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2.2 法拉第電磁感應(yīng)定律
一、考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)一、法拉第電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用
1．磁通量Φ、磁通量的變化量ΔΦ及磁通量的變化率的比較
磁通量Φ 磁通量的變化量ΔΦ 磁通量的變化率
物理意義 某時(shí)刻穿過磁場(chǎng)中某個(gè)面的磁感線條數(shù) 在某一過程中穿過某個(gè)面的磁通量的變化量 穿過某個(gè)面的磁通量變化的快慢
大小計(jì)算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝
注意 若穿過某個(gè)面有方向相反的磁場(chǎng)，則不能直接用Φ＝BS。應(yīng)考慮相反方向的磁通量或抵消以后所剩余的磁通量 開始和轉(zhuǎn)過180°時(shí)平面都與磁場(chǎng)垂直，但穿過平面的磁通量是不同的，一正一負(fù)，ΔΦ＝2BS，而不是零 既不表示磁通量的大小，也不表示變化的多少。在Φ t圖像中，可用圖線的斜率表示
2．對(duì)公式E＝n的理解
(1)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小取決于穿過電路的磁通量的變化率，而與Φ、ΔΦ的大小沒有必然關(guān)系，與電路的電阻R無關(guān)；感應(yīng)電流的大小與E和回路總電阻R有關(guān)。
(2)用公式E＝n所求的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為整個(gè)閉合電路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，而不是回路中某部分導(dǎo)體兩端的電動(dòng)勢(shì)。
(3)公式E＝n只表示感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，不涉及其正負(fù)，計(jì)算時(shí)ΔΦ應(yīng)取絕對(duì)值，至于感應(yīng)電流的方向，可以用楞次定律去判定。
【典例1】如圖甲所示，一個(gè)圓形線圈匝數(shù)n＝1 000匝、面積S＝2×10－2 m2、電阻r＝1 Ω。在線圈外接一阻值為R＝4 Ω的電阻。把線圈放入一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直線圈平面向里，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所示。求：
(1)0～4 s內(nèi)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；
(2)t＝5 s時(shí)，a、b兩點(diǎn)哪點(diǎn)電勢(shì)高？
(3)t＝5 s時(shí)，電阻R兩端的電壓U。
(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度在0～4 s內(nèi)均勻增大，可由E＝n·S求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。
(2)t＝5 s時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度正在均勻減小，線圈產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源。
【答案】(1)1 V　(2)a點(diǎn)的電勢(shì)高　(3)3.2 V
【解析】(1)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得，0～4 s內(nèi)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝n
＝1 000× V
＝1 V。
(2)t＝5 s時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度正在減弱，根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電流的磁場(chǎng)方向與原磁場(chǎng)方向相同，即感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向是垂直紙面向里，故a點(diǎn)的電勢(shì)高。
(3)在t＝5 s時(shí)，線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
E′＝n＝1 000× V＝4 V
根據(jù)閉合電路歐姆定律得電路中的電流為
I＝＝ A＝0.8 A
故電阻R兩端的電壓
U＝IR＝0.8×4 V＝3.2 V。
【典例2】如圖所示,一正方形線圈的匝數(shù)為n、邊長(zhǎng)為a,線圈平面與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直,且一半處在磁場(chǎng)中.在 Δt時(shí)間內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向不變,大小由B均勻地增大到2B.在此過程中,線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 (　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】當(dāng)磁場(chǎng)增強(qiáng)時(shí)線圈中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì),由法拉第電磁感應(yīng)定律E=n=nS=na2=,選項(xiàng)B正確.
練習(xí)1、閉合線框abcd，自某高度自由下落時(shí)穿過一個(gè)有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)它經(jīng)過如圖所示的三個(gè)位置時(shí)，下列說法中正確的是（　　）
A．經(jīng)過Ⅰ時(shí)，有順時(shí)針方向的感應(yīng)電流
B．若線圈勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，則也一定勻速出磁場(chǎng)
C．經(jīng)過Ⅱ時(shí)，無感應(yīng)電流
D．經(jīng)過Ⅲ時(shí)，線圈的加速度不可能為零
【答案】C
【解析】A．由楞次定律可知，線框經(jīng)過Ⅰ時(shí)，感應(yīng)電流方向?yàn)椋海娏餮啬鏁r(shí)針方向，故A錯(cuò)誤；
B．如果線圈勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，線圈受到的安培力等于其重力，線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)后不產(chǎn)生感應(yīng)電流，不受安培力，線圈做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，線圈離開磁場(chǎng)時(shí)速度大于進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，所受安培力大于重力，線圈做減速運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤；
C．線圈經(jīng)過Ⅱ時(shí)穿過線圈的磁通量不變，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，故C正確；
D．如果線圈進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)安培力小于重力，線圈做加速運(yùn)動(dòng)，線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)后繼續(xù)做加速運(yùn)動(dòng)，線圈離開磁場(chǎng)時(shí)速度大于進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，線圈所受安培力大于線圈進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的安培力，線圈所受安培力可能等于重力，線圈所受合力為零，線圈加速度可能為零，故D錯(cuò)誤；
練習(xí)2、現(xiàn)有內(nèi)接正方形的金屬圓環(huán)，正方形內(nèi)充滿變化磁場(chǎng)，金屬環(huán)電阻率為、橫截面積為S，圓環(huán)半徑為R，如圖（a）所示。規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖（b）所示，則（　　）
A．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中的感應(yīng)電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向
B．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)所受安培力大小為零
C．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中的感應(yīng)電流大小為
D．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中產(chǎn)生的熱量為
【答案】B
【解析】A．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中磁場(chǎng)向外且減小，據(jù)楞次定律可知，圓環(huán)中的感應(yīng)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，A錯(cuò)誤；
B．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中磁場(chǎng)向內(nèi)且增大，產(chǎn)生逆時(shí)針的感應(yīng)電流，但圓環(huán)所在位置磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度為零，故圓環(huán)所受安培力大小為零，B正確；
C．時(shí)間內(nèi)，據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知，圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
圓環(huán)的電阻
故時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中的感應(yīng)電流大小為
C錯(cuò)誤；
D．時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)中產(chǎn)生的熱量為
D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)二、導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
1．對(duì)公式E＝Blv的理解
(1)在公式E＝Blv中，l是指導(dǎo)體棒的有效切割長(zhǎng)度，即導(dǎo)體棒在垂直于速度v方向上的投影長(zhǎng)度，如圖所示的幾種情況中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)都是E＝Blv。
(2)公式中的v應(yīng)理解為導(dǎo)線和磁場(chǎng)間的相對(duì)速度，當(dāng)導(dǎo)線不動(dòng)而磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，也有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生。
(3)當(dāng)v與l或v與B的夾角為θ時(shí)，公式E＝Blv仍可用來求解導(dǎo)體切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，但應(yīng)注意的是其l或v應(yīng)為有效切割長(zhǎng)度或有效切割速度。當(dāng)B、l、v三個(gè)量的方向相互垂直時(shí)，θ＝90°，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大；當(dāng)有任意兩個(gè)量的方向平行時(shí)，θ＝0°，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為0。
(4)該公式可看成法拉第電磁感應(yīng)定律的一個(gè)推論，通常用來求導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，隨著v的變化，E也相應(yīng)變化；若v為平均速度，則E就為平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。
2．轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線的兩個(gè)特例
導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割 相對(duì)位置 導(dǎo)體棒垂直于磁場(chǎng)，轉(zhuǎn)動(dòng)平面也垂直于磁場(chǎng)
轉(zhuǎn)軸位置 端點(diǎn) E＝Bl＝Blv中＝Bl2ω
中點(diǎn) E＝0
任意位置 E＝Bl12ω－Bl22ω
閉合線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 條件 (1)勻速磁場(chǎng)；(2)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；(3)轉(zhuǎn)軸垂直于磁場(chǎng)
公式 t＝0時(shí)線圈平行于磁場(chǎng)，E＝NBSω cos ωt
t＝0時(shí)線圈垂直于磁場(chǎng)，E＝NBSω sin ωt
備注 與線圈的形狀、轉(zhuǎn)軸的位置無關(guān)
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的三個(gè)表達(dá)式對(duì)比
表達(dá)式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω
情景圖
研究對(duì)象 回路(不一定閉合) 一段直導(dǎo)線(或等效成直導(dǎo)線) 繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體棒
意義 一般求平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)Δt→0時(shí)求的是瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 一般求瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)v為平均速度時(shí)求的是平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 用平均值法求瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
適用條件 所有磁場(chǎng) 勻強(qiáng)磁場(chǎng) 勻強(qiáng)磁場(chǎng)
【典例1】所示，在虛線區(qū)城內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一粗細(xì)均勻材質(zhì)相同的正方形線圈邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，總電阻為R。在外力作用下以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域。則在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)線圈在外力作用下以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，d、c兩點(diǎn)間產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
根據(jù)楞次定律可知，產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，故此時(shí)a點(diǎn)的電勢(shì)高于b點(diǎn)的電勢(shì)，a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差相當(dāng)于a、b兩點(diǎn)間的電壓，為
。
【典例2】如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，將一個(gè)水平放置的金屬棒ab以水平初速度v0拋出，設(shè)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中棒的取向不變且不計(jì)空氣阻力，則金屬棒在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小將(　　)
A．越來越大　　　　 B．越來越小
C．保持不變 D．無法確定
【答案】C
【解析】E＝BLvsin θ＝BLvx；ab做平拋運(yùn)動(dòng)，水平速度保持不變，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)保持不變。
練習(xí)1、（多選）法拉第圓盤發(fā)電機(jī)的示意圖如圖所示。銅圓盤安裝在豎直的銅軸上，兩銅片P、Q分別與圓盤的邊緣和銅軸接觸。圓盤處于方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中。圓盤旋轉(zhuǎn)時(shí)，關(guān)于流過電阻R的電流，下列說法正確的是(　　)
A．若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度恒定，則電流大小恒定
B．若從上向下看，圓盤順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則電流沿a到b的方向流動(dòng)
C．若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向不變，角速度大小發(fā)生變化，則電流方向可能發(fā)生變化
D．若圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則電流在R上的熱功率也變?yōu)樵瓉淼?倍
【答案】AB
【解析】由右手定則知，圓盤按如題圖所示的方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，感應(yīng)電流沿a到b的方向流動(dòng)，選項(xiàng)B正確；由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝Bl2ω知，角速度恒定，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)恒定，電流大小恒定，選項(xiàng)A正確；角速度大小變化，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小變化，但感應(yīng)電流方向不變，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若ω變?yōu)樵瓉淼?倍，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變?yōu)樵瓉淼?倍，電流變?yōu)樵瓉淼?倍，由P＝I2R知，電流在R上的熱功率變?yōu)樵瓉淼?倍，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
練習(xí)2、如圖所示，豎直平面內(nèi)有一金屬環(huán)，半徑為a，總電阻為R（指拉直時(shí)兩端的電阻），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過環(huán)平面，在環(huán)的最高點(diǎn)A用鉸鏈連接長(zhǎng)度為2a、電阻為的導(dǎo)體棒AB，AB由水平位置緊貼環(huán)面擺下，當(dāng)擺到豎直位置時(shí)，B點(diǎn)的線速度為v，則這時(shí)AB兩端的電壓大小為___________
【答案】
【解析】當(dāng)擺到豎直位置時(shí)，導(dǎo)體中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
在導(dǎo)體與環(huán)組成的閉合電路中，導(dǎo)體充當(dāng)電源，電路為并聯(lián)電路，則AB兩端的電壓為路端電壓，根據(jù)閉合電路的歐姆定律
練習(xí)3、如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的光滑直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為=30°的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=1m，M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R=8Ω的電阻。一根質(zhì)量為m=1kg電阻為r=2Ω的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上。導(dǎo)軌的電阻可忽略。讓金屬桿ab沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，沿斜面下滑d=2m時(shí)，金屬桿達(dá)到最大速度，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，重力加速度為g=10m/s2。求：
（1）金屬桿達(dá)到的最大速度vm；
（2）在這個(gè)過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）在這個(gè)過程中，通過電阻R的電荷量。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)金屬桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
金屬桿中的電流為
金屬桿受的安培力為
當(dāng)速度最大時(shí)有
代入數(shù)據(jù)可得
(2)由能量的轉(zhuǎn)化與守恒可得
代入數(shù)據(jù)可得
由
得
(3)電路中的平均平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
磁通量的變化量為
平均電流為
通過的電量
由以上方程可得
代入數(shù)據(jù)可得
考點(diǎn)三、平均電動(dòng)勢(shì)與瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)的求解
平均電動(dòng)勢(shì)與瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)的比較
E＝n E＝Blvsin θ
區(qū)別 物理意義不同 求的是Δt時(shí)間內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，E與某段時(shí)間或某個(gè)過程相對(duì)應(yīng) 求的是瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，E與某個(gè)時(shí)刻或某個(gè)位置相對(duì)應(yīng)
范圍不同 求的是整個(gè)電路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。整個(gè)電路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零時(shí)，其電路中某段導(dǎo)體的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不一定為零 求的是電路中一部分導(dǎo)體切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
研究對(duì)象不同 由于是整個(gè)電路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因此研究對(duì)象即電源部分不容易確定 由于是一部分導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，該部分就相當(dāng)于電源
聯(lián)系 公式E＝n和E＝Blvsin θ是統(tǒng)一的，當(dāng)Δt→0時(shí)，E為瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，而公式E＝Blvsin θ中的v若代入平均速度，則求出的E為平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
【典例1】如圖所示，邊長(zhǎng)為0.1 m的正方形線圈ABCD在大小為0.5 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以AD邊為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)刻線圈平面與磁感線平行，經(jīng)過1 s線圈轉(zhuǎn)了90°，求：
(1)線圈在1 s時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值；
(2)線圈在1 s末時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小。
【答案】(1)0.005V (2)0
【解析】初始時(shí)刻線圈平面與磁感線平行，所以穿過線圈的磁通量為零，而1 s末線圈平面與磁感線垂直，磁通量最大，故磁通量有變化，有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生。
(1)根據(jù)E＝可得在轉(zhuǎn)過90°的過程中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝＝0.5×0.1×0.1 V＝0.005 V。
(2)當(dāng)線圈轉(zhuǎn)了1 s時(shí)，恰好轉(zhuǎn)了90°，此時(shí)線圈的速度方向與磁感線的方向平行，線圈的BC段不切割磁感線(或認(rèn)為切割磁感線的有效速度為零)，所以線圈不產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，E′＝0。
【典例2】如圖所示，一導(dǎo)線彎成半徑為a的半圓形閉合回路。虛線MN右側(cè)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，直徑CD始終與MN垂直。從D點(diǎn)到達(dá)邊界開始到C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)為止，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．感應(yīng)電流方向不變
B．CD段直線始終不受安培力
C．感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值E＝Bav
D．感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)平均值＝πBav
【答案】B
【解析】感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E＝只能用來計(jì)算平均值，利用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E＝Blv計(jì)算時(shí)，l應(yīng)是等效長(zhǎng)度，即垂直切割磁感線的長(zhǎng)度。在閉合電路進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，通過閉合電路的磁通量逐漸增大，根據(jù)楞次定律可知感應(yīng)電流的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向不變，A正確。根據(jù)左手定則可以判斷，CD段受安培力向下，B不正確。當(dāng)半圓閉合回路進(jìn)入磁場(chǎng)一半時(shí)，等效長(zhǎng)度最大為a，這時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大為E＝Bav，C正確。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)平均值＝＝＝πBav，D正確。
練習(xí)1、（多選）如圖所示，寬度為的光滑金屬框架固定于水平面，并處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下，框架的電阻分布不均勻。將質(zhì)量為、長(zhǎng)為的金屬棒垂直放置在框架上，并且與框架接觸良好。現(xiàn)給棒向左的初速度，其恰能做加速度大小為的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則在棒的速度由減為的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．棒的位移大小為 B．通過棒的電荷量為
C．框架段的熱功率增大 D．棒產(chǎn)生的焦耳熱為
【答案】AB
【解析】A．根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度位移關(guān)系有
解得
故A正確；
B．對(duì)ab棒根據(jù)動(dòng)量定理有
又
解得
故B正確；
C．根據(jù)熱功率
隨著導(dǎo)體棒ab速度的減小，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)
也減小，根據(jù)閉合電路歐姆定律可知，電流不變，故熱功率減小，故C錯(cuò)誤；
D．由能量守恒定律可知
Q為電路中產(chǎn)生的焦耳熱，故導(dǎo)體棒ab產(chǎn)生的焦耳熱小于Q，即小于
故D錯(cuò)誤。
練習(xí)2、、如圖所示，邊長(zhǎng)為a的正方形閉合線框ABCD在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞AB邊勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，初始時(shí)刻線框所在平面與磁感線垂直，經(jīng)過t時(shí)刻轉(zhuǎn)過120°角，求：
(1)線框內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在t時(shí)間段內(nèi)的平均值；
(2)轉(zhuǎn)過120°角時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)設(shè)初始時(shí)刻磁感線從線框反面穿入，此時(shí)磁通量Φ1＝－Ba2，t時(shí)刻后Φ2＝Ba2，磁感線從正面穿入，磁通量的變化量為ΔΦ＝，
則＝＝。
(2)計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值要用公式E＝Blvsin θ。
v＝，θ＝120°，所以E＝。
考點(diǎn)四、轉(zhuǎn)動(dòng)切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算
如圖所示，長(zhǎng)為l的導(dǎo)體棒ab以a為圓心，以角速度ω在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可從兩個(gè)角度推導(dǎo)．
(1)棒上各點(diǎn)速度不同，其平均速度＝ωl，由E＝Blv得棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為E＝Bl·ωl＝Bl2ω.
(2)若經(jīng)時(shí)間Δt，棒掃過的面積為ΔS＝πl(wèi)2＝l2ωΔt，磁通量的變化量ΔΦ＝B·ΔS＝Bl2ωΔt，由E＝得棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為E＝Bl2ω.
【典例1】如圖是法拉第研制成的世界上第一臺(tái)發(fā)電機(jī)模型的原理圖．將銅盤放在磁場(chǎng)中，讓磁感線垂直穿過銅盤，圖中a、b導(dǎo)線與銅盤的中軸線處在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)銅盤，就可以使閉合電路獲得電流．若圖中銅盤半徑為r，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，回路總電阻為R，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)銅盤的角速度為ω.則電路的功率是(　　)
A.　 B．　　
C.　 D．
【答案】C
【解析】根據(jù)導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)E＝Bωr2，由P＝，得電路的功率是，故選項(xiàng)C正確．
【典例2】如圖所示，一個(gè)轉(zhuǎn)輪共有5根輻條，每根長(zhǎng)皆為L(zhǎng)，電阻皆為r，轉(zhuǎn)輪的電阻不計(jì)，將它放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里，磁場(chǎng)的方向垂直于輪面．A是輪軸，P為一與轉(zhuǎn)輪邊緣接觸的觸片，在輪子繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)P不動(dòng)．在A、P間接一個(gè)電阻R，當(dāng)輪以角速度ω繞軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求流過R的電流．
【答案】
【解析】本題考查轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的情況，解題關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動(dòng)等效為平動(dòng)，進(jìn)而利用E＝BLv得到轉(zhuǎn)動(dòng)切割表達(dá)式E＝.
每根輻條切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝，5根輻條并聯(lián)，其電動(dòng)勢(shì)仍為E.等效電源的內(nèi)阻為，外電阻為R，因此流過R的電流I＝＝.
考點(diǎn)五、電磁感應(yīng)中電荷量的計(jì)算
在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中有電流通過電路，那么導(dǎo)線中也就有電荷通過．由電流的定義式I＝可知Δq＝IΔt，必須注意I應(yīng)為平均值．而＝，所以要通過求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值求其電荷量，即Δq＝Δt＝＝.其中n為匝數(shù)，R為總電阻．
由此可知，感應(yīng)電荷量Δq僅由磁通量變化大小ΔΦ與電路的電阻R及線圈匝數(shù)n決定，與磁通量的變化時(shí)間無關(guān)．
注意：不能由瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)求電荷量．
【典例1】如圖甲所示，一個(gè)圓形線圈的匝數(shù)n＝100，線圈面積S＝200 cm2，線圈的電阻r＝1 Ω，線圈外接一個(gè)阻值R＝4 Ω的電阻，把線圈放入一方向垂直線圈平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所示。下列說法中正確的是(　　)
A．線圈中的感應(yīng)電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向
B．電阻R兩端的電壓隨時(shí)間均勻增大
C．線圈電阻r消耗的功率為4×10－4 W
D．前4 s內(nèi)通過R的電荷量為4×10－4 C
【答案】C
【解析】由楞次定律，線圈中的感應(yīng)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由法拉第電磁感應(yīng)定律，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)恒定為E＝nSΔB/Δt＝0.1 V，電阻R兩端的電壓不隨時(shí)間變化，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；回路中電流I＝E/(R＋r)＝0.02 A，線圈電阻r消耗的功率為P＝I2r＝4×10－4 W，選項(xiàng)C正確；前4 s內(nèi)通過R的電荷量為q＝It＝0.08 C，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
【典例2】如圖所示，兩光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，直導(dǎo)線MN垂直跨在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。電容器的電容為C，除電阻R外，導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計(jì)。現(xiàn)給導(dǎo)線MN一初速度，使導(dǎo)線MN向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電路穩(wěn)定后，MN以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)(　　)
A．電容器兩端的電壓為零
B．電阻兩端的電壓為BLv
C．電容器所帶電荷量為CBLv
D．為保持MN勻速運(yùn)動(dòng)，需對(duì)其施加的拉力大小為
【答案】C
【解析】當(dāng)導(dǎo)線MN勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)線MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)恒定，穩(wěn)定后，電容器既不充電也不放電，無電流產(chǎn)生，故電阻兩端沒有電壓，電容器兩極板間的電壓為U＝E＝BLv，所帶電荷量Q＝CU＝CBLv，故A、B錯(cuò)，C對(duì)；MN勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，因無電流而不受安培力， 故拉力為零，D錯(cuò)。
練習(xí)1、（多選）如圖所示，間距為L(zhǎng)、電阻不計(jì)的足夠長(zhǎng)平行光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌左端用一阻值為R的電阻連接，導(dǎo)軌上橫跨一根質(zhì)量為m、電阻也為R的金屬棒，金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好。整個(gè)裝置處于豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。現(xiàn)使金屬棒以初速度v沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，若金屬棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中通過的電荷量為q。下列說法正確的是(　　)
A．金屬棒在導(dǎo)軌上做勻減速運(yùn)動(dòng)
B．整個(gè)過程中金屬棒克服安培力做功為mv2
C．整個(gè)過程中金屬棒在導(dǎo)軌上發(fā)生的位移為
D．整個(gè)過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為mv2
【答案】BC
【解析】金屬棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，受到豎直向下的重力，豎直向上的支持力，這兩個(gè)力合力為零，受到水平向左的安培力，金屬棒受到的合力為安培力；金屬棒受到的安培力F＝BIL＝BL·＝BL·＝，金屬棒受到安培力作用而做減速運(yùn)動(dòng)，速度v不斷減小，安培力不斷減小，加速度不斷減小，故金屬棒做加速度逐漸減小的變減速運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；整個(gè)過程中由動(dòng)能定理可得：－W安＝0－mv2，金屬棒克服安培力做功為W安＝mv2，故B正確；整個(gè)過程中感應(yīng)電荷量q＝IΔt＝·Δt，又E＝＝，聯(lián)立得q＝，故金屬棒的位移s＝，故C正確；克服安培力做功把金屬棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱，由于金屬棒電阻與電阻串聯(lián)在電路中，且阻值相等，則電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q＝W安＝mv2，故D錯(cuò)誤。
練習(xí)2、如圖所示，一對(duì)光滑的平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間距l(xiāng)＝0.5 m，左端接有阻值R＝0.3 Ω的電阻。一質(zhì)量m＝0.1 kg，電阻r＝0.1 Ω的金屬棒MN放置在導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置置于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.4 T。棒在水平向右的外力作用下，由靜止開始以a＝2 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)棒的位移x＝9 m時(shí)撤去外力，棒繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后停下來，已知撤去外力前后回路中產(chǎn)生的焦耳熱之比Q1∶Q2＝2∶1。導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸。求：
(1)棒在勻加速運(yùn)動(dòng)過程中，通過電阻R的電荷量q；
(2)撤去外力后回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q2；
(3)外力做的功WF。
【答案】(1)4.5 C　(2)1.8 J　(3)5.4 J
【解析】(1)設(shè)棒勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Δt，回路的磁通量變化量為ΔΦ，回路中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，由法拉第電磁感應(yīng)定律得E＝ ①
其中ΔΦ＝Blx ②
設(shè)回路中的平均電流為I，由閉合電路的歐姆定律得I＝ ③
則通過電阻R的電荷量為q＝Iδt ④
聯(lián)立①②③④式，代入數(shù)據(jù)得q＝4.5 C ⑤
(2)設(shè)撤去外力時(shí)棒的速度為v，對(duì)棒的勻加速運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
v2＝2ax ⑥
設(shè)棒在撤去外力后的運(yùn)動(dòng)過程中安培力做功為W，由動(dòng)能定理得W＝0－mv2⑦
撤去外力后回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q2＝－W ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得Q2＝1.8 J ⑨
(3)由題意知，撤去外力前后回路中產(chǎn)生的焦耳熱之比Q1∶Q2＝2∶1，可得
Q1＝3.6 J
在棒運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，由功能關(guān)系可知，WF＝Q1＋Q2
由⑨⑩ 式得WF＝3.6 J＋1.8 J＝5.4 J
練習(xí)3、有一面積為S＝100 cm2的金屬環(huán)，電阻為R＝0.1 Ω，環(huán)中磁場(chǎng)變化規(guī)律如圖所示，且磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，在t1到t2時(shí)間內(nèi)，通過金屬環(huán)的電荷量為多少？
【答案】 0.01 C
【解析】由題圖可知磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率為：
＝ ①
金屬環(huán)中磁通量的變化率：
＝S＝S ②
環(huán)中形成的感應(yīng)電流I＝＝＝ ③
通過金屬環(huán)的電荷量q＝IΔt ④
由①②③④解得
q＝＝ C＝0.01 C.
練習(xí)4、如圖所示，空間存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)部及外部，磁場(chǎng)方向相反，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B.一半徑為b(b>a)、電阻為R的圓形導(dǎo)線環(huán)放置在紙面內(nèi)，其圓心與圓形區(qū)域的中心重合．當(dāng)內(nèi)、外磁場(chǎng)同時(shí)由B均勻地減小到零的過程中，通過導(dǎo)線環(huán)截面的電荷量為(　　)
A.　　　　 B．
C. D．
【答案】A
【解析】開始時(shí)穿過導(dǎo)線環(huán)向里的磁通量設(shè)為正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量則為負(fù)值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，總的磁通量為它們的代數(shù)和(取絕對(duì)值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末態(tài)總的磁通量為Φ′＝0，由法拉第電磁感應(yīng)定律得平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為＝，通過導(dǎo)線環(huán)截面的電荷量為q＝·Δt＝。
考點(diǎn)六、電磁感應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)和能量問題
閉合線框垂直進(jìn)入或離開磁場(chǎng)做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)，則產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，影響回路電流，從而使線框所受安培力發(fā)生變化，最終影響線框自身的變化．具體討論如下：
（1）線框以一定初速度進(jìn)入磁場(chǎng)或離開磁場(chǎng)，除安培力外不受其他外力，如圖1(a)(b)所示．我們將從電路、動(dòng)力學(xué)和能量角度分別分析．
①電路：首先明確線框哪一部分切割磁感線．
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，整個(gè)過程平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為．
根據(jù)閉合電路歐姆定律，整個(gè)過程平均電流，其中R為線框的總電阻．電流方向可根據(jù)右手定則或楞次定律判斷．
則通過線框的電荷量．
即整個(gè)過程通過線框的電荷量只與線圈匝數(shù)、磁通量的變化量以及線框電阻有關(guān)．
②動(dòng)力學(xué)
利用左手定則，結(jié)合電流方向判定線框所受安培力方向，并作出受力分析圖．顯然安培力與初速度方向相反．
某時(shí)刻下若線框的速度為v，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；又由閉合電路歐姆定律，瞬時(shí)電流，則線框所受安培力大小．
根據(jù)牛頓定律：
由于安培力與速度方向相反，線框速度減小，則加速度減小，因此線框做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)．
在的情況下，上式還可寫成：．
整理得：，由于，，則上式求和可得：
即：
若明確研究過程的初末狀態(tài)，代入就能確定初速度與末速度的關(guān)系．
③能量
安培力瞬時(shí)功率，而線框中某時(shí)刻的熱功率，因此克服安培力所做的功等于回路產(chǎn)生的熱量．從能量守恒的角度出發(fā)，即線框減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化成回路產(chǎn)生的熱量．
(2)線框在恒力F作用下，以一定初速度垂直進(jìn)入或離開磁場(chǎng)，如圖2(a)(b)所示．
①電路
由于通過線框的電荷量與外力大小無關(guān)，故電荷量仍然符合．
②動(dòng)力學(xué)
根據(jù)左手定則和電流方向確定安培力方向，畫出受力分析圖，這種情況下安培力方向仍與速度方向相反．
某時(shí)刻下若線框的速度為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電流，安培力大小．
根據(jù)牛頓定律：
a．若初始時(shí)刻恒力F大于安培力，線框做加速運(yùn)動(dòng)，則：
可知線框做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)有最大速度，
b．若初始時(shí)刻恒力F小于安培力，線框做減速運(yùn)動(dòng)，
可知線框做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)有最小速度，
在的情況下仍有：
即：
若知道整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)間t，代入即可確定初速度與末速度的關(guān)系．
③能量
安培力瞬時(shí)功率，而線框中某時(shí)刻的熱功率，因此克服安培力所做的功仍然等于回路產(chǎn)生的熱量．從功能關(guān)系或能量守恒角度出發(fā)，加速運(yùn)動(dòng)時(shí)外力所做的功轉(zhuǎn)化為線框產(chǎn)熱和動(dòng)能；減速運(yùn)動(dòng)時(shí)外力所做的功和動(dòng)能減少量轉(zhuǎn)化為線框產(chǎn)熱．
【典例1】（多選）如圖所示，MN、PQ是與水平面成θ角的兩條平行光滑且足夠長(zhǎng)的金屬軌道，其電阻忽略不計(jì)。空間存在著垂直于軌道平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。導(dǎo)體棒ab、cd垂直于軌道放置，且與軌道接觸良好，每根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m，電阻均為r，軌道寬度為L(zhǎng)，與軌道平行的絕緣細(xì)線一端固定，另一端與ab棒中點(diǎn)連接，細(xì)線承受的最大拉力Tm＝2mgsin θ。今將cd棒由靜止釋放，則細(xì)線被拉斷時(shí)，cd棒的(　　)
A．速度大小是
B．速度大小是
C．加速度大小是2gsin θ
D．加速度大小是0
【答案】AD
【解析】由靜止釋放后cd棒沿斜面向下做加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度的增大，E＝BLv變大，I＝也變大，F(xiàn)＝BIL也變大，對(duì)ab棒，當(dāng)T＝2mgsin θ＝mgsin θ＋BIL時(shí)細(xì)線剛好被拉斷，此時(shí)v＝，cd棒這時(shí)向上的安培力與沿斜面向下的重力的分力平衡，加速度大小是0，故選項(xiàng)A、D正確，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤。
【典例2】(多選)如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，上端接有阻值為R的電阻。一根質(zhì)量為m的均勻直導(dǎo)體棒ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。整套裝置處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻可忽略。讓導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒接觸良好，不計(jì)它們之間的摩擦。重力加速度為g。下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．導(dǎo)體棒下滑時(shí)的最大加速度為gsin θ
B．導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力為mgsin θ
C．導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為R
D．導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為
【答案】ACD
【解析】導(dǎo)體棒剛開始下滑時(shí)所受合外力最大，為mgsin θ，所以產(chǎn)生的加速度最大，為gsin θ，A正確；當(dāng)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由受力分析知，安培力F＝mgtan θ，所以B錯(cuò)誤；由F＝BIL得I＝＝，所以電動(dòng)勢(shì)E＝IR＝R，C正確；由E＝BLvcos θ，得v＝，所以D正確。
練習(xí)1、如圖所示，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：
(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；
(2)金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。
【答案】(1)Q＝CBLv　(2)v＝gt
【解析】(1)設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E＝BLv ①
平行板電容器兩極板之間的電勢(shì)差為U＝E ②
設(shè)此時(shí)電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有C＝ ③
聯(lián)立①②③式得Q＝CBLv ④
(2)設(shè)金屬棒的速度大小為v時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為t，通過金屬棒的電流為i。金屬棒受到的磁場(chǎng)的作用力方向沿導(dǎo)軌向上，大小為f1＝Bli ⑤
設(shè)在時(shí)間間隔(t，t＋Δt)內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，按定義有i＝ ⑥
ΔQ也是平行板電容器兩極板在時(shí)間間隔(t，t＋Δt)內(nèi)增加的電荷量。由④式得ΔQ＝CBLΔv ⑦
式中，Δv為金屬棒的速度變化量。按定義有a＝ ⑧
金屬棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小為f2＝μN(yùn) ⑨
式中，N是金屬棒對(duì)于導(dǎo)軌的正壓力的大小，有N＝mgcos θ ⑩
金屬棒在時(shí)刻t的加速度方向沿斜面向下，設(shè)其大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有
mgsin θ－f1－f2＝ma
聯(lián)立⑤至 式得
a＝g
由 式及題設(shè)可知，金屬棒做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。t時(shí)刻金屬棒的速度大小為
v＝gt
練習(xí)2、如圖，兩條足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，傾角=30°，N、Q兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處于垂直導(dǎo)軌平面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)、阻值為R的金屬桿放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好。t= 0時(shí)，用一沿導(dǎo)軌向下的變力F拉金屬桿，使金屬桿從靜止開始沿導(dǎo)軌向下做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度的大小為g，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，求∶
（1）金屬桿下滑距離d時(shí)，電阻R兩端的電壓；
（2）拉力F隨t變化的關(guān)系式。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1） 金屬桿下滑d時(shí)的速度為v1
金屬桿切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為
E1 = BLv1
根據(jù)閉合電路歐姆定律，得
電阻R兩端的電壓
（2）根據(jù)牛頓第二定律，得
F + mgsinθ- F安= mg
F安= BIL
其中∶
E=BLv
v=gt
聯(lián)立解得∶
練習(xí)3、如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，間距為l，導(dǎo)軌所在平面與水平面成角，M、P間接阻值為R的電阻。勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直導(dǎo)軌所在平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。質(zhì)量為m、阻值為r、長(zhǎng)度為l的金屬棒放在兩導(dǎo)軌上，在平行于導(dǎo)軌的拉力作用下，以速度v勻速向上運(yùn)動(dòng)。已知金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直并且保持良好接觸，重力加速度為g。求
（1）金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；
（2）通過電阻R的電流大小和方向；
【答案】（1）；（2），方向從P到M
【解析】
(1)金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
(2)由閉合電路歐姆定律可得，通過電阻R的電流大小
由右手定則可知，電流方向從P到M。
練習(xí)4、如圖甲所示，水平面內(nèi)固定兩根間距為的長(zhǎng)直平行光滑金屬導(dǎo)軌，其右端接有阻值為的電阻，一阻值為、長(zhǎng)度為的金屬棒垂直導(dǎo)軌放置于距導(dǎo)軌右端處，且與兩導(dǎo)軌保持良好接觸．整個(gè)裝置處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨時(shí)間變化的情況如圖乙所示。在內(nèi)在金屬棒的中點(diǎn)施加一水平外力，使金屬棒保持靜止，后金屬棒在水平外力的作用下，從靜止開始向左做加速度為的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。求：
（1）第內(nèi)電阻產(chǎn)生的熱量；
（2）時(shí)通過金屬棒的電流大小；
（3）前內(nèi)通過金屬棒的電荷量。
【答案】（1）1.5J；（2）1A；（3）1.5C
【解析】
（1）在內(nèi)，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得電動(dòng)勢(shì)為
由閉合電路的歐姆定種有溫電流的大小為
第內(nèi)電阻產(chǎn)生的熱量為
（2）時(shí)金屬棒的速度為
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得時(shí)通過金屬棒的電流大小為
（3）第內(nèi)通過金屬棒的電荷量為
金屬棒在第內(nèi)的位移大小為
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得
第內(nèi)的平均感應(yīng)電流大小為
則第內(nèi)通過金屬棒的電荷量為
則前內(nèi)通過金屬棒的電荷量為
二、夯實(shí)小練
1、如圖，空間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一直金屬棒與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，當(dāng)它以速度v沿與棒和磁感應(yīng)強(qiáng)度都垂直的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為ε，將此棒彎成兩段長(zhǎng)度相等且相互垂直的折線，置于與磁感應(yīng)強(qiáng)度相垂直的平面內(nèi)。當(dāng)它沿兩段折線夾角平分線的方向以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為ε′，則等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．1 D.
【答案】 B
【解析】B　設(shè)折彎前導(dǎo)體切割磁感線的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，ε＝BLv；折彎后，導(dǎo)體切割磁感線的有效長(zhǎng)度為l＝ ＝ L，故產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為ε′＝Blv＝B·Lv＝ε，所以＝，B正確。
2、如圖所示，把一阻值為R、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形金屬線框，從磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，以速度v向右勻速拉出磁場(chǎng)。在此過程中線框中產(chǎn)生了電流，此電流(　　)
A．方向與圖示箭頭方向相同，大小為
B．方向與圖示箭頭方向相同，大小為
C．方向與圖示箭頭方向相反，大小為
D．方向與圖示箭頭方向相反，大小為
【答案】A
【解析】利用右手定則可判斷感應(yīng)電流是逆時(shí)針方向。根據(jù)E＝BLv知，電流I＝＝。
3、如圖所示，平行導(dǎo)軌間的距離為d，一端跨接一個(gè)電阻R，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于平行金屬導(dǎo)軌所在的平面。一根足夠長(zhǎng)的金屬棒與導(dǎo)軌成θ角放置。金屬棒與導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，當(dāng)金屬棒沿垂直于棒的方向滑行時(shí)，通過電阻R的電流為(　　)
A.　　　　　　　 　　 B.
C. D.
【答案】D
【解析】題中B、l、v滿足兩兩垂直的關(guān)系，所以E＝Blv，其中l(wèi)＝，即E＝，故通過電阻R的電流為，選D。
（多選）單匝線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，穿過線圈的磁通量隨時(shí)間變化的圖像如圖所示，則(　　)
A．在t＝0時(shí)，線圈中磁通量最大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也最大
B．在t＝1×10－2 s時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大
C．在t＝2×10－2 s時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零
D．在0～2×10－2 s時(shí)間內(nèi)，線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值為零
【答案】BC
【解析】由法拉第電磁感應(yīng)定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2 s時(shí)，E＝0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；t＝1×10－2 s時(shí)，E最大，選項(xiàng)B正確；0～2×10－2 s，ΔΦ≠0，E≠0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
5、如圖所示，在半徑為R的虛線圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化關(guān)系為B＝B0＋kt。在磁場(chǎng)外距圓心O為2R處有一半徑恰為2R的半圓導(dǎo)線環(huán)(圖中實(shí)線)，則導(dǎo)線環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為(　　)
A．0 B．kπR2
C. D．2kπR2
【答案】C
【解析】由E＝n＝＝πR2k可知選項(xiàng)C正確。
6、(多選）無線電力傳輸目前取得重大突破，在日本展出了一種非接觸式電源供應(yīng)系統(tǒng)，這種系統(tǒng)基于電磁感應(yīng)原理可無線傳輸電力。兩個(gè)感應(yīng)線圈可以放置在左右相鄰或上下相對(duì)的位置，原理示意圖如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A．若甲線圈中輸入電流，乙線圈中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
B．只有甲線圈中輸入變化的電流，乙線圈中才會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
C．甲中電流越大，乙中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)越大
D．甲中電流變化越快，乙中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)越大
【答案】BD
【解析】根據(jù)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的條件，只有處于變化的磁場(chǎng)中，乙線圈才能產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，A錯(cuò)，B對(duì)；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小取決于磁通量變化率，所以C錯(cuò)，D對(duì)。
7、如圖甲所示線圈的匝數(shù)n＝100匝，橫截面積S＝50 cm2，線圈總電阻r＝10 Ω，沿軸向有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，設(shè)圖示磁場(chǎng)方向?yàn)檎艌?chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間作如圖乙所示變化，則在開始的0.1 s內(nèi)(　　)
A．磁通量的變化量為0.25 Wb
B．磁通量的變化率為2.5×102 Wb/s
C．a(chǎn)、b間電壓為0
D．在a、b間接一個(gè)理想電流表時(shí)，電流表的示數(shù)為0.25 A
【答案】D
【解析】通過線圈的磁通量與線圈的匝數(shù)無關(guān)，若設(shè)Φ2＝B2S為正，則線圈中磁通量的變化量為ΔΦ＝B2S－(－B1S)，代入數(shù)據(jù)即ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－4 Wb＝2.5×10－3 Wb，A錯(cuò)誤；磁通量的變化率＝ Wb/s＝2.5×10－2 Wb/s，B錯(cuò)誤；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知，當(dāng)a、b間斷開時(shí)，其間電壓等于線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為E＝n＝2.5 V且恒定，C錯(cuò)誤；在a、b間接一個(gè)理想電流表時(shí)相當(dāng)于a、b間接通而形成回路，回路總電阻即為線圈的總電阻，故感應(yīng)電流大小I＝＝0.25 A，選項(xiàng)D正確。
8、在如圖所示的三維坐標(biāo)系中，有與x軸同方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一矩形導(dǎo)線框，面積為S，電阻為R，其初始位置abcd與xOz平面的夾角為θ，以z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)2θ角到達(dá)a′b′cd位置，角速度為ω。求：
(1)這一過程中導(dǎo)線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值；
(2)θ為0°時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。
【答案】(1)　(2)BSω
【解析】(1)導(dǎo)線框轉(zhuǎn)動(dòng)2θ角的過程所用的時(shí)間Δt＝，穿過線框的磁通量的變化量ΔΦ＝2BSsin θ。由法拉第電磁感應(yīng)定律知，此過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值
＝＝＝。
(2)θ為0°時(shí)，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為ab邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小
E＝B···ω＝BSω。
如圖所示，導(dǎo)線OA長(zhǎng)為l，在方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以角速度ω沿圖中所示方向繞通過懸點(diǎn)O的豎直軸旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)線OA與豎直方向的夾角為θ。則OA導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小和O、A兩點(diǎn)電勢(shì)高低情況分別是(　　)
A．Bl2ω　O點(diǎn)電勢(shì)高
B．Bl2ω　A點(diǎn)電勢(shì)高
C.Bl2ωsin2θ　O點(diǎn)電勢(shì)高
D.Bl2ωsin2θ　A點(diǎn)電勢(shì)高
【答案】D
【解析】導(dǎo)線OA切割磁感線的有效長(zhǎng)度等于圓的半徑，即R＝l·sin θ，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝BR2ω＝Bl2ωsin2θ，由右手定則可知A點(diǎn)電勢(shì)高，所以D正確。
如圖所示，有一匝接在電容器兩端的圓形導(dǎo)線回路，圓形導(dǎo)線回路中存在垂直于回路平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，已知圓的半徑r＝5 cm，電容C＝20 μF，當(dāng)磁場(chǎng)B以4×10－2 T/s的變化率均勻增加時(shí)，則(　　)
A．電容器a板帶正電，電荷量為2π×10－9 C
B．電容器a板帶負(fù)電，電荷量為2π×10－9 C
C．電容器b板帶正電，電荷量為4π×10－9 C
D．電容器b板帶負(fù)電，電荷量為4π×10－9 C
【答案】A
【解析】根據(jù)楞次定律可判斷a板帶正電，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝πr2＝π×10－4 V，板上電荷量Q＝CE＝2π×10－9 C，選項(xiàng)A正確。
11、如圖所示，固定于水平面上的金屬架CDEF處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)。t＝0時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，此時(shí)MN到達(dá)的位置使MDEN構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形，為使MN棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，從t＝0開始，磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)怎樣隨時(shí)間t變化？請(qǐng)推導(dǎo)出這種情況下B與t的關(guān)系式。
【答案】B＝
【解析】要使MN棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，應(yīng)使穿過閉合回路的磁通量不發(fā)生變化。
在t＝0時(shí)刻，穿過閉合回路的磁通量
Φ1＝B0S＝B0l2
設(shè)t時(shí)刻的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，此時(shí)磁通量為
Φ2＝Bl(l＋vt)
由Φ1＝Φ2得B＝。
12.如圖所示，傾角為α的光滑導(dǎo)軌上端接入一定值電阻，Ⅰ和Ⅱ是邊長(zhǎng)都為L(zhǎng)的兩正方形磁場(chǎng)區(qū)域，其區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)方向都垂直于導(dǎo)軌平面向上，區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1，恒定不變，區(qū)域Ⅱ中磁場(chǎng)隨時(shí)間按B2＝kt變化，一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿穿過區(qū)域Ⅰ垂直地跨放在兩導(dǎo)軌上，并恰能保持靜止(金屬桿所受安培力沿斜面向上)。試求：
(1)通過金屬桿的電流大小。
(2)定值電阻的阻值為多大？
【答案】(1)　(2)－r
【解析】(1)對(duì)金屬桿：mgsin α＝B1IL①
解得：I＝。②
(2)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝＝L2＝kL2③
閉合電路的電流I＝④
聯(lián)立②③④得：R＝－r＝－r。
三、培優(yōu)練習(xí)
1、如圖所示，100匝的線圈兩端M、N與一個(gè)理想電壓表V相連。線圈內(nèi)有方向垂直紙面向內(nèi)的磁場(chǎng)，線圈中的磁通量按如圖所示規(guī)律變化。則下列說法正確的是（　　）
A．電壓表示數(shù)為150V，M端接電壓表正接線柱 B．電壓表示數(shù)為150V，N端接電壓表正接線柱
C．電壓表示數(shù)為50.0V，M端接電壓表正接線柱 D．電壓表示數(shù)為50.0V，N端接電壓表正接線柱
【答案】 C
【解析】根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得
根據(jù)楞次定律，M端接電源正極，所以電壓表示數(shù)為50.0V，M端接電壓表正接線柱。
2、如圖所示，先后以速度v1和v2勻速把一矩形線圈拉出有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，v1=2v2。在先后兩種情況下（　　）
A．通過線圈某截面的電荷量之比q1∶q2=1∶1
B．線圈中的感應(yīng)電流之比為I1∶I2=1∶1
C．線圈中的感應(yīng)電流之比為I1∶I2=1∶2
D．通過線圈某截面的電荷量之比q1∶q2=2∶1
【答案】 A
【解析】BC．勻速拉動(dòng)時(shí)感應(yīng)電流
已知v1=2v2，則
I1∶I2=2∶1
故BC錯(cuò)誤；
AD．線框拉出磁場(chǎng)的時(shí)間
根據(jù)
可知通過某截面的電荷量之比為
q1∶q2=1∶1
故A正確，D錯(cuò)誤。
3、由螺線管、電阻和水平放置的平行板電容器組成的電路如圖甲所示。螺線管處于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的磁場(chǎng)中，隨時(shí)間變化的圖像如圖乙所示。一電荷量為的顆粒在時(shí)間內(nèi)懸停在電容器中。則（　　）
A．顆粒帶正電
B．時(shí)間內(nèi)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增大
C．時(shí)間內(nèi)，電路中沒有感應(yīng)電流
D．時(shí)間內(nèi)，點(diǎn)電勢(shì)高于點(diǎn)電勢(shì)
【答案】 C
【解析】A．一電荷量為的顆粒在時(shí)間內(nèi)懸停在電容器中，由平衡條件可知
電場(chǎng)力方向豎直向上，在時(shí)間內(nèi)，根據(jù)楞次定律可知，電容器上極板帶正電，下極板帶負(fù)電，則場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下，所以顆粒帶負(fù)電，則A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)
則在時(shí)間內(nèi)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)保持不變，所以B錯(cuò)誤；
CD．在時(shí)間內(nèi)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，電容器穩(wěn)定時(shí)沒有電流通過，則點(diǎn)電勢(shì)等于點(diǎn)電勢(shì)，所以C正確D錯(cuò)誤；
4．如圖所示，阻值為的金屬棒從圖示位置分別以、的速度沿光滑導(dǎo)軌（電阻不計(jì)）勻速滑到位置，若，則在這兩次過程中（　　）
A．回路電流 B．產(chǎn)生的熱量
C．通過任一截面的電荷量 D．外力的功率
【答案】 A
【解析】A．感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
電流為
所以回路電流。A正確；
B．產(chǎn)生的熱量為
所以產(chǎn)生的熱量，B錯(cuò)誤；
C．通過任一截面的電荷量為
所以通過任一截面的電荷量。C錯(cuò)誤；
D．導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，所以外力與安培力平衡，則外力的功率為
故外力的功率，D錯(cuò)誤。
5、一個(gè)面積S = 0.05m2匝數(shù)n = 100的閉合線圈放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于線圈平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖所示，則下列判斷正確的是（ ）
A．0 ~ 2s內(nèi)線圈中感應(yīng)電流的方向發(fā)生了改變
B．2 ~ 4s內(nèi)穿過線圈的磁通量的變化量等于零
C．0 ~ 2s內(nèi)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于10V
D．在第3s末線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于零
【答案】 C
【解析】A．在0 ~ 2s內(nèi)線圈的磁通量變化率是恒定的，則產(chǎn)生的電流為恒定電流，A錯(cuò)誤；
B．在2 ~ 4s內(nèi)穿過線圈的磁通量的變化量為Φ = 2BS不等于零，B錯(cuò)誤；
C．在0 ~ 2s內(nèi)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
E = n = 100 × 0.1V = 10V
C正確；
D．在2 ~ 4s內(nèi)線圈的磁通量變化率是恒定的且不為零，則產(chǎn)生的電流為恒定電流，所以在第3s末線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不等于零，D錯(cuò)誤。
6、如圖所示，寬為h的矩形線框從初始位置由靜止開始下落，進(jìn)入一水平的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與線框平面垂直，且。已知線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰好勻速下落，則線框剛出磁場(chǎng)時(shí)將做（　　）
A．向下的勻速運(yùn)動(dòng) B．向下的減速運(yùn)動(dòng)
C．向下的加速運(yùn)動(dòng) D．向上的運(yùn)動(dòng)
【答案】 B
【解析】進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，知安培力與重力相等，有
完全進(jìn)入磁場(chǎng)后，做加速運(yùn)動(dòng)，出磁場(chǎng)的速度大于v，則安培力大于mg，安培力的方向豎直向上，知線框做減速運(yùn)動(dòng)，速度減小，安培力減小，加速度減小，則線框的運(yùn)動(dòng)是變減速運(yùn)動(dòng)。故B正確ACD錯(cuò)誤。
7、如圖所示，一平行金屬導(dǎo)軌與水平成放置，導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，在OO’的上方區(qū)域存在與導(dǎo)軌平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未全部畫出），導(dǎo)軌的下端接有阻值為2R的電阻，在導(dǎo)軌的上端垂直于導(dǎo)軌放有一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab，另有一質(zhì)量為M的導(dǎo)體棒cd垂直于導(dǎo)軌，以v0的速度沿導(dǎo)軌向上進(jìn)入磁場(chǎng)，cd與導(dǎo)軌無摩擦，當(dāng)cd進(jìn)入和離開磁場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體棒ab恰好保持靜止，且導(dǎo)體棒ab一直處于靜止?fàn)顟B(tài)，兩導(dǎo)體棒一直沒有相撞。已知兩導(dǎo)體棒的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，cd棒電阻為R，ab棒電阻為2R，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)其他電阻。則：（　　）
A．導(dǎo)體棒ab恰好不受摩擦力時(shí)，導(dǎo)體棒cd的速度為
B．cd上滑過程中重力的沖量等于下滑過程中重力的沖量
C．cd上滑過程中通過R的電荷量大于下滑過程中通過R的電荷量
D．cd離開磁場(chǎng)時(shí)的速度為v0
【答案】 A
【解析】A．導(dǎo)體棒ab恰好不受摩擦力時(shí)，設(shè)通過ab棒的電流為I，則有
電路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
聯(lián)立解得
A正確；
B．cd上滑過程中，根據(jù)牛頓第二定律得
cd下滑過程中，根據(jù)牛頓第二定律得
可知，上滑加速度始終大于下滑加速度，根據(jù)可知，下滑時(shí)間較長(zhǎng)，所以下滑時(shí)重力的沖量較大。B錯(cuò)誤；
C．通過的電荷量為
解得
通過R的電荷量與導(dǎo)體棒cd運(yùn)動(dòng)的位移有關(guān)，因?yàn)樯匣拖禄^程中運(yùn)動(dòng)的位移大小相同，所以通過R的電荷量相同，C錯(cuò)誤；
D．根據(jù)能量守恒，導(dǎo)體棒有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，所以導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度要大于離開磁場(chǎng)時(shí)的速度，D錯(cuò)誤。
8、（多選）如圖甲所示，正方形金屬線圈abcd位于豎直平面內(nèi)，其質(zhì)量為m，電阻為R，在線圈的下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN和是磁場(chǎng)的水平邊界，并與bc邊平行，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。現(xiàn)使金屬線圈從MN上方某一高度處由靜止開始下落，圖乙是線圈開始下落到完全穿過勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域瞬間的v-t圖像，圖中給出的數(shù)據(jù)均為已知量，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．金屬線圈剛出磁場(chǎng)時(shí)感應(yīng)電流方向?yàn)閍→d→c→b→a
B．時(shí)刻金屬線圈做自由落體運(yùn)動(dòng)
C．金屬線圈產(chǎn)生的總熱量為
D．金屬線圈產(chǎn)生的總熱量為
【答案】 AD
【解析】A．根據(jù)右手定則，金屬線圈剛出磁場(chǎng)時(shí)感應(yīng)電流方向?yàn)閍→d→c→b→a。A正確；
B．時(shí)刻金屬線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)，僅受重力，做豎直下拋運(yùn)動(dòng)。B錯(cuò)誤；
CD．線圈進(jìn)出磁場(chǎng)的過程中，線圈會(huì)產(chǎn)生熱量，則進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，產(chǎn)生的熱量為
出磁場(chǎng)的過程中，產(chǎn)生的熱量為
所以總熱量為
C錯(cuò)誤，D正確。
9、（多選）如圖所示，兩個(gè)同種材料，粗細(xì)相同的導(dǎo)線制成的單匝線框M、N，M是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，N是邊長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形，兩線框置于同一豎直平面內(nèi)、同一高度處，線框正下方虛線的下側(cè)有垂直紙面水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，將兩線框由靜止釋放，重力加速度大小為g，在線框剛進(jìn)入下方磁場(chǎng)時(shí)，下列說法正確的是（　　）
A．兩線框均產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流
B．M、N線框中的感應(yīng)電流之比為3：4
C．M、N線框所受的安培力大小之比為3：2
D．若線框M進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，則線框N剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的加速度大小為
【答案】 ABD
【解析】A．根據(jù)右手定則，兩線框均產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流。A正確；
B．兩線框從同一高度釋放，所以進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相等，則感應(yīng)電流為
，
所以電流之比為3：4，B正確；
C．根據(jù)安培力公式得安培力之比為3：8，C錯(cuò)誤；
D．線框M進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，有
根據(jù)兩線框長(zhǎng)度關(guān)系，可知線框N的質(zhì)量為
對(duì)線框N有
解得
。
10、（多選）如圖所示，足夠長(zhǎng)的U形光滑金屬導(dǎo)軌平面與水平面成角，其中MN與PQ平行且間距為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面，導(dǎo)軌NQ部分電阻為R，其余部分電阻不計(jì)。金屬棒ab由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，與兩導(dǎo)軌垂直且接觸良好，ab棒接入電路部分的電阻為R，當(dāng)流過ab棒某一橫截面的電荷量為q時(shí)，ab棒的速度大小為v，不計(jì)空氣阻力，則金屬棒ab在這一過程中（　　）
A．運(yùn)動(dòng)的平均速度大小為 B．下滑位移大小為
C．產(chǎn)生的焦耳熱小干 D．受到的最大安培力大小為
【答案】 BCD
【解析】A．對(duì)金屬棒，根據(jù)牛頓第二定律有
由于v從0增大，所以金屬棒做加速度越來越小的加速運(yùn)動(dòng)，則其平均速度，A錯(cuò)誤；
B．由
可得
B正確；
C．在此過程中，金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值為
電路產(chǎn)生的焦耳熱
ab棒產(chǎn)生的焦耳熱等于焦耳熱的一半，則
C正確；
D．a(chǎn)b棒受到的最大安培力大小為
。
11、（多選）如圖甲所示，一電阻不計(jì)且足夠長(zhǎng)的固定光滑平行金屬導(dǎo)軌、間距，下端接有阻值的電阻，導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角。整個(gè)裝置處于方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。一質(zhì)量、阻值的金屬棒垂直于導(dǎo)軌放置并用絕緣細(xì)線通過光滑的定滑輪與質(zhì)量的重物相連，左端細(xì)線沿方向。棒由靜止釋放后，沿方向位移x與時(shí)間t之間的關(guān)系如圖乙所示，其中為直線。已知棒在0~0.3s內(nèi)通過的電荷量是0.3~0.4s內(nèi)通過電荷量的2倍，g取，下列說法正確的是（　　）
A．圖乙中a點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0.6m
B．棒在0~0.3s內(nèi)通過的電荷量是0.6C
C．磁感應(yīng)強(qiáng)度
D．電阻R在0~0.4s內(nèi)產(chǎn)生的熱量
【答案】 ABD
【解析】A．通過導(dǎo)體棒的電荷量為
棒在0~0.3s內(nèi)通過的電荷量是0.3~0.4s內(nèi)通過電荷量的2倍，則有
解得
A正確；
BC．0.3s后棒做勻速運(yùn)動(dòng)，則受力平衡，有
根據(jù)閉合電路的歐姆定律得
解得
B正確，C錯(cuò)誤；
D．在0~0.4s內(nèi)，對(duì)導(dǎo)體棒由動(dòng)能定理得
根據(jù)功能關(guān)系有
在電路中，電阻R在0~0.4s內(nèi)產(chǎn)生的熱量
聯(lián)立解得
D正確。
12、如圖所示，足夠長(zhǎng)的豎直放置的“”形光滑導(dǎo)軌的間距L=0.2m，導(dǎo)軌上端接一阻值R1=0.4Ω的定值電阻，一電阻R2=0.1Ω的導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T，方向與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。現(xiàn)將ab由靜止釋放，最終導(dǎo)體棒以大小v=20m/s的速度勻速下滑。導(dǎo)軌電阻及空氣阻力均不計(jì)，取重力加速度大小g=10m/s2，求：
（1）當(dāng)導(dǎo)體棒ab勻速下滑時(shí)，回路中通過的電流I；
（2）導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量m。
【答案】 （1）8A；（2）0.16kg
【解析】（1）當(dāng)導(dǎo)體棒勻速下滑時(shí)，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
此時(shí)回路中通過的感應(yīng)電流
解得
（2）由物體的平衡條件有
解得
13、如圖所示，一對(duì)平行的粗糙金屬導(dǎo)軌固定于同一水平面上，導(dǎo)軌間距L=0.2m，導(dǎo)軌左端接有阻值R=0.2的電阻，右側(cè)平滑連接一對(duì)彎曲的光滑軌道，僅在水平導(dǎo)軌的整個(gè)區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T。一根質(zhì)量m=0.4kg，電阻r=0.1的金屬棒ab垂直放置于導(dǎo)軌上，金屬棒ab在水平向右F=0.8N的恒力作時(shí)下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒通過位移x=9m時(shí)離開磁場(chǎng)，在離開磁場(chǎng)前金屬棒ab的速度已達(dá)到最大值。當(dāng)金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)撤去外力F，接著金屬棒沿彎曲軌道向上運(yùn)動(dòng)。已知金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，金屬棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且與導(dǎo)軌保持良好接觸，取g=10m/s2。求∶
（1）金屬棒運(yùn)動(dòng)的最大速率v及金屬棒沿彎曲軌道上升的最大高度h；
（2）金屬棒在磁場(chǎng)中速度為時(shí)的加速度大小；
（3）金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱。
【答案】 （1）3m/s，0.45m；（2）0.5m/s2；（3）1.2J
【解析】（1）金屬棒在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)回路中的電流為I，根據(jù)平衡條件得
F=BIL+μmg
解得金屬棒運(yùn)動(dòng)的最大速率為
v=3m/s
金屬棒出磁場(chǎng)后在彎曲軌道上上升的過程中，由機(jī)械能守恒定律得
金屬棒沿彎曲軌道上升的最大高度為
h=0.45m
（2）金屬棒速度為時(shí)，設(shè)回路中的電流為I'，根據(jù)牛頓第二定律得
F-BI'L-μmg=ma
代入數(shù)據(jù)解得
a=0.5m/s2
（3）設(shè)金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q，根據(jù)功能關(guān)系
則電阻R上的焦耳熱為
代入數(shù)據(jù)解得
QR=1.2J
14、如圖所示，固定在傾角θ=37°的斜面上的兩根足夠長(zhǎng)的平行長(zhǎng)直光滑金屬導(dǎo)軌的間距d=0.5m，其底端接有阻值R=4Ω的電阻，整個(gè)裝置處在方向垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。一質(zhì)量m=2kg的導(dǎo)體桿ab（質(zhì)量分布均勻）垂直于導(dǎo)軌放置，且與兩導(dǎo)軌保持良好接觸。現(xiàn)ab在沿斜面向上、垂直于ab的恒力F=15N作用下，從靜止開始沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒的位移達(dá)到L=8m時(shí)，其速度恰好達(dá)到最大（運(yùn)動(dòng)過程中ab始終與導(dǎo)軌保持垂直）。設(shè)ab接入電路的電阻r=1Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度大小g=10m/s2。求此過程中；
（1）ab的速度最大值；
（2）流過電阻R的電荷量。
【答案】 （1）2.4m/s；（2）
【解析】（1）由導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值
Em=Bdvm
感應(yīng)電流
導(dǎo)體棒所受安培力
F安=BId
當(dāng)ab達(dá)到最大速度時(shí)滿足
F=F安+mgsinθ
代人數(shù)據(jù)得
vm=2.4m/s
（2）流過電阻R的電荷量
聯(lián)立解得
15、如圖，、為足夠長(zhǎng)的光滑平行的水平金屬導(dǎo)軌，電阻，置于豎直向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，為磁場(chǎng)邊界，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度，導(dǎo)軌間距，質(zhì)量的導(dǎo)體棒垂直置于導(dǎo)軌上且與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)體棒接入電路的電阻為。時(shí)刻，導(dǎo)體棒在的水平拉力作用下從左側(cè)某處由靜止開始運(yùn)動(dòng)，時(shí)棒進(jìn)入磁場(chǎng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直。
（1）求導(dǎo)體棒時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的加速度a的大小及回路的電功率；
（2）若導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間立即撤去力F，求導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q。
【答案】 （1），；（2）
【解析】（1）根據(jù)牛頓第二定律
速度
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
電流
解得
回路功率
解得
（2）由能量守恒
R產(chǎn)生的熱量
16、如圖所示，空間分布著水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。寬為的光滑U型金屬導(dǎo)軌固定在豎直平面內(nèi)。一質(zhì)量為、長(zhǎng)也為的金屬棒從圖示位置由靜止開始釋放，金屬棒在下落過程中始終保持水平狀態(tài)且與導(dǎo)軌接觸良好。已知金屬導(dǎo)軌上方連接的電阻為，金屬棒和導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)。重力加速度為，不計(jì)空氣阻力。
（1）求金屬棒下落的最大速度；
（2）當(dāng)金屬棒下落的加速度為時(shí)，求電阻的發(fā)熱功率；
（3）已知金屬棒下落時(shí)間為時(shí)，其下落的高度為、速度為。若在相同時(shí)間內(nèi)，電阻上產(chǎn)生的熱量與一恒定電流在該電阻上產(chǎn)生的熱量相同，求該恒定電流的表達(dá)式。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）金屬棒下落過程：金屬棒受到重力及安培力作用，當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度，即時(shí)，加速度為零，此時(shí)回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大設(shè)為，感應(yīng)電流最大設(shè)為，有
解得
（2）金屬棒下落加速度為時(shí)：設(shè)回路總電流為，有
設(shè)回路的發(fā)熱功率為，有
解得
（3）根據(jù)能量守恒定律，有
解得恒定電流的表達(dá)式為
17、如圖甲所示，兩條相距l(xiāng)=1 m的水平粗糙導(dǎo)軌左端接一定值電阻。t=0s時(shí)，一質(zhì)量m=1kg、阻值r=0.5Ω的金屬桿，在水平外力的作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，5s末到達(dá)MN，MN右側(cè)為一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，方向垂直紙面向內(nèi)。當(dāng)金屬桿到達(dá)MN后，保持外力的功率不變，金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)，8s末開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)。整個(gè)過程金屬桿的v t圖像如圖乙所示。若導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，桿和導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2，試計(jì)算：
（1）進(jìn)入磁場(chǎng)前，金屬桿所受的外力F的大小；
（2）定值電阻的阻值R；
（3）若前8s金屬桿克服摩擦力做功127.5J，試求這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量。
【答案】 （1）6N；（2）1.1Ω；（3）20.28J
【解析】（1）未進(jìn)入磁場(chǎng)前，金屬桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
根據(jù)牛頓第二定律有
其中
代入數(shù)據(jù)，解得
F=6 N
（2）設(shè)金屬桿到達(dá)MN瞬間速度為v1，則此時(shí)外力的功率
根據(jù)題意，金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)后外力的功率恒為Pm=30 W，最后以v2=4 m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，有
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)，解得
（3）0~8s內(nèi)，對(duì)金屬桿，根據(jù)動(dòng)能定理，有
進(jìn)入磁場(chǎng)前金屬桿的位移
則0~8s內(nèi)外力F做的總功
金屬桿動(dòng)能的變化量
聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)解得
前8s內(nèi)電路產(chǎn)生的熱量
則前8s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量
18、如圖，兩條相距l(xiāng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面(紙面)內(nèi)，其左端接一阻值為R的電阻；一與導(dǎo)軌垂直的金屬棒置于兩導(dǎo)軌上；在電阻、導(dǎo)軌和金屬棒中間有一面積為S的區(qū)域，區(qū)域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1隨時(shí)間t的變化關(guān)系為B1＝kt，式中k為常量；在金屬棒右側(cè)還有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，區(qū)域左邊界MN(虛線)與導(dǎo)軌垂直，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向也垂直于紙面向里．某時(shí)刻，金屬棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，在t0時(shí)刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運(yùn)動(dòng)．金屬棒與導(dǎo)軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計(jì)．求：
(1)在t＝0到t＝t0時(shí)間間隔內(nèi)，流過電阻的電荷量的絕對(duì)值；
(2)在時(shí)刻t(t>t0)穿過回路的總磁通量和金屬棒所受外加水平恒力的大小．
【答案】見解析
【解析】(1)在金屬棒未越過MN之前，t時(shí)刻穿過回路的磁通量為Φ＝ktS①
設(shè)在從t時(shí)刻到t＋Δt的時(shí)間間隔內(nèi)，回路磁通量的變化量為ΔΦ，流過電阻R的電荷量為Δq.由法拉第電磁感應(yīng)定律有E＝②
由歐姆定律有i＝③
由電流的定義有i＝④
聯(lián)立①②③④式得|Δq|＝Δt⑤
由⑤式得，在t＝0到t＝t0的時(shí)間間隔內(nèi)，流過電阻R的電荷量q的絕對(duì)值為|q|＝.⑥
(2)當(dāng)t>t0時(shí)，金屬棒已越過MN，由于金屬棒在MN右側(cè)做勻速運(yùn)動(dòng)，有f＝F⑦
式中，f是外加水平恒力，F(xiàn)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)施加的安培力．設(shè)此時(shí)回路中的電流為I，F(xiàn)的大小為F＝B0lI⑧
此時(shí)金屬棒與MN之間的距離為s＝v0(t－t0)⑨
勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過回路的磁通量為Φ′＝B0ls⑩
回路的總磁通量為Φt＝Φ＋Φ′
式中，Φ仍如①式所示．由①⑨⑩ 式得，在時(shí)刻t(t>t0)穿過回路的總磁通量為Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt
在t到t＋Δt的時(shí)間間隔內(nèi)，總磁通量的改變量為
ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt
由法拉第電磁感應(yīng)定律得，回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為Et＝
由歐姆定律有I＝
聯(lián)立⑦⑧ 式得f＝(B0lv0＋kS).
圖1
圖2
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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