資源簡(jiǎn)介

02 兩直線的位置關(guān)系
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
知識(shí)鏈接01 兩條直線的位置關(guān)系
（1）兩條直線平行與垂直
①兩條直線平行：
(ⅰ)對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，
則有l(wèi)1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
②兩條直線垂直：
(ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
（2）兩條直線的交點(diǎn)
知識(shí)鏈接02 三種距離
類型 條件 距離公式
兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 |P1P2|＝
點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)P0(x0，y0)到l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝
兩平行線間的距離 l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離 d＝
知識(shí)鏈接03 兩個(gè)充要條件 已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
（1）l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
（2）l1∥l2或重合 A1B2－A2B1＝0.
知識(shí)鏈接04 直線系方程
（1）與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
（2）與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)；
（3）過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
知識(shí)鏈接05 四類常用的對(duì)稱關(guān)系
（1）點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)；
（2）點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，
關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)；
（3）點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，
關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)；
（4）點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，
關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 兩條直線的位置關(guān)系
（1）已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0．
若l1⊥l2，則a＝________．
（2）設(shè)直線l1：2x－my－1＝0與l2：(m－1)x－y＋1＝0平行，則m＝________．
（3）已知直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直，垂足為(t,1)，
則n＝________．
（4）與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程是________．
（5）經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程是________．
（6）經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________．
典例剖析02 兩條直線的交點(diǎn)與距離問題
（1）若兩平行直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是 ，則m＋n＝________．
（2）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．
（3）點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為________．
（4）若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．
（5）求過P(2，－1)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程是________________．
（6）求過P(2，－1)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程是________________，且最大距離是________．
（7）如圖，設(shè)一直線過點(diǎn)(－1,1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點(diǎn)在直線l3：x－y－1＝0上，求其方程．
典例剖析03 對(duì)稱問題
（1）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：
①點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
②直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；
③直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．
（2）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為______________．
（3）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于______________．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．若直線l1：ax－(a＋1)y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝________．
2．已知直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，則實(shí)數(shù)m＝________．
3．(多選)已知三條直線l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則m的值可以為(　　)
A． B．－ C．－ D．
4．如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)A(a－1，a＋1)，B(a，a)關(guān)于直線l對(duì)稱，那么l的方程為________．
5．點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
6．已知直線l1：ax＋y－1＝0，直線l2：x－y－3＝0，若直線l1的傾斜角為，則a＝______；
若l1⊥l2，則a＝______；若l1∥l2，則兩平行直線間的距離為________．
7．點(diǎn)P(2,5)關(guān)于x＋y＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
8．已知點(diǎn)P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程為________．
9．點(diǎn)P(2,1)到直線l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距離是________．
10．如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到
直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
.
11．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________.
12．如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2之間的距離分別
為3和2，點(diǎn)B是l2上的一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB，且AC與l1交于點(diǎn)C，則△ABC
的面積的最小值為________．
13．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．
14．已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使
（1）l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)；
（2）l1∥l2；
（3）l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.
15．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程．
2022年下學(xué)期 高二數(shù)學(xué) 同步復(fù)習(xí)講義
02 兩直線的位置關(guān)系
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
知識(shí)鏈接01 兩條直線的位置關(guān)系
（1）兩條直線平行與垂直
①兩條直線平行：
(ⅰ)對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，
則有l(wèi)1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
②兩條直線垂直：
(ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
（2）兩條直線的交點(diǎn)
知識(shí)鏈接02 三種距離
類型 條件 距離公式
兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 |P1P2|＝
點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)P0(x0，y0)到l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝
兩平行線間的距離 l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離 d＝
知識(shí)鏈接03 兩個(gè)充要條件 已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
（1）l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0；
（2）l1∥l2或重合 A1B2－A2B1＝0.
知識(shí)鏈接04 直線系方程
（1）與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
（2）與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)；
（3）過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
知識(shí)鏈接05 四類常用的對(duì)稱關(guān)系
（1）點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)；
（2）點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，
關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)；
（3）點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，
關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)；
（4）點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，
關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 兩條直線的位置關(guān)系
（1）已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0．
若l1⊥l2，則a＝________．
（2）設(shè)直線l1：2x－my－1＝0與l2：(m－1)x－y＋1＝0平行，則m＝________．
（3）已知直線4x＋my－6＝0與直線5x－2y＋n＝0垂直，垂足為(t,1)，
則n＝________．
（4）與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程是________．
（5）經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程是________．
（6）經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________．
【答案】（1）或－1 （2）2 （3）7
（4）3x＋4y－11＝0 （5）x－2y＝0 （6）4x＋3y－6＝0
典例剖析02 兩條直線的交點(diǎn)與距離問題
（1）若兩平行直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是 ，則m＋n＝________．
（2）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．
（3）點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為________．
（4）若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．
（5）求過P(2，－1)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程是________________．
（6）求過P(2，－1)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程是________________，且最大距離是________．
（7）如圖，設(shè)一直線過點(diǎn)(－1,1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點(diǎn)在直線l3：x－y－1＝0上，求其方程．
【答案】（1）－2 （2） （3） （4）－9
（5）x＝2或3x－4y－10＝0 （6）2x－y－5＝0
（7）與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0.
設(shè)所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.
又直線過(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－.
∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0.
典例剖析03 對(duì)稱問題
（1）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：
①點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
②直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；
③直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．
【解析】（1）①設(shè)A′(x，y)，再得∴A′(－，)．
②在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上．
設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則解得M′(，)．
設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)．
又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0.
③設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，
則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
（2）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為______________．
【解析】（2）設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，
則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，所以解得
即M′(1,0)．又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，
所以所求直線的方程為＝，即6x－y－6＝0.
（3）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于______________．
【解析】（3）建立如圖所示的坐標(biāo)系：可得B(4,0)，C(0,4)，
故直線BC的方程為x＋y＝4，
△ABC的重心為，設(shè)P(a,0)，其中0則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1(x，y)，滿足解得
即P1(4,4－a)，易得P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2(－a,0)，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四點(diǎn)共線，
直線QR的斜率為k＝＝，故直線QR的方程為y＝(x＋a)，
由于直線QR過△ABC的重心(，)，代入化簡(jiǎn)可得3a2－4a＝0，
解得a＝，或a＝0(舍去)，故P，故AP＝.
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．若直線l1：ax－(a＋1)y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝________．
【答案】a＝0或a＝－3
2．已知直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，則實(shí)數(shù)m＝________．
【答案】－7
3．(多選)已知三條直線l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則m的值可以為(　　)
A． B．－ C．－ D．
【答案】ABC　
4．如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)A(a－1，a＋1)，B(a，a)關(guān)于直線l對(duì)稱，那么l的方程為________．
【答案】x－y＋1＝0
5．點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
【解析】C　設(shè)P(x,5－3x)，則d＝＝，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
6．已知直線l1：ax＋y－1＝0，直線l2：x－y－3＝0，若直線l1的傾斜角為，則a＝______；
若l1⊥l2，則a＝______；若l1∥l2，則兩平行直線間的距離為________．
【答案】－1　 1 　2
7．點(diǎn)P(2,5)關(guān)于x＋y＝1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】(－4，－1)
8．已知點(diǎn)P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程為________．
【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1
9．點(diǎn)P(2,1)到直線l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距離是________．
【答案】2
10．如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到
直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
【解析】A 由題意知點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)
稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程PMN的長(zhǎng)為|CD|＝2.
11．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________.【答案】
12．如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2之間的距離分別
為3和2，點(diǎn)B是l2上的一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB，且AC與l1交于點(diǎn)C，則△ABC
的面積的最小值為________．
【解析】 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)B(a，－2)，C(b,3)．∵AC⊥AB，
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面積S＝·＝·＝
≥＝6.
13．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．
【解析】 如圖，易知定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)，且無(wú)論m取何值，兩直線垂直．
所以無(wú)論P(yáng)與A，B重合與否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10
(P在以AB為直徑的圓上)．所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)等號(hào)成立．答案：5
14．已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使
（1）l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)；
（2）l1∥l2；
（3）l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.
【解析】（1）由題意得解得
即m＝1，n＝7時(shí)，l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)．
（2）∵l1∥l2，∴解得或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時(shí)，l1∥l2.
（3）當(dāng)且僅當(dāng)2m＋8m＝0，即m＝0時(shí)，l1⊥l2. 又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8時(shí)，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.
15．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程．
【解析】　依題意知：kAC＝－2，A(5,1)，∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0，
聯(lián)立lAC、lCM得∴C(4,3)．
設(shè)B(x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為(，)，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，∴kBC＝，
∴直線BC的方程為y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.

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