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2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★高考數(shù)學(xué)解題方法
——巧妙分析題意 建立解題模型
解題模型思想是一種解題方法，在高三二輪復(fù)習(xí)中有重要的作用，在解題的過程中，適當(dāng)?shù)貙?duì)條件進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型，設(shè)置適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，構(gòu)造不等式，達(dá)到解題目的。
本文主要通過幾個(gè)例題講述一種解題模型思想，注意在解題過程中的應(yīng)用，才能發(fā)揮高三二輪復(fù)習(xí)的功能效益。
【例題1】.設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則（ ）
A． B． C． D．
【思考】這是一個(gè)二元不等式問題，已知不等式，求出正確的不等式問題，分析已知條件模型，發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型，試圖構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)橛谐胶瘮?shù)，所以應(yīng)該移項(xiàng),左邊是指數(shù)函數(shù)型，右邊是對(duì)數(shù)函數(shù)模型.
【解析】
（1）由已知得
，
兩邊同時(shí)乘以字母a，得
，
移項(xiàng)得
當(dāng)0，
所以
當(dāng)b>1時(shí)，有
，
所以
若例如，取，得
所以選項(xiàng)A與C都不正確。
下面證明：
即證
因?yàn)?br/>兩邊同時(shí)除以字母a得
移項(xiàng)化簡(jiǎn)得
........................................（1）
注意兩邊有同一個(gè)結(jié)構(gòu)，所以設(shè)函數(shù)
求導(dǎo)得
當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，函數(shù)遞增，
又因?yàn)楫?dāng)，
且
，
所以
，
即由（1）得
由函數(shù)單調(diào)性得
所以
選項(xiàng)B正確.
【例題2】.已知a>1，b>1，則下列關(guān)系不可能成立的是
【思考】從選支中的不等式出發(fā)，變形得到同構(gòu)模型，抽象出函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法，研究函數(shù)單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)問題的解答.
【解析】選擇CD選項(xiàng)作變更，
這兩個(gè)不等式由相同的結(jié)構(gòu)，可以構(gòu)造函數(shù)模型，于是構(gòu)造函數(shù)
對(duì)求導(dǎo)，得
所以，由x>1,得
對(duì)求導(dǎo)，得
當(dāng)0當(dāng)x>1時(shí)，此時(shí)，g(x)是遞減函數(shù).
所以
這樣有f(b)>g(a)恒成立，得
。
即不可能恒成立.
類似題目：
已知b>a>0，且滿足alnb=blna，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則
【例題3】.
已知，.
⑴求的最小值；⑵求取到最小值時(shí)的.
【答案】
【思考】本文考查三角代換與函數(shù)知識(shí)，屬于中等難度題，構(gòu)造對(duì)勾函數(shù).
【解析】
設(shè)
，，
則
，.
再令
，
則
，，，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即.
此時(shí)，
，，，.
又，故.
拓展練習(xí)：
【例題4】.設(shè)，，為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足方程，則的最大值和最小值（ ）
A.互為倒數(shù) B.其和為 C.其乘積為 D.均不存在
【答案】C
【思考】構(gòu)造方程思想。
【解析】
設(shè)，則原方程，
即，或。
或。
（1）當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)最小時(shí)，，，，此時(shí)
即。
（2）當(dāng)時(shí)，， ，，
當(dāng)最大時(shí)，，，，此時(shí)
即。
綜上：。
【例題5】.【證明問題】構(gòu)造不等式，證一個(gè)不等式
設(shè)
求證：.
證明：
先證一個(gè)引理：
設(shè)則
........................................................................................（1）
引理的證明：
................（2）
令
則
所以（2）成立，
引理得證.
由基本不等式得
，
由及引理得
即
【例題6】：在一些選擇題中，也可以構(gòu)造不等式模型解題，導(dǎo)數(shù)模型求最值
已知，且，則的最小值為
A B 64 C D 125
方法1：權(quán)方和不等式：
方法2：大柯西不等式：，則
方法3：利用導(dǎo)數(shù)：，，，
方法4：待定系數(shù)法均值不等式：
等號(hào)成立的條件：。
。
練習(xí)（1）：已知，且，則的最大值為（）
（2）：已知，且，則的最小值為（ ）
【例題7】.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)模型
已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列判斷：①；②；③；④有極小值點(diǎn)，且.則正確判斷的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】D
【解】對(duì)于①
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增,不符合.
當(dāng)時(shí)，由，，解得，
，解得
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．在有極小值，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
，，
①不正確；
對(duì)于②
因?yàn)椋?br/>，
取，，，，，
②不正確；
對(duì)于④
函數(shù)的極小值點(diǎn)為
要證，只要證
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，故只需要證
構(gòu)造函數(shù)
求導(dǎo)得到
所以函數(shù)單調(diào)遞增，恒成立，
即，故得到
進(jìn)而得證：，.
故④正確.
對(duì)于③
因?yàn)?br/>根據(jù)，可得到.
③不正確.
綜上正確的只有一個(gè)，
故選：.
思考題
已知函數(shù)，其中a為非零常數(shù)．
（1）若函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）設(shè)，且，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．
【例題8】--多選題模型
已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．曲線在點(diǎn)處的切線可能與直線垂直
C．
D．
解：對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)數(shù) ，
∴時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴是的極小值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
∴，
∴ 函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又∵ ，，
∴ 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，可得，
令，則，
令，則，
∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，
上，，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴，
∴，
∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，
∴不存在正實(shí)數(shù)，使得成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由，結(jié)合A選項(xiàng)可知，
要證，即證，且，
由函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以有，
由于，所以，
即證明，
令，
則，所以在是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，即成立，
故成立，所以D正確.
故選：ABD.
【例題9】--解答題模型
（1）若，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意，，.
（1）在單調(diào)遞增；（2）證明見解析.
解：（1）因?yàn)椋?br/>所以.
因?yàn)椋裕瑒t.
又，知，且時(shí)，
故，所以在單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，
所以.
令，所以，從而，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，
所以，
因?yàn)?br/>，
所以，
所以.
思考題
已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的極值；
（2）①當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)的最大值
②證明：
思考題答案：
（1）定義域
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值
當(dāng)時(shí)，，得得
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
此時(shí)函數(shù)的極小值無極大值
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值;當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的極小值為，無極大值.
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即只需成立即可
由（1）可知
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（i）若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以滿足題意
（ii）若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以
令
所以在上單調(diào)遞增
又知
所以使得，
則的解集為
綜上的取值范圍為，
所以正整數(shù)的最大值為
②證明：兩邊取對(duì)數(shù)得
即只需證
由（i）知
令，則
所以
所以

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