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2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★統(tǒng)計(jì)與概率大題解題模板
一、隨機(jī)抽樣和用樣本估計(jì)總體
模板一、頻率分布直方圖
1、頻率分布直方圖的性質(zhì)：
（1）小矩形的面積=組距×頻率/組距=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小；
（2）在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于；
（3）頻數(shù)/相應(yīng)的頻率=樣本容量.
2、頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率，可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)的可能性.
3、頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)為，而不是頻率值.
例1-1.某城市戶居民月平均用電量(單位：度)，以、、、、、、分組的頻率分布直方圖如圖.
（1）求直方圖中的值；
（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）在月平均用電量為、、、的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
【解析】（1）由得：
，∴直方圖中的值是；
（2）月平均用電量的眾數(shù)是，
∵，
∴月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，
由得：，
∴月平均用電量的中位數(shù)是；
（3）月平均用電量為的用戶有戶，
月平均用電量為的用戶有戶，
月平均用電量為的用戶有戶，
月平均用電量為的用戶有戶，
抽取比例，
∴月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取戶.
模板二、莖葉圖
1、繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉，如數(shù)據(jù)是兩位數(shù)，十位數(shù)字為“莖”，個(gè)位數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)時(shí)，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”，解題時(shí)要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)合理選擇莖和葉.
2、利用莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，一般從數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾個(gè)方面來考慮.
例1-2.某中學(xué)高二（2）班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來，每次數(shù)學(xué)考試成績情況如下：
甲：、、、、、、、、、、、、；
乙：、、、、、、、、、、、、.
畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績進(jìn)行比較.
【解析】甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示：
從這個(gè)莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱的，
中位數(shù)是；甲同學(xué)的得分情況，也大致對(duì)稱，中位數(shù)是，
乙同學(xué)的成績比較穩(wěn)定，總體情況比甲同學(xué)好.
模板三、散點(diǎn)圖
1、兩個(gè)變量的關(guān)系
分類 函數(shù)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系
特征 兩變量關(guān)系——確定 兩變量關(guān)系——帶有隨機(jī)性
2、散點(diǎn)圖：將樣本中個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(，，…，)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形.
3、正相關(guān)與負(fù)相關(guān)：
（1）正相關(guān)：如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān).
（2）負(fù)相關(guān)：如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).
4、最小二乘法：設(shè)、的一組觀察值為(，，…，)，且回歸直線方程為.當(dāng)取值(，，…，)時(shí)，的觀察值為，差(，，…，)刻畫了實(shí)際觀察值與回歸直線上相應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的偏離程度，通常是用離差的平方和，即作為總離差，并使之達(dá)到最小.這樣，回歸直線就是所有直線中取最小值的那一條.由于平方又叫二乘方，所以這種使“離差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法.
5、回歸直線方程的系數(shù)計(jì)算公式
回歸直線方程 回歸系數(shù) 系數(shù)的計(jì)算公式
方程或公式
上方加記號(hào) “^”的意義 區(qū)分的估計(jì)值 與實(shí)際值 、上方加“^”表示由觀察值按 最小二乘法求得的估計(jì)值
例1-3.一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：
零件數(shù)(個(gè))
加工時(shí)間(分)
（1）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系？
（2）如果與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的回歸直線方程.
審題路線圖：→→→
【解析】（1）畫散點(diǎn)圖如下：由圖可知與具有線性相關(guān)關(guān)系；
（2）列表、計(jì)算：
，，，，.
，
，即所求的回歸直線方程為：.
構(gòu)建答題模板：
第一步：列表、、；
第二步：計(jì)算，，，；
第三步：代入公式計(jì)算、的值；
第四步：寫出回歸直線方程；
第五步：反復(fù)回顧，查看是否有重復(fù)或遺漏情況，明確規(guī)范書寫答題.
模板四、古典概型
例1-4.袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)為、、；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)為、.
（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于的概率；
（2）向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)點(diǎn)之和小于的概率.
審題路線圖：確定概率模型→列出所有取卡片的結(jié)果(基本事件)→構(gòu)成事件的基本事件→求概率.
規(guī)范解答：
【解析】（1）標(biāo)號(hào)為、、的三張紅色卡片分別記為、、，
標(biāo)號(hào)為、的兩張藍(lán)色卡片分別記為、，
從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為：
、、、、、、、、、共種，
由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，
從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于的結(jié)果為：
、、，共種，
∴這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于的概率為；
（2）記是標(biāo)號(hào)為的綠色卡片，
從六張卡中任取兩張的所有可能的結(jié)果為：、、、、
、、、、、、、、、、共種，
用于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，
從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于的結(jié)果為：
、、、、、、、，共種，
∴這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于的概率為.
構(gòu)建答題模板：
第一步：列出所有基本事件，計(jì)算基本事件總數(shù)；
第二步：將所求事件分解為若干個(gè)互斥的事件或轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件(也許不用分解，但分解必要注意互斥)；
第三步：分別計(jì)算每個(gè)互斥事件的概率；
第四步：利用概率的加法公式求出問題事件的概率；
第五步：反復(fù)回顧，查看是否有重復(fù)或遺漏情況，明確規(guī)范書寫答題.
二、概率與統(tǒng)計(jì)之超幾何分布與二項(xiàng)分布
離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差
1、關(guān)于離散型隨機(jī)變量分布列的計(jì)算方法如下：
（1）寫出的所有可能取值；
（2）用隨機(jī)事件概率的計(jì)算方法，求出取各個(gè)值的概率；
（3）利用（1）、（2）的結(jié)果寫出的分布列.
2、常見的特殊離散型隨機(jī)變量的分布列：
（1）兩點(diǎn)分布，分布列為(、)，其中，且；
（2）二項(xiàng)分布，分布列為(、、、…、、…、)，其中，、、、…、，且，，可記為.
3、對(duì)離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：
（1）期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概念意義下的平均；
（2）是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)；
（3）直接給出了的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加.
4、對(duì)離散型隨機(jī)變量的方差應(yīng)注意：
（1）表示隨機(jī)變量對(duì)的平均偏離程度，越大表明平均偏離程度越大，說明的取值越分散；反之越小，的取值越集中，在附近，統(tǒng)計(jì)中常用來描述的分散程度.
（2）與一樣也是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定.
模板一、超幾何分布——離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差
（1）超幾何分布的特征：①在小范圍內(nèi)不放回的隨機(jī)抽取；②每次抽取相互影響；③每次抽取的可能性一直變化；
（2）超幾何分布的題型：在含有件次品的件產(chǎn)品中任取件()，其中恰有件次品；
（3）超幾何分布的分布列、期望與方差：①分布列：，，；
②期望：；
③.
例2-1.已知一個(gè)袋中裝有個(gè)白球和個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同.
（1）每次從袋中取一個(gè)球，取出后不放回，直到取到一個(gè)紅球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）每次從袋中取一個(gè)球，取出后放回接著再取一個(gè)球，這樣取次，求取出紅球次數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
審題路線圖：取到紅球?yàn)橹埂∏虼螖?shù)的所有可能、、、→求對(duì)應(yīng)次數(shù)的概率→列分布列→求.
取出后放回，這是條件→每次取到紅球的概率相同→三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)→利用公式.
規(guī)范解答：
【解析】（1）的可能取值為、、、，
，，
，，
故的分布列為：
；
（2）取出后放回，取球次，可看作次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，∴，
的可能取值為、、、，
，，
，，
故的分布列為：
∴，.
構(gòu)建答題模板：
第一步：確定離散型隨機(jī)變量的所有可能性；
第二步：求出每個(gè)可能性的概率；
第三步：畫出隨機(jī)變量的分布列；
第四步：求期望和方差；
第五步：反復(fù)回顧，查看是否有重復(fù)或遺漏情況，明確規(guī)范書寫答題.如本題可重點(diǎn)查看隨機(jī)變量的所有可能值是否正確；根據(jù)分布列性質(zhì)檢查概率是否正確.
模板二、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用
（1）二項(xiàng)分布的特征：①在小范圍內(nèi)有放回的隨機(jī)抽取或在大范圍內(nèi)任意隨機(jī)抽取；②每次抽取相互獨(dú)立；③每次抽取的可能性保持不變；
（2）二項(xiàng)分布的題型：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為；
（3）二項(xiàng)分布的分布列、期望與方差：①分布列：，為試驗(yàn)次數(shù)，為試驗(yàn)成功率，
，，；
②期望：；
③.
例2-2.某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得分；未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.
（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為，求的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？
【解析】（1）由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響，
記“這人的累計(jì)得分”的事件為，則事件的對(duì)立事件為“”，
∵，∴，
即這兩人的累計(jì)得分的概率為；
（2）設(shè)小明小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為，
則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為，
選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為，
由已知可得，，∴，，
從而，，∴，
∴他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大.
模板三、統(tǒng)計(jì)概率的綜合應(yīng)用
例2-3.某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量(單位：克)重量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量.
（2）在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列及期望.
（3）在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品，求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率.
【解析】（1）重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量是件；
（2）的所有可能取值為、、，
，，，
的分布列為：
的期望；
（3）設(shè)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品，恰有件產(chǎn)品的重量超過克為事件，
則.
變式1：第三問改為：從流水線上任取件產(chǎn)品，設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列、期望、方差.
【解析】從流水線上任取件產(chǎn)品服從二項(xiàng)分布：可取：、、、、、；
超過克的產(chǎn)品發(fā)生的概率為，則，
，
，
，
，
，
，
則的分布列為：
的期望，方差.
變式2：某食品廠為了檢查甲乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即在這兩條抽流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量(單位：克).重量落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格.表一為甲流水線樣本頻率分布表，圖一為乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
甲流水線 乙流水線 合 計(jì)
合格品
不合格品
合計(jì)
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)在答題卡上作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；
（2）若以頻率作為概率，試估計(jì)從乙流水線上任取件產(chǎn)品，恰有件產(chǎn)品為合格品的概率；
（3）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)”.
附：下面的臨界值表供參考：(參考公式：，其中).
【解析】（1）根據(jù)所給的每一組的頻數(shù)和樣本容量做出每一組的頻率，
在平面直角坐標(biāo)系中做出頻率分布直方圖，
甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：
（2）由圖1知，乙樣本中合格品為：
，故合格品的頻率為，
∴可估計(jì)從乙流水線上任取一件產(chǎn)品該產(chǎn)品為合格品的概率，
設(shè)為從乙流水線上任取件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，則，
∴，
即從乙流水線上任取件產(chǎn)品，恰有件產(chǎn)品為合格品的概率為；
（3）列聯(lián)表如下：
甲流水線 乙流水線 合 計(jì)
合格品
不合格品
合計(jì)
∵，
∴有的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)”.
課后作業(yè)
1. 某學(xué)生對(duì)其親屬人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示人的飲食指數(shù).(說明：圖中飲食指數(shù)低于的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于的人，飲食以肉類為主.)
（1）根據(jù)莖葉圖，幫助這位學(xué)生說明其親屬人的飲食習(xí)慣；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表：
主食蔬菜 主食肉類 合計(jì)
歲以下
歲以上
合計(jì)
（3）能否有的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并寫出簡要分析.
【答案】（1）位親屬中歲以上的人多以食蔬菜為主，歲以下的人多以食肉為主；（2）表格見解析；（3）有，分析見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)莖葉圖，分析題中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果.
（2）根據(jù)莖葉圖，補(bǔ)充完善列聯(lián)表，計(jì)算觀測值即可求解.
【詳解】（1）位親屬中歲以上的人多以食蔬菜為主，歲以下的人多以食肉為主；
（2）補(bǔ)全列聯(lián)表：
主食蔬菜 主食肉類 合計(jì)
歲以下
歲以上
合計(jì)
（3），
有的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān).
2. 某網(wǎng)站就“民眾是否支持加大修建城市地下排水設(shè)施的資金投入”進(jìn)行投票.按照北京暴雨前后兩個(gè)時(shí)間收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
支持 不支持 總計(jì)
北京暴雨后
北京暴雨前
總計(jì)
已知工作人員從所有投票中任取一個(gè)，取到“不支持投入”的投票的概率為.
（1）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 的值；
（2）繪制條形統(tǒng)計(jì)圖，通過圖形判斷本次暴雨是否影響到民眾對(duì)加大修建城市地下排水設(shè)施的投入的態(tài)度？
（3）能夠有多大把握認(rèn)為北京暴雨對(duì)民眾是否贊成加大對(duì)修建城市地下排水設(shè)施的投入有關(guān)？
【答案】（1），，，；（2）條形統(tǒng)計(jì)圖答案見解析，暴雨影響到民眾對(duì)加大修建城市地下排水設(shè)施的投入的態(tài)度；（3）有把握.
【解析】
【分析】
（1）先求出的值，再求的值；
（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，畫出條形統(tǒng)計(jì)圖，再通過圖形判斷本次暴雨是否影響到民眾對(duì)加大修建城市地下排水設(shè)施的投入的態(tài)度.
（3）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.
【詳解】（1）設(shè)“從所有投票中抽取一個(gè)，取到不支持投入的投票”為事件，
由已知得，∴，，，；
（2）由（1）知北京暴雨后支持為，不支持率為，
北京暴雨前支持率為，不支持率為，
條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：
由圖可以看出暴雨影響到民眾對(duì)加大修建城市地下排水設(shè)施的投入的態(tài)度；
（3），
故至少有把握認(rèn)為北京暴雨對(duì)民眾是否贊成加大對(duì)修建城市地下排水設(shè)施的投入有關(guān).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題步驟：（1）2*2列聯(lián)表；（2）提出假設(shè)：設(shè)與沒有關(guān)系；
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算的值；（4）根據(jù)計(jì)算得到的隨機(jī)變量的觀測值作出判斷.
3. 電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：
將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有名女性.
（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？
非體育迷 體育迷 合計(jì)
男
女
合計(jì)
（2）將日均收看該體育節(jié)目不低于分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有名女性，若從“超級(jí)體育迷”中任意選取人，求至少有名女性觀眾的概率.
附：
【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算體育迷的人數(shù)，再結(jié)合條件依次填入列聯(lián)表，并計(jì)算，并和臨界值比較后進(jìn)行判斷；（2）首先由頻率分布直方圖計(jì)算“超級(jí)體育迷”的人數(shù)，在通過編號(hào)列舉的方法，利用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算概率.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的人中，“體育迷”有人，從而完成列聯(lián)表如下：
非體育迷 體育迷 合計(jì)
男
女
合計(jì)
將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，
得，
∴沒有的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；
（2）由頻率分布直方圖可知“超級(jí)體育迷”為人，設(shè)是3名男超級(jí)體育迷， 是2名女超級(jí)體育迷，從而一切可能結(jié)果所組成基本事件為：

，
則由個(gè)基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，
用表示“任選人中，至少有人是女性”這一事件，
則由
這個(gè)基本事件組成，因而.
4. 年月日時(shí)分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢?cái)產(chǎn)損失，適逢暑假，大學(xué)生小張調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成、、、、五組作出頻率分布直方圖，如圖：
經(jīng)濟(jì)損失 不超過元 超過元 合計(jì)
捐款超過元
捐款不超過元
合計(jì)
（1）臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小張調(diào)查的戶居民捐款情況如表格，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到元有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取戶居民，抽取次，記被抽取的戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過元的人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差.
【答案】（1）答案見解析，有；（2）分布列見解析，，.
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖可求出抽取的戶中，經(jīng)濟(jì)損失不超過元的戶數(shù)，經(jīng)濟(jì)損失超過元的戶數(shù)， 從而可補(bǔ)全列聯(lián)表，進(jìn)而可求出，得出結(jié)論；
（2）由題意知的取值可能有、、、，符合二項(xiàng)分布，則，從而利用二項(xiàng)分布的概率公式求出各自對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得的分布列，期望和方差.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的戶中，經(jīng)濟(jì)損失不超過元的有戶，則經(jīng)濟(jì)損失超過元的有戶，
則表格數(shù)據(jù)如下：
經(jīng)濟(jì)損失不超過元 經(jīng)濟(jì)損失超過元 合計(jì)
捐款超過元
捐款不超過元
合計(jì)
，
∵，，
∴有以上把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到元有關(guān)；
（2）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過元居民的頻率為，將頻率視為概率，
由題意知的取值可能有、、、，符合二項(xiàng)分布，則，
，，
，，
從而的分布列為：
，.
5. 私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：
年齡（歲）
頻數(shù)
贊成人數(shù)
（）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖．
（）若從年齡在，的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求恰有人不贊成的概率．
（）在在條件下，再記選中的人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）見解析（2）（3）見解析
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)，再求頻率與組距之比得縱坐標(biāo)，畫出對(duì)應(yīng)頻率分布直方圖．（2）先根據(jù)2人分布分類，再對(duì)應(yīng)利用組合求概率，最后根據(jù)概率加法求概率，（3）先確定隨機(jī)變量，再根據(jù)組合求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.
試題解析：（）
（2）由表知年齡在內(nèi)的有人，不贊成的有人，年齡在 內(nèi)的有人，不贊成的有人，恰有人不贊成的概率為：
．
（3） 的所有可能取值為：，，，，
，
，
，
所以的分布列是：
所以的數(shù)學(xué)期望．
6. 某商場舉行的“三色球”購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再從裝有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：
獎(jiǎng)級(jí) 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù) 獲獎(jiǎng)金額
一等獎(jiǎng) 3紅1藍(lán) 200元
二等獎(jiǎng) 3紅0藍(lán) 50元
三等獎(jiǎng) 2紅1藍(lán) 10元
其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)．
（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；
（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望E（x）．
【答案】（1）
（2）X的分布列為
EX==4元
【解析】
【詳解】（1）設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bi表示摸到i個(gè)藍(lán)球，則與相互獨(dú)立（i=0，1，2，3）
∴P（A1）==
（2）X的所有可能取值為0，10，50，200
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=
P（X=50）=P（A3）P（B0）==
P（X=10）=P（A2）P（B1）==
P（X=0）=1﹣=
∴X的分布列為
EX==4元
7. 以下莖葉圖記錄了甲 乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹 乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示.
（1）如果，求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；
（2）如果，分別從甲 乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）平均數(shù)為，方差為；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【解析】
【分析】
（1）利用平均數(shù)和方差公式求出即可；
（2）根據(jù)題意可得的可能取值為，，，，，分別求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：，，，，
∴平均數(shù)為，
方差為；
（2）當(dāng)時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：，，，，
乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：，，，，
分別從甲 乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有種可能的結(jié)果，
這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)的可能取值為，，，，，
事件“”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵”，
∴該事件有種可能的結(jié)果，，
事件“”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵”，
∴該事件有種可能的結(jié)果，，
事件“”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵，
或甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵”，
∴該事件有種可能的結(jié)果，，
事件“”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵”，
∴該事件有種可能的結(jié)果，，
事件“”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵”，
∴該事件有種可能的結(jié)果，，
∴隨機(jī)變量的分布列為：
∴.
8. 語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖，如果成績大于的則認(rèn)為特別優(yōu)秀.
（1）這名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？
（2）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有人，從（1）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(附公式：若，則，).
【答案】（1）語文有人，數(shù)學(xué)有人；（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出語文成績特別優(yōu)秀的概率，從而可估計(jì)出語文成績特別優(yōu)秀人數(shù)，由頻率分布直方圖可求出數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的頻率，用頻率來衡量概率，從而可求出數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的人數(shù)；
（2）結(jié)合（1）可知數(shù)學(xué)語文單科優(yōu)秀的有10人，則的所有可能取值為、、、，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率即可列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望
【詳解】（1）∵語文成績服從正態(tài)分布，
∴語文成績特別優(yōu)秀概率為，
∴數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率為，
∴語文特別優(yōu)秀的同學(xué)有人，數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有人；
（2）語文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有人，單科優(yōu)秀的有人，的所有可能取值為、、、，
，，
，，
∴的分布列為：
.
9. 張明要參加某單位組織的招聘面試.面試要求應(yīng)聘者有次選題答題的機(jī)會(huì)(選一題答一題)，若答對(duì)題即終止答題，直接進(jìn)入下一輪，否則被淘汰.已知張明答對(duì)每一道題的概率都為.
（1）求張明進(jìn)入下一輪的概率；
（2）設(shè)張明在本次面試中答題的個(gè)數(shù)為，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【解析】
【分析】
（1）分情況討論張明進(jìn)入下一輪的概率；（2）由條件可知，理解隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的事件，寫出概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）張明答道題進(jìn)入下一輪的概率為，
答道題進(jìn)入下一輪的概率為，
答道題進(jìn)入下一輪的概率為，
答道題進(jìn)入下一輪的概率為，
張明進(jìn)入下一輪的概率為；
（2）可能取值為 ，
當(dāng)時(shí)可能答對(duì)道題進(jìn)入下一輪，也可能打錯(cuò)道題被淘汰，
，，
，
，
于是的分布列為：
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問和第一問的對(duì)應(yīng)的概率不一樣，比如第一問當(dāng)時(shí)，表示答5題后進(jìn)入下一輪，第二問時(shí)，表示答5題后進(jìn)入下一輪，或是被淘汰，分清事件，才能正確寫出概率.

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