資源簡介

2023屆高考數(shù)學復習專題 ★★
高考數(shù)學常用結(jié)論歸納
集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導數(shù)
1.若card(A)=n，則A的子集個數(shù)為，非空真子集的個數(shù)為.
2.滿足的集合M的個數(shù)為，若改為，則個數(shù)為
3.若card(A)=m，若card(B)=n，則映射的個數(shù)為
4.若card(A)= card(B)=n，則一一映射的個數(shù)為n!.
5. 幾種常見關(guān)鍵詞的否定形式:
“”的否定是“”; “”的否定是“”; “”的否定是“”; “是”的否定是“不是”; “至多有一個”的否定是“至少有兩個”; “至少有一個”的否定是“一個也沒有”;.“對恒成立”的否定是“使”;“或”的否定是“且”; “且”的否定是“或”.
6.若為奇函數(shù)，且在處有定義，則.
7.若為偶函數(shù)，則
8.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，而偶函數(shù)則相反.
9.若奇，則； （前提為有反函數(shù)）
10.在各自對應(yīng)的定義區(qū)間內(nèi)單調(diào)性一致
11. 與有一個為偶，則為偶，只有全為奇，才為奇.
12.復合函數(shù)單調(diào)性遵循同增異減.
13.設(shè)為非0常數(shù)，若滿足下列條件之一，則比為周期函數(shù)，且
14.若恒成立，或恒成立，則圖象的對稱軸為，反過來也成立.
若函數(shù)關(guān)于點對稱,則,特別地, 圖象關(guān)于點對稱.
15.函數(shù)與函數(shù)關(guān)于軸對稱，也關(guān)于直線對稱.若函數(shù)與關(guān)于點成中心對稱,則,特別地, 與關(guān)于點對稱,則.
16.函數(shù)的值域
17.幾個關(guān)于周期性的結(jié)論：
（1）若對時恒成立，則的周期為2；
（2）若是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對稱，則的周期為2；
（3）若是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對稱，則的周期為4；
（4）若關(guān)于點對稱，則的周期為2；
（5）若的圖像關(guān)于直線，對稱（），則的周期為2.
18.由，，可分別導出圖像的對稱軸是.
由，，可分別導出的周期是.
19.對勾函數(shù)的值域為，增區(qū)間為
，減區(qū)間為
20.函數(shù)的值域為.
21.偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù).
22.含lnx的導數(shù)問題中，勿忘x>0.
23. 的導數(shù)易求錯
24.由或>0可導出在其定義區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；由或<0可導出在其定義區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。
25.由>0可得到函數(shù)在定義區(qū)間上是增函數(shù)；由—<0可得到函數(shù)在定義區(qū)間上是增函數(shù).
26.幾個在導數(shù)大題的第二問中常出現(xiàn)的問題的處理方法：
（1）“對任意的，總存在，使”，該問題可轉(zhuǎn)化為“使”.
（2）“對任意的，，都有”，該問題可轉(zhuǎn)化為“使”.
（3）“對任意的，都有”，常把該問題轉(zhuǎn)化為“使”.
27.圖像選擇題可先考慮函數(shù)定義域，再考慮函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性，最后可考慮代點驗證。
二、數(shù)列
對等差數(shù)列，
（1）若
（2）若
（3）若
（4）若
（5）
（6）若項數(shù)為，則，
若項數(shù)為，則 （7）
2.對等比數(shù)列
（1）
（2）
（3）若
3．由所確定的數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件為c=0；當時從第二項成等差，且；
若，當時，所確定的數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為（）；當時，從第二項成等比，且為公比.
4.求通項
（1）若
（2）若
（3）若即是一個以p為公比的等比數(shù)列.特別的，當p=2時，等式兩邊各加q即可.
（4）若，先兩邊同除以，再用累加法
（5），常化成倒數(shù)成等差，即證。如形如 的可直接取倒數(shù)化成等差數(shù)列，形如的可先取倒數(shù)，然后再用類型（3）處理。
（6）由求用公式法：
若當時，，則不用分段，即=（）；
若當時，則必須分成兩段，即寫成
（7）可變形為
，于是
5.
6.
7. 數(shù)列為正項等比數(shù)列,則數(shù)列為首項是,公差為的等差數(shù)列
三．不等式
1.在不等式的解法中有以下等價關(guān)系：
（1）
（2）
（3） 可移項，因式分解,然后用序軸穿根法.
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
2.線性規(guī)劃中幾種求最值或范圍的問題：
（1）2x+3y可設(shè)z=2x+3y，再化為，然后用斜率截距的知識來處理；
（2）可化為動點（x,y）到定點(1,－2)連線的斜率；
（3）可先化為然后再用斜率來處理；
（4），可看作是動點（x,y）到定點（0,1）距離的平方；
（5），可先化為，然后再令用斜率來解。
四、解析幾何
1、橢圓與雙曲線的通徑長均為.
2、雙曲線的漸近線方程.
3、若為橢圓或雙曲線上的一點，且設(shè)，則(橢圓)或(雙曲線)，且當為橢圓的短軸端點時取到最大值
4、在橢圓中的最大值為，即為短軸端點時最大，,(可用焦半徑公式證明)
5、橢圓上任一點到焦點距離的最大值為，最小值為
6、對橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積為.
7、對于拋物線，若為過焦點的弦，在上的射影分別為，中點在準線上的射影為，則，，即以為直徑的圓與直線相切(切點為)，以為直徑的圓與相切于點，還可以證明以為直徑的圓均與軸相切，還可證明
對于拋物線，還有
(1)其通徑長為，
(2)過焦點的弦的兩端點處的切線的交點的軌跡為準線
(3)恒過定點(即焦點弦)
8、橢圓與雙曲線的焦半徑公式可統(tǒng)一為，(左加右減，對橢圓可不加絕對值)
9、過圓錐曲線上任一點的切線方程可這樣得到，把原方程中的項做如下變化即可：，常數(shù)項不變
，其中為方程的判別式
11、橢圓最短的焦點弦長為通徑長，即，而雙曲線的焦點弦的最小值為與中的最小者.(即時為；時為；時，二者相等同時最小)，拋物線的通徑長為其最短焦點弦.
12.在對稱問題中，若對稱軸的斜率為，則可直接代，如：求點關(guān)于直線的對稱點為，求曲線關(guān)于的對稱曲線為.特別提醒：若對稱軸的斜率不為，直接代可導致錯誤.
13、光線反射問題一般可轉(zhuǎn)化為對稱問題來處理.
14.曲線關(guān)于點的對稱曲線為，關(guān)于直線的對稱曲線為；關(guān)于直線的對稱曲線為.
15.求兩個圓的公共弦所在的直線方程做差即可
16.過圓上一點的切線方程為；過圓上一點的切線方程為：
若點在圓外時，則過點P向圓可作兩條切線，設(shè)切點為A，B,則直線AB的形式方程也如上所述（方程一樣）
17.點P在以線段AB為直徑的圓內(nèi)、圓外、圓上的問題可分別轉(zhuǎn)化為、、或為鈍角、銳角、直角。
18.線性規(guī)劃問題中要看清線性約束條件中是否帶有等號，因為這影響到最后所求的的取值區(qū)間是開還是閉的問題。
19.對橢圓、雙曲線、拋物線應(yīng)看清是臥式或是立式（即焦點在哪個軸上），是否為標準方程。如怎樣求拋物線的焦點坐標與準線方程？
20.過圓內(nèi)一點最長的弦是直徑，最短的弦是經(jīng)過該點且與經(jīng)過該點與圓心的連線垂直的弦。
21、點到直線距離公式很重要，要熟練掌握
五、立體幾何
1在三棱錐中，
①若VA=VB=VC（即三條側(cè)棱兩兩相等或三條側(cè)棱與底面所成的角相等），則頂點V在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心；
②若三個側(cè)面與底面所成的角相等，則V在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的內(nèi)心；
③若三條側(cè)棱兩兩垂直或三個側(cè)面兩兩垂直，則V在底面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心.
2.
2. △ABC三條角平分線的交點叫內(nèi)心，即內(nèi)切圓的圓心；三條高的交點叫垂心；三條中線的交點叫重心；三條垂直平分線的交點叫外心，即外接圓圓心.
3若四面體有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱必互相垂直，且各頂點在對面三角形內(nèi)的射影為該三角形的垂心.
4.處理繞表面距離最短問題，往往把表面展平，求展開平面上兩點間的線段長.
5.正方體和長方體截去一個角所得到的截面三角形必為銳角三角形.
6.正棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的二面角必為鈍角.
7.三個平面兩兩相交，得到三條交線，則這三條交線要么交于一點，要么互相平行.
8.設(shè)分別為平面與平面的法向量，則，二面角與相等或互補，根據(jù)實際圖形判斷
9.設(shè)是平面的斜線，為斜足,向量為平面的法向量,
設(shè)與平面成的角為，則,
點到平面的距離為
六、三角函數(shù)：
1.若，則（可用單位圓證明）
2.在銳角三角形內(nèi)，任一角的正弦值均大于另外兩個角中任一
個角的余弦值，因此有
3.為銳角三角形
4.為第一象限角；為第二象限角
為第三象限角；為第四象限角
在中,; .
5.若在第一、二象限，則在第一、三象限
若在第三、四象限，則在第二、四象限
6.關(guān)注兩種題型：
①求值（用正弦的二倍角公式）
②求的值域（用壓縮變換）
7.寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時勿忘.
8.函數(shù)的值域為：恒成立，則值域為
，有解，則值域為
.余弦可同樣處理.
來求值域
七．向量
1.若，且則A，B，C三點共線，其中為平面上任一點
或，且則A，B，C三點共線，其中為平面上任一點
2.
其中R為的外接圓半徑，r為的內(nèi)切圓半徑，
3. 的重心坐標為
4.
5.A為銳角；A為
6.；；；
7．用向量表示的三角形四個心的充要條件
（1）為的重心
（2）為的外心
（3）為的垂心
（4）為的內(nèi)心
9.單位向量的模是1.
10.是與方向相同的單位向量。
11. 向量中幾個易錯的判斷題：
⑴ ()
⑵∥∥∥ ()
⑶ ()
⑷ ()
12.考試時書寫向量時勿忘箭頭.
八、排列、組合、二項式定理、概率、統(tǒng)計
1、幾個常見排列問題結(jié)論:
（1）個元素排列,其中有個元素相鄰,則排法為.(捆綁法)
（2）個元素排列,其中有個元素兩兩不相鄰,則排法總數(shù)為.(插空法)
（3）個元素排列,其中有個元素次序一定,則排法總數(shù)為.(次序一定問題用除法或叫倍縮法)
（4）多排問題單排處理: 個元素分為若干排,每排若干人,則排法總數(shù)為.
（5）相間問題: 個甲種元素與個乙種元素相間排列,排法種數(shù)為,個甲種元素與個乙種元素相間排列,排法種數(shù)為.
（6）部分均勻分堆問題:舉例,把20本不同的書分為7堆,1堆1本,3堆2本,2堆3本,1堆7本,則分法總數(shù)為:.
2、二項分布:若,則, ,.
3、若是隨機變量,則也是隨機變量,且,.
4、超幾何分布:若個產(chǎn)品中有個次品,從中抽取個產(chǎn)品,其中次品個數(shù)為,則稱隨機變量服從超幾何分布,且有,, .
5、回歸直線比過樣本中心點.
6.抽樣方法常考的是分層抽樣，系統(tǒng)抽樣容易被忽略，系統(tǒng)抽樣有時也考。系統(tǒng)抽樣的步驟是 ：（1）編號（2）分組（3）定起點（4）抽樣本
特點是：抽出的號碼間隔相等，即成等差數(shù)列
7.由頻率分布直方圖求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
8.用隨機數(shù)表抽樣本的注意事項
比如編號是001-800，則在范圍內(nèi)的抽出，不在范圍內(nèi)的和重復的舍去
9.文科的統(tǒng)計大題中經(jīng)常出現(xiàn)4選2、5選2、6選2、7選2、8選2等的題型，要熟悉這些選法的結(jié)果的總個數(shù)，列舉的時候常采用倒三角形的方法
,,,
,
10.在幾何概型中,若題中涉及一個變量,則轉(zhuǎn)化為長度之比；若涉及到兩個變量，則可轉(zhuǎn)化為求面積之比。
11.概率大題步驟不可過于簡單，不可只寫結(jié)果，以防丟失步驟分。
九．選修4-1幾何證明選講
1、證明四點共圓的方法
（1）對于凸四邊形，對角互補四點共圓.
（2）對于凸四邊形，一個外角等于它的內(nèi)角的對角四點共圓.
（3）共底邊的兩個三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個頂點共圓．
（4）先從四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上.
（5）四點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．
（5）相交弦定理的逆定理：對于凸四邊形其對角線交于
四點共圓.
（6）割線定理逆定理：對于凸四邊形其邊的延長線交于，
四點共圓.
十．選修4-4坐標系與參數(shù)方程
1.極坐標方程化成直角坐標方程是.
2.直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的幾種考法：
若P為直線上的定點，A、B為直線與曲線相交的兩個公共點，則常見的幾種題型有
（1）求，可轉(zhuǎn)化為求；
（2）求，可轉(zhuǎn)化為求，轉(zhuǎn)化成求，然后用韋達定理求；
（3）求，若，則A、B兩點在P點的同一側(cè)，==；若，則A、B兩點在P點的兩側(cè)，==.
十一．其它考試中注意事項
1.若，為一元二次方程的兩根，則，（韋達定理）
2.設(shè)直線的點斜式方程之前，應(yīng)先討論一下直線的斜率不存在時的情況是否也滿足題意，防止漏解。
3.證線面垂直時不要忘記說直線垂直的是平面中的兩條相交直線。
4.指數(shù)函數(shù)圖象在第一象限“底大圖高”，對數(shù)函數(shù)圖象在第一象限“底大圖右”，冪函數(shù)在x=1的右邊，“指大圖高”
5.兩個偶函數(shù)通過加，減，乘，除（分母非零）仍為偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和與差仍為奇函數(shù)，積與商為偶函數(shù).
6.兩個不等式求公共部分符合“大大取大，小小取小”
7.圖象平移按照“左加右減，上加下減”
8.易遺漏：△=0，空集，二次項系數(shù)等于零的情況；
9.注意賦值法，特殊值驗證，數(shù)形結(jié)合的運用；
10.在處理與圓有關(guān)的問題時，一般幾何法優(yōu)于代數(shù)法，應(yīng)注重圓的幾何性質(zhì)的運用。如求圓的弦長時最好用半徑、半弦弦心距間的關(guān)系，然后用勾股定理求。求圓的切線問題最好用圓心到直線距離等于圓的半徑，而不是用△=0的方法。
11.應(yīng)用題別忘答，選做題別忘涂。
12.證明直線與平面平行時不要忘記說一條直線在平面內(nèi)，一條直線在平面外。
13.復數(shù)的虛部是是實數(shù)，而不是虛數(shù)。如2+3i的虛部是3，而不是3i. 復平面中的實軸與虛軸分別是什么？
14.注意恒成立問題與存在性問題的區(qū)別。
15.圓錐曲線中的最值問題。
16.棱柱、棱錐外接球的幾種情況。
17.在解三角形的題型中，有些題用正弦定理和用余弦定理均可解決，一般根據(jù)題中所給條件可按照角多用正弦定理、邊多用余弦定理的原則來處理。
18. 用二分法求函數(shù)零點近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看．同號去，異號算，零點落在異號間．周而復始怎么辦？精確度上來判斷．
用二分法只能確定變號零點，不能確定不變號零點。
19.遇到連等式，可令其=k，然后再用k表示其中的字母或數(shù)字，往往可以很快使問題解決。
20.證明題必做，因為結(jié)果已知，盡量多拿一些步驟分。

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