m＝3時，n＝3,2,1；
當m＝2時，n＝2,1；
當m＝1時，n＝1；
∴概率是＝.[來源:學_科_網Z_X_X_K]
答案：
9．當點M(x，y)在如圖所示的△ABC內(含邊界)運動時，目標函數z＝kx＋y取得最大值的一個最優(yōu)解為(1,2)．則實數k的取值范圍是________．
解析：如圖，延長BC交y軸于點D，目標函數z＝kx＋y中z的幾何意義是直線kx＋y－z＝0在y軸上的截距，由題意得當此直線經過點C(1,2)時，z取得最大值，顯然此時直線kx＋y－z＝0與y軸的交點應該在點A和點D之間，而kAC＝＝1，kBD＝kBC＝＝－1，直線kx＋y－z＝0的斜率為－k，所以－1≤－k≤1，解得k∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
10．設F1、F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，則的值為________．
解析：若∠PF2F1＝90°，
則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.
解得|PF1|＝，|PF2|＝.∴＝.
若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2.
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2.∴＝2.
綜上，＝或2.
答案：或2
三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
11．(12分)已知a>0，且a≠1，數列{an}的前n項和為Sn，它滿足條件＝1－.數列{bn}中，bn＝an·lgan.
(1)求數列{bn}的前n項和Tn；
(2)若對一切n∈N*，都有bn分析：(1)本題從＝1－可以得出Sn，進而由an和Sn的關系an＝可求出數列{an}的通項，也就求出了{bn}的通項公式．(2)應注意分a>1和0解：(1)＝1－，∴Sn＝.
當n＝1時，a1＝S1＝＝a；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝an.
∴an＝an(n∈N*)．此時，bn＝an·lgan＝n·anlga.[來源:Z#xx#k.Com]
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝lga(a＋2a2＋3a3＋…＋nan)．
設un＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，∴(1－a)un＝a＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1＝－nan＋1.
∴un＝－.
∴Tn＝lga[－]．
(2)由bn①當a>1時，由lga>0，可得a>.
∵<1(n∈N*)，a>1，∴a>對一切n∈N*都成立，此時a的范圍為a>1.
②當0(n＋1)a，即a<，即a<min.
∵≥，∴a<時，對一切n∈N*，a<都成立，此時，a的范圍為0由①②知：對一切n∈N*，都有bn1.
12．(13分)設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓＋＝1(a>b>0)上兩點．已知m＝，n＝，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線AB過橢圓的焦點F(0，c)(c為半焦距)，求直線AB的斜率k；
(3)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
分析：(1)由e＝＝及b＝1可求a.(2)設出AB的直線方程，代入橢圓方程，結合根與系數的關系及條件m·n＝0，解出k值．(3)應分kAB不存在及kAB存在兩種情況討論求解．
解：(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.
∴a＝2，c＝.橢圓的方程為＋x2＝1.
(2)由題意，設AB的方程為y＝kx＋，
由整理得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由已知m·n＝0得：
＋＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝x1x2＋k(x1＋x2)＋[來源:學科網ZXXK]
＝＋k·＋＝0.解得k＝±.
(3)①當直線AB斜率不存在時，即x1＝x2，
y1＝－y2，由m·n＝0得x－＝0?y＝4x.
又A(x1，y1)在橢圓上，所以x＋＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝1＝|x1|·2|y1|＝1，所以三角形面積為定值．
②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y＝kx＋b，代入＋x2＝1，得：(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝，x1x2＋＝0?x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，
∴S＝·|AB|＝|b|＝＝＝1.
所以△ABC的面積為定值．
點評：本題是平面向量與解析幾何的交匯題，綜合考查了橢圓方程，離心率，定值等知識與方法，當直線位置不確定時，應注意分斜率存在與斜率不存在討論．

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