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數形結合思想專題
數學解題中的數形結合，指的是對題目中的條件、結論及題意背景從代數幾何兩方面考慮，在兩方面的結合處尋找思路，數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。在解題過程中，巧妙的應用數形結合這一方法，可以使復雜抽象的問題，變的清晰明了。實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。以下分三個方面介紹。
一、利用函數的圖象
解方程問題
方程f(x)=g(x)的實數解是曲線y=f(x)與y=g(x)的交點橫坐標。特殊方程f(x)=0的實數解是曲線y=f(x)與x軸交點的橫坐標。
已知是的根，是的根，則______________.
解：利用原函數與反函數的圖象對稱性求解。設， ，
，如圖1，交點。因為A，B關于y=x
對稱，所以，， 所以。
若方程f(3+2x)=0有三個根，則方程f(1-2x)=0有_______個根，
兩方程所有根之和為____________.
解：設，，由兩函數圖象關于
對稱，知兩函數圖象與x軸交點個數相同，所以方程f(1-2x)=0也有三個根，且這六個根之和為。
例3、已知方程，，若方程有兩個不相等的
實根，則=__________。
解數列問題
等差數列中，，前項和為，且，，則當取最大值時，n=________.
解：因為是n的二次函數，所以，其圖象是過原點的拋物線上橫坐標為正整數的點集。由題可知，該數列公差小于0，對應的拋物線開口向下，與橫軸一個
交點為0，另一交點坐標在區間(9,10)內，如圖3。由此可得，拋物線
的頂點橫坐標在區間(4.5,5)內，所以，當n=5時，最大。
解不等式問題
已知的圖象如圖4所示，其定義域為，
解不等式
分析：對于給出圖形的抽象函數，進行求解時利用所給函數的性質結合圖形往往比較簡捷。
解：，即異號，結合圖形可知，當x>2時，，
當時，，所以的解集為{x|x>2或x<-2}。
點評：數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象
思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。
二、 利用曲線方程的圖形
4、求概率
例5 、在長度為a的線段內任取兩點，將線段分為三段，以這三段為邊能
構成三角形的概率為_________________.
解： 設三邊為x,y,a-(x+y)，則 0由三邊性質得 x-[a-(x+y)]a-(x+y) ，
所以 ，作出滿足條件0示的平面區域，如圖5陰影部分所示。由此可得，三段為邊能構成三角形
的概率為。
5、求最值
例6、如果實數x,y滿足，則的最大值為（ ）

類題演變1、 如果實數x,y滿足 ，求y-3x的最大值與最小值。
解：設，則y=3x+b，則問題轉化為：在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為3，在y軸上的截距最大或最小值 。 由圖7可見，直線y=3x+b與橢圓相切時，截距取最值。
由。由，得，故y-3x最大值為13，最小值為。
問題3 利用幾何意義轉化、構造
6、證明不等式
例7、已知α、β、γ均為銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證：tanα+tanβ+tanγ≥。
證明：由已知條件作長方體ABCD—A1B1C1D1，如圖8，使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ，設AD=a，AB=b，AA1=c，則 tanα=，tanβ=，tanγ=，所以tanα+tanβ+tanγ=≥≥，故tanα+tanβ+tanγ≥。
點評：(1)還可將已知條件改為sin2α+sin2β+sin2γ=2；
(2)運用此模型，還可設α、β、γ分別為AC1與C1B、C1A1、C1D所成的角，則cos2α+cos2β+cos2γ=2(或sin2α+sin2β+sin2γ=1)。
7、求角的范圍
例8、已知向量=(2,0),=(2,2),=(cosα,sinα)，則向量與
的夾角范圍為（ ）
A. B. C. D.
解：如圖9所示，點A的軌跡是以C(2,2)為圓心, 為半徑的圓.過原點O作此圓的切線,切點分別為M,N.連CM、CN.∵||=2,∴||=||=，知∠COM=∠CON=。又 ∵∠COB=，
∴∠MOB=，∠NOB=π，選D。
8、求函數值域
例9．求函數的值域。
解：由定義知1-x2≥0且2+x≠0，∴ -1≤x≤1，故可設x=cosθ，θ∈[0，π]，則有，可看作是動點M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])與定點A（-2，0）連線的斜率，而動點M的軌跡方程，θ∈[0，π]，即x2+y2=1（y∈[0，1]是半圓。設切線為AT，T為切點，|OT|=1，|OA|=2，∴ ，∴0≤≤,即函數的值域為[0，]。
點評：1、有些代數式經變形后具備特定的幾何意義，此時可考慮運用數形結合求解，如：比值——可考慮與斜率聯系；根式——可考慮與距離聯系；二元一次式——可考慮與直線的截距相聯系。
2、本題也可如下轉化：令u=，v=2+x，則(u+2)2+v2=1（v≥0），求的最大值，即求半圓(u-1)2+v2=1（v≥0）上的點與原點連線斜率的最大值，易知。
類題演變2、 求函數的值域。
解: 的形式類似斜率公式，可看作是過兩點的直線斜率。由于點P在單位圓上，如圖10所示，顯然， 。設過點的圓的切線方程為，則有，解得，即， ，所以函數值域為。
類題演變3 、 求函數的值域。
分析：等號右邊兩個根號內均為的一次式，可假設轉化出一元二次函數求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規解法顯得比較困難。
解：設，則，且 ，所給函數轉化為直線與橢圓在第一象限的部分（包括端點）有公共點時u的最值問題
（如圖11），易得。相切于第一象限時，u取最大值。由，消去y得.由，得，取，，故函數值域為。
小結 利用數形結合思想解決問題，要注意數與形的完整結合，由數想形時，一定要準確、全面，特別是圖形一定要準確。數形結合常用的輔助工具：數軸(直角坐標系)、兩點間距離公式、向量的模，函數的圖象，曲線的方程，直線的斜率、截距，二元一次不等式表示平面區域等．?
專題練習
　數形結合思想
一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上．
1．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．3
C. D.
解析：
設P到l1的距離為d1，P到l2的距離為d2，由拋物線的定義知d2＝|PF|，F(1,0)為拋物線焦點，所以d1＋d2＝d1＋|PF|.過F作FH⊥l1于H，設F到l1的距離為d3，則d1＋|PF|≥d3.當且僅當H，P，F三點共線時，d1＋d2最小，由點到直線距離公式易得d3＝＝2.
答案：A
2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率的取值范圍是(　　)
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：如圖所示，根據直線與漸近線斜率的大小關系：＝＝≥，從而e≥2.
答案：C
3．已知＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，則向量與的夾角的取值范圍為(　　)
A．[0，] B．[，π]
C．[π，] D．[，π]
解析：
如圖，在以O為原點的平面直角坐標系中，B(2,0)，C(2,2)，A點軌跡是以為半徑的圓C，OD，OE為⊙C的切線，易得∠COB＝，∠COD＝∠COE＝，當A點位于D點時，與的夾角最小為，當A點位于E點時，與的夾角最大為π，即夾角的取值范圍為[，π]．
答案：D
4．函數y＝3cos與y＝3cos的圖象和兩直線y＝±3所圍成的封閉區域的面積為(　　)
A．8π B．6π
C．4π D．以上都不對
5．設定義域為R的函數f(x)＝若關于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有3個不同的實數解x1，x2，x3，且x1A．x＋x＋x＝14 B．1＋a＋b＝0
C．x1＋x3＝4 D．x1＋x3>2x2
解析：作出f(x)的圖象，圖象關于x＝2對稱，且x＝2時，f(x)＝1，故f(x)＝1有3個不同實數根x，除此之外，只有兩個根或無根．又f2(x)＋af(x)＋b＝0有3個不同的實數解x1答案：D
6．若函數f(x)＝logax－x＋a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值范圍為(　　)
A．01
C．a>0且a≠1 D．1解析：設函數y＝logax(a>0且a≠1)和函數y＝x－a，則函數f(x)＝logax－x＋a有兩個零點，就是函數y＝logax(a>0且a≠1)與函數y＝x－a有兩個交點，由圖象可知當01時，函數y＝logax圖象過點(1,0)，而直線y＝x－a與x軸交點(a,0)在點(1,0)右側，所以一定有兩個交點，故a>1.
答案：B
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．
7．設有一組圓Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四個命題：
A．存在一條定直線與所有的圓均相切[來源:學科網ZXXK]
B．存在一條定直線與所有的圓均相交
C．存在一條定直線與所有的圓均不相交[來源:Zxxk.Com]
D．所有的圓不經過原點
其中真命題的代號是________．(寫出所有真命題的代號)
解析：假設圓經過原點，則有(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k2＝－2k＋1，而上式左邊為偶數，右邊為奇數，故矛盾，所以D正確．而所有圓的圓心軌跡為即y＝3x＋3.此直線與所有圓都相交，故B正確．由于圓的半徑在變化，故A，C不正確．
答案：BD
8．當0≤x≤1時，不等式sinx≥kx，則實數k的取值范圍是________．
解析：
在同一坐標系下，作出y1＝sinx與y2＝kx的圖象，要使不等式sinx≥kπ成立，由圖可知需k≤1.
答案：k≤1
9．函數f(x)＝x3＋ax2－bx在[－1,2]上是單調減函數，則a＋b的最小值為________．
解析：∵y＝f(x)在區間[－1,2]上是單調減函數，
∴f′(x)＝x2＋2ax－b≤0在區間[－1,2]上恒成立．
結合二次函數的圖象可知f′(－1)≤0且f′(2)≤0，
即也即[來源:學科網ZXXK]
作出不等式組表示的平面區域如圖：
當直線z＝a＋b經過交點P(－，2)時，z＝a＋b取得最小值，且zmin＝－＋2＝.∴z＝a＋b取得最小值.
答案：
點評：由f′(x)≤0在[－1,2]上恒成立，結合二次函數圖象轉化為關于a，b的二元一次不等式組，再借助線性規劃問題，采用圖解法求a＋b的最小值．
10．用計算機產生隨機二元數組成區域對每個二元數組(x，y)，用計算機計算x2＋y2的值，記“(x，y)”滿足x2＋y2<1為事件A，則事件A發生的概率為________．
解析：本題為幾何概型問題，應轉化為圖形的面積比求解．如圖，畫出不等式組及(x，y)滿足x2＋y2<1的平面區域．
∴P(A)＝.
答案：
三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．[來源:學.科.網]
11．(12分)若關于x的方程x2＋2kx＋3k＝0的兩根都在－1和3之間，求k的取值范圍．
解：[來源:Zxxk.Com]
令f(x)＝x2＋2kx＋3k，其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f(x)＝0的解，由y＝f(x)的圖象(如圖)可知，要使兩根都在－1,3之間，只需f(－1)>0，f(3)>0，f＝f(－k)<0，－1<－k<3同時成立，解得－112．(13分)(四川)設橢圓＋＝1，(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2，離心率e＝，右準線為l，M、N是l上的兩個動點，·＝0.
(1)若||＝||＝2，求a、b的值；
(2)求證：當|MN|取最小值時，＋與共線．
解：由a2－b2＝c2與e＝＝，得a2＝2b2.
F1(－a,0)，F2，l的方程為x＝a.
設M(a，y1)，N(a，y2)
則＝，＝
由·＝0得
y1y2＝－a2<0 ①
(1)由||＝||＝2，得＝2 ②
＝2 ③
由①②③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故a＝2，
b＝＝.
(2)證明：|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2
≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2.
當且僅當y1＝－y2＝a或y2＝－y1＝a時，
|MN|取最小值a.
此時，＋＝＋
＝(2a，y1＋y2)＝(2a,0)＝2.
故＋與共線．
參考題 A組
1、在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數中，當0＜x1＜x2＜1
時，使f（）＞恒成立的函數的個數是 （ B ）?
A．0 B．1 C．2 D．3?
解： 用圖像法，只有上凸函數才滿足題意，即只有y=log2x才滿足上式，故選B．?
2、函數f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］的圖象與直線y=k有且僅有2個不同的交點，則k的取值范圍 。
解：f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］=，
如（1圖）所示,得1
3、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度
m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路
程以速度n行走。如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。
解：設從出發地點到指定地點的路程為S，甲乙兩人走完這段路程所用時間分別為，要回答題目中的問題，只要比較的大小即可。下面利用圖象求解，不妨假設m>n， 甲、乙均先以速度m行走，后以速度n行走，則甲行走時，所走路程大于，如（2圖）所示，可見 ，
從而知甲比乙先到達指定地點。
4、已知 , 求4a-2b的范圍。
解：在坐標平面aob上，畫出直線a+b=2,a+b=4,a-b=1,a-b=2，如（3圖），
。 設函數z=4a-2b，則,易看出直線4a-2b=z, 過圖形區域最左邊的點時，；過最右邊的點C(3,1)時，。
5、已知拋物線 ，定點A(3,1)，F 是拋物線的焦點 ，在拋物線上求一點 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。
分析：由點A引準線的垂線，垂足Q，則 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即為最小值。
解： 如（4圖），, 焦點F(1,0) 。 由點A引準線x= -1的垂線 ，垂足Q，則 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即為最小值. 。
由, 得 為所求點.。
若另取一點 ， 顯然 。
[點悟] 利用圓錐曲線性質求最值是一種特殊方法。在利用時技巧性較強，但可以避繁就簡，化難為易。又如已知圓錐曲線內一點A與其上一動點P，求 的最值時，常考慮圓錐曲線第二定義。
6、函數y=的定義域是(－∞,1)∪,則其值域是 ( )
A.(－∞,0)∪ B.? . ?
C D.(0,+∞)
【解析】.有數去配形.如圖， 將反比例函數y=的圖像
右移1個單位，其中心為（1，0），如圖所示.當x∈(－∞,1)∪時，y∈(－∞,0)∪,選A.
【點評】 依條件準確描出圖像，答案即自動得出。
7、若三棱錐A—BCD的側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到側棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是 （ ）
【分析】本例是04·重慶卷中的一道好題，顯然，這里只有形的軀殼，而不見數的靈魂，所以解題
的方向便是進行數的分析。
【解】如圖，PH⊥面BCD于H，PQ⊥AB于Q，且有PH=PQ.作HM⊥BC于M連PM.由三垂線定理知
PM⊥BC，∴∠PMH是二面角A—BC—D的平面角，
設為θ,顯然θ為定值，且PM≥PH(當且僅當面ABC⊥
面BCD時，PM=PH)，∴PM≥PQ,即≥1為常數，
故所求軌跡為偏向于棱AB的線段，選D.
【評注】 若面ABC⊥面BCD，則點M的軌跡即為∠ABC的平分線，
據此已可排除A、B.
參考題 B組
1.在坐標平面內，與點A（1，2）距離為1,且與點B（3，1）距離為2的直線共有 ( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
2.滿足條件|z－i|=|3+4i|的復數z在復平面上對應點的軌跡 ( )
A.一條直線 B兩條直線 C.圓 D.橢圓
3.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x)=f(x+2),當x∈［3,4］時，f(x)=x－2,則 ( )
A. B.
C.f(sin1)4.若不等式x2－logax<0在(0,0.5)內恒成立，則a的取值范圍是 （ ）
A.≤a<1 B.01
5. P是拋物線y=x2上任意一點，則當P和直線x+y+2=0上的點距離最小時，P與該拋物線的準線距離是 （ ） A. B. C.1 D.2
6.方程的實根共有 （ ）
A.1個 B.2個? C.3個 D.4個
7.若方程=2有實數解，則a的取值范圍是 （ ）
A.(－2,0)∪(0,) B. C.(－2,)? D.[-2，]
8.函數F(x)的定義域為R，且x≠1.已知f(x+1)為奇函數，當x<1時，f(x)=2x2－x+1，那么當x>1時，f(x)的減區間是 （ ）
A. B. C. D.
答案
1.B 為數配形. 如圖，與A（1，2）距離為1的點在圓A上；
與B（3，1）距離為2的點在圓B上.顯然，同時滿足
這兩個條件的直線只有該二圓的兩條外公切線,(由于
|AB|=<1+2，故不存在滿足該二條件的與AB垂直的直線).
4.A 為數配形. 在同一坐標平面內作y1=x2,y2=logax的圖像，如圖，由題意可知必有0y1在（0,0.5）內恒成立，必須且只需P點在A的右邊，而P點與A點重合時，a=,根據對數曲線隨底數的改變而變化的規律得≤a<1.
5.B為數配形. 作出y=x2及x+y+2=0的圖像如圖所示，設與x+y+2=0平行的拋物線切線為L，由圖可知，切點P0到x+y+2=0的距離最小，設P0（x0,y0）,則L方程為y=－x+b與拋物線y＝x2聯立得：x0=－,則y0=.所以P0到拋物線準線y=－的距離為.
6.A 為數配形.設y1=變形得(x－2)2+=8,∴y1的圖像是以（2,0）為圓心，為半徑的上半圓，設y2=,?變形得： (x－1)·(y2+1)=1,y2的圖像是以直線x=1,y=－1為漸近線的雙曲線，如圖所示，兩曲線僅一個交點，即原方程只有1個實根.

7.A為數配形. 原方程可變形為lg=lg(x－a),設y=,它表示以原點為圓心，為半徑的半圓，如圖，設y=x－a(y>0),它表示斜率為1的射線（不含端點），其中a的幾何意義是射線在x軸上的端點，如圖所示，當－2≤a<時，兩曲線有交點，又因為x－a≠1,令x=1+a代入方程2－x2－(x－a)2=0,解得a=0或a=－2,所以a≠0且a≠－2,故a∈(－2,0)∪(0,).
8.C為數配形. 由f(x+1)是奇函數，可知f(x)關于點(1,0)中心對稱，于是可畫出函數f(x)的圖像如圖所示，則由圖可知，當x>1時，f(x)的減區間是。

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