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2023屆高考數學復習專題 ★★
高考數學必背結論及特殊答題技巧
1. 如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集，個真子集.
2. 單調性
函數形式 f (x)單調性 g (x)單調性 總的單調性
f (x) + g (x) 增 增 增
減 減 減
f (x) - g (x) 增 減 增
減 增 減
結論：① f (x)≤f (x0)f (x0)為f (x)最大值
② f (x)≤MM為f (x)最大值（除非M在f (x)上）
3. 對稱性：
形式一：
f (M) = f (N)，若M+N=d（d為常數）
則f (x)有對稱軸：x=
形式二：
f (x) =g (x)關于原點對稱，則P1（a,b）、
P2（-a,-b）分別落在兩者上面。
BUT：f (x) 、g (x)本身不一定關于原點對稱
同理，關于某條線對稱也有類似的性質
形式三：
f (kx+b)為偶函數，則f (x)對稱軸：
f (kx+b)為奇函數，則f (x)對稱中心：
f (x+a) + f (-x+b)=k，則：f (x)有對稱中心：
4. 幾個常見的周期形式：
關于函數f (x)周期的結論：
① 關于x=a、x=b或(a，0)、(b，0)對稱
② 關于x=a、(b，0)或x=b、(a，0)對稱
③ f (x)為偶函數，關于x=a對稱
④ f (x)為偶函數，關于x=a對稱
函數的圖像變換：
5. ◆類似于logaB和logbB比較a、b大小：
利用好換底公式即可
x≤amloga x≤m ,a∈(1,+∞), loga x≥m ,a∈(0,1)
◆常用的量估計值（可在比大小的問題里用）
e2.7 lg20.301 lg30.477
ln20.7 ln31.1 ln51.6
◆指對數函數的抽象特征
對數函數： f (x) + f (y) = f (xy)
指數函數： f (x)·f (y) = f (x+y)
6. 平均不等式：
,（當且僅當時取號）.
（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.
7. 函數問題秒殺技
Ⅰ. 洛必達法則（受限性強！）
簡介：對于一個分子分母都有參數的分式，如果它趨近于a的極限值我們用常規的難求，那么在一定條件下可以分子分母同時求導，這個新的分式的極限值就是原來分式的極限值。
也就是在一定條件下，有這個式子成立：
但這個結論是有條件的，我們目前要掌握的需要兩個：
① 當（a也可以取無窮大），且g (x)≠0時，原來分式分子分母要么都趨近于0，要么都趨近于無窮（正無窮負無窮都可以），才可以使用洛必達法則，否則隨便用隨便錯！
② 在分式滿足了第①個條件以后使用洛必達法則，會出現以下三種情況：
第一種：
有極限值m，那就是它！
第二種：
不存在極限值，比如求出來一個 ，當時，sin x不存在極限值，那就沒得戲唱了。但這個分式沒有極限值不代表原分式沒有極限值，而是這個極限值用洛必達法則求不了，那就只好老老實實求導。
第三種：
在用完洛必達法則以后，如果求下來極限值還是零比零型或者無窮比無窮型，那就再用洛必達法則，直到求一個極限值出來。（但是一定要注意：在不斷用洛必達法則中，一定要關注前一個分式趨近狀況，如果不滿足條件①，那也不好用。當然如果求下來一直是零比零型或者無窮比無窮型循環，那也沒轍）
這個結論在八省聯考最后一題可以用，估計在高考的時候再次出現的概率比較小。而且這個方法受限性很強，不是萬全之策，運氣好的話可以騙到分。運氣不好，也沒辦法。
例題：已知函數為f (x) = x2lnx-(x-1)，當x＞1時，
f (x)≥m(x-1)2恒成立，m的范圍是 ▲ .
分析： x2lnx-(x-1)≥m(x-1)2在恒成立
也就有了在恒成立
讓，當x→1，為零比零型
洛必達法則用起來：
發現還是零比零型
再用一次：=（取不到）
簡要代兩個值進去看看，如果比它大那么極限值就是最小值，否則就是最大值。
答案就是
Ⅱ. 端點效應
提醒：這些結論作為高等數學的結論，在高考是超綱的，所以用只能用在小題目，大題目用了頂多一個答案分。而且，從最近的全國卷來看，命題人似乎早就料到了這個套路。因此他們在命題的過程中大都會避開這一點，甚至針對這個結論設置陷阱，比如“洛必達陷阱”，看似可以用洛必達，但洛到最后洛不出來。還耽擱了時間。
下面幾個方法比較常用（入門級）：
Ⅰ. 泰勒公式（泰勒放縮）
放縮：說得通俗一點就是通過將題中條件放大或縮小，從而在一個范圍里找一個中介值，求出位置條件和它的關系，再間接過渡到所求。
泰勒公式是什么？
本質上就是找一條曲線無限逼近于已知曲線，但不會完全重合。讓已知函數為f (x)，那么這個函數也可以表示為：
上面這個式子就是簡化版的泰勒公式。
一般的話，我們做小題目遇到lnx，ex就可以在條件允許的情況下進行泰勒放縮，一般的一次二次三次函數用不著。
泰勒展開式的幾何意義（僅舉兩例）
那么從上面兩個，我們總結出幾個常見的泰勒展開：
Ⅱ. 隱零點
對一個函數f (x)，要求它的極值。按常規思路求個導找出極值點x0，可是找不到咋辦呢。那就可以對方程適當變形，代進f (x0)放縮。
8.
正四面體的性質：
結論速記：若正四面體棱長為a，則：
該正四面體外接球半徑：
該正四面體內切球半徑：
對一個三棱錐，它內切球半徑（等體積法）
9. 概率與統計中
平均數的變化：E(aX+b) = aE(X)+ b
方差的變化：V(aX+b) = a2V(X)
10. 三角形的四個“心”：
①內心：內切圓圓心，為三條角平分線交點，它到三邊距離相等，且三角形的面積為周長和內切圓半徑之積。（主要可以涉及到等面積法）
對等面積法應用可以用關系式：
②外心：外接圓圓心，為三邊中垂線交點，其到三角形三個頂點距離相等（涉及到正弦定理）
③重心：三角形中線的交點
④垂心：三條高線的交點
積化和差小妙招之一（P為BC中點）：
在△ABC中，BA=、BC=，則
S△ABC =
11. 幾個范圍：向量角:
線線角（異面直線所成角）：
線面角：
二面角：
12. 求法向量
法一：待定系數法
根據法向量定義建立方程組.
解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.
★法二：交叉相乘再相減（積差法）
先把兩個向量的坐標一上一下對齊寫好，然后交叉相乘再相減。注意交叉的順序要一樣！最后中間加上負號。
（上下對齊，交叉積差，順序相同，中間變號）
如;上面a、b的法向量就為：
（a2b3-a3b2 , a3b1-a1b3 , a1b2-a2b1）
注意：如果求下來的坐標比較復雜，就把坐標的三個數值同時除以公因數，取最簡。
做解答題的時候建議先把方程列下來，然后用差積法直接在后面寫出法向量
⑤得平面的法向量.
13. 空間幾何體的外接球問題
方法一：從外接球的定義和性質入手
①外接球球心到幾何體各個頂點距離相等
②外接球在各面上的投影就是這個面的外接圓
由上面這些原理來構造直角三角形，尋找等量關系，用勾股定理求解即可。（注意幾何體的外接球心不一定在幾何體內）
方法二：構造長方體模型
對于三棱錐可以把它放到長方體里去，長方體的體對角線就是外接球直徑。以下是幾個常用的構造。
①對棱相等型（連接各面對角線，如果是正方體那就有了正四面體）
②墻角型，有三條兩兩垂直的棱
③四個面都是直角三角形的四面體，再補一條線（圖中短虛線）在底面為正方形時就是三垂線定理的圖
④三個直角三角形面，兩直角三角形有公共直角邊
⑤三個直角三角形面，兩直角三角形有公共斜邊
（“鱉臑”）
拓展：⑥ 類“芻甍”型幾何體（底面為平行四邊形，
頂部只有一條棱且這條棱和底面平行的五面體），a
為平行四邊形某一邊的長，l為a所在邊上的高，h為
體高，b為頂部棱長。
體積公式：
★用空間向量求體高
14. ★注意：
拓展延伸：三角形解的個數問題
三角函數法
讓A為三角形內任意角，對邊a已知。通過正弦定理：，找到和函數y=sinx的交點個數（A范圍即函數定義域）
提醒：
①在直角三角形里面解決問題除了弦以外千萬不要忘記正切！
②平面圖形里有了充足的條件下，其它辦法不可行，建系永遠是最后的退路。
15.
①把Sn、qSn和（1-q）Sn列好，化簡求得。
②或者在草稿紙上算出S1、S2，完了以后直接套公式，列方程，用待定系數法求出來。最后直接把Sn寫在下面（上面也要帶一點化簡的過程，以達到過程完整性）
公式：（A、B是待定系數）

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