資源簡介

01 直線的傾斜角、斜率與直線的方程
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 直線的傾斜角與斜率
（1）定義：
（2）范圍： 直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π)．
知識鏈接02 直線的斜率
條件 公式
直線的傾斜角α，且α≠90° k＝tan_α
直線過點A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝
直線Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝－
注意：①如果y2＝y1且x2≠x1，則直線與x軸平行或重合，斜率等于0；
如果y2≠y1且x2＝x1，則直線與x軸垂直，傾斜角等于90°，斜率不存在．
②直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系
α 0 0＜α＜ ＜α＜π
k 0 k＞0 不存在 k＜0
知識鏈接03 直線方程的五種形式
名稱 幾何條件 方程 適用條件
斜截式 縱截距、斜率 y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線
點斜式 過一點、斜率 y－y0＝k(x－x0) 與x軸不垂直的直線
兩點式 過兩點 ＝ 與兩坐標軸均不垂直的直線
截距式 縱、橫截距 ＋＝1 不過原點 且 與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直線
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 直線的傾斜角與斜率
（1）直線2xcos α－y－3＝0的傾斜角的取值范圍是________．
（2）直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________．
（3）直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
（4）直線l過點P(－1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
典例剖析02 直線的方程
（1）直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為的直線方程為________________．
（2）若直線經過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為____________．
（3）經過點B(3,4)，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程為_______．
（4）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，
則ABC的邊BC上的高所在的直線方程為________________；
ABC的邊BC上的高所在的直線方程為________________；
ABC的的平分線所在的直線方程為________________．
典例剖析03 直線方程的綜合應用
（1）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．
（2）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．
（3）當k＞0時，兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________．
（4）已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．
2．若點A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點共線，則a的值為________．
3．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈∪，則k的取值范圍是________．
4．已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為________________．
5．在同一平面直角坐標系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
6．如果AC＜0，且BC＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數，則直線l的方程為________________．
8．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．截距相等的直線都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y軸的直線
C．經過點P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tan θ·(x－1)
D．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
9．經過點P(4，1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為__________________．
10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，則直線MN的方程為________________．
11．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________.　
12．直線l過原點且平分平行四邊形ABCD的面積，若平行四邊形的兩個頂點為B(1,4)，D(5,0)，則直線l的方程為____________．
13．(多選)已知直線xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，則下列選項正確的是(　　)
A．直線的傾斜角是π－α
B．無論α如何變化，直線不過原點
C．無論α如何變化，直線總和一個定圓相切
D．當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1
14．已知實數x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求的最值．
2022年下學期 高二數學 同步復習講義
01 直線的傾斜角、斜率與直線的方程
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 直線的傾斜角與斜率
（1）定義：
（2）范圍： 直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π)．
知識鏈接02 直線的斜率
條件 公式
直線的傾斜角α，且α≠90° k＝tan_α
直線過點A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝
直線Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝－
注意：①如果y2＝y1且x2≠x1，則直線與x軸平行或重合，斜率等于0；
如果y2≠y1且x2＝x1，則直線與x軸垂直，傾斜角等于90°，斜率不存在．
②直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系
α 0 0＜α＜ ＜α＜π
k 0 k＞0 不存在 k＜0
知識鏈接03 直線方程的五種形式
名稱 幾何條件 方程 適用條件
斜截式 縱截距、斜率 y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線
點斜式 過一點、斜率 y－y0＝k(x－x0) 與x軸不垂直的直線
兩點式 過兩點 ＝ 與兩坐標軸均不垂直的直線
截距式 縱、橫截距 ＋＝1 不過原點 且 與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直線
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 直線的傾斜角與斜率
（1）直線2xcos α－y－3＝0的傾斜角的取值范圍是________．
（2）直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________．
（3）直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
（4）直線l過點P(－1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．
【答案】（1） （2）∪ （2）(－∞，－ ]∪[1，＋∞) （2）
典例剖析02 直線的方程
（1）直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為的直線方程為________________．
（2）若直線經過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為____________．
（3）經過點B(3,4)，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程為_______．
（4）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，
則ABC的邊BC上的高所在的直線方程為________________；
ABC的邊BC上的高所在的直線方程為________________；
ABC的的平分線所在的直線方程為________________．
【答案】（1）x±3y＋4＝0 （2）x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
（3）x－y＋1＝0或x＋y－7＝0 （4）x－y＋2＝0 x－3y＋4＝0 （－1）x－y＋＝0
典例剖析03 直線方程的綜合應用
（1）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．
（2）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．
（3）當k＞0時，兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________．
（4）已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0【解析】（1）x＋2y－4＝0 （2） x＋y－3＝0
（3）直線2x＋ky－2＝0與x軸交于點(1,0)．由解得y＝，
所以兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形的面積為×1×＝，
又k＋≥2 ＝2(當且僅當k＝時取等號)，故三角形面積的最大值為.
（4）由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，當a＝時，四邊形的面積最小．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．
【答案】m＝1.
2．若點A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點共線，則a的值為________．
【答案】4
3．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈∪，則k的取值范圍是________．
【答案】[－，0)∪
4．已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為________________．
【答案】3x＋4y－14＝0.
5．在同一平面直角坐標系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
【答案】B　
6．如果AC＜0，且BC＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C　
7．已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數，則直線l的方程為________________．
【答案】y＝x＋2.
8．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．截距相等的直線都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y軸的直線
C．經過點P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tan θ·(x－1)
D．經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【答案】BD　
對于A，若直線過原點，橫縱截距都為零，則不能用方程＋＝1表示，所以A不正確；
對于B，當m＝0時，平行于y軸的直線方程形式為x＝2，所以B正確；
對于C，若直線的傾斜角為90°，則該直線的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正確；
對于D，設點P(x，y)是經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線上的任意一點，根據∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正確．
9．經過點P(4，1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為__________________．
【答案】x－4y＝0或x＋y－5＝0
10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，則直線MN的方程為________________．
【解析】設C(x0，y0)，則M，N.
所以由題意知＝0即x0＝－5； ＝0即以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1,0)，所以直線MN的方程為＋＝1，即5x－2y－5＝0.
11．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________.　
【解析】如圖，設正方形的對角線的傾斜角為α，則tan α＝2，
則正方形的兩個鄰邊的傾斜角分別為α＋，α－，
所以tan＝＝＝－3，tan＝＝＝，
所以正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為－3，. 答案：－3　
12．直線l過原點且平分平行四邊形ABCD的面積，若平行四邊形的兩個頂點為B(1,4)，D(5,0)，則直線l的方程為____________．
【解析】因為直線l平分平行四邊形ABCD的面積，所以直線l過平行四邊形對角線BD的中點(3,2)，又直線l過原點，所以直線l的方程為y＝x.
13．(多選)已知直線xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，則下列選項正確的是(　　)
A．直線的傾斜角是π－α
B．無論α如何變化，直線不過原點
C．無論α如何變化，直線總和一個定圓相切
D．當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1
【解析】BCD　
根據直線傾斜角的范圍為[0，π)，而π－α∈R，所以A不正確；
當x＝y＝0時，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直線必不過原點，B正確；
由點到直線的距離公式得原點到直線的距離為1，所以直線總和單位圓相切，C正確；
當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積為
S＝·＝≥1，所以D正確．
14．已知實數x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求的最值．
【解析】如圖，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的圖象(曲線段AB)，
則表示定點P(－2，－3)和曲線段AB上任一點(x，y)的連線的斜率k，
連接PA，PB，則kPA≤k≤kPB.
易得A(1,1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，
所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.

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